Электродинамический анализ слоистых цилиндрических структур методом эквивалентных линий Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 1======================================

M. G. Rubanovitch

Siberian state geodesic academy

S. Ju. Matvejev

Science trading factory "Triada TV" V. A. Khrustalev, M. Ju. Vasilchic Novosibirsk state technical university

Decomposition method of thing film resistors inductance counting

A common relation on the base of current strips method and concept "the compound magnitude " univalent connected decomposed inductive and interinductive parameters of the film resistor with its arbitrary partitioning on elementary blocks with own inductance is obtained. This relation allows supplying adequacy of the definition of inductive parameters for a two-dimensional equivalent circuit of the equivalent resistor. In this work linear relation between own inductance of the film resistor and decompositive inductive parameters is shown.

Film resistor, current strips method, inductively coupled blocks

Статья поступила в редакцию 28 ноября 2005 г.

удк 621.372

С. Н. Шабунин

Уральский государственный технический университет - УПИ

Электродинамический анализ слоистых цилиндрических структур методом эквивалентных линий

Рассмотрен подход к решению электродинамических задач для слоистых цилиндрических областей методом эквивалентных радиальных линий передачи. Продольные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через напряжения и токи в эквивалентных линиях Е- и Н-волн. В пределах однородного слоя связь напряжений и токов описывается матрицей передачи восьмиполюсника. Между слоями используется матрица передачи границы. Эффективность предложенного подхода иллюстрируется решением задачи дифракции плоской волны на многослойном цилиндре.

Электромагнитное поле, излучение, дифракция, многослойные цилиндрические структуры

Анализ слоистых структур часто приходится проводить при расчете излучения полос-ковых и щелевых антенн, исследовании влияния укрытий на характеристики излучателей. Он применяется и при исследовании распространения волн в неоднородных волноводах, а также в ряде дифракционных задач. Чаще всего анализ проводят методом сшивания компонентов поля на границах [1]. При этом получаются системы уравнений высокого порядка, зависящего от числа слоев. В [2] предложен метод эквивалентных линий для решения задач электродинамики в декартовой цилиндрической и сферической системах координат, однако рассмотрены только многослойные структуры с плоскими границами. В настоящей статье этот подход распространен на многослойные цилиндрические структуры. На рис. 1 показано сечение обобщенной цилиндрической структуры, содержащей N +1

70

© Шабунин С. Н., 2007

слоев с диэлектрическими проницаемостя-ми вг и магнитными проницаемостями .

Границы слоев обозначены через г .

Основная идея рассматриваемого подхода состоит в том, что компоненты электромагнитного поля (ЭМП) в слоистой струк-

1 2 i N N +1

е1> 82' 8i-b 8 n, 8 n +1,

Ц1 Ц2 ц-1 ц n Ц n+1 -►

1

ri-1

Рис. 1

туре связывают с соответствующими модальными напряжениями и токами эквивалентных линий передачи, которые для каждого слоя имеют свои параметры. Представление поля в виде разложения по Е- и Н-волнам моделируется парой линий передач. Для плоских структур параметры линий в пределах слоя остаются постоянными, для цилиндрических и сферических структур параметры линий передач зависят от радиальной координаты.

Большинство задач электродинамики подразумевает решение системы уравнений Максвелла со сторонними токами (или без них), которые независимо от выбранной системы координат записываются в виде

I rot И = т s а EE + «Г м ст;

(1)

[rot EE = -т цаИ - «Гэ ст,

где E, H - векторы напряженностей электрического и магнитного полей соответственно; ва, ца - электродинамические параметры среды; «Гм ст, «Гэ ст - сторонние магнитный и электрический токи соответственно (точка над переменной обозначает комплексную величину).

Использование спектрального разложения компонентов системы (1) по радиальным волнам в цилиндрической системе координат (0 < ф < 2п; - го < z ) в виде

1 00 Aa = — У

m=-rc>

-imq

J AamE,(r )e'^d$

существенно упрощает ее решение. Цилиндрическая система координат позволяет представить ЭМП в виде суперпозиции электрических и магнитных волн относительно продольной оси г . В этом случае система (1) распадается на две независимые системы урав-

нений, одна из которых для компонентов E

E.

zmi, '

H

E,

фш^

имеет вид

--ЁЕ =~i У 2 dr т Ю8а^оГ

I--

(^ )■ И8а

/ - / ■

э стrm5 J м стФт^'

- /, \ С08а ,

dr(k0rH Em) = ^ k0r

+ k0rJ,

k2 Ч2 -

' m V r

IE

+

0'J э ст

J

Ezmt, Ю8а , •

+--mk0 JM ст ,

2 0 м cTm -

(2)

гЧ ^2 э стфЧ у 2 2 2 2 2

где у = к ; к = к0 £аца; к0 - волновое число вакуума. Индекс " Е" обозначает решение для волн типа Е. Остальные компоненты поля выражаются через составляющие

0

r

e

2

ЁЕ , ИЕ^ . Аналогичная система уравнений получается и для Н-волн (И2 ф 0, Е2 = 0). Нетрудно показать, что при использовании замены иЕ = ЕЕ , 1Е = -ко^ система

уравнений (2) будет эквивалентна системе телеграфных уравнений:

ёиЕ/ёг = гг^Е^Е + иЕ ;

(3)

[-= 'ХУЕРЕ + 'Ес

где х к2 2 - (т/г)2 - постоянная распространения в эквивалентной линии; 1 2 2

2% = ) —/ 0 - волновое сопротивление эквивалентной Е-линии

ек0^к2 2 - (т/г )2

(20 = 120п Ом); пЕ , - источники напряжения и тока, действие которых эквивалентно действию сторонних токов.

Подстановка первого уравнения (3) во второе позволяет получить дифференциальное уравнение относительно модального напряжения в виде

1й г йг

г йиЕЛ

г- Е

2

С2^Е = ' ^ -1 й йг ) вк(2г ст г йг

Уравнение (4) является неоднородным уравнением Бесселя второго порядка. Его следует решать с учетом граничных условий на границах раздела диэлектрических слоев цилиндрической структуры.

Система телеграфных уравнений для волн типа Н связывает модальные напряжения и токи с компонентами поля следующим образом: 1И = И И , УИ = к0ЕЁ И . Модальный

+У- е='-Ы:'Ест-ЫгиЕс)• (4)

ток определяется из решения уравнения

1 й (г й1И V 21 _' У2У0 и 1 й (I ) (5)

г йг V йг ) И цк(2г Ист г йЛ Ист'

ний, одно из которых нице интервала, а второе

Уравнения (4) и (5) решаются с учетом условий на внутренней и на внешней границах однородного слоя. Функция Грина задачи строится в виде произведения двух реше-

и^Г (г), ¡И[ (г)] учитывает граничные условия на внутренней гра-

Рее(г), ¡И[ (г)] - на его внешней границе.

При решении задач возбуждения необходимо учитывать условия непрерывности тангенциальных компонентов поля на границах раздела слоев. С учетом того, что Фурье-представления для азимутальных и продольных составляющих поля в т-м слое связаны с эквивалентными напряжениями и токами соотношениями

Е2ш%(г) = иЕт(г); И2ш%(г) =1и т(г);

' (г) _ т 1 и (г) + й1ит (г) . И (г) _ т 1 т (г) йиЕт (г)

фтЕ, Уг> _--иЕт Уг) +-2--1-; ИФт^ Уг) _--2~ТИт Уг)--2--1-

г V йг V г V йг

Ъ ' Ут Ух УТ

и используя условие непрерывности продольных и азимутальных составляющих поля на границе раздела слоев, получим следующие условия на границе г = гт для напряжений и токов в эквивалентных радиальных линиях:

UE ( гТ- ) = UE ( г+ ); ^ ( г— ) = ^ ( Г+ ) - N 1н ( г+ ); 1н (г— ) = 1н (); Uн (гТ- ) = Uн () + NтUE (),

(6)

где r = r - 0, r{+ = r + 0 - радиальные координаты, бесконечно близкие к r с внутренней

(r < r) и с внешней (r > r) сторон соответственно; Ni = may, -у, +i I. Из второго

и

четвертого уравнений в (6) видно, что при т ф 0 наблюдается взаимная связь модальных напряжений и токов на границе раздела: на ток Е-линии влияет ток Н-линии, а на напряжение Н-линии - напряжение Е-линии. Этот факт существенно усложняет решение задач в слоистых цилиндрических структурах, так как требует учесть связь на всех границах. В рассматриваемом случае для нахождения напряжений и токов, а вместе с ними и компонентов поля, удобно использовать матричный подход (рис. 2).

Матрицы передачи С/ связывают между собой напряжения и токи на границах в пределах /-го однородного слоя, матрицы Г/ учитывают их связь на 1-й границе. Концевые сопротивления и проводимости моделируют граничные условия на границах рассматриваемых областей. Проводимость У^ и сопротивление 2^ представляют собой входные проводимость и сопротивление нагруженного восьмиполюсника, рассчитанные относительно Е- и Н-линий, соответственно, в направлении оси цилиндра, а проводимость У^

и сопротивление 2Н - входные проводимость и сопротивление нагруженного восьмипо-

люсника, рассчитанные относительно этих же линий в направлении внешней границы.

Таким образом, преобразования сходны с методикой построения скалярных функций Грина телеграфных уравнений, изложенной в [2]. Существенным отличием от этой методики является учет граничных условий (6), приводящих к существованию связи между линиями Е- и Н-волн. Требуется определить не только собственные скалярные функции Грина Ge (r, r')

и Gh (r, r'), но и взаимные Geh (r,r ) и Ghe (r,r ), что выполняется на предварительном

yh

rt

Ti

{------*

j Е-Линия j

■ I

! Н-Линия I i

14------^

« 1 1 4 1 1 <}------fr 1 1

Г-1 1 £ 1 4 г 1 1 e I +1 <J>—----- 1 1 1 tj 1 г n

1 1 1 1 -fr 1 h . 1 N-- 1 <J------f

Ifrl

Д1

Y

En

Y

Hn

ri-i ri-i ri-1

rN rN r

N

Рис. 2

+

+

+

этапе. Полученные выражения позволяют рассчитывать компоненты ЭМП в любых слоях с учетом любых возможных граничных условий, что делает предлагаемый подход достаточно универсальным и хорошо приспособленным для создания компьютерных программ.

В соответствии с описанной методикой продольные составляющие поля могут быть определены следующим образом [2]:

Л да да

Ег ^ И(Фш + Ф^2)е'т(^2-;

4п т=-да-да V'

(7)

1 да да

= Е I I(ФЯ1 + ФЯ2)е

4п т=-да-да V'

-т( ф-ф')е-2 -

е ^ , (8)

где интегрирование выполняется по области пространства V', занимаемой источниками поля1. Функции

Фе1 = ™ ^ ^ (т, гп )

^-е ге

ие (г', гр )„р1 +

(1) + ёУЕ (Г', гр ) „2)

-„п

йГ Р

Р

кп Т

11 П Р / \

®Е2 = р., 2с ЕНп иЕН (т, тп )

РкР 2.

Н

1ЕН (т\ ТР ) „р^ +

(3) , й1ЕН

( Т', ТР )

(4)

ф Н1

Т

к0 1п, Р

Рк Г? Ч

1Н (т, тп )

I (г'г ^(3) + й1Н (Т', ТР ) „4)

Н (т ,тр)„р +-йт'-КР

Фн2 = ®е

т

к0 ип, Р

РкР Ч2 У

Ус НЕп 1НЕ (т, тп )

ЕР

инЕ (т ', Тр ) +

(1) , йиНЕ (т', ТР ) „(2)

йт'

где ТтТ , Т - коэффициенты трансформации, учитывающие связь амплитуд напряже-

п, р п, р

ний и токов на опорных границах; уе = УТ + УЕ?; 2н = 27 + 27? ; 2с ен , Ус не - со/ 'У ^ I I п п

противления и проводимости связи между Е- и Н-линиями на п-й границе; тп, Тр - опорные границы областей, содержащих точки наблюдения и источника соответственно; п, р - номера областей с точками наблюдения и источника соответственно;

' е \ ,(2) _ %

„(1) = Кр Т + т „р . Т э ст _ + ,

./СО8р 2 т

^ / - /

и э стт и м стг (08 р ф т V р

„ _ / + / •

Лр _ ^э стт ^м стт ' ^ Ю8 р т т

„(з)=КРТ + т

„р . Тм ст _ + ,

^ Цр 2 т

г

(ОЦ р

Тм стф + Тэ стт

• я(4) / - /

1 х ^Р ^ Л/Г ПТ ^ '

^ ЮЦ Р

м стт " э стф •

На опорных границах проводится нормировка модальных токов и напряжений:

1 Здесь и далее координаты в области источника обозначены как т', ф', 2, а координаты точки наблюдения

- как т, ф, 2 . 74

и Е (r, гп ) =

иЕ (г, гп ), г<г'; иЕ (г 'г ) = [и? (г, Гп ), г > г';

иЕ (г', гр ), г'< г; иЕ (Г', Гр ), г ' > г;

1Н (r, Гп ) =

¡я (г, Гп), Г <г;

гН

1Н ( Г ', Гр ) =

/'

Е /г

н (Г \Гр), Г '<г;

¡н (г', Гр), г '>г.

п

[¡н (Г, Гп), Г >Г';

Если точки наблюдения и источника принадлежат разным слоям, то иен = и не = иЕ, ¡ЕН = 1не = IН. Если же эти точки лежат в одном слое, то опорные границы гп и Гр совпадают и

иЕН (Г Гп

и Е (Г, Гп ), Г < Гп; и ( , Ч „Е/ ч > иНЕ Г ,Гр)-иЕ (r, Гп), г>гп;

иЕ (Г',Гп), Г '<Гп;

¡ЕН

(Г', Гр )=

¡н (^ Гп), г'< Гп;

¡НЕ (Г Гп ) =

г >гп;

[и^ ( Г ', Гп ), Г '

/я (Г, Гп), Г < Гп; /я (Г, Гп ), Г > Гп.

_ ¡н (г \ Гп), Г '> Гп; Нормированные на границе г/ модальные напряжения и токи имеют вид

иЕ (Г, Г) = С2т ( Yir, У/г) - 2 ( У// Ъ ) Ущ / ( к0 Г ) ^2т ( Yir, У/г);

иЕ (г, Г) = С2т ( У/Г, У/Г ) + 2 ( У/7 Ъ ) Ущ / ( к0г/ ) ^2т ( У/Г, У/Г);

2я/(ко2г) ^2т (у/Г);

(к02г/ ) $2т (Yir, У/Г ) .

(9)

¡Н (г/) = С2т (У/Г, У/г ) - у ( У/1 Ц/) ¡Н (r, г/) = С2т (У/Г, У/Г ) + 7У0 (У/1 Ц/)

2Н

(10)

Выражения для проводимостей У^, и сопротивлений 2^, приведены в

'Н/> Н/

[3]. Функции С2т, ^2т представляют собой комбинации функций Бесселя Зт (•), З'т (•) и Неймана Nm (•), Ы'т (•):

С2т ( X У) = (УП2) [N'т (У ) Jm (X) - ^т (У) Ыт ( X)] ; ^2т ( X У) = (УП/2) [Ыт (У) 1т (X) - Jm (У) Ыт ( *)] .

Проиллюстрируем простоту предложенного метода на задаче дифракции плоской волны на многослойном цилиндре. Пусть ось цилиндра совпадает с осью 2 цилиндрической системы координат, а падающее поле создается бесконечно длинной нитью тока, находящейся на достаточном удалении. Для падающего поля с линейной продольной по отношению к оси г поляризацией сторонним является электрический ток

1э ст2 = ¡э08(г'-Га)[5(ф'-0Vг']е-^ . (11)

В этом случае с учетом того, что точки наблюдения и источника лежат в одном слое (открытое пространство), коэффициент трансформации Ти = ^ = 1. Пусть радиус внешней

п, р

п, р

границы цилиндра равен гы , где N - число слоев, и выполняется условие г < г'. Тогда

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 1======================================

ФЕ1 = -Í[У Yen ] VEt (r, rN (r\rN ) J CTz (r', ф , z') ; (12)

ФH2 = -J [*ó/Yen ] Y;rHEN Ue (r', rN )/i? (r, rN ) J3 CTz (r', Ф', z') . (13)

Подставив (11)—(13) в (7), (8) и выполнив интегрирование, получим

Ez (г, ф, z) = -(k0I3o/2n) X Y-^UEt (^,N)U¿ (ra,rN)e^e'^

m=-oo

да

Hz ф,z) = -(к/э,/2*) S Y~HeJYEn )IH (r,rN)UE* (^rN)e—e

уЕ (т (т )е-'т^?е-]'в2

т=-да

Выражение для модального напряжения, связанного с источником, имеет вид отношения функций Ганкеля:

и£ (Та, тж ) = нт ( У ж+1Та )/н(£ ( у N), (14)

2

ко - в .

Для плоской волны, падающей на цилиндр по нормали, возбуждение нити тока должно быть синфазным, т. е. в = 0. Используя в (14) аппроксимацию функции Ганкеля при та ^ да, получим для поля основной поляризации

да .- -,_ 1

Е2 (т, ф, 2) = -Ео X те-'т<*/уЕм )и£ (т,N)[н%> (у^)] , (15)

т=_да

а для кроссполяризационной составляющей

да — 1

н2 (г, ф, 2) = -Ео X (¿те-'т(р/уЕм )у;Гнеы1н (т,гн)[н<,2) (у^)] , (16)

т=-да

где амплитуда Е0 = (к01Эо/2п^2/(пк0та )е ^оТ е(П4), а функции иЕ (г, ты ), (т, ты )

находятся из (9) и (10) соответственно.

Проводимость от границы в сторону внешнего пространства определяется формулой

у^ = ]уокотн [нт2) (котн )/н™ (котж )

Выражения для проводимости У от внешней границы цилиндра в направлении его

Е

оси и проводимости связи У зависят от параметров цилиндра и числа слоев [3].

С

Первичное падающее поле можно получить из выражения (15), положив цилиндр идеально проводящим (у^ ^да), а затем устремив радиус тж к нулю:

да

Enz (Ф,z) = -E0 (V2)Z0 E enim cos(тф) Jm (V), (I7)

m=0

где коэффициенты 8q = 1 и sn = 2 при n Ф 0 . Выражение (17) описывает волну, идущую с направления ф = 0. Из выражения (16) следует, что наличие диэлектрического покрытия приводит к появлению кроссполяризационной составляющей поля.

76

\ ^

!о.б / ч

150 / Л U „ *

0.4

0.2^1--!-^-Г / '

ч / / /

/ ^

' /330

\

300

0 ф>

270 Рис. 3

270 Рис. 4

Рассеянное поле определяется вычитанием (17) из (15). Диаграмма рассеянного поля рассчитывается с использованием асимптотики цилиндрических функций для r ^ да . Если положить в (15) проводимость YE Еда, т. е. рассмотреть задачу дифракции волн на

EN

идеально проводящем цилиндре, то из (15) и (17) получается выражение рассеянного поля, аналитически совпадающее с приведенным в [4]. На рис. 3 и 4 показаны диаграммы рассеянного поля для идеально проводящего цилиндра (&0Г) = 4) без покрытия (пунктирная линия), покрытого одним слоем диэлектрика (= 4.8; в^ = 5 - штриховая линия) и двумя слоями диэлектрика (= 4.8; в^ = 5; = 5.6; S2 = 3 - сплошная линия) для падающей волны, поляризованной вдоль оси z (рис. 3) и перпендикулярно ей (рис. 4).

Предложенный алгоритм решения электродинамических задач представляется полезным как для анализа излучения антенн вблизи слоистых диэлектрических образований [3], [4], так и для дифракционных задач. С помощью его достаточно просто рассчитать постоянные распространения ЭМП и критические частоты слоистых коаксиальных линий и круглых волноводов.

Библиографический список

1. Уэйт Д. Р. Электромагнитное излучение из цилиндрических систем. М.: Сов. радио, 1963. 39 с.

2. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн: В 2 т. Т. 1. М.: Мир, 1978. 547 с.

3. Электродинамический расчет характеристик излучения полосковых антенн / Б. А. Панченко, С. Т. Князев, С. Н. Шабунин и др. М.: Радио и связь, 2002. 256 с.

4. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.-Л.: Энергия, 1967. 376 с.

S. N. Shabunin

Ural state technical university

Equivalent line's method for cylindrical dielectric structures

The problem of radiation from a cylindrical multilayered dielectric structure excited by an arbitrary current distribution is formulated and solved. Axial electric and magnetic field components are expressed with equivalent voltages and currents of E- and H-lines. Every layer is described with transmission matrix of a four-port network. Energy exchange on the each boundary between layers is expressed with 4-port boundary transmitting matrices. The efficiency of suggested method is demonstrated by the example of wave diffraction on multilayered cylinder.

Electromagnetic field, radiation, diffraction, multilayered cylindrical structures

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2006 г.

О

О