CC BY
42
ФИЗИКА, РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА
УДК 621.395.6
Ю.Ф. Захарченко
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕШЕТКИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ВОЛНОВОДОВ С ЩЕЛЕВЫМ КАНАЛОМ ВДОЛЬ ШИРОКИХ СТЕНОК Часть 1. Рабочие соотношения, методика расчета
На основе сочетания методов частичных областей и Фурье-Галеркина получены рабочие выражения для электромагнитного поля в решетке прямоугольных волноводов и разработан алгоритм их расчета. С их помощью можно детально изучить параметры данной электродинамической структуры.
Решетка прямоугольных волноводов; методы частичных областей и Фурье-Галеркина; рабочие выражения и алгоритм их расчета
Yu.F. Zakharchenko
ELECTRODYNAMIC CHARACTERISTICS OF AN ARRAY OF RECTANGULAR WAVEGUIDES WITH DISCHARGE CHANNEL ALONG THE WIDE WALLS Part 1. Working ratio, methods of calculating
On the basis of a combination of methods partial areas and Fourier-Galerkin received workers expression for the electromagnetic field in an array of rectangular waveguides and algorithm of their calculation. With their help, you can study in detail the parameters of the electrodynamic structures.
Array of rectangular waveguides; methods of partial areas and Fourier-Galerkin method; the workers of expression and the algorithm of their calculation
Введение
В настоящее время ведущие радиоэлектронные компании мира интенсивно занимаются созданием высокоэффективных, компактных электронных усилителей в диапазоне 100-1000 ГГц. В ряде этих разработок используются замедляющие системы на основе решеток прямоугольных волноводов, связанных через щелевой канал вдоль широких стенок. Щелевой канал служит пролетным каналом, что позволяет применить интенсивный ленточный электронный пучок с соотношением размеров сечения до 25:1 [1, 2]. Кроме этих приборов, на основе решеток прямоугольных волноводов строятся цепочки связанных многозазорных резонаторов в перспективных типах мощных, низковольтных, многолучевых усилителей сантиметрового и миллиметрового диапазона волн [3].
Для достижения в подобных СВЧ приборах оптимальных рабочих параметров требуется высокоточный расчет характеристик замедляющей системы и элементов ввода-вывода энергии. Современные вычислительные программы, преимущественно основанные на методе конечных элементов, не всегда эффективно применимы к системам данного типа из-за их сложной, пространственно развитой конфигурации. В этом случае более пригодным оказывается использование сочетания методов частичных областей и Фурье-Галеркина [4].
В рассматриваемой работе на основе данных методов впервые получены рабочие выражения для электромагнитного поля в решетке прямоугольных волноводов, связанных через щелевой канал
261
вдоль широких стенок, и разработан алгоритм их расчета. С их помощью можно детально изучить параметры данной электродинамической структуры.
1. Выражения для СВЧ поля в волноводах и в каналах связи
Рассмотрим систему в виде решетки прямоугольных волноводов с перемежающимся сечением ..., aixbi, a2xb2, axbi, a2xb2, которые имеют вдоль широких стенок общий щелевой канал сечением Axd, обеспечивающий электродинамическую связь между волноводами (рис. 1). В поперечном сечении структуры можно выделить три частичные области, сопряженные без налегания: первая - волновод сечением ajxbj, вторая - волновод сечением a2xb2, третья - щелевой канал связи между ними сечением Axd. В структуре на частоте ш = 2п f, которой в свободном пространстве соответствует длина волны X, возбуждаются возмущенные волны типа H2n-1,m и E2n-1,m, имеющие в смежных волноведущих каналах либо синфазные, либо противофазные амплитуды электромагнитных СВЧ полей. В пределах сечения волноводов atxbi синфазные волны задаются векторными полями Ei>ws(x,y), Hi,ws(x,y), а противофазные волны - полями Eiwp(x,y), Hiwp(x,y) (где i = 1 для сечения ajxbj и i = 2 для a2xb2 при 0 < x < ai, 0 < y < bi ). В щелевых каналах синфазные волны задаются полями Ess(xD, yd), Hss(xO, yd), а противофазные волны - полями Esp(xD, yd), Hsp(xD, yd), где в нижнем канале (по отношению к нижней стенке волновода) полагаем xdd = x', y□□ = y' при 0 < x' < A, 0 < y' < 5Ad + d/2, а в верхнем канале (по отношению к верхней стенке волновода) полагаем xd = x'', yd = y" при 0 < x"<
A, (5Ad - d/2) < y" < 0; здесь 5 = 1 при i = 1 и 5 = -1 при i = 2.
a1
Рис. 1
Применительно к рассматриваемой структуре СВЧ поля должны удовлетворять граничным условиям на проводящих поверхностях и условиям «сшивания» СВЧ поля на линиях сопряжения частичных областей.
На проводящих стенках тангенциальные компоненты электрических полей равны нулю. В волноводах имеем: £і>т,у (х = 0, 0 < у < Ьі, /)= £і>т,у (х = аі, 0 < у < Ьі, /) = 0 и £^р,у(х = 0, 0< у < Ьі, /) = £і^р,у(х = аі, 0 < у < Ьі, /) = 0, а также £^,х(х, у = 0) = £^,х(х, у = Ь) = 0 и £^,х(х, у = 0) = £^,х(х, у = Ь) = 0 при 0< х < (аг—А)/2; (аг+А)/2 < х <аі. В каналах связи при синфазном возбуждении волн имеем: £88>у(х' = 0, 5Аё8-ё/2 < у' < 5Аё8+ё/2, /) = £88>у(х' = А, 5Аё8-ё/2 < у' < бАё8+ё/2, /)= Е88>у(х" = 0, 5Аё8-ё/2 < у" < 5Аё8+ё/2, /) = Е88,у(х" = А, 5Аё8-ё/2 < у" < 5Аё8+ё/2, /) = 0; £88>х(0 < х'< А, у' = 0, /) = Е88,х(0 < х" <А, у" = 0, /) = 0, а при противофазном возбуждении волн: £8р,у(х' = 0, 5Аёр-ё/2 < у' < 5Аёр+ё/2, /) = Е8р,у(х' = А, 5Аёр-ё/2 < у' < бАёр+ё/2, /) = Е8р,у(х" = 0, 5Аёр-ё/2 < у"< 5Аёр+ё/2, /) = Е8р,у(х" = А, 5Аёр-ё/2 < у" < 5Аёр+ё/2, /) = 0; Е8р,у(0 < х' < А, у' = 0, /)= Е8р,у(0 < х" < А, у" = 0, /) = 0.
Наличие ребер на сопрягаемых поверхностях частичных областей приводит к неоднозначному решению уравнений Максвелла. Для обеспечения единственности решения используется условие на ребре [4], заключающееся в требовании конечности энергии поля в конечном объеме в окрестности ребра. Поэтому в окрестности прямоугольных ребер - в местах стыка широких стенок волноводов и стенок щелевых каналов - составляющие СВЧ поля не могут возрастать быстрее, чем уО-1/3 при р^ 0 (р -расстояние от ребра до точки, где измеряется поле). Поля £і>т,х(х,у) и £^р>х(х,у) в первой и второй областях и поля £88>х(х',у') и £8р>х(х',у') в третьей области «сшиваются» со стороны волноводов на линиях: (а-А)/2<х< (аг+А)/2, у =0 и у = Ьі, а со стороны каналов связи на линиях: 0< х'< А, у'= 5Аё+ё/2 и
0< х''< А, у' — 5Аё-ё/2. Для их аппроксимации используется ряд по полиномам Гегенбауэра:
Ср1/б(2х '/А)/(1-(2х 7А)2)1/3 [5]. Условия «сшивания» на линиях запишутся в виде:
Е>*(р) X (Х У=0, 3 =
0, при 0 < х <(а -А)/2
Дг'г Е4,р с1РРб+1((2х - а V А)Л1-((2х - а- VА) 2 )1/3, при-1< (2х - а У А<1
Р=0
0, при(а, +А)/2 < х < а*
~ 11 \1/з
(х- /=3—^ + й/2, г)=6*Дг'гХ^>С^рб+1((2х'-А)/А)/ (М(2х-А)/А)2) ,
п=0
« § / \1/3
Е±рх(х- /=^р + й/2, г)=6*ЕЧпС^ ((2х'-А)/—ДМсТх-А)/—2) .
-1 <(2х'-А)/А<1
п=0
Для волн типа Н2п-1,т решение уравнений Максвелла для СВЧ поля в волноводах имеет вид:
Е = 6 ± 1кг гг Ь1,Ку = - 6 4,0
-1,т
( А^11/б M
л—
V а у
Е
(-1)т-1(2т-1)5/бес8Ь(к>, т (У-Ь,/2)) „ г /
—81п((2т -1)п—) • В,
кО,т ^“М^,тЬ, /2)
е±_=-6±
1,0
( А>5/б M
п—
V а, У
Е
(-1)^-151пЬ(к,.„1т (У-Ь,/2))
а
х„
А
т, — а,
(
(2т-1)1/б 8тЬ(к, Ь,/2)
ес8((2т-1)п—)• В,
а,
А
т,-
V а, У
н± = т 6 ±■''кг гд • —кг
н, «>У т 6 4,,0 7
р0 к0
г,му
п-
V а, У
Е
(-1)т-181пЬ(к,„, т (У - Ь, /2)) 1Ч X, „
ес8((2т-1)п—)• В,
(2т-1)1/б 8шМк>,тЬ/2)
Н±_______±6± 'кгг4
н,,№х = ± 6 Ч,С
• 1 к р0 к)
( лУ1/б м
А
п—
а-
Е
(-1)т-1(2т-1)5/бес8Ь(к-,№,т(У-Ь/2)) . ^ П X,
------------------------------------81п ((2т-1)п—) •
кы т А • 81пЬ(к,>, тЬ,/2) а-
( А ^
т,—
V а* у
( А ^
т, —
1 (к2 -к2)
Г А ^ п— 5/б м Е
V а- у т =п
*,и^, т \т-1
(-1)т-1еС8Ь (к,№, т (У-Ь, 12)) х, „
--------17б----------------------ес8((2т-1)п—) • В
(2т-1)1/б к,№,т 81пЬ(к-и,тЬ,/2) а *
р0 к0
При синфазном возбуждении системы СВЧ поле в канале связи запишется:
( А ^
т, —
а,
е± = 6 ± 1кг'
Е,,55 у = 6 4,,0
п
11/б M
А
Е
Е ± = 6
* ,55 х с
м
4,,0 п5/б Е
55 г = 0,
Щ, 55 У =± 6
п5/б кг м
(-1)т-1 (2т- 1)5/бес8Ь (к,,55,„У/)
к*,55, т ^ (к*,55, т (^ Ай5 + й / 2))
(-1)т \1пИ Ц;„, МУГ)
(2т - 1)1/б 81пи (к,,55,т (£Ай, + й /2))
(-1)т-181пЬ(к*,55, т у )
81п ((2т -1) п х-) • В, (т) А
р0 к0
Е
(2т- 1)1/б81пИ (к*,55,т (8Ай, + й/2))
ес8 ((2т - 1)п—)• В,(т) А
ес8 ((2т - 1)п—) • В, (т)
А
н = + 6 * }кггаГг
,,0
1 кг п11/б
Н* = '6 ± 'кг' г4
Нг,55 г '6 4
р0 к0 А г.
п5/6 (кг2-к2) M
(-1) (2т- 1)5/бес8Ь(к*,55,ту') х\ ,
------------------------------------81п ((2т - 1)п—) • В,(т)
к*,55,т 81пЬ(к*,55,т (ЗАЛ, + й/2)) А Л У
,!,0 р0 к) Еп
(-1)т-1еС8Ь(к,55, тУ')
-ес8 ((2т-1)п—) • В, (т)
(2т-1)1/б к,,55,т 81пМк,55,т(ЗАй5 + й/2)У ^ ' —
При противофазном возбуждении системы поле в канале связи запишется:
Е ± = 6 ± 'кг
Е,,5р у = 6 4,,0
п
11/б M
А
5/б Е
Е
т = п M
(-1) (2т- 1)5/б81пЬ (к,,5р,тУ ) .
к,,5р, т еС8Ь (к,,5р, т (ЗАйр + й / 2))
(-1)т~1еС8Ь (к,,5р, т у/)
(2т- 1)1/бес8Ь (к,,5р,т(ЗАйр + й/2))
81п ((2т - 1)п —) • В, (т) А,
ес8 ((2т - 1)^:х-) • В,(т) А,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
а
т=п
а,
т=п
т = п
т = п
т = п
Е ± = 0
Е ,, 5р г 0 >
— 5/ б 1 M
Н± =±6±'кгг4 пкг Е
,,5р у =±6 4,,0 р к 2-и
р0 ^0 ш = п
(-1)т-1ес8Ь (£, „/)
(2т- 1)1/бес8Ь (^„(ЗАйр + й/2))
ес8 ((2т - ^п1^) • В, (т)
н±рх=+ 6 * ]кг'го,
,,0
1 кг_ Е
р0 К0 А т = п
* ,5р, т '
(-1)ш-1(2т-1)5/б81пИ(к,5р,тУ') / , ,
-----------------------------------81п ((2т - 1)п—) • В, (т)
к,рт ес8Ь (к,,5р,т (ЗАйр + й/2)) А *
(-1)т_181пЬ(к>Р, шУ ) х\ В ()
ес8 ((2т- 1)п—) • В, (т)
А
Н,5рг = '6
_5/б к2-|2 м ;6±'кгг-4 п кг к0 V
,,0
р0 кз
Е
(2т-1)1/б к,,5р_ ш ес8Ь (к,5Р, т (ЗАйр + й/2))
А
В (3)-(20) полагается:
(17)
(18)
(19)
(20)
Ро =л/ д, /£а =120п; к0 = 2п/А=Щ£0 ц» ;
= 4,,_ -(-1)р -Г(2р+7/3)/Г(1/б)-(2р+1)!;
,, р ,, р
!>, т = к1 -к02 +((2т-1)п/ а, ) 2 > 0, к^ т = к\р т = к,-к02 +((2ш-1) п/А) 2 > 0; * =1,2
В,
А
т,
= Е( 4 р /4,,0)^2р+7/б
(1+2т)
пА
2 а,
; В, (ш )=
P-1
,
р/4(,0 )^2р+7/б
(2т-1)
п
2
где: Г(х) - гамма-функция; /2р+7/б(0 - функция Бесселя; кг=2п/Л.
Для волн типа £2п-1,т решение уравнений Максвелла для СВЧ поля в волноводах имеет вид:
(-1)т-1 к,щ т ес8Ь(к,„, т (У-Ь,/2)) х
----------7/б . _-----Г-7^---81п((2т-1)п—)• В,
Е± = 6 ±г4 а,
Е1,м,у = - 6 4,,0' ^/6
(—^5/б м
V а, У
-З^г' 7’4
,,0
( —^5/б м
п
Е
т=п
м
Е
(2т-1)"081пЬ(к,ИЛ тЬ,/2)
т,—
V а* У
(-1)т-18шЪ(К,№,т(У-Ь, /2)) х 0
ес8 ((2т - 1)п—) • В,
(2т - 1)1/б8тМкг>, тЬ,/2)
( А ^ т,—
£±№г = + 6 *
,,0
^к2 к2л кг ~к0
V кг У
а
5/б
п1
/б
V а, У
м
Е
НГ- ш(у-Ь,/2)) х п
--------^-------------------ес8((2т-1)п— )• В
(2т-1)7/б81пЬ(к.№, тЬ,/2) а *
( А ^ ш,—
,,0
пг V а У
Е
(-1)Ш-181пЬ(К.№,т(У-Ь, 12)) х о
---------тут----------------ес8((2т -1) п—) • В,
(2т-1) 8тЬ(к(>, тЬ,/2) а,
(-1)^-1 к,„, т ес8Ь(кг,„, т (У-Ь,/2)^ х, „
---------- ^------------81п((2ш-1)^— ) • В
Н =± 6
-4-4 г,^х
±1кг-г
4
,0
1 к0 а
Р0 К
(—^5/б м
V а у
Е
( А ^
т,—
V а у
(2т-1) 81пИ(кг>, тЬ1 /2)
а
( А ^ щ,—
V а У
Н,±Кг = 0
При синфазном возбуждении системы СВЧ поле в канале связи запишется:
,,0 _1/б
п1 / б
А м
А Е
(-1)т к, ,55, т ес8Ь (к,, 55, шУ' )
Е" = 6
Е ,55х= 6
м
4 ,0 п5/б Е
(2т-1) 81пЬ (к,,55,ш (ЗАй, + й/2)) (-1)ш-1 81пЬ (к, ,55, щ у-)
8Ш ((2т - 1)п—)• В, (т) А
(2т - 1)1/б 81пЬ (к,,55,щ (ЗАй5 + й /2))
Е± =± /6 *'кг'г4 •
Е, 55 г ± 4’ 0
,0
кг - к0 А
к, п1
/б
м
Е
, 55, т т-1
НГ^тИЛ „у')
± = + 6 ± 'кгг4
,0
Ро кг
1 к» ЕЕ
Ро кг п1/б Е
(2т-1)7/б8тМк,55, „ (ЗМ5 + й/2)) (-1)Ш-181пЬ(к,,55, „/ )
ес8 ((2т - 1)п—) • В, (т) А
81п((2ш - 1)^^х-)• В,(т) А
/б
'г ”■ ш=п
,,, —ес8((2т-1)^^ )• В, (т)
(2т-1)1/б 81пЬ(к,,55,„(ЗМ5 + й/2)) —
(-1)Ш к,,55, ш ес8Ь(к,,55, шУ' )
7/й 81п((2т-1)п—)• В, (т)
(2т-1)7/б81пЬ(к,,55, „ (ЗАй5 + й/2)) А Л
Н,±55г = 0
При противофазном возбуждении системы поле в канале связи запишется: 264
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
2
V а У
а
т=п
а
т= п
т=п
т=п
t j kz ■ Z
Л
M
Gi,o ■-^ I
П
К spy _ e
E ± _ e ± jkzZG ■П5/6 I
Ei,sp I _ e Gi,0 n Zu
(-1)m ki,sp, m Sinh (ki,sp, my )
M
(2m -1) cosh (ki sp,m (SЛdp + d /2))
(-1)m-1cosh (ki sp, my/ )
(2m -1)1/б cosh (ki sp, m (S^p + d /2))
sin ((2m- 1)п—)■ B,(m)
Л
cos ((2m -1) п—)■ B, (m)
k2 -k2 Л M E± _± je±- z -k0 Л I
Ei,sp z _±je 4,0 k 1/6 Zj
kz п m _ n
1 k M
Hspy _± e * k0 n576 I
(-1)m cosh(ki,sp,m y/ )
(2m-1)7/6cosh (ki sp,m(SДdp + d/2))
Л
sin ((2m - 1)п—) ■ B, (m) Л
я* _ Т e * jkz'Z
i,sp I
Z ■z Г'
Gi ,0 ■
po kz 1 k0 Л
po kz П
(-1)m cosh (ki,sp, my' )
(2m-1)1/б cosh(k, sp m (SMp + d/2))
cos ((2m- 1)п—)■ B, (m)
Л
1/б
Z m _ n
M
I
(-1)m- k-sp, m Sinh (ki,sp, my' )
(2m-1) cosh (k, m(SMp + d/2))
- sin ((2m -1) п—) ■ B, (m)
Л
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
Н _ 0
Ні,^ ^ 0
2. Методика вычисления зависимости к от X и коэффициентов
Для вычисления зависимости кг от X используется «сшивание» Нх(х,у,і) в первой и второй областях с Нх(х,у,і) в третьей области вдоль линий: (а,-А)/2 < х < (а+А)/2; у = 0 и у = Ьі. Получаемые при «сшивании» выражения умножаются на функцию 8к(£), содержащую четные полиномы Гегенбауэра, а затем интегрируются по Функция Бк(^) имеет вид:
^ (С) = Сік6 (2 £/А)/(і-(2 £/А)2 )1/3 , -А/2 <^<А/2, к = 0,1,2,.... (40)
В результате получим бесконечную систему линейных уравнений с правой частью равной нулю:
р-і р-і р-і (41)
Е ^і,р-і'Аі,1,р +1 = 0; Е ^і,р-1 ' А і,2, р + 1 = 0 ; ; Е ^і,р-і'Аі,к,р +1 = 0
р = 0 р = 0 р = 0
Система уравнений (41) разрешима, если её определитель !Л^Р,Р! = 0.
A
i,P, p
Ai,1,1 . Ai,1,p ... Ai,1, P
A i, k, 1 Ai,k,p ... . Ai,k+1, P
Ai, P ,1 . Ai, P ,1 .... A i, P ,P
(42)
_ 0, i _ 1,2;
A
Для волн типа Н2п-1,т при синфазном возбуждении системы имеем:
17 \ 5/3
' А '
i,k,p+1 _ I(2m-1)
m_0
2/3
1 C0sh(ki,w,m ЬІ/2)
ki,W, m Sinh(ki,w, m ЬІ /2)
(
2p+7/6
(1 + 2m)ПЛ 2 a,
^ ( J2k+1/6
(1 + 2m)
п Л
2 a,
(43)
1 C0sh(ki,ss, m (S^s + d/2))
J2p+7/6f(1 + 2m)^jj J2k+l/6((1 + 2m)72 |, p _ 0,1, 2,...; k _ 0,1, 2,...
кі^, т вшЪ (кі^, т (8М, + d /2))
При противофазном возбуждении системы Аікр запишутся в виде:
A
i,k,p+l _ I(2m-1)
1 cosh k тЬі/2)
5/3
2/3J| Л | _________________________________
a J ki,w, m sinh (ki,w, m Ьі /2) J2V+m
(
J
(1 + 2m)
п Л
2 a:
(
(1 + 2m)
п Л
2 a:
(44)
1 sinh (kisp m (SЛdP + d/2)) f ПЛ f п
+--------------. ,p- _ p .----J 2p+7/6 ((1 + 2m)-| J 2k+1/6 f(1 + 2m)— jf, p _ 0,1,2,...;k _ 0,1,2,...
2
кмр, т ес8Ь (к!,5р, ш (ЗАйр + й /2))
Для волн типа Е2п-1,т при синфазном возбуждении системы имеем:
1
Aikp ,1 _ I
m_n
cosh (kss m (S Лds + d /2))
Jo
i,k,p+1 ^ (2m-1)4/3 1 (Л/a)1/6 sinh(kw. mb/2) "2p+7/6
(1 + 2m)
п Л
2 О;
J
(1 + 2m)
пЛ
2 О;
(45)
+k
J 2 p+7 / б ((1 + ^m) “Л J 2k +1/6 ((1 + 2m) п |^, p _ 0,1,2,...; k _ 0,1,2,...
єтИ (ки_ т (3 Аds + d /2))
При противофазном возбуждении системы Аікр запишутся в виде:
+
V О j
+
+
m
+
Д.
= Е-
і, к, р+1 ' _ ... 4/3
т=п (2т 1)
кж, т С08Ь(кж, тЬі/2)
(А / а ) 1/6 тЬі 2)
(
1
2р+7/6
(1+ 2т)
п А
2 аі
( „
(1+ 2т)П —
2 а
(46)
+
+к„
8іпЬ(к5р, т (8 Айг + d /2)) соєЬ (к5р, т (8Айр + d /2))
12р+7/6((1+2т)|) 12к+1/6((1+2т)ПЧ р = 0,1, 2,...; к = 0,1, 2,...
Для определения зависимости к от Я необходимо объединить матрицы (42) для г = 1 и г = 2 в суммарную матрицу, а затем определять равенство её определителя 1Л2Р,2Р1 нулю.
Приведя (41) к системе уравнений с правой частью равной Л;,к1, получим систему дл\ вычисления отношений 0,р-1/ 01>0.
Е(<€,р-1/ <€,о) ' Л1,1,р =-Л1,1,1;--; Е (<€>р-^<€,0) ■ Л1, к,р =-Л1,к,1;.; Е (<€,р-^ <€,о) ' Л1,р,р =-Л1, Р,1 ( )
р =2 р =2 р =2
Для определения 02,0/01,0 в каналах связи для синфазных волн «сшиваются» Еу составляющие при х' =А/2, у = 0, а для противофазных волн - Ех составляющие при х' = у = 0.
Для волн типа Н2п-1,т при синфазном возбуждении системы получим:
(2т -1)5/6 - -1 (48)
м
Е
<^1,0
м
Е
Ві=1 (т )
(2 т -1)
5/6
2,55, т
8іпИ (к
2,55, т
(8 А5 - d/2))
Ві=2 (т)
При противофазном возбуждении системы имеем:
м
Е
2,0
С
м
Е
(-1)
п-1
(2т-1)1/68іпЬ(кі,5р, т (8А р + d/2))
В=і(т)
(-1)
т-1
(2т-і^шЬ^,т (8Ар -d/2))
Ві=2 (т)
2,5р, т '
(49)
Для волн типа ^2п-1,т при синфазном возбуждении системы получим:
м
€ Е
Г2,0 _ аі т = п
к1,55, 1
(2т -1)7/6 япЬ (кі 55, т (8 А5 + d / 2))
Ві=1( т)
(50)
<^1,0 а2 М
Е
к2
(2т-1)”Ь'8іпЬ(к2,55,т (84 -d/2)) При противофазном возбуждении системы имеем:
(-1)т -1
Ві=2 ( т)
м
Е
2,0 а1 т =0
^1,0
а2 м
2 Е
т = 0
(2т -1)1/6 С08И (к15р,т (8 Ар + d /2))
Ві=1(т)
(51)
__________________(-1)т-1___________________
(2т - 1)1/6С08И(к2,5р, т (8 А р - d /2))
Ві=2 (т )
Численный эксперимент показал, что при увеличении М и Р результаты расчета критических волновых чисел ко для волн типа Н2п-1т и Е2п-1т сходятся к точному значению. Если ограничиться по количеству функций, используемых для аппроксимации электрического поля на границе «сшивания», третьем (Р = 3) и четвертым (Р = 4) приближением при М = 250...500, то погрешность расчета составляет менее 0,01%.
Результаты исследования сходимости при расчете кі0 для волн Н10, Н12 и Н21 при их синфазном возбуждении в решетке волноводов с аі = а2; Ь1 = Ь2 = 0,206 аі; А = Ьй d = 0,794 а1, даны в таблице. Там же приведено сравнение с результатами расчета кго в крестообразном волноводе той же геометрии для волн типа Н10 и Н12 [8].
р М кга а для Ию кгс а для И12 кгс а для И21
синфаз. из [81 синфаз. из [81. синфаз. из [81.
2 50 250 1.6645 1.6646 1,6645 4.9273 4.9274 4,9273 4.9273 4.9274 4,9273
3 50 250 1.6645 1.6646 1,6645 4.9273 4.9274 4,9274 4.9274 4.9274 4,9274
1
т = п
2,0
т = п
т=п
т=п
3. Выражения для эквивалентного волнового сопротивления и потерь в решетке волноводов при возбуждении волны типа Н10
Эквивалентное волновое сопротивление задается в виде р = и„2/2М„, где: Ц,- напряжение между широкими стенками волновода; Ы,- поток энергии вдоль волновода. При синфазном возбуждении для и, имеем:
Ь 6 М5 +й /2
иг,*, = | Е1,н-, У (х = а/2, У)'ЛУ + 2 I Е^, У (Х'=Л/2, У')■ ЛУ'
0
и і = 2 Е (2 т - 1)5/6 [В, (т )/ к^, т -(А/ а> )11/6 В1 (т, А/а* У к^, т ]
После подстановки (3) и (9) в (52), получим
.11/6 М
^ (2 т
Л т = 0
При противофазном возбуждении системы для имеем:
ь ЗЛЛз +й/2 Л/2
и™=I Ку(х = а/2,У)'йУ+2 I ЕрУ(Х'=Л/2,УГ)'ЛУ/+2 I Ерх(^у' = 0)
0 0 0
После подстановки (3), (15) и (16) в (54), получим
..11/6 м
.. = 2 -
і,„р а
иі„р = 2 —----Е (2т-1)
5/6
т = 0
Ві(т)
к2 - к 02)
(
А
V
1 +-
(2т -1) П
ГОвЬ (кі,5р, т (8Аd5 + ^))
Г А А
11/6
В
ч а
Г А А т,— ч аі V
Поток энергии через поперечное сечение волновода задается в виде:
N
л а Ь
=211(Е-(х’ у) н„,у(х’ У) - Е-.у(х’ У) н„х(х У)) ^ ^
2 0 0
+
+
А 8 Ай 5 + й /2
Е -
| | ( Е5", X ( У/) Н1 у (У/) - Е5- у (У/) Н+ X (У/)) ^ ^У'
(52)
(53)
(54)
(55)
(56)
Подставляя (3), (4), (6), (7) и (9), (10), (12), (13) в (56) и интегрируя, при синфазном возбуждении системы имеем:
N =
і,„5
.11/3 7 7
П Ьі к г
8р0 аі к0 т =0
Е(2т-1)
5/3
Г А А
5/3
к„, т аі
(2т - 1)п
А 2 Гсі
^пЬ(ки-, тЬі)
Л
кЬ
а'„, т иг
-1
8іпЬ(к„, тЬі)
Л
кЬ
а'„, т иг
+ 1
(57)
к1, т вшЬ2^, тЬі /2)
• В2
Г А А
т,—
ґ
(28Аd5 + d)/ Ь
Л
к55,т А
(2т - 1)п
2
вт^к^, т (28Аds + d))
К, т (28А4 + d)
-1
Л;
вт^к^, т (28 М5 + d))
к55, т (28А4 + d)
+1
А/аі к55,т ®шЬ2(кт (8А^5 + d/2))
•В2 (т)
Используя (3), (4), (6), (7) и (15), (16), (18), (19) в (56) и интегрируя, при противофазном возбуждении системы имеем:
^11/3 и ]
П _ЬК
8р0 аі к0 т =0
Е(2т -1)
5/3
Г А А
5/3
Г к„,т аі А 2 Г8іпЬ(к„,тЬі) ,1 ГвшЬ^,,тЬі) ^
-------------------------------1 +---------
(2т - 1)п
кЬ
ГК-№, тиі
кЬ
ГК-№, тиі
+1
(58)
к1 т «іпЬ2(к„,тЬі/2)
В2
Г А А
т,—
Г к А А
2
(28 Мр + d)/ Ь
і
(2т - 1)п
§іпЬ(к5р, т (28 Мр + d)) ^т28А^
+1
§іпЬ(к5р, т (28Мр + d))
к5р, т (28Мр + d)
-1
А/а- кр,т віпИ2 (кр,т (8Аір + d/2))
• В2(т)
Коэффициент затухания в, волны вдоль решетки волноводов определяется по формуле [2]:
0
2
2
к
к
і,55, т
і,„, т
00
+
ч аі V
ч аі V
+
ч аі V
+
R0 Г м2 dl - 0
Ms,p) _ 2 N 7 Мпов ' dl_ N
2Nw(s,p) Nw(s,p)
(а-Л)/
+ fl M*,Jx, y _ 0) + м2
b/2
e.(,,p) _ j ^ di_N^ j j[ Mi(,p),, (x _o, y)+h^s, p), z (x _ o> y) ] dy+ (59)
-Д)/|2 d/2 j
j I HW(s,p), x (X У = 0) + Hl(s,p), z (X У = 0) dx + j HS(s,p), y (x' = 0 У') + HJs,p), z (x' = 0 У) ^ [
0 0
где: Л0 = 234,4^л/<Г• А и о [сим/м] - поверхностное сопротивление и проводимость материала соответственно на длине волны X [2].
При расчете коэффициента затухания Р„ в (59) используются выражения (6)-(8) и (12)-( 14) или (18)-(20).
Заключение
1. Результаты расчета для случая возбуждения синфазных волн в решетке из идентичных прямоугольных волноводов соответствую результатам расчета для симметричного крестообразного волновода, приведенные в [8].
2. Выражения для СВЧ поля, волнового сопротивления, коэффициента затухания, а также алгоритм расчета kz0 и зависимости kz от X для волн типа H2n-1,m и E2n-1,m, можно реализовать на универсальных языках программирования, в частности, на языке Mathematica-v.5.
3. Алгоритмы расчета kz0 и зависимости kz от X и выражения для СВЧ поля могут быть использованы как подпрограммы при построении алгоритмов расчета электродинамических параметров ряда типов волноведущих структур со сложной, пространственно развитой конфигурацией на основе решеток прямоугольных волноводов с щелевым пролетным каналом вдоль широких стенок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Proceedings of the 11th IEEE International Vacuum Electronics Conference, IVEC 2010.
2. Викулов И. Американская программа по СВЧ вакуумной электронике HiFIVE./ И. Викулов, Н. Кичаева // Электроника: наука, технология, бизнес. 2008. № 5.С. 70-74.
3. Захарченко Ю.Ф. Новый класс мощных низковольтных многолучевых ЛБВ на цепочках связанных многозазорных резонаторов с поперечно-протяженным типом взаимодействия для бортовых радиолокационных и телекоммуникационных систем коротковолновой части миллиметрового диапазона волн / Ю.Ф. Захарченко, Н.И. Синицын, Ю.В. Гуляев // Радиолокация и радиосвязь: сб. материалов III Всерос. науч.-техн. конф., г. Москва, Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, 26-30 октября, 2009. М.: Инсвязьиздат, 2009. Т. 2. С. 157-167.
4. Волноводы сложных сечений / Г.Ф. Заргано, В.П. Ляпин, В.С. Михалевский, Ю.М. Синельников и др. М.: Радио и связь, 1986. 124 с.
5. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М., 1971. 1108 с.
6. Теория электромагнитного поля. / Б. Я. Брунов, Л. М. Гольденберг и др.; под ред. И. Г. Кляцкина. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962. 511 с.
7. Дьяконов В. П. Математика 4.1/4.2/5.0 в математических и научно-технических расчётах /
В. П. Дьяконов. М.: СОЛОН - Пресс, 2004. 96 с.
8. Заргано Г.Ф. Электрические параметры крестообразного волновода / Г.Ф. Заргано, Г.П. Синявский, В.С. Михалевский // Радиотехника и электроника. 1974. Т. 19. №10. С. 2054-2062.
G
Захарченко Юрий Федорович -
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Саратовского отделения Института радиотехники и электроники РАН
Статья поступила в редакцию 30.05.2011, принята к опубликованию 24.06.2011
Yury F. Zakharchenko -
PhD., senior research worker The Saratov branch of the Institute of radio engineering and electronics of RAS
