ЭЛАСТИЧНАЯ ПАНЕЛЬ СО ВСТАВКАМИ ИЗ ИНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

ЭЛАСТИЧНАЯ ПАНЕЛЬ СО ВСТАВКАМИ ИЗ ИНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ

ДЖОШГУН ЯХЯЙЕВ

город Баку, Национальная Академия Наук Азербайджана Главный специалист Аппарата Президиума

Аннотация. Анализ разрушения многих устройств, машин, конструкций показывает, что разрушение, как правило, начинается с поверхности различных канавок, отверстий, трещин и других уплотнителей. Менее опасно наличие устойчивых трещин в конструкциях и устройствах, работающих в определенных режимах переменных внешних нагрузок, а искусственное усиление таких конструкций (предотвращение роста трещин за счет раскрытия заклепок, продольных балок, отверстий и т. д.) может значительно продлить срок их службы.

Следует отметить, что в рассматриваемой работе контуры круглых отверстий панели, армированной периодической системой ребер жесткости, свободны от нагрузок, и предполагается, что в отверстия клепаная панель.

В статье исследуется напряженно-деформационное состояние клепаной перфорированной панели при одноосном растяжении по оси ординат и анализируется влияние поперечных ребер жесткости на распределение напряжений в панели.

Ключевые слова: конструкция, устройство, панель, ребра жесткости, перфорация, панель.

Введение. Рассмотрим случай припайки гибких шайб из любого материала, отличного от материала панели, к отверстиям клепаной панели. Следует отметить, что расчет прочности клепаной перфорированной панели с трубками, проходящими через отверстия панели и прикрепленными к ней, является одним из важных вопросов. На практике рассматривается бесконечная изотропная упругая пластина толщиной к, ослабленная периодической системой круглых отверстий радиуса X. Предположим, что центры этих отверстий находятся в

Рт = та (т = 0, ±1, ±2, ...), с = 2

Круглые отверстия Ьт (т = 0, ±1, ±2, ...) заполнены припаянными по контуру шайбами из постороннего упругого материала. К панели симметрично к поверхности г = ±тЬ ± ту0 (т = 2к — 1; к = 1,2,...; п = 1,2,...) приклепываются поперечные ребра жесткости из другого

упругого материала с площадью поперечного сечения А и модулем Юнга Выбор системы координат и символов поясняется на рисунке 1. Действует однородное растягивающее напряжение = на бесконечности (деформация на бесконечности).

В расчетной схеме действие клепаных ребер жесткости заменено неизвестными сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения узлов крепления (рис. 1). Начало системы координат связано с геометрическим центром отверстия в панели.

Исходя из симметрии граничных условий задачи и геометрии области Б, занятой упругой средой, компоненты тензора плоских напряжений являются периодическими функциями с фундаментальным периодом с.

При деформации пластины смежные точки вставок и контуры ее плоскости будут испытывать одинаковые перемещения, а силы, действующие на любую шайбу со стороны пластины, будут равны по величине и противоположны по знаку силам, действующим на пластину со стороны вставки.

Поскольку решение для панели имеет периодический характер, достаточно рассмотреть только условия связи плоскости с включением по контуру Ьо основного отверстия.

Обозначим через фь( г) и г) комплексные потенциалы, описывающие напряженно-деформированное состояние включений , а через ф(г) и ) - потенциалы, связанные с панелью.

Рис. 1

Рассматриваемая задача состоит в нахождении двух пар функций и

ф(г), г) и комплексных переменных г = X + ¡у, аналитических в областях,

занимаемых средой и шайбой, и удовлетворяющих граничным условиям [2]:

Ф(г) + Ф(г)-[тФ'(г) + ^(г)] е20 =

= Фь (г) + Ф^) - [[ (г) + ] (г)] е20 (1)

+ + е20 =

= М{-Хъ ФЦ + Фь (г) - [ГФь (г) + ^ь (г)] е2'в\

Условие (1) означает, что силы, действующие на элементы контактной линии с обеих сторон, равны. (2) выражает условие разрыва перемещения на условной линии контакта. %ь ,

Мъ и X, № - упругие константы материала шайбы и панели соответственно, г = &е1в + тю , (т = 0, ± 1, ± 2,...).

Решение проблемы пороговой цены

Обозначим левую часть условия порогового значения (1) через / (в)- (0) Ф(г) + Ф(г) - [гФ'(г) + ^(г)]е20 = /1 - ¡/2 (2)

Предположим, что функция / - / делится рядом Фурье по контуру Ь0 (г = Ае1в ). В силу симметрии ряд Фурье этой функции имеет следующий вид

да

/1 - /2 = Е Аке2Ш, 1т Лк = О (3)

к

Ф0(г), ^0(г) комплексные потенциалы аналитичны внутри окружности |г| = Л.и могут быть представлены рядом [2,1].

Фъ (г) = ЕЕ а2.к2к , ^ъ (г) = ЕЕ 2к (4)

к=-да к=-да

Для определения потенциалов фДг) и ^Дг) и получаем следующее граничное условие на контуре Ь0, исходя из условия порогового значения (1) и соотношения (3)

Фъ (г) + ФДг) -[гФ'ъ (г) + ^ь (г)]е22= £ Аке2 (5)

к=-да

Напомним, что коэффициенты Л2к нам пока неизвестны.

Полагая (4) и граничное условие (5) на входном контуре и применяя процедуру степенного метода, находим.

ао=А-; а» = Ащ- (к = 1 2-) (6)

С2к =-( 2к + 1) - Ак (к = 1 2"">

а потенциалы Ф6(г) иг), после некоторых изменений, позволяют записать условия порогового значения на контуре (т = Ле'в) для комплексных потенциалов Ф(г) и ^(г ) следующим образом

__то

Ф(г) + Ф(г) - [т Ф'(г) + ^(г)]е22 = X Аке2Ш (7)

к= -то

Ф(г)-жФ(Г)-[^ '( г) + ^(г)]е20 = (8)

(л _ V ^ то то

е2 - ^ X ^-2к е-2

А ^ 2

= и

Рассмотрим решение панели для определения значений А2к (к = 0, +1, ...)которых пока неизвестны.

Комплексные потенциалы ф(г) и ^(г) ищем в упругой панели и следующим образом Ф(г) = Фо(г) + Ф1(г) ; ^(г) = ^ (г) + ^ (г); (9)

Теперь приведем зависимости, которым должны удовлетворять коэффициенты представления (9). С учетом формулы Колосова-Мусхелишвили из условий симметрии плоского напряженного состояния относительно осей координат получается следующий результат

Ф(-г) = Ф(г) ; г) = ^(г)

^(-г) = ^(г) ; Ф(г) = Ф(г) Здесь мы находим, что

1т «2 к+2 = 0, 1т /32 к+2 = 0 к = 1,2,... (10)

Из условия устойчивости главного вектора всех сил, действующих на дугу, соединяющую две конгруэнтные точки в О

ТГ^ 9

а0 =-Д2

0 24

Ф( г), ^ ( г) неизвестные функции и константы а2к, р2к и следует

определять из граничных условий (1), (2).

а2к, Рк по коэффициентам при , для составления уравнений для функций ф( г),

^ ( г) представим пороговое значение условия (7) в следующем виде Ф1 (г) + Ф, (г) - [т Ф1 (т) + (г)]е20 =

= X А2ке2ке+ /Г (0) + (/2*(б>) (11)

где /* (0) + /* (0) = -Ф0 (т) - Ф0 (т) + [т Ф0 (т) + ¥0 (т)] (12)

Что касается функций /* (0) + /* (0) , то предположим, что она делится по своему контуру ьо рядом Фурье. Эта последовательность будет следующей

/1 (0) + / (*)= X Аке2к0 , 1тЛк = 0 (1Г)

к=-то

Ак = =(/1 +/2)е-2й0*0 (к = 0, ± 1, ± 2, ...)

2Т 0

Подставляя (z), ^ (z), Ф' (z) и ^ (z) и их распределения в ряды Лорана вокруг нуля граничного условия (11) в левой части и ряды Фурье (12*) в правую часть (11) f * + if* и e1в сравнивая коэффициенты в случае одного и того же степени получаем две

бесконечные системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов при с

2к '

Л

После некоторых модификаций мы приходим к системе бесконечных линейных алгебраических уравнений относительно

а2 j+2

У

к=0

ка2к+2 + bj

] 2 к+4

(j = 0,1, 2,...)

СТ 2 ■

bo = 42 -У^+2A а

к=0

2

2 к+4

2 к-2

bj = А2 j+2 -

(2 J +1) 4 gj+я2j+2 _

к 2

2 j+2

£(2j + 2к + 3)! gj+++2j+4 A,

2 к - 2 '

к=0

АО = А0 + m 0; А2к = А2к + М2к

( 2 j)!( 2fc + 3)!22j+2к+4

А2 = (к = +1, + 2, ...)

А2 = А2 + М 2;

1 1

М=-20——(11

У' F

/ .. m

2пУ0

( mL ) +( ПУ0 )2

1 1

М2=— ст0----ч ,

2 2 0 — (1 + ж)^ У

У' F

/ j m

A2sin3^ ^sin^ sin3^

P

P

Pi

M2 к =

1

— (1 + ж) h m

У' F

m

Я2к sin(2k +1)^

P1

,2 к+1

(—2)(-3)... (—2к)А2 к sin(2k +1)^

(2к — 1)!р

2 к+1

жА2к—2 sin^ — 1)(рх (—2)(—3)...(1 — 2к)А2к—22 sin^ +1)^

2к—2

P

2к—1

М—2к =

— (1 + ж) h

У' F

(2к — 2)!р2к+1 (к = 2, 3,...)

А2к + 1М ,

(к = 1, 2,...),

P

P1 = =( ^^^ )2 +(ПУ0)2 ,

^ = arctg

ПУ0 . mL

1

к = 1 ——я2,

gj 1=1 m4 ' 1 12

А,, =( 2j + 1,A 2j2 к2

( 2j + 2к + 2 )! g j+к+1

к. =

— 24

^j =

( 2j + 2к + 4 )! gj+к+2 A2

( 2 j + 1)!( 2к + 1)!22j+

( 2 j + 2 )!( 2к + 2 )! 22j+

(2j + 2/ + 1)!( 2к + 2/ + 1)!gj+i+1gk+i+1A4 ( 2i + 1)!( 2 j + 1)!( 2к + 1)!( 2i )!22j

+2к+4i+4

Ь к

Ь0,к = 0' bj,0 = 0' b,.t =

ёлёк+А2

' 4к, A2 Л 1 +--—

У ,к 22 У+2к+4 I £

(у = 1,2,...), (к = 1,2,...).

константы определяются из следующих соотношений

(13)

(14)

1

i=0

A = Г

- A0+ 2X

gk+1 ' *

■о

(15)

Aj+4 = ( 2 j + 3 ) °2 j+2 +z

( 2J + 2k + 3)! gj+,+2*2 j+ 2A+4

к=0 (2]+ 2)!(2к +1)!222к+4 Преобразуем граничное условие (8) в следующий рисунок

о

— A'

2к +2 A—2j —2

Ф(г) - ХФ(т) - [[ '(r) + W(r)] e2i° = F (0) + ф (0) + (0) :

где

F (0) = —

—ь

(л_ -v ^ ж

Ay + Za^^ e22 - Хь Z A—2k e-

2 k=1 k=1

2ki0

ф (0) + i* (0) = -*Ф0 (r) + Фо (r) - ['0 (r) + W0 (r)] e

2i0

(16)

(17)

Рассматривая функции (16), (17) и краевые условия (15) так же, как функции (12), (3) и краевое условие (11), получаем бесконечную линейную алгебраическую систему для определения коэффициенты а2к .

а^^ = Z +ь

2 j+2 Z k^2k +2

k=0

(j = 0,1, 2,...)

-xb = A2 -Z

gk+2 ■ *

2 k+4

k=0

2

2 k +4

-A'

2k - 2

(18) (19)

-Xb, = A2 j+2 -

( 2 j +1) A gj+i *2 j+2 _

k 2

2 j+2

-Z

( 2j + 2k + 3)! g

22k+2j+4

j+ к+2*_

( 2 j)!( 2k + 3)!22j2k+4

a = - a (x; 1)—+m;

A-2k =-Xb — A-2k + M-2k

—ь

A'k = — A2k +M2 k:

—ь

TZ2, „ 2

k2 =

24

k1 = 1 -(i -x)^*

-%Aj , = ( 2 j + l) j*2j +2

T0,0 = 3 g2* - i 24i+^

T ,* =

( 2j + 2k + 2 )! g j+k+1

( 2j + 2k + 4 )! gj+k+2*2

( 2 j + 1)!( 2k + 1)!22j+2k+2 ( 2 j + 2 )!( 2k + 2 )!22j+2k+4 ( 2j + 2k + 1)!( 2k + 2i + 1)!gj+i+1g^^1*4 i+2

(2/ + 1)!(2] + 1)!(2к + 1)!(2г)!22]+2к+4г"

ь0,к = 0, Ь],0 = 0, ь^к = =к+

V 1

(] = 1,2,...), (к = 1,2,...).

цены М2к определяются следующими соотношениями

(ж + 1) •

ь..

j ,k

м' = М0 4

= м7;

4

^ 2 k = м 2к

(k = 1, 2,...),

k=0

M '2=M2 -il У' Fm snM,

—2 —2 ж h У mn о3

h m,n H1

M _ M ^v F sin(2к + 1)^1

M —2к - M —2к--Г У Fmn -2к+1-

Яh m ,n P1

обозначим решение системы (18) - (19) через а2к Равенства

с2к = ск (к = 0,1, 2,...) (20) определяет силы взаимодействия между панелью и вставкой.

Запишем системы, определяющие коэффициенты с и а2к, следующим

образом

да

(21)

«2 j+2

У А

к«2к+2 + bj

к=0

да

сс

2J+2

= У а;,

кСС2к +2 + bJ

(22)

к=0

Умножая систему (22) на —xv/xv и учитывая равенство (20) и суммируя его

с (21), получаем

с Л

а

2j +2

1 —

XVh XbV

= У

к=0

А _ XVb л * Aj к Aj ,к j XbV j

« + b — XVb и*

а2к +2 + bj bj j XbV

(23)

Воспользуемся следующим методом для исключения коэффициентов С2к+2 из (23). Преобразуем условие порогового значения (15) в форму (11).

Ф1 (г) + Ф1 (г) — [гф (г) + (г)] е2е =

да

= У 42

(25)

* е2ке+(1 + ж)Ф1)

к=—да

Теперь в (25) подставив выражения из (11) в левую часть и ряд Фурье в правую часть

je

Ф (г) его функции, а затем нормируя коэффициенты в случае одинаковых степеней е слева и справа стороны соотношения (25), находим 1+ Х

А

2 j+2 I а2 j+2 '

1 — Vl Vb 1 + ж

А—2j = 1 + Ж У rj a2'2к+2 --(М—2j —М—2j )

j 1 + XbVl Vb к=0 j, 1 + XbVl Vb

4 Г M^Xb)"

2Vb

(26)

(27)

(28)

= M0 — M0 + (1 + X)«0 + (1 + ж) У Гик2к+2«2к+2

к=0

Формулы (26) позволяют исключить коэффициенты а2к+2 из (24). В результате получаем систему бесконечных линейных алгебраических уравнений относительно Л2к

да

Л2, +2 =У d] Л+1 + T ( = 0, 1, (29)

k=0

djk =(2j + 1)A2j+2k+2 Sj,k/Г; (30)

V

sj,k =

1 — ь

1 + Х

Yi,k +

—ь

Хь—

Г*.к + D

Djk = *2 22jjk гГ——ь )

1

V(—/ —ь ) =

(Хь -1) _

Хь 1+(x-1^2*2 1- 2k*2;

1 -(1 - 2k2 *2 )

T* =

1 +

—ь

'0 •

Хь— j

—ь US' ^ gk+2*

Х - 1 — Хь - 1 Х +1 —ь Х +1

Tj = (Т* + kj Mr •

k0 = M2

Хь— k=0

(2i +1) gj+1*2j

2 k+4

Ik +4 M — Л

M-2k—2+-——M'— 2k—2

j

Tj 4

Л1 (— —ь ) =

22 j+

л(——ь)

(1 + —ь/ Хь—)

— (Хь - 1) — (Х — 1)

1 + (Х - 1)+ -—-(Хъ - 1)(1 - 2k2*2 )

2—ь

+2

kj =

( 2 j + 1) gj+1*2 j

22 j +2

__1 — Хь_

2Хь [1 + (Х~ 1) k2*2 ]

1

1-(X~ 1) k2*l e

-1

M0 -

(l - 2k2*2 )

( 2 j + 1) gj+1*2 j+

22 j+2

(l - 2k2*2 )e

1-Х . —

+--1 -^ + ^

Хь [Х 1) k2*2 ] I 2e —

Ш'0 + M2 j+2

-Z

( 2j + 2k + 3)! gj+,+2*2 j+2k+4

( 2 j)!( 2k + 3)!22j+2k+4

—ь

Хь—

л

M'j+2 -

M— 2k—2 +M—2k—2

Хь—

j

r =

(1 - —/— )(1 - Х—ъ/Хъ—) 1 + Хь •

(1 + Х) = 1 Xь ) .

Х

2Мь

Напомним, что в алгебраические системы, полученные через коэффициенты М2к, ^^ входят неизвестные сосредоточенные степени (т = 1,2,..., п = 1,2,...) . Определение значений сосредоточенных сил

Займемся определением сосредоточенных сил. Мы используем закон Гука, чтобы определить цену ¥тп . Согласно этому закону искомое значение сосредоточенной силы ¥тп, действующей на каждую заклепку ребром жесткости, равно

Г ==£ Ди (т = 1,2,..., п = 1,2,...), (31)

тп ^ тп

2 У 0п

здесь Д итп - встречное смещение заклепок, равное удлинению соответствующей части

ребра.

k=0

e

Для определения необходимо найти взаимное смещение точек

г = тЬ + ¡ (пу0 - а ) и г = тЬ - i (пу0 - а0 ) в рассматриваемой задаче.

В результате расчетов находим взаимные смещения заклепок А Отп , указанные точки и Бесконечная алгебраическая система принимает вид (32) с учетом соответствующих алгебраических уравнений:

F =

+жь

ЕА

4 — (1 + ж) Vhry{

УУ Fm

0 mi=1 п=1

ж1П

(p — m)2 L2

an

(p — m)2 IL +[(r — n) У0 — a]2

(p + m)2 L2 +a2

(p + mf L +[(r — n) У0 — a]'

(32)

+

2(r — n)У0 [(r — n)У0 — a0 ](2p(p — m)L + a0 [(r — n)У0 — a0 ])

((p — m)2 L2 + [(r — n) У0 — a0 ] ^ [(p — m)2 L2 + a02 ] 2(r — n)У0 [(r — n)У0 — a0 ](2p(p + m)L2 + a0 [(r — n)У0 — a0 ])

((p + m)2 L2 +[(r — n) У0 — a0 ] ^ [(p + m)2 L2 + a^ ] 2(r + n)У0 [(r + n)У0 — a0 ](2p(p — m)l2 + a0 [(r + n)У0 — a0 ])

((p — m)2 L2 +[(r + n) У0 — a0 ] ^ [(p — m)2 L2 + a0 ]

2(r — n)У0 [(r + n)У0 — a0 ] (2p(p + m)L + a0 [(r + n)У0 — a0 ]) (( p + m)2 L2 + [(r + n) У0 — a0 ] ^ [(p + m)2 L2 + ]

A2к+2 + 1)а

ЕА

2 У0гМ

да

+ (ж — 1)У«2к+2A

«0 ( гУ0 — a0 )(ж — 1) + (ж + 1)Уа

2к +2

к=0

(2к + 1)р2 к+1

2к+2

—УА

к=0

A2 к+2

у ^ sin(2 J + 1)а —

jo 2J + l^2 V 7 '

к=0

sin(2k + 1)а (2к + 1)р2 к +1

A

да у 2к+2 ' j,к

к=0

У-

р2' sin(2 J +1 )а +

+ У(2к + 2)«

а 2 A

Удак j pf 2J + 1)«

2 у +1

Таким образом, получены основные уравнения решения задачи, позволяющие определить искомые коэффициенты с2/5;, , А2/5; и значения сосредоточенных

мощностей. Зная их, можно определить напряженно-деформированное состояние панели. Оказывается, что система бесконечных алгебраических уравнений (13), (15), (19), (29) и система уравнений (32) связаны друг с другом и должны решаться вместе. Отметим последние предельные состояния:

а) Материал вставки и панели, т.е. м = Мъ , X = Хъ

Из данного решения следует следующее: ф (г) = 0, ^ (г) = о

б) Полностью жесткие включения, т. е. м/№ъ = 0 .

После некоторых изменений можно показать, что система (29) совпадает с (19).

в) Панель, края которой свободны от сил. В таком случае мь1 № = 0 и система (19) совпадает с (13).

Численные результаты и их анализ. Для определения искомых величин необходимо совместно решать линейные системы (29), (26) - (28), (15), (32). Дорабатывающая система будет замкнутой относительно <к , р к , > входящих в нее неизвестных.

Полученные системы решались численно. В это время бесконечные системы (26) - (29) были сведены к большому количеству уравнений в зависимости от расстояния между отверстиями. Приведенные системы решались методом Гаусса с подбором главного элемента для различных значений порядка N в зависимости от радиуса отверстий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Амензаде Ю.А. Плоская задача теории упругости. - Баку, 1975.

2. Мусхелишвили Н.М. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука. 1966. - 707 с.