CC BY
36
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XIV 1983
№> 3
УДК 532.5
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ТЕЧЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
И. В. Петухов
Для произвольно заданного векторного поля скорости на поверхности тела рассмотрены кривые нулевой геодезической кривизны линий тока, а также линий, ортогональных линиям тока, и определены экстремальные свойства течения на этих кривых.
В настоящей статье экстремальными кривыми течения называются кривые &г1 = 0 и — 0 нулевой геодезической кривизны линий тока и линий уровня (т. е. линий, ортогональных линиям тока) соответственно. Кривые £ ! = 0 или &г2 = 0 являются в то же время кривыми экстремума толщин элементарных слоев уровня или слоев тока соответственно и подразделяются на кривые утолщения и кривые утоньшения слоев уровня или слоев тока. Кривые ] = 0 являются также кривыми экстремума модуля скорости при безвихревом течении и давления при стационарном течении, рассматриваемых вдоль линий уровня. При стационарном регулярном течении невязкого газа на затупленном теле с изолированной критической точкой растекания любая линия уровня является замкнутой и пересекает п кривых утолщения и п кривых утоньшения слоев уровня, которые чередуются между собой, причем
1, если толщина элементарного слоя уровня не постоянна. В окрестности критической точки типа узел п = 2, а типа вырожденный узел п — 1 или /г = 3. Направления кривых к„х — 0 в критической точке типа узел совпадают с главными направлениями течения.
Понятие об экстремальных кривых течения полезно для качественного описания сложной картины пространственного течения на поверхности тела. Кривые £г1 = 0 разделяют область течения на подобласти, в которых геодезическая кривизна линией тока не меняет знак; в окрестности кривых ^, = 0 утолщения и утоньшения слоев уровня векторы геодезической кривизны линий тока направлены от кривой утолщения и к кривой утоньшения соответственно. Кривые kg■,—0 разделяют область течения на области
растекания, где элементарные слои тока расширяются, и области стекания, где эти слои сужаются. Поэтому, чтобы качественно представить себе картину течения на поверхности тела, достаточно определить экстремальные кривые течения.
При анализе пространственного течения в пограничном слое особое значение имеет взаимное расположение кривых х = 0 во внешнем потоке и на поверхности тела в картине предельных линий тока. Это взаимное расположение определяет подобласти, в которых при движении по нормали к телу геодезическая кривизна продольных линий тока а) сохраняет знак („ + “ или „—“), б) меняет знак (с на „—“ или с „—“ на
Предельные экстремальные кривые к„г = 0 имеют также значение при рассмотрении „линии отрыва11, 'точнее — при рассмотрении огибающей предельных линий тока в точном решении уравнений пограничного слоя. Так точка огибающей, в которую упирается предельная кривая утолщения или кривая утоньшения слоев уровня, является соответственно точкой разветвления или точкой смыкания предельных линий тока.
1. Геодезическая кривизна линий тока и линий уровня. Рассмотрим произвольное векторное поле скорости и — и^Га — иаГ0 на поверхности /\ Для этого поля имеем
(ко
- ди и" —г дх°
и3
ди
= §гасЫ-4-У“ К (1-2)
т° /ди* диЛ /.оч
си = го^ и = —-----И, (1.3)
Уй\дх1 дх*) к '
где — ортогональная проекция вектора но на Р; gradF а — ^гас! а]^;
и?ди]дх(3— конвективное ускорение; т° = \гх, г2\ \г0 ■—орт нормали к Р.
Здесь и ниже приняты тензорные обозначения [1]. Поверхность Р описывается радиус-вектором г = г(х1, хг) в криволинейной системе координат х\ х2; гт = дг!дх>—векторы координатного репера на Р\ = г^- г,— коэффициенты первой квадратичной
формы; й = gu g22 —(gl2)'2■! гт = га — векторы взаимного репера на Р) ^—компоненты матрицы 1|^''|], обратной к ||^||;
гг _ тг г 1 (д** , де* д^
~ ё О,, , От, __ — дх!
—символы Кристоффеля на Р. Греческими буквами обозначены индексы, принимающие значения 1 и 2, причем индексы суммирования обозначены только буквами о, т и X; числа, возводимые в степень, заключены в скобки.
Линии, ортогональные линиям тока, для краткости будем называть линиями уровня. Строго этот термин отвечает случаю градиентного поля и
го^/г = 0, гг=^гас1/?Ф, (1.4)
когда линии Ф = const, ортогональные линиям тока, являются линиями уровня для Ф.
Пусть s°, h° — орты, касательные к линии тока и линии уровня соответственно, причем и = us", и = \и\. Для определенности будем считать, что двойка s°, h° имеет ту же ориентацию, что и двойка ги г2. Введем векторное • поле v — ufc — г»,г3, \v\ — и, ортого-
нальное полю и. Как можно убедиться,
— — У О и2, v2 — V Оа\ V1 = — uJVG, v2 — ujVG. (1.5)
Выражая г«, гл через s° и /г’, получим.
иг я = ил s'1 + va h°, ura — и* s° + v* h°. (1.6)
Геодезические кривизны kgl и k„2 линий тока и линий уровня соответственно определяются выражениями
kg x = kgl It = ds°jds\F , kgl = kgl-li\
kg, = kg2 s° = dh°jdh\F , kg 2 = feg-o - s..
где ds и dh — элементы длины дуги линии тока и линии уровня,
отсчитываемой в направлении s° и h° соответственно.
Имеем
—»- —> —>■ uke, — dujds\F ■ h°, ukg 2 = dv\dh\p • s°;
du du dv „ dv '
u — = ua —- , и — = ---- ,
ds dx dh dx
откуда следует
ft-, (1.7)
■?. (1.8)
Используя в (1.7) выражения (1.1), (1.6), получим
(и)3 V* + и" ^ = гЛ к3 ( ~ — и-, ба?. | . (1.9)
Выражения (1.1) —(1.3) с заменой и нал/ справедливы и для поля г>. Используя (1.8), аналогично предыдущему будем иметь
(и)3 2 — «х V” ( + г/' 0\- ^ = Ф V* (—\ — и- Ол ^
*- '• \дх° 1 “‘j у
или,, учитывая, что г»х «х — «а == О,
(м)3 kg з = — гъ vz Г—- + и G]z j = — Vх vz | —\ Glx j . (1.10)
Подставляя в (1.7) выражения (1.2), (1.3), найдем
du , 1 / du2 dux \ /Tin
и du А- А- 1 IdVGui , dVGaA ,, 1гЛ
uk„ 2 —------diVf-м, divp и ----------r---. (1.12)
g “ rfs /(? \ to ' dx* / v 7
Величины и kg2 не изменятся, если поле и = иs° заменить полем w = ws°, w = \w\ с теми же линиями тока. Выделим единичное иоле u° = s°, и° = 1. Из (1.11), (1.12) следует, что величины kgl и —kg 2 численно равны завихренности единичного векторного
поля s° и его расходимости на F соответственно.
Выражения (1.9)—(1.12) справедливы в произвольной системе координат на F. В системе координат, связанной с линиями уровня х1 — const, имеем и2 = v1 = 0. С учетом этого из (1.9), (1.10) следует
^22 У §22 k g 1 — §12 ^22 ^22 • §22 V §22 kg 2 ~ У О . (1.13)
2. Экстремальные кривые течения. В ортогональной системе координат gn = 0, связанной с линиями тока х2 = const и линиями уровня х1 = const,.имеем с учетом (1.13) или (1.11), (1.12)
Ь —______dH> b „ —____________L (9 ])
e1 Hi dh ’ s 2— ds > v>
где ds = Hxdx\ dh = H2dx2\ = Y gn, Н2 = У g22 — параметры Ламэ. Параметры Я1 и Я2 являются относительными толщинами ds/dxi и dh/dx2 элементарного слоя уровня dxl = const и элементарного слоя тока dx2 =const соответственно.
Из (2.1) следует, что кривые kgl = 0 и kg2 = 0 нулевой геодезической кривизны линий тока и линий уровня соответственно являются экстремальными кривыми течения, т. е. кривыми, на которых толщины элементарных слоев уровня и тока имеют экстремум. Кривые kgl=^0 и kg г — 0 являются также кривыми нулевой завихренности и нулевой расходимости на F соответственно для единичного векторного поля и = s°.
Кривые kgl = 0 разделяют область течения на подобласти, в которых геодезическая кривизна линий тока сохраняет знак. Кривые kg 2 = 0 разделяют область течения на области растекания, где элементарные слои тока расширяются, и области стекания, где эти слои сужаются. Поэтому изображение экстремальных кривых на F дает качественное представление о структуре течения в целом.
Кривые экстремума толщин элементарных слоев уровня подразделим на следующие два вида кривых:
а) —0, dkgildh^>0—кривая утолщения слоев уровня,
б) kgi = 0, dkgJdh<^0 — кривая утоньшения слоев уровня. Точки этих кривых соответственно назовем точками утолщения
и утоньшения слоев уровня.
В окрестности кривых утолщения и утоньшения слоев уровня
векторы kg 1 направлены от кривой утолщения и к кривой утоньшения соответственно. На любой линии уровня точки утолщения и утоньшения слоев уровня перемежаются между собой.
3—«Ученые записки» №-3 33
Аналогично подразделим кривые экстремума элементарных слоев тока:
а) kg2 — 0, dkg2/ds^>0 — кривая утолщения слоев тока,
б) kg2 = 0, dkg2/ds<C0—кривая утоньшения слоев тока.
В окрестности кривых утолщения и утоньшения слоев тока
векторы kg2 направлены от кривой утолщения и к кривой утоньшения соответственно.
Все изложенное выше справедливо в общем случае нестационарных течений вязкого газа, рассматриваемых в фиксированный момент времени.
Отметим частные случаи течений.
При си = 0 имеем с учетом (1.11)
<2-2>
т. е. при безвихревом течении газа модуль скорости, рассматриваемый вдоль линии уровня, имеет локальный минимум и максимум в точках утолщения и утоньшения слоев уровня соответственно.
При стационарном течении невязкого газа из (1.7) и уравнений движения следует
р (ufkgl = --%, (2.3)
т. е. в этом случае давление р, рассматриваемое вдоль линии уровня, имеет локальный максимум и минимум в точках утолщения и утоньшения слоев уровня соответственно.
При стационарном регулярном течении невязкого газа на теле с изолированной критической точкой растекания значения вихря на F равны нулю [2]. Из (1.4) следует, что в этом случае любая линия уровня Ф = const является замкнутой, а относительная толщина /У, (Л) элементарного слоя уровня-—периодической функцией h. В этом случае любая линия уровня пересекает п кривых утолщения и п кривых утоньшения слоев уровня, которые чередуются между собой, причем я>-1, если НХ(К)Ф const.
3. Кривые нулевой геодезической кривизны линий тока в окрестности критической точки. Рассмотрим стационарное регулярное течение газа в окрестности изолированной критической точки растекания (точки Р) во втором приближении [2]. За координатную систему на поверхности F в указанной окрестности возьмем декартову систему х1, х2 в плоскости, касательной к F в точке Р. Координатные линии направим вдоль главных направлений течения. Имеем
ит = «уД:1 + -тг ul-L х°х\ (3.1)
где и\ > 0, «2>0.
Используя (1.5), (1.9) и (1.10), получим
(llf kgX=u\u\{ ul -
~ U2 1 ^ 1 1 \ / .40 „ .
(3.2)
+ и1 1 - ‘..? ип {x'Y-ui и1п-2и\ и\2 ) (л:1)2 х2 +
Зи2 и\ 2 п 2 2 ^ 1 / 2'•> 2 и\ "i- и2 1 /
—----- И22—2«2 «12 X (Х2)2 — U2----------- Ы22 (.X2)3,
(3.3)
(и)8 ке 2 = — [и.\ (л:1)3 + и.2 (л;2)-] • \и\ и.2 {ч\ и12 -(- и2 йп) л1 -]-
-)- («2^12 4" «1 «22 ) -^2| •
Из (3.3) видно, что йг2<0 в окрестности точки Р; кривые кг2 = 0 в этой окрестности не существуют. Ниже рассмотрим кривые & 1 = 0.
В [2] показано, что в окрестности точки Р типа вырожденный узел (и\ = и\) имеется либо одна, либо три кривые кё1 = 0, проходящие через точку Р, прйчем при переходе через Р кривая утолщения слоев уровня переходит в кривую утоньшения; линии ^,=0 являются прямыми и совпадают с линиями тока (при и\ = = и2 кривые утолщения и утоньшения слоев уровня определены в [2] как линии растекания и стекания соответственно). Ниже рассмотрим общий случай точки Р типа узел [и\ ф и\) .
В первом приближении имеем
(и)а ке! — и\ и\ [и\ — х1 хг,
откуда следует, что линии /гг1 = 0, проходящие через точку Р, могут иметь в этой точке только направления, совпадающие с главными направлениями течения х1 = 0 их2 = 0. Принимая в (3.2) л:4 = О (л;!12) на кривых &г1 = 0 с направлениями .г" —0 в точке Р, получим
и\ + и% и' (х^)2
(3-4)
ил — и и *
(X V V
Здесь И ниже |1 =1,2, V = 1,2 и
Дифференцируя (3.2) по /г вдоль линий уровня и учитывая,
что
й/х1 „ й*2 ...
иЖ = -и’ иЖ = и’
где выражаются из (3.1), получим на кривых (3.4) при соответствующих [X
(и)4 = й\ и1
(Ні
(х'+у
Отбрасывая члены высших порядков, будем иметь
сііі
(и)2 —V- = иі («V — и£), (и)2 = (и£ х^)2. (3.5)
Ниже для определенности примем: и1 — Хи} ; Х^>1. Соотношения (3.5) показывают, что при Х> 1 кривые нулевой геодезической кривизны'линий тока (3.4) являются кривыми утолщения или утоньшения слоев уровня при (л— 1 или (1 = 2 соответственно.
Приведем уравнения главных линий тока [2]
к’ (х!1)
<3-6>
Из (3.4) и (3.6), видно, что кривая /гг1 = 0 совпадает с соответствующей ей главной линией тока только в том случае, когда эта последняя является прямой. В отличие от первой главной линии
тока (sa=1), которая не существует при X = 2, кривая утолщения слоев уровня (так же как и кривая утоньшения) существует при всех х> 1.
Все приведенные выше соотношения, кроме (2.2) и (2.3), справедливы и для течений в пограничном слое в сечениях z = const, где г — координата, отсчитываемая по поверхности F, в том-числе при рассмотрении предельных линий тока на F при 2 — 0. В последнем случае во всех выражениях вместо вектора и следует
подставить вектор uz—dujdz при z = 0 или вектор напряжения трения на F.
Полученные результаты могут быть использованы при анализе пространственных течений на поверхности тела произвольной формы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.
Глава VII, М., ГИТТЛ, 1956.
2. Петухов И. В. Структура течения невязкого газа в окрестности изолированной критической точки. „Ученые записки ЦАГИ", т. XIII, № 2, 1982.
Рукопись поступила lljXII 1981 г. Переработанный вариант поступил 1\I1 1983 г.
