Эксперименты с параллельным алгоритмом вычисления присоединённой матрицы и параллельным умножением файловых матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Malaschonok N.A. An Algorithm for Symbolic Solving of Differential Equations and Estimation of Accuracy. Computer Algebra in Scientific Computing. LNCS 5743. Springer, Berlin, 2009, 213-225.

3. Малашонок Г.И. О проекте параллельной компьютерной алгебры. Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Том 14, вып. 4, 2009. С.744-748.

Ribakov М.A. Solving systems of linear differential equations with a piecewise continuous right-hand parts by means transformation Laplace. An algorithm for solving systems of linear differential equations with a piecewise continuous right-hand parts by means transformation Laplace is considered. Examples for solving such systems are received.

Key words: algorithm solution systems of differential equations, systems of differential equations, Laplace transform.

Поступила в редакцию 20 ноября 2009г.

УДК 004.421

ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ АЛГОРИТМОМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРИСОЕДИНЁННОЙ МАТРИЦЫ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ УМНОЖЕНИЕМ ФАЙЛОВЫХ МАТРИЦ1 © А. А. Бетин

Ключевые слова: вычисление присоединённой матрицы, параллельный алгоритм, кластер, файловые матрицы, произведение матриц.

Приводятся и обсуждаются результаты с параллельным алгоритмом вычисления присоединённой матрицы и параллельным умножением файловых матриц.

1 Эксперименты с параллельным алгоритмом вычисления присоединённой матрицы

В работе [1] был рассмотрен параллельный алгоритм вычисления присоединённой матрицы. Рассмотренный алгоритм был программно реализован для многопроцессорных вычислительных систем. Эксперименты с параллельным алгоритмом проводились на вычислительном кластере МВС-100К в МСЦ РАН.

1 Работа выполнена при поддержке программы «Развитие потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/1853) и Темплана 1.12.09.

В экспериментах использовались матрицы размеров 512x512, 1024x1024, 2048x2048 и 4096 х 4096. Присоединенная матрица вычислялась в конечном поле Ър, где р < 232. Результаты экспериментов приведены в табл. 1 и 2 и на рис. 1 и 2. За ускорение вычислений на к процессорах по сравнению с вычислением на п процессорах примем число

■ч* = Ф - 1)К-п -1).

Ч п

Для вычисления ускорения в процентах будем умножать ап * на 100%. Отметим, что при

I к

¿п — ¿к ускорение равно 0, а при — = — ускорение равно 100%.

£к 'П

На рис. 1 и 2 кроме графиков ускорения изображены еще две прямые, которые показывают 50% и 100% ускорение.

В табл. 1 и на рис. 1 представлены результаты экспериментов, в которых использовались плотные матрицы.

Таблица 1

Время в секундах и ускорение вычислений присоединённой матрицы для плотной матрицы в зависимости от ее размера и количества процессоров

Количество процессоров 2 4 8 16 «2,4 ®4,8 «8,16

Размер матрицы

512x512 11.463 11.571 12.521 13.512 -0.9% -7.6% -7.9%

1024x1024 71.332 58.945 67.312 71.478 21.4% -12.4% -5.8%

2048x2048 741.269 390.46 348.921 338.832 84.9% 11.9% 2.9%

4096x4096 5635.616 2919.601 2392.472 2201.979 93.0% 22.4% 8.7%

Рис. 1. Ускорение вычислений присоединённой матрицы для плотной матрицы в зависимости от количества процессоров ргос по отношению к 2 процессорам

В табл. 2 и на рис. 2 представлены результаты экспериментов, в которых использовались матрицы с плотностью 1%.

Таблица 2

Время в секундах и ускорение вычислений присоединённой матрицы для матрицы плотностью 1% в зависимости от ее размера и количества процессоров

Количество процессоров 2 4 8 16 «2,4 «4,8 а8,16

Размер матрицы

512x512 3.737 4.572 5.098 5.500 -18.3% -10.2% -7.4%

1024x1024 40.014 31.512 27.919 28.478 27.0% 12.8% -2.4%

2048x2048 470.877 346.985 258.497 264.100 35.8% 34.0% -2.2%

4096x4096 3855.991 1929.697 1339.389 1241.251 100% 43.9% 7.7%

Рис. 2. Ускорение вычислений присоединённой матрицы для матрицы с плотностью 1% в зависимости от количества процессоров ргос по отношению к 2 процессорам

Из табл. 1 и 2 видно, что вычисление присоединённой матрицы для матрицы размера 512x512 неэффективно делать параллельно, т. к. при увеличении числа процессоров время вычисления не уменьшается. Для матриц размера 1024x1024 и более ускорение наблюдается при увеличении числа процессоров с 2 до 16. При дальнейшем увеличении количества процессоров ускорение вычислений становится равным 0. Это связано с тем, что дальнейшее распараллеливание не выгодно, т. к. пересылаемые блоки становятся на столько малыми, что время пересылки приближается к времени вычислений.

Эксперименты показали, что с увеличением размера матриц параллельное вычисление становится более эффективным. Но с ростом размера матриц возникает проблема нехватки оперативной памяти. Для решения данной проблемы можно хранить матрицы не в оперативной памяти, а в виде файлов на жёстком диске, считывая только необходимые блоки матрицы. Размер максимального блока выбирается с учетом доступной оперативной памяти узла.

2 Эксперименты с параллельным умножением файловых матриц

В табл. 3 приведено время (время указано в секундах) вычисления произведения файловых матриц. Элементы матриц числа типа Е%Ме§ег 10 бит, плотность 100%.

Таблица 3

Время вычисления произведения файловых матриц

Количество процессоров 2 4 8 16

Размер

2048x2048 970.827 475.192 266.895 142.546

4096x4096 13350.297 6286.368 3245.467 2622.430

На рис. 3 представлена зависимость ускорения вычислений с ростом количества процессоров по отношению к 2 процессорам для матриц размера 2048x2048 и 4096x4096 соответственно.

Рис. 3. Ускорение вычислений произведения файловых матриц в зависимости от количества процессоров ргос по отношению к 2 процессорам

На обоих графиках кривая зависимости ускорения находится между прямыми, показывающими 50% и 100% ускорение, что говорит об эффективном распараллеливании.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бетин А. А. Параллельное вычисление присоединённой матрицы. International conference Polynomial Computer Algebra. St.Petersburg, PDMI RAS, 2009, C. 123-128.

2. Малашонок Г.И. О вычислении ядра оператора, действующего в модуле. Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Том 13, вып. 1, 2008. С. 129-131.

Betin A.A. Experiments with a parallel algorithm for calculation of adjoint matrix and with a parallel algorithm for multiplication of file matrices. Results of experiments with a parallel algorithm

for calculation of adjoint matrix and with a parallel algorithm for multiplication of file matrices are stated.

Key words: calculation of an adjoint matrix, parallel algorithm, file matrix.

Поступила в редакцию 20 ноября 2009г.

УДК 004.421

РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ФУЖЕРА ВЫЧИСЛЕНИЯ БАЗИСА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ИДЕАЛОВ1 © М. В. Старов

Ключевые слова: вычисление базиса Гребнера, параллельный алгоритм, кластер, метод Фужера, алгоритм Р4.

Приводятся и обсуждаются результаты с параллельным алгоритмом вычисления базиса полиномиальных идеалов.

В работе [11 был рассмотрен параллельный алгоритм вычисления базиса Гребнера, основанный на методе гомоморфных образов в кольце полиномов с целочисленными коэффициентами.

В основе параллельного алгоритма лежит метод Г4 [2], предложенный французским математиком Ж.-Ш. Фужером. Параллелизм основан на методе гомоморфных образов в кольце полиномов с целочисленными коэффициентами. На основе приведённого алгоритма были разработаны программы для параллельного вычисления базиса Гребнера полиномиальных идеалов, с которыми были проведены эксперименты на кластере ТГУ им. Г.Р. Державина.

В экспериментах использовались разреженные полиномы от пяти переменных.

Таблица 1

Время вычисления в секундах базиса Гребнера с использованием параллельного алгоритма

Количество процессоров к 2 4 8

Время tk, с 259.5 134 77.5

h/h 1.9 3.34

1Работа выполнена при поддержке программы «Развитие потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/1853)