CC BY
52
Как видно из таблицы, при увеличении количества процессоров с 2 до 4 время уменьшилось в 1,9 раза, при увеличении с 2 до 8 — в 3,34 раза. Следовательно, для данного эксперимента эффективно использовать рассмотренный параллельный алгоритм для вычисления базиса Гребнера полиномиальных идеалов на 8 процессорах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г.И. Малашонок, М.В. Старое, А.А. Бетин, О.Н. Переславцева, А.Г. Поздникин Параллельная компьютерная алгебра. Часть 1. Учебное пособие. Тамбов: Издательский дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2009.
2. Faugere J.-C. A new efficient algorithm for computing Groebner bases (F4), J. Pure Appl. Algebra, 139:1-3 (1999), 61-88.
Starov M.V. Realization of Fougere’s method for calculation of polynomial basis. Experiments with a parallel algorithm for calculation for ideals of polynomial basis are stated.
Key words: calculation of a Groebner basis, parallel algorithm, algorithm F4, Faugere’s method, cluster.
Поступила в редакцию 20 ноября 2009г.
УДК 004.421
ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ АЛГОРИТМОМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ МАТРИЦ В
КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ1
© О. Н. Переславцева
Ключевые слова: вычисление характеристического полинома, параллельный алгоритм, кластер.
Приводятся и обсуждаются результаты экспериментов с параллельным алгоритмом вычисления характеристических полиномов полиномиальных матриц.
В работе [1] был рассмотрен параллельный алгоритм вычисления характеристических полиномов матриц, основанный на методе гомоморфных образов [2] в кольце полиномов с целочисленными коэффициентами. На основе приведённого алгоритма был разработан программный комплекс для параллельного вычисления характеристических полиномов
1 Работа выполнена при поддержке программы «Развитие потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/1853) и Темплана 1.12.09.
матриц в кольце полиномов, с которым были проведены эксперименты на кластере ТГУ им. Г.Р. Державина и на кластере МСЦ РАН.
Для оценки эффективности параллельного алгоритма введем понятие ускорения. Обозначим через Ьк время вычисления задачи на кластере с к процессорами. При переходе от кластера с п процессорами к кластеру с к процессорами, к > п, ускорение достигает 100%, когда £„/£*,. = к/п. Ускорение равно нулю, когда ^ = tn . Чтобы определить ускорение вычислений при других значениях £„/£*; определим ускорение как функцию времени •
Определение. Ускорением вычислений при переходе от п -процессорного кластера, где время вычислений равно , к к -процессорному кластеру, где время вычислений равно Ьк, к > п, называется функция ап^ = {К/^к ~ 1 )/(к/п — 1) • 100%.
Эксперимент 1 проводился на кластере ТГУ им. Г.Р. Державина. В эксперименте использовались плотные полиномиальные матрицы размера 40 х 40 над полиномами от двух переменных с 10-разрядными коэффициентами, старшая степень каждой переменной равна 2.
Зависимость времени вычисления от количества процессоров и ускорение вычислений при переходе от 2-процессорного кластера к 4-процессорному и 8-процессорному кластерам приведены в табл. 1.
Таблица 1
Время и ускорение вычислений характеристического полинома полиномиальной матрицы с использованием алгоритма, основанного на методе гомоморфных образов, в котором в конечном поле используется алгоритм Данилевского; порядок матрицы п = 40, разрядность числовых коэффициентов Ь = 10 бит, старшие степени переменных (1ед = [2,2].
Количество процессоров к 2 4 8
Время £*;, с 4480 2424 1631
Ускорение «2,к 85% 58%
Как показывают эксперименты, результаты которых приведены в табл. 1, ускорение вычислений составило 85% при переходе от 2 -процессорного кластера к 4 -процессорному кластеру и 58% при переходе к 8 -процессорному кластеру.
Эксперимент 2 проводился на кластере МВС-100К в МСЦ РАН. В эксперименте использовались плотные полиномиальные матрицы размера 50 х 50 над полиномами от двух переменных с 10-разрядными коэффициентами. Старшие степени переменных равны 2: Лед =[2,2].
График зависимости времени вычисления от количества процессоров приведён на рис. 1. В табл. 2 приведено ускорение вычислений при переходе от 1-процессорного кластера.
Тип« (аес)
Рис. 1. Зависимость времени вычисления характеристического полинома с использованием алгоритма, основанного на методе гомоморфных образов, в котором в конечном поле используется алгоритм Данилевского [3], от количества процессоров пРгос \ порядок матрицы п — 50, разрядность числовых коэффициентов Ъ = 10 бит, старшие степени переменных <1ед = [2,2].
Таблица 2
Время и ускорение вычислений характеристического полинома полиномиальной матрицы с использованием алгоритма, основанного на методе гомоморфных образов, в котором в конечном поле используется алгоритм Данилевского; порядок матрицы п = 50, разрядность числовых коэффициентов Ь = 10 бит, старшие степени переменных <1ед = [2,2].
Количество процессоров к 1 2 4 8 16 32 64 128 256
Время с 16558 8676 4548 2651 1626 1146 748 513 510
Ускорение о:х>. 91% 88% 75% 61% 43% 34% 25% 12%
Как показывают эксперименты, при увеличении количества процессоров ускорение вычислений уменьшается и для некоторого числа процессоров дальнейшее распараллеливание становится не выгодно. Это объясняется тем, что пересылаемые блоки становятся на столько малыми, что время пересылки приближается к времени вычислений на граничном уровне. Как видно из табл. 2, для данного эксперимента неэффективно использовать рассмотренный параллельный алгоритм для вычисления характеристических полиномов матриц на 256 и более процессорах, т. к. время вычислений не уменьшается.
Проведённые эксперименты показали, что для полиномиальных матриц для некоторого числа процессоров пересылаемые блоки становятся на столько малыми, что время пересылки приближается к времени вычислений. Поэтому при увеличении количества процессоров ускорение вычислений становится близким к 0, начиная с некоторого числа процессоров. Это говорит о том, что дальнейшее распараллеливание не выгодно. Так, лучшее время вычисления характеристических полиномов матриц размера 50 х 50 над полиномами от двух переменных, старшие степени которых равны 2, с 10-разрядными коэффициентами на кластере МВС-100К в МСЦ РАН будет около 10 минут.
ЛИТЕРАТУРА
1. Переславцева О.Н. Параллельное вычисление характеристического полинома матрицы // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ’2009): Труды международной научной конференции (Нижний Новгород, 30 марта - 3 апреля 2009 г.). Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2009. С. 817-821.
2. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. Пер. с англ./ Под ред. Б. Бух-бергера, Дж. Коллинза, Р. Лооса. М.: Мир, 1986.
3. Данилевский А.М. О численном решении векового уравнения // Матем. сб. 1937. Т.2(44). N1. 169-
172.
Pereslavtseva O.N. Experiments with a parallel algorithm for calculation of the characteristic polynomial for polynomials matrixes. Experiments with a parallel algorithm for calculation of the characteristic polynomial for polynomials matrixes on the MVS and TSU clusters are stated and discussed.
Key words: calculation of a characteristic polynomial, parallel algorithm.
Поступила в редакцию 20 ноября 2009г.
УДК 004.421
УМНОЖЕНИЕ ФАЙЛОВЫХ ПОЛИНОМОВ1
© А. Г. Поздникин
Ключевые слова: файловый полином, умножение файловых полиномов, параллельный алгоритм.
Предлагается параллельный алгоритм умножения полиномов, которые не помещаются в оперативную память. Такие полиномы назовём файловыми полиномами, т. к. они хранятся в файлах на жёстком диске. Приводятся и обсуждаются результаты с параллельным алгоритмом вычисления произведения файловых полиномов.
1 Введение
Большинство математических систем позволяют производить операции с полиномами, которые хранятся в оперативной памяти компьютера. А когда полином не помещается в оперативную пямять, такие системы оказываются непригодными. Так как объёмы используемой оперативной памяти обычно меньше дисковой, то можно хранить полиномы в файлах на жёстком диске. Полином, записанный в файл на жёстком диске в определённом формате, будем называть файловым.
1 Работа выполнена при поддержке программы «Развитие потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/1853)
