CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2017, Т. 159, кн. 4 С. 473-492
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 539.3
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ ФОРМИРОВАНИЯ ОСТАТОЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ
НАГРУЖЕНИИ
2
В.Н. Паймушин1'2, С.А. Холмогоров1, Р.А. Каюмов3
1 Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева, г. Казань, 420111, Россия Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия 3Казанский государственный архитектурно-строительный университет, г. Казань, 420043, Россия
3
1
Аннотация
Проведены экспериментальные исследования на циклическое растяжение образцов из перекрёстно-армированного композита на основе углеленты ЭЛУР-П и связующего холодного отверждения ХТ-118. На основе полученных экспериментальных результатов выявлен и качественно исследован процесс формирования остаточных деформаций. Показано, что для исследуемого композита в осях орторопии существует такой уровень максимальных нормальных напряжений в условиях циклического нагружения, ниже которого происходит стабилизация параметра приращения деформаций на каждом цикле нагружения. Предложена методика определения формирующихся на каждом цикле нагружения остаточных деформаций путём введения в рассмотрение секущих модулей упругости на этапах нагружения и разгрузки и их определения исходя из экспериментальных диаграмм деформирования. Для различных, значительно отличающихся между собой скоростей нагружения получены экспериментальные зависимости значений секущих модулей упругости, формирующихся на этапах нагружения и разгрузки, от номера цикла. Предложена методика, которая позволяет из накопленной в процессе циклического нагружения полной деформации выделить вязкоупругую составляющую, обусловленную ползучестью связующего в условиях сдвига. Установлено, что для волокнистых композитов рассматриваемого класса при циклическом нагружении полная деформация может быть представлена в виде суммы вязкоупругой части, восстанавливающейся со временем, и остаточной деформации, по-видимому, связанной с необратимыми структурными изменениями в композите.
Ключевые слова: углелента, перекрестно-армированный композит, тест-образец, циклическое растяжение, разгрузка, секущий модуль упругости, остаточные деформации, деформация ползучести, приспособляемость, необратимая составляющая деформации, вязкоупругая обратимая часть деформации
В изделиях космической техники специального назначения в настоящее время широко используются элементы конструкций из волокнистых композитных материалов (КМ), в частности углепластика, которые в процессе эксплуатации при многократном (многоцикловом) нагружении (в том числе тепловом) должны сохранять стабильность геометрических размеров и форм [1—5]. Было установлено,
Введение
что при наземных испытаниях таких изделий и при их эксплуатации всегда фиксируются искажения измеряемых параметров, обусловленные, по-видимому, формированием в конструкции остаточных деформаций. Все механизмы формирования таких остаточных деформаций в волокнистых композитах в процессе эксплуатации изготовленных из них элементов конструкций до сих пор до конца не выявлены.
К настоящему времени в научной литературе накоплено значительное количество публикаций, касающихся вопросов исследования механических свойств волокнистых композитов при многократном (много- или малоцикловом) нагруже-нии. Значительная часть из них посвящена исследованию остаточной прочности и жёсткости волокнистых композитов при многоцикловом нагружении путём сравнения модуля упругости и предела прочности после некоторого количества циклов нагружения с их значениями, полученными на первом цикле нагружения. На основе экспериментальных данных, как правило, строится зависимость между текущим модулем упругости композита и количеством циклов. Результаты таких экспериментов описываются в работе [6], где испытаниям подвергался консольно закреплённый образец из волокнистого композита. Образец нагружался кинематическим способом поперечной изгибающей силой, приложенной к свободному концу образца, а перемещения задавались, исходя из замеренных тензорезисторным мостом деформаций. Выделено три этапа циклического нагружения, на которых происходит падение жёсткостных характеристик композита. На первом, относительно непродолжительном этапе происходит быстрое падение жёсткости на 2-5%, что можно объяснить развитием поперечных трещин в связующем. На втором этапе наблюдается практически линейное и плавное падение жёсткости на 1-5%, что объясняется расслоением краёв образца, а также развитием продольных трещин. На третьем этапе нагружения происходит резкое падение жёсткости вследствие развития локальных повреждений образца. Исходя из экспериментальных данных вводится параметр, характеризующий деградацию механических характеристик, с использованием которого модифицируем широко применяемые в теории разрушения КМ критерии разрушения.
В работе [7] приводится обзор наиболее распространённых моделей, характеризующих остаточную жёсткость композитов. Во всех моделях ключевым критерием является отношение текущей жёсткости испытываемого образца к первоначальной жёсткости, которая замеряется до проведения эксперимента. Основываясь на разработанной модели, построены формулы для определения перемещений свободного края консольно закреплённого образца с учётом параметра деградации жёсткости. В [7] приведена также зависимость отношения действующего в цикле максимального напряжения к значению разрушающего напряжения от количества циклов. Показано, что при увеличении действующего в цикле напряжения происходит уменьшение количества циклов до разрушения. Экспериментальное исследование в работе [8] посвящено определению влияния уровня напряжений в цикле на развитие разрушений волокон композита и на его остаточную прочность. Циклическим испытаниям на растяжение при различных уровнях максимальных напряжений в цикле подвергался образец из восьми слоёв композита на основе углеволокна с эпоксидным связующим. На основе полученных экспериментальных результатов выявлено, что количество разрушенных волокон в композите остаётся постоянным после незначительного количества выполненных циклов нагружения. Сделано заключение, что на разрушение волокон в процессе циклического нагружения уровень нагрузки влияет значительно сильнее, чем количество циклов нагружения. Согласно указанному исследованию средняя плотность дефектов, обусловленных разрушением волокон, слабо влияет на остаточную прочность композита. Причиной разрушения при многоцикловом нагружении является локализация разрушений волокон и связующего.
Один из подходов, основанный на использовании микромеханической модели и описывающий усталостное разрушение композита, предложен в работе [9] теоретического характера. Такая модель подразумевает представление композита в виде равномерно распределённых в связующем волокон, когда как волокно, так и связующее имеют разные механические характеристики. Критерий прочности на микроуровне предсказывает разрушение составляющих КМ и учитывает взаимодействие между ними. Полученные теоретические кривые «напряжение - количество циклов» для композита на основе стекловолокна и эпоксидного связующего с различными углами укладки сравнивались с экспериментальными данными.
Работы экспериментального характера [10, 11] посвящены исследованию процесса развития усталостного разрушения перекрёстно-армированных углепластиков. Выявлено, что зависимости «напряжение - количество циклов», полученные в результате экспериментов для исследуемых композитов, имеют практически линейный характер. Нагрузка прикладывалась как вдоль осей ортотропии материала, так и под углом 30° к ним. Установлено, что характер разрушения композита при многоцикловом нагружении обусловлен отслаиванием волокон в слоях, ориентированных под углом 0° к оси нагружения, и растрескиванием слоев, уложенных под углом 90° . Для случая, когда нагрузка действует под некоторым углом к осям ор-тотропии, разрушение композита происходит вследствие разрушения адгезионного слоя между слоями.
Для волокнистного композита на основе углеволокна и эпоксидного связующего построению модели, описывающей уменьшение модуля упругости в процессе многократного нагружения, посвящена работа [12], в которой предполагалось, что жёсткость при разрушении прямо пропорциональна действующему напряжению. Предложена дифференциальная зависимость скорости уменьшения модуля упругости материала от количества циклов нагружения, которая путём интегрирования по количеству циклов приводится к конечной формуле. Для верификации предложенной модели проведены эксперименты на циклическое растяжение образцов из волокнистого композита с углами укладки ±35°. Результаты экспериментов показали сравнительно хорошую согласованность расчётов согласно построенной модели и экспериментальных данных в диапазоне от 0 до 5000 циклов.
В работе [13] исследовались усталостные характеристики при циклическом растяжении двух видов композитов на основе углеткани и эпоксидного связующего. Испытания проводились в режиме постоянного уровня напряжений, что позволяло при увеличении количества циклов фиксировать увеличение уровня осевых деформаций. В [13] проведено также исследование напряжённо-деформированного состояния структуры композита на мезоуровне методом конечных элементов и выявлены области концентрации напряжений, которые впоследствии приводят к усталостному разрушению.
Исследованию усталостной прочности перекрёстно-армированных углепластиков при циклическом растяжении в условиях повышенной температуры посвящена работа [14]. Установлено, что при увеличении температуры остаточная прочность композита значительно уменьшается. Для различных углов укладки армирующих волокон подтверждены выводы работ [10, 11] о том, что зависимость максимального уровня напряжений в цикле от количества циклов является линейной.
Проведённый обзор научной литературы показывает, что она посвящена главным образом проблемам усталостной прочности при многоцикловом нагружении композитов, в то время как проблемам малоцикловой усталостной прочности таких материалов уделено значительно меньше внимания.
1. Эксперименты на циклическое деформирование
Исследованию процессов деформирования однонаправленных волокнистых композитов посвящена обширная научная литература [15-22] и др. В частности, в работах [20] такое исследование проводится для однонаправленного композита на основе стекловолокон в условиях сдвига при многократном циклическом нагру-жении тест-образцов со схемой укладки [+45°/ — 45°]2Я (в - число монослоёв). На основе полученных экспериментальных данных вычисляется секущий модуль сдвига 0\2 и делается вывод о его падении после нагружения образца десятью циклами. Падение модуля сдвига может быть объяснено деградацией композита в условиях формирующихся в композите сдвиговых деформаций.
Проведенные исследования на сдвиг тест-образцов из волокнистых композитов с полимерной матрицей показывают, что зависимости между касательными напряжениями и соответствующими сдвиговыми деформациями являются существенно нелинейными, в условиях нагружения и последующей разгрузки значительно различаются между собой, при этом на диаграммах деформирования всегда наблюдаются остаточные деформации. В частности, были проведены такие исследования нелинейного деформирования однонаправленного волокнистого композита на основе углеленты ЭЛУР-П и связующего ХТ-118 в условиях сдвига при многократном нагружении путём испытания на растяжение и сжатие тест-образцов со схемой укладки [+45°/ — 45°]2Я. Для испытаний на растяжение использовались тест-образцы [+45°/ — 45°]2Я (в = 2) со средней толщиной Н = 0.56 мм, шириной Ь = 24.60 мм, длиной рабочей части I = 110 мм. Для испытаний на сжатие образцы были изготовлены со средней толщиной Н = 4.12 мм, шириной Ь = 24.91 мм и длиной рабочей части I = 25 мм.
Испытания проводились как через две недели после изготовления тест-образцов по технологии, изложенной в статье [21], так и через восемь месяцев после их изготовления, когда можно было считать завершенными процессы полимеризации связующего композита.
При растяжении пакета слоёв с указанной выше схемой укладки как волокна, так и связующее в осях ортотропии находятся в условиях растяжения в поперечном к волокнам направлении и сдвига касательными напряжениями, а при сжатии -в условиях сжатия и сдвига касательными напряжениями. Эксперимент проводился при одинаковых максимальных нормальных напряжениях в каждом цикле «нагрузка - разгрузка». Такой вид нагружения достаточно точно эквивалентен работе композита в реальной конструкции, где напряжения не должны превышать некоторого заданного (эксплуатационного) значения.
При предварительно найденном значении предельного (разрушающего) напряжения аX ~ 93 МПа в случае испытаний на растяжение многократным нагруже-нием образцы доводились до напряжений атах, величина которых составляла 65, 55, 45 МПа. Замер осевых деформаций проводился с помощью контактного экс-тензометра с базой измерения 50 мм. С целью исключения возможных изгибных деформаций и появления шума на показаниях тензодинанометра после нагруже-ния до а+ = атах образец разгружался кинематическим способом до а+ = 4 МПа, фиксировались величины остаточных деформаций еХ^ и приращения остаточных деформаций ДеХ после каждого г-го цикла нагружения и разгрузки.
Для образцов [+45°/ — 45°]2Я, в = 2, выдержанных восемь месяцев после их изготовления, диаграммы деформирования а+ = а+(е+) и зависимости от числа циклов приращений остаточных деформаций, полученные в условиях растяжения циклами «нагрузка - разгрузка» со скоростью перемещения траверсы 0.5 мм/мин, представлены на рис. 1, а и г (при атах = 65 МПа), рис. 1, б и д (при атах = = 55 МПа), рис. 1, в и е (при атах = 45 МПа). Для таких же образцов, выдер-
в)
е)
Рис. 1. Диаграммы деформирования а+ = а+ (е+) и зависимости приращения остаточных деформаций от количества циклов (выдержка образцов - восемь месяцев после изготовления): а), г) а= 65 МПа; б), д) а= 55 МПа; в), е) а^ах = 45 МПа
а
жанных две недели после изготовления, диаграмма деформирования а+ = а+ (е+ ) при amax = 65 МПа приведены на рис. 2
Сравнивая приведенные результаты, можно видеть, что выдержка образцов при комнатной температуре в течение восьми месяцев после их изготовления привела к увеличению жесткости образцов почти в два раза. Ветви нагружения и разгрузки не совпадают, образуя петлю гистерезиса, а осевая деформация гх на каждом последующем цикле при одинаковом напряжении а+ в цикле увеличивается на величину АеХг) (рис. 2), где i - номер цикла. С увеличением количества циклов
Рис. 2. Диаграмма деформирования а+ = а+ ) при атах = 65 МПа (выдержка образцов — две недели после изготовления)
Табл. 1
Секущие модули, приращение деформаций и остаточные напряжения на каждом цикле нагружения (= 65 МПа)
г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Е+, ГПа 6.59 8.48 8.59 8.60 8.56 8.49 8.47 8.45 8.42 8.31
Е—, ГПа 8.90 8.84 8.69 8.63 8.51 8.47 8.44 8.40 8.34 8.31
Де£° • 103 2.39 0.29 0.09 0.01 -0.03 -0.01 -0.004 -0.004 -0.005 -0.001
, МПа 3.45 -17.12 -19.98 -20.67 -20.75 -20.26 -20.08 -19.74 -19.31 -18.52
р-, МПа -18.14 -20.64 -20.91 -20.95 -20.32 -20.08 -19.72 -19.27 -18.60 -18.53
Л СО
величина Аех уменьшается, что свидетельствует о процессе упрочнения волокнистого композита на каждом цикле нагружения. Такой процесс назовем процессом приспособляемости КМ. Следует указать, что при заданном ятах < существует такое достаточно малое предельное количество циклов г = N, при достижении которого (при г > N) величина АеХг) становится постоянной, равной Аех и не
зависящей от номера цикла г > N. Тем самым при некотором г > К формируется
к
г)
остаточная деформация еХК) = ^^ АеХг) •
г=1
Для наглядности диаграмма деформирования а+ = а+ (е+) для первых двух циклов «нагрузка - разгрузка» в измененных масштабах приведена на рис. 3 с введенными в рассмотрение предельными точками А1 ,А2 , соответствующими уровню напряжения , предельными точками В1, В2, соответствующими уровню напряжения ах = 4 МПа; прямыми 0А1, А1В1, В1А2 , А2В2 . Показаны также углы между указанными прямыми и осью 0ех, а в табл. 1 для случая ятах = 65 МПа приведены величины Е+) = tg ф++ , Е= tg ф— , представляющие собой секущие модули упругости на г-м цикле нагружения (с индексом "+") и разгрузки (с индексом "-"). Приведены также величины р++, р— , являющиеся координатами точек пересечения прямых АгВг, ВгАг+1 с осью 0а+.
Изменения величин АеХ) на первых десяти циклах нагружения также можно проследить по табл. 1, а график зависимости АеХ) = АгХ) (г) приведен на рис. 1, г
Рис. 3. Схема определения остаточных деформаций по диаграмме а + = а + (е+)
Табл. 2
Секущие модули, приращение деформаций и остаточные напряжения на каждом цикле нагружения (а™ = 55 МПа)
г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Е+, ГПа 7.42 8.80 8.92 8.90 8.92 8.96 8.97 9.02 8.99 8.99
Е-, ГПа 9.52 9.38 9.35 9.28 9.25 9.23 9.20 9.19 9.16 9.14
Д£(г) • 103 1.51 0.36 0.26 0.24 0.21 0.17 0.14 0.12 0.1 0.09
р(1), МПа 3.38 -10.19 -13.62 -15.93 -18.09 -20.05 -21.59 -23.04 -23.92 -24.90
р(!), МПа -11.29 -14.47 -16.87 -18.95 -20.79 -22.30 -23.58 -24.51 -25.44 -26.21
Табл. 3
Секущие модули, приращение деформаций и остаточные напряжения на каждом цикле нагружения (а™ = 45 МПа)
г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Е^, ГПа 7.59 8.75 8.85 8.99 9.16 9.24 9.25 9.30 9.32 9.31
Е-, ГПа 9.78 9.64 9.57 9.62 9.58 9.53 9.52 9.52 9.49 9.52
Д4г) • 103 1.21 0.45 0.35 0.3 0.2 0.14 0.13 0.11 0.08 0.01
р(1), МПа 3.26 -7.57 -11.61 -14.98 -18.11 -20.17 -21.45 -22.82 -23.87 -24.60
р(1), МПа -8.82 -12.92 -16.14 -19.17 -21.03 -22.21 -23.45 -24.46 -25.11 -26.14
в виде соответствующей кривой. Видно, что в случае аХ^^^ = 65 МПа наибольшее приращение остаточной деформации фиксируется после первого цикла «нагрузка -разгрузка», а начиная с г = 5 величины АеХг) становятся даже отрицательными в виду их малости, точности и погрешности их фиксации (измерений).
Анализируя приведенные результаты, можно видеть, что при аХс*^ = 65 МПа уже на десятом цикле с большой степенью точности выполняются равенства Е+10) « Е{Щ « 8.31 ГПа, Ае(хг) « 0, р+10) « р(Щ « -18.5 МПа. Результаты, аналогичные вышеописанным, для атах = 55 МПа и ах = 45 МПа приведены в виде соответствующих кривых на рис. 1 б, г, е, а в табл. 2 и 3 - в виде соответствующих значений Ь\', Ь_ , Аех , Р+ , .
10
9.5 9 8.5 8 7.5 7
6.5
45
Г ч^ 55
------ ¡5
_ф) —Е^
0 10 20 30 40
Рис. 4. Секущие модули упругости при нагружении и разгрузке со скоростью 0.5 мм/мин
Рис. 5. Диаграмма деформирования при сжатии (= —80МПа, выдержка образцов две недели после изготовления)
На рис. 4 представлены зависимости секущих модулей упругости при нагружении и разгрузке при трёх уровнях напряжений от количества циклов. Можно заметить, что по мере уменьшения наблюдается более плавное уменьшение
величин АеХ), а также параметров Е+), Е— , р— , р++. На рис. 5 представлены диаграммы деформирования при испытаниях на сжатие тест-образцов, выдержанных две недели после их изготовления. Скорость перемещения траверсы машины в эксперименте составила 0.5 мм/мин. Следует отметить, что на первом цикле нагружения одному и тому же значению осевой деформации (по абсолютной величине) соответствует большее значение нормального напряжения = 80 МПа, которое на 19% выше = 65 МПа при растяжении. Основные закономерности
диаграммы а~ = я~(£~) (рис. 5) остались подобными диаграммам а+ = &+(£+) (рис. 1).
2. Результаты испытаний при различных скоростях нагружения
С целью качественного исследования влияния скорости нагружения на величины накопленных остаточных деформаций и секущих модулей упругости при многократном нагружении были проведены эксперименты на растяжение перекрёстно-
10.2Г
9.8-
------- ___
2 мм/мин
0.5 мм/мин
0.125 мм/мин
_Е<:>1 — £«>
1
Рис. 6. Зависимости секущих модулей упругости от номера цикла при разных скоростях нагружения (атах = 45 МПа)
армированных образцов [+45°/ — 45°]2Я с максимальным значением напряжения в цикле, равным о~тах = 45 МПа. Были выбраны три значительно отличающиеся по величине скорости перемещения траверсы: 0.125, 0.5 и 2 мм/мин. При скорости 0.125 мм/мин было осуществлено 30 циклов «нагрузка - разгрузка», продолжительность которых в общей сложности составила около 14500 с. При скорости 0.5 мм/мин осуществлены также 30 циклов за время 3666 с, а при скорости 2 мм/мин - 500 циклов за время 15295 с. В результате проведенных испытаний
гЧО т-^(г)
определены секущие модули на ветви нагружения Е+ и разгрузки Е— каждого
г-го цикла, накопленные остаточные деформации еХ к концу каждого цикла на-
(») (О
гружения и параметры р+ , р— .
На рис. 6 приведены зависимости секущих модулей упругости Е+ и Е— от номера цикла при трёх скоростях нагружения. Необходимо отметить, что данные для скорости нагружения 2 мм/мин ввиду стабилизации их значений приведены
только до 30-го цикла. Можно видеть, что величины модулей имеют значительное
( )
различие лишь на первых циклах нагружения, к пятому циклу значения Е+ и
Е(г) практически становятся одинаковыми. Из анализа приведённых зависимостей
( )
следует также, что при всех скоростях нагружения значения Е+ всегда ниже значений Е( ) , причем с увеличением скорости нагружения наблюдается увеличение значений как Е+ , так и Е{1]. Такое явление имеет ясное физическое объяснение, если представить формирующуюся в композите осевую деформацию в виде суммы остаточной деформации, которая является следствием изменения структуры материала, и вязкоупругой деформации ползучести. При этом допустимо считать, что формирующиеся остаточные деформации не зависят от времени, а зависят только от уровня напряжений, формирующихся в образце, то есть при достижении определённого уровня напряжений остаточная деформация формируется мгновенно. Хорошо известно, что деформация ползучести является функцией как напряжений, так и времени, то есть чем за больший временной отрезок формируется напряжение растяжения, тем большие деформации ползучести будут сформированы в образце. Поэтому при наименьшей в экспериментах скорости нагруже-ния секущие модули Е+ и Е— принимают наименьшее установившееся значение
Е+30) ^ Е(30) ^ 9.58 ГПа из-за того, что накопленная величина деформации ползучести является наибольшей при максимальной в эксперименте продолжительности одного цикла в 500 с. При скорости 0.5 мм/мин время одного цикла уменьшается до 125 с, а установившаяся величина секущих модулей принимает значение Е+30) ^ Е(30) ^ 9.65 ГПа. При максимальной скорости нагружения в экспериментах время одного цикла составляет 30 с, при этом Е+500) ^ Е(500) ^ 9.90 ГПа.
На рис. 7 построена зависимость формирующейся деформации от времени эксперимента для трёх скоростей нагружения. На всех трёх кривых можно выделить участок неустановившейся ползучести, который лежит в пределах от 0 до 4000 с. С момента времени £ = 4000 с наблюдается установившаяся фаза деформации ползучести, которая характеризуется практически линейной зависимостью накопленных деформаций от времени. Из построенных зависимостей видно, что скорость роста деформаций является наибольшей при максимальной скорости нагружения, равной 2 мм/мин. Это явление объясняется тем, что за один и тот же отрезок времени при большей скорости нагружения осуществляется боельшее количество циклов, при этом значение среднего напряжения в цикле также выше.
С целью определения касательного модуля сдвига С12 и его зависимости от деформации сдвига 712 в виде функций 62 = 62 (7( 2 ), а также исследования его изменения в каждом цикле нагружения испытываемых тест-образцов диаграммы а+ = а+ (е+) при растяжении (рис. 1) и при а- = а- (е-) сжатии (рис. 5) были преобразованы в соответствии с предложенной в [21] методикой. Зависимости 62 = С12 (7(2) для первого и десятого циклов нагружения (как при растяжении, так и сжатии) представлены на рис. 8. На нём сплошная линия с круглыми маркерами соответствует первому циклу при растяжении, сплошная линия с треугольными маркерами - первому циклу при сжатии, пунктирная линия с круглыми маркерами - десятому циклу при растяжении и пунктирная линия с треугольными маркерами - десятому циклу при сжатии. Видно, что кривая б1 2 = 62 (7(2) лежит выше кривой 62+ = 62*+ (7^) на всём диапазоне изменения 7^ . Значение б2)_ при 712 = 0 составляет 3400 МПа, а 62*+ - 2750 МПа. Такая разница между двумя кривыми сохраняется практически постоянной на всём диапазоне изменения 712 . Кривые б120) и б120)+ практически совпадают на всём представленном в испытаниях диапазоне изменения 712, причём на участке 0 < 712 < 0.01 они ниже
*12
Рис. 8. Зависимости оЦ = О^ (712') модулей сдвига от сдвиговой деформации (круглые маркеры - при растяжении, треугольные маркеры - при сжатии)
кривых и 0^2 +, а на участке 712 > 0.01 - выше кривых О^ и О^^.
Пересекаются кривые О 12°^ , О 120)+, О 12^ и О 12^+ в окрестности 712 ~ 0.01. Диаграммы при растяжении и сжатии при первом и последующих циклах имеют вид нелинейных функций на всём диапазоне изменения 712 .
3. Остаточные деформации приспособляемости наследственного вязкоупругого композита
Известно, что в нагруженном состоянии в полимерной матрице формируются вязкоупругие деформации ползучести, являющиеся обратимыми до определенных уровней напряжений. С целью их выделения из представленных на рис. 1 зависимостей проведены специальные экспериментальные исследования описанных выше тест-образцов, выдержанных восемнадцать месяцев после изготовления, на циклическое растяжение. На основе полученных результатов для первого цикла «нагрузка - разгрузка» на рис. 9 приведена зависимость деформации от времени при кинематическом нагружении образца со скоростью 0.5 мм/мин, а на рис. 10 - соответствующая такому нагружению зависимость напряжения от времени. С целью исключения возможных изгибных деформаций и появления шума на показаниях тензодинамометра после нагружения до а+ = 45 МПа в рассматриваемом случае образец разгружался кинематическим способом до а+ = 1.5 МПа. Видно, что с момента времени £ = 120 с и далее явно фиксируется обратимая часть деформации, обусловленная вязкоупругим поведением материала.
Соответствующая приведённым выше зависимостям «машинная» диаграмма деформирования приведена на рис. 11, а на рис. 12 она изображена в других масштабах для наглядности. На этих рисунках круглый маркер маркер и точка В\ соответствуют времени £ = 120 с, а треугольный маркер и точка В1 - времени £ = 24 ч, когда процесс обратного восстановления образца за счёт вязких деформаций ползучести можно считать законченным.
Очевидно, допустимо считать, что без проявления вязких свойств связующего на зависимости ах = о"Х(еХ) через 60 с вместо точки Л\ должны были бы получить точку А1, а после разгрузки образца еще через 60 с - вместо точки В\ - точку В1. Проведя экстраполяцию кривой А1В1 на оси 0ех, находим точку еХ^, а проведя прямую через точки А', В', - точку еОСТ .
Рис. 9. Зависимость £ х = ех (£) осевой деформации от времени
Рис. 10. Зависимость ах = ах (£) напряжения от времени
Таким образом, полную деформацию еХ1, накопленную к моменту времени Ь = 120 с, можно считать состоящей из остаточной деформации еО1Т, сформированной из-за структурных изменений в композите, и деформации ползучести еПоЛ, исчезающей в образце после его разгрузки и выдержки в течение длительного времени (рис. 11, 12):
е^ = еО1) + еП1) (1)
°О1Т 1 °пол \ /
Уравнения прямых первого цикла, проходящих через точки 0, Л[ и точки Л[, В1, запишем в виде:
а+1) = Е+1) е^1), Е+1) = tg ф+, (2)
77^(1)
введя в рассмотрение секущии модуль упругости Е+ на этапе нагружения;
а (1) = -р(1 + Е (1) е(1), Е (1) = £дф(1,
(3)
(1)
введя в рассмотрение положительную характеристику р и секущий модуль упру
(1)
гости Е на этапе разгрузки.
8х хЮ-3
Рис. 11. Машинная диаграмма деформирования
Рис. 12. Схема определения деформаций ползучести
Заметим, что зависимости (2), (3) представляют собой физические соотношения, составленные в линейном приближении и связывающие напряжения с деформациями в процессе нагружения и разгрузки образца без учета вязкоупругих свойств материала.
При условии а^ = 0 (после полной разгрузки образца) из соотношения (3) следует формула
еОСТ = Р<1> , (4)
позволяющая определить остаточную деформацию еОСТ за первый цикл нагружения и разгрузки после длительной выдержки и снятия внешней нагрузки. Повторяя многократные циклы кинематического нагружения и разгрузки образца с одинаковыми скоростями, после выдержки в течение 24 ч после каждого цикла, для которых фрагменты сглаженных зависимостей а^ = аС%г) (ех) приведены на рис. 13, зафиксируем результаты экспериментов в виде параметров р+) , р-
О , Е+ , Е(О
1 еоСт 1
еПол, приведённых в табл. 4. Анализируя полученные результаты, можно видеть, что изменения параметров Е+ и Е от цикла к циклу являются незначительными, а практически полная стабилизация параметров р+), р-
г) , Е+) , Е^ 5 еоСт 5
ДеПоЛ наступает к пятому-седьмому циклам нагружения. Значительные изменения
Рис. 13. Машинная диаграмма для определения деформаций ползучести
Табл. 4
Секущие модули, остаточные напряжения и деформации, деформации ползучести на каждом цикле нагружения (= 45 МПа)
г Е+, ГПа , МПа Е-, ГПа р-, МПа .1П4 Д^ПОл • 104
1 10.103 0 10.416 -1.392 1.3 1.1
2 10.297 -1.446 10.412 -1.965 1.9 1.4
3 10.390 -2.068 10.445 -2.319 2.2 1.6
4 10.496 -2.375 10.483 -2.315 2.2 1.8
5 10.429 -2.342 10.457 -2.466 2.4 1.7
6 10.452 -2.464 10.502 -2.688 2.6 1.6
7 10.486 -2.729 10.483 -2.712 2.6 1.7
деформации ползучести епол наблюда.тся за первый и второй циклы «нагрузка -разгрузка», соответствующие стадии неустановившейся ползучести, формирование деформаций ползучести с параметром ДеПоЛ ~ 1.7 • 10-4, по-видимому, происходит на стадии установившейся ползучести материала связующего.
В итоге в пределах некоторого I-го цикла «нагрузка - разгрузка» зависимости между напряжениями а^}, а— и деформациями , формирующимися в композите без учета деформаций ползучести и сопровождающиеся структурными изменениями, в линейном приближении будут иметь вид
а« = + Е.«(е«> - 41), а-) = -Р-- + Е-(е« - е«Л) (5)
Заключение
Дальнейшие экспериментальные исследования показали, что в отличие от известных эффектов, имеющих место в многослойных композитах для слоев, армированных поперек направления растяжения (см., например, [23-25]), при многократной нагрузке-разгрузке касательными напряжениями на каждом цикле наблюдается изменение диаграмм деформирования. Экспериментальным путём установлен эффект, который заключается в том, что существует такое предельное амплитудное значение формирующихся при испытаниях напряжений, до которого происхо-
дит стабилизация параметров диаграмм деформирования, при превышении его -расширение петли гистерезиса вплоть до разрушения. Потеря прочности конструкции обусловливается или разрушением элементов в достаточно большой области, или развитием трещин. В волокнистых композитах их разрушение обусловлено, в частности, потерей устойчивости или армирующих волокон на микроуровне, или пучка волокон (монослоя) на мезоуровне, или всего элемента конструкции на макроуровне. Зачатую потеря устойчивости сопровождается расслоением структуры композита. Данный эффект, как правило, визуально наблюдается в экспериментах как при сжатии тест-образцов, так и при их трехточечном изгибе. Такие виды испытаний в настоящее время регламентированы как отечественными, так и международными стандартами. Процесс разрушения, вызванный описанными эффектами первых двух видов, в механике композитных материалов и изготовленных из них конструкций практически не учитывается при моделировании и анализе их прочности. Поэтому актуальной является проблема создания уточненных моделей деформирования и разрушения многослойных композитов с учетом возможности реализации неклассических форм потери устойчивости волокон на микроуровне (в масштабах размера поперечного сечения волокна), пучка волокон на мезоуровне (в масштабах толщины одного монослоя) при учете взаимодействия волокон и пучка волокон с окружающей их матрицей, а также сдвиговых и изгибно-сдвиговых форм потери устойчивости на макроуровне (в масштабах толщины элементов конструкций в виде пластин и оболочек и размеров поперечного сечения элементов конструкций в виде стержней), теоретического моделирования испытаний тест-образцов из волокнистых композитов на однократное и многократное растяжение, сжатие, растяжение-сжатие и трехточечный изгиб с соответствующими экспериментальными исследованиями, а также существенного уточнения стандартов испытаний волокнистых композитов с экспериментальным подтверждением результатов теоретических исследований. Все эти исследования необходимы для того, чтобы показать, что в процессе деформирования элементов конструкции из слоистых волокнистых композитов в монослоях, в которых формируется преимущественно сдвиговое напряженно-деформированное состояние, происходят структурные изменения в композите как при нагружении, так и при разгрузке конструкции, приводящие к формированию остаточных деформаций. Необходимо также выявить и теоретически описать механизм формирования таких структурных изменений.
Благодарности. Результаты исследований получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (проект № 9.1395.2017/ПЧ, № 9.5762.2017/ВУ).
Литература
1. Ashcroft I.A., Hughes D.J., Shaw S.J. Adhesive bonding of fibre reinforced polymer composite materials // Assem. Autom. - 2000. - V. 20, No 2. - P. 150-161. - doi: 10.110S/01445150010321797.
2. Bunsell A.R., Renard J. Fundamentals of Fibre Reinforced Composite Materials. - Boca Raton: CRC Press, 2005. - 225 p.
3. Hodzic A., Shanks B. Natural fibre composites : materials, processes and properties. -Philadelphia, PA : Woodhead Pub., 2014. - xvii, 3S9 p.
4. Pickering K.L., Aruan Efendy M.G., Le T.M. A review of recent developments in natural fibre composites and their mechanical performance // Composites, Part A. - 2016. -V. S3. - P. 9S-112. - doi: 10.1016/j.compositesa.2015.0S.03S.
5. Badriev I.B., Makarov M.V., Paymushin V.N. Mathematical Simulation of Nonlinear Problem of Three-point Composite Sample Bending Test // Procedia Eng. - 2016. -V. 150. - P. 1056-1062. - doi: 10.1016/j.proeng.2016.07.214.
6. Van Paepegem W., Degrieck J. A new coupled approach of residual stiffness and strength for fatigue of fibre-reinforced composites // Int. J. Fatigue. - 2002. - V. 24. - P. 747-762.
7. Van Paepegem W. Fatigue damage modelling of composite materials with the phenome-nological residual stiffness approach // Fatigue Life Predict. Compos. Compos. Struct. -2010. - V. 1. - P. 102-138.
8. Razvan A., Reifsnider K.L. Fiber fracture and strength degradation in unidirectional graphite/epoxy composite materials // Theor. Appl. Fract. Mech. - 1991. - V. 16. -P. 81-89.
9. Reifsnider K.L., Zhanjun Gao. A micromechanics model for composites under fatigue loading // Int. J. Fatigue. - 1992. - V. 13, No 2. - P. 149-156.
10. Keiichiro T., Shiuji N., Kazuro K. Fatigue behavior of CFRP cross-ply laminates under on-axis and off-axis cyclic loading // Int. J. Fatigue. - 2006. - V. 28. - P. 1254-1262.
11. Kawai M. A phenomenological model for off-axis fatigue behavior of unidirectional polymer matrix composites under different stress ratios // Composites, Part A. - 2004. -V. 35. - P. 955-963.
12. Whitworth H.A. A stiffness degradation model for composite laminates under fatigue loading // Compos, Struct. - 1998. - V. 40, No 2. - P. 95-101.
13. Xu J., Lomov S.V., Verpoest I., Daggumati S., Van Paepegem W., Degrieck J. A comparative study of twill weave reinforced composites under tension-tension fatigue loading: Experiments and meso-modelling // Compos. Struct. - 2016. - V. 135. - P. 306-315. -doi: 10.1016/j.compstruct.2015.09.005.
14. Kawai M., Yajima S., Hachinohe A., Takano Y. Off-axis fatigue behavior of unidirectional carbon fiber-reinforced composites at room and high temperatures // J. Compos. Mater. -2001. - V. 35, No 7. - P. 545-576.
15. Hahn H.T., Tsai S.W. Nonlinear elastic behavior of unidirectional composite laminae // J. Compos. Mater. - 1973. - V. 7, No 1. - P. 102-118.
16. Ditcher, A.K., Webber, J.P.H., Rhodes, F.E. Non-linear stress-strain behaviour of carbon fibre reinforced plastic laminates // J. Strain Anal. Eng. Des. - 1981. - V. 16, No 1. -P. 43-51.
17. Думанский А.М., Таирова Л.П., Горлач И., Алимов М.А. Расчётно-эксперименталь-ное исследование нелинейных свойств углепластика // Проблемы машиностроения и надёжности машин. - 2011. - № 5. - С. 91-97.
18. Herakovich C.T. Schroedter R.D., Gasser A., Guitard A. Damage evolution in [+/ — 45]s laminates with fiber rotation // Compos. Sci. Technol. - 2000. - V. 60. - P. 2781-2789.
19. Паймушин В.Н., Фирсов В.А., Холмогоров С.А. Нелинейное поведение волокнистого композита на основе углеродного волокна в условиях сдвига // Материалы XXII Междунар. симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. - М.: ООО «ТРП», 2016. - С. 143-145.
20. Van Paepegem W., De Baere I., Degrieck J. Modelling the nonlinear shear stress-strain response of glass fiber-reinforced composites. Part I: Experimental results // Compos. Sci. Technol. - 2006. - V. 66. - P. 1455-1464.
21. Паймушин В.Н., Тарлаковский Д.В., Холмогоров С.А. О неклассической форме потери устойчивости и разрушении композитных тест-образцов в условиях трёхточечного изгиба // Учён. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 3. -С. 350-375.
22. Paimushin V.N., Kholmogorov S.A., Badriev I.B. Theoretical and experimental investigations of the formation mechanisms of residual deformations of fibrous layered structure composites // MATEC Web of Conf. - 2017. - V. 129. - Art. 02042, P. 1-5. - doi: 10.1051/matecconf/201712902042.
23. Васильев В.В., Дудченко А.А., Елпатьевский А.Н. Об особенностях деформирования ортотропного стеклопластика при растяжении // Механика полимеров. - 1970. -№ 1. - С. 144-146.
24. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1977. - 144 с.
25. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.
Поступила в редакцию 12.09.17
Паймушин Виталий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прочности конструкций; главный научный сотрудник
Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева
ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111, Россия Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]
Холмогоров Сергей Андреевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник
Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева
ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111, Россия E-mail: [email protected] Каюмов Рашит Абдулхакович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
ул. Зеленая, д. 1, г. Казань, 420043, Россия E-mail: [email protected]
ISSN 2541-7746 (Print)
ISSN 2500-2198 (Online)
UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI
(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2017, vol. 159, no. 4, pp. 473-492
Experimental Investigation of Residual Strain Formation Mechanisms in Composite Laminates under Cycling Loading
V.N. Paimushina'b* , S.A. Kholmogorova** , R.A. Kayumovc***
aTupolev Kazan National Research Technical University, Kazan, 420111 Russia
bKazan Federal University, Kazan, 420008 Russia c Kazan State University of Architecture and Engineering, Kazan, 420043 Russia E-mail: *[email protected], **[email protected], ***[email protected]
Received September 12, 2017 Abstract
Cycling tension tests of the specimens from symmetric angle-ply laminate based on ELUR-P unidirectional carbon fiber and XT-118 cold-hardening epoxy have been carried out. Using the obtained experimental results, the process of residual strains formation has been investigated and qualitatively analyzed. It has been shown that there is such a level of ultimate stress in cycling loading conditions for the composite under investigation in the principal material axes, below which stabilization of the strain increment parameter at each loading cycle occurs. A method has been developed for determining the residual strains at each loading cycle by introducing the secant moduli of elasticity in the loading and unloading paths and their determination from the stress-strain curve. For several loading rates, which differ significantly from each other, the experimental dependencies of secant moduli formed in the loading and unloading paths on the cycle number have been obtained. A method has been proposed, which allows to isolate a viscoelastic component from the total strain accumulated during the cycling loading. This is specified by the epoxy creeping in the shear conditions. It has been found that the total strain for the fiber reinforced plastics under consideration can be represented as a sum of the viscoelastic part, which is recoverable over time, and the residual strain, which is probably associated with unrecoverable structural changes in the composite.
Keywords: unidirectional carbon fiber reinforced plastic, angle-ply laminate, specimen, cycling tension, unloading, secant modulus of elasticity, residual strain, creep strain, adaptability, unconvertible component of strain, viscoelastic convertible component of strain
Acknowledgments. The study was performed within the framework of the state task of the Ministry of Education of the Russian Federation (project no. 9.1395.2017/PCh, no. 9.5762.2017/VU).
Figure Captions
Fig. 1. The stress-strain diagrams a+ = a+(e+) and the dependencies of residual strain increments on the number of cycles (8-month-long ageing of specimens after manufacturing): a), d) amax = 65 MPa; b), e) amax = 55 MPa; c), f) amax = 45 MPa.
Fig. 2. The stress-strain diagram a+ = a+ (e+) for amax = 65 MPa (two weeks ageing of specimens after manufacturing).
Fig. 3. The scheme for determination of residual strain according to the diagram a+ = = a+ (e+).
Fig. 4. The secant moduli of elasticity under tension and compression with the rate of
0.5.mm/min.
Fig. 5. The stress-strain diagram under compression (amax = —80 MPa, two weeks ageing
of specimens after manufacturing).
Fig. 6. Dependencies of the secant moduli of elasticity on the cycle number for different
loading rates (amax = 45 MPa).
Fig. 7. Dependence of the residual strain on loading time.
Fig. 8. The dependencies G^ = G^ (7121) of the shear moduli on shear strain (round
markers - under tension, triangular markers - under compression).
Fig. 9. The dependence ex = ex(t) of the axial strain on time.
Fig. 10. The dependence ax = ax(t) stress on time.
Fig. 11. Loading curve.
Fig. 12. The scheme for creep determination.
Fig. 13. The scheme for creep strain determination.
References
1. Ashcroft I.A., Hughes D.J., Shaw S.J. Adhesive bonding of fibre reinforced polymer composite materials. Assem. Autom., 2000, vol. 20, no. 2, pp. 150-161. doi: 10.1108/01445150010321797.
2. Bunsell A.R., Renard J. Fundamentals of Fibre Reinforced Composite Materials. Boca Raton, CRC Press, 2005. 225 p.
3. Hodzic A., Shanks B. Natural Fibre Composites: Materials, Processes and Properties. Philadelphia, PA, Woodhead Pub., 2014. xvii, 389 p.
4. Pickering K.L., Aruan Efendy M.G., Le T.M. A review of recent developments in natural fibre composites and their mechanical performance. Composites, Part A, 2016, vol. 83, pp. 98-112. doi: 10.1016/j.compositesa.2015.08.038.
5. Badriev I.B., Makarov M.V., Paymushin V.N. Mathematical simulation of nonlinear problem of three-point composite sample bending test. Procedia Eng., 2016, vol. 150, pp. 1056-1062. doi: 10.1016/j.proeng.2016.07.214.
6. Van Paepegem W., Degrieck J. A new coupled approach of residual stiffness and strength for fatigue of fibre-reinforced composites. Int. J. Fatigue, 2002, vol. 24, pp. 747-762.
7. Van Paepegem W. Fatigue damage modelling of composite materials with the phenomeno-logical residual stiffness approach. Fatigue Life Predict. Compos. Compos. Struct., 2010, vol. 1, pp. 102-138.
8. Razvan A., Reifsnider K.L. Fiber fracture and strength degradation in unidirectional graphite/epoxy composite materials. Theor. Appl. Fract. Mech., 1991, vol. 16, pp. 81-89.
9. Reifsnider K.L., Zhanjun Gao. A micromechanics model for composites under fatigue loading. Int. J. Fatigue, 1992, vol. 13, no. 2, pp. 149-156.
10. Keiichiro T., Shiuji N., Kazuro K. Fatigue behavior of CFRP cross-ply laminates under on-axis and off-axis cyclic loading. Int. J. Fatigue, 2006, vol. 28, pp. 1254-1262.
11. Kawai M. A phenomenological model for off-axis fatigue behavior of unidirectional polymer matrix composites under different stress ratios. Composites, Part A, 2004, vol. 35, pp. 955-963.
12. Whitworth H.A. A stiffness degradation model for composite laminates under fatigue loading. Compos. Struct., 1998, vol. 40, no. 2, pp. 95-101.
13. Xu J., Lomov S.V., Verpoest I., Daggumati S., Van Paepegem W., Degrieck J. A comparative study of twill weave reinforced composites under tension-tension fatigue loading: Experiments and meso-modelling. Compos. Struct., 2016, vol. 135, pp. 306-315. doi: 10.1016/j.compstruct.2015.09.005.
14. Kawai M., Yajima S., Hachinohe A., Takano Y. Off-axis fatigue behavior of unidirectional carbon fiber-reinforced composites at room and high temperatures. J. Compos. Mater., 2001, vol. 35, no. 7, pp. 545-576.
15. Hahn H.T., Tsai S.W. Nonlinear elastic behavior of unidirectional composite laminae. J. Compos. Mater., 1973, vol. 7, no. 1, pp. 102-118.
16. Ditcher, A.K., Webber, J.P.H., Rhodes, F.E. Non-linear stress-strain behaviour of carbon fibre reinforced plastic laminates. J. Strain Anal. Eng. Des., 1981, vol. 16, no. 1, pp. 43-51.
17. Dumansky A.M., Tairova L.P., Gorlach I., Alimov M.A. A design-experiment study of nonlinear properties of coal-plastic. J. Mach. Manuf. Reliab., vol. 40, no. 5, pp. 483-488. doi: 10.3103/S1052618811050074.
18. Herakovich C.T. Schroedter R.D., Gasser A., Guitard A. Damage evolution in [+/ — 45]s laminates with fiber rotation. Compos. Sci. Technol., 2000, vol. 60, pp. 2781-2789.
19. Paimushin V.N., Firsov V.A., Kholmogorov S.A. Nonlinear behavior of the carbon fiber-reinforced plastic in shear conditions. Materialy XXII Mezhdunar. simpoziuma "Di-namicheskie i tekhnologicheskie problemy mekhaniki konstruktsii i sploshnykh sred" [Proc. XXII Int. Symp. "Dynamical and Technological Problems of Structural and Continuum Mechanics"]. Moscow, TRP, 2016, pp. 143-145. (In Russian)
20. Van Paepegem W., De Baere I., Degrieck J. Modelling the nonlinear shear stress-strain response of glass fiber-reinforced composites. Part I: Experimental results. Compos. Sci. Technol., 2006, vol. 66, pp. 1455-1464.
21. Paimushin V.N., Tarlakovskii D.V., Kholmogorov S.A. On non-classical buckling mode and failure of composite laminated specimens under the three-point bending. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 3, pp. 350-375. (In Russian)
22. Paimushin V.N., Kholmogorov S.A., Badriev I.B. Theoretical and experimental investigations of the formation mechanisms of residual deformations of fibrous layered structure composites. MATEC Web Conf., 2017, vol. 129, art. 02042, pp. 1-5. doi: 10.1051/mate-cconf/201712902042.
23. Vasil'ev V.V., Dudchenko A.A., Elpat'evskii A.N. Analysis of the tensile deformation of glass-reinforced plastics. Polym. Mech., 1970, vol. 6, no. 1, pp. 127-130. doi: 10.1007/BF00860460.
24. Obraztsov I.F., Vasil'ev V.V., Bunakov V.A. The Optimal Reinforce of Shell of Revolution from Composite Materials. Moscow, Mashinostroenie, 1977. 144 p. (In Russian)
25. Alfutov N.A., Zinov'ev P.A., Popov B.G. Design of Multilayered Plates and Shells of Composite Materials. Moscow, Mashinostroenie, 1984. 264 p. (In Russian)
Для цитирования: Паймушин В.Н., Холмогоров С.А., Каюмов Р.А. Эксперимен-/ тальные исследования механизмов формирования остаточных деформаций волокни-\ стых композитов слоистой структуры при циклическом нагружении // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2017. - Т. 159, кн. 4. - С. 473-492.
For citation: Paimushin V.N., Kholmogorov S.A., Kaymov R.A. Experimental / investigation of residual strain formation mechanisms in composite laminates under cycling \ loading. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 4, pp. 473-492. (In Russian)
