ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ РЯДОМ С ТЕОРЕТИКОМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2021. Т. 29, № 1 Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Applied Nonlinear Dynamics. 2021;29(1)

Обзорная статья УДК 517.9:534.1

DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-88-135

Экспериментальные исследования хаотической динамики рядом с Теоретиком

Б. П. Безручко, В. И. Пономаренко, Е. П. Селезневи

Саратовский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Россия E-mail: bezruchkobp@gmail.com, ponomarenkovi@gmail.com, Hevgenii_seleznev@mail.ru Поступила в редакцию 16.11.2020, принята к публикации 27.11.2020, опубликована 1.02.2021

Аннотация. Целью данной работы является составление обзора по работам, в которых проводились экспериментальные исследования закономерностей хаотической динамики, выявленные в теоретически в работах С.П. Кузнецова. Методы. В основе используемых методов исследования в первую очередь лежит построение экспериментальных схем, которые наиболее близко соответствуют математическим моделям, предложенным и теоретически и численно исследованным С.П. Кузнецовым. В качестве таковых выступают системы радиотехнических осцилляторов с различными типами связи и воздействия, автогенераторы с различными типами обратной связи. Результаты. На примере лампы обратной волны исследован переход к хаосу в системе электронный пучок - обратная электромагнитная волна. На примере связанных нелинейных радиотехнических осцилляторов с синфазным возбуждением продемонстрированы открытые С.П. Кузнецовым универсальные закономерности и законы подобия связанных систем с удвоением периода. Представлены результаты экспериментального исследования радиофизических устройств, на примере которых выполнена верификация универсальных закономерностей критического поведения двух однонаправленно связанных систем с удвоениями периода. Представлены результаты совместных с С.П. Кузнецовым экспериментальных исследований, в которых впервые в мире представлены убедительные доводы существования перехода к хаосу через рождение странного нехаотического аттрактора. Представлена экспериментальная система с запаздывающей обратной связью для проверки теоретических закономерностей, проявляющихся на пороге перехода к хаосу. Экспериментально реализована разработанная С.П. Кузнецовым схема автогенератора гиперболического хаоса, который, по всей видимости, является первым в мире из известных примеров физической системы с грубым хаосом.

Ключевые слова: универсальность, скейлинг, критическое поведение, удвоения периода, квазипериодичность, странный нехаотический аттрактор, гиперболический хаос.

Для цитирования: Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Экспериментальные исследования хаотической динамики рядом с Теоретиком//Известия вузов. ПНД. 2021. T. 29, № 1. С. 88-135. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-88-135.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).

88

©Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П., 2021

Review

DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-88-135

Experimental studies of chaotic dynamics near the Theorist

B.P. Bezruchko, V.I. Ponomarenko, E.P. SeleznevH

Saratov Brunch of Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics of RAS, Russia E-mail: bezruchkobp@gmail.com, ponomarenkovi@gmail.com, Hevgenii_seleznev@mail.ru Received 16.11.2020, accepted 27.11.2020, published 1.02.2021

Abstract. The purpose of this work is to review of works in which experimental studies of the regularities of chaotic dynamics revealed theoretically in works of S.P. Kuznetsov were carried out. Methods. The research methods used are primarily based on the construction of experimental schemes; they correspond most closely to the mathematical models proposed and theoretically and numerically investigated by S.P. Kuznetsov. These are systems of radio engineering oscillators with various types of communication and impact, autogenerators with various types of feedback. Results. The transition to chaos in the electron beam - backward electromagnetic wave system is investigated using the example of a backward wave tube. On the example of coupled nonlinear radio engineering oscillators with in-phase excitation, the discovered S.P. Kuznetsov, universal regularities and similarity laws for coupled systems with period doubling. The paper presents results of experimental study of radiophysical devices, on the example of which it was possible to verify the universal laws of the critical behavior of two unidirectionally coupled systems with period doublings. The results of joint with S.P. Kuznetsov of experimental studies, which for the first time in the world presented convincing arguments for the existence of a transition to chaos through the birth of a strange non-chaotic attractor. An experimental system with delayed feedback is presented for theoretical regularities testing that appear on the threshold of the transition to chaos. The experimentally developed by S.P. Kuznetsov's scheme of an auto-generator of hyperbolic chaos, which, apparently, is the world's first known example of a physical system with rough chaos.

Keywords: universality, scaling, critical behavior, period doubling, quasi-periodicity, strange non-chaotic attractor, hyperbolic chaos.

For citation: Bezruchko BP, Ponomarenko VI, Seleznev EP. Experimental studies of chaotic dynamics near the Theorist. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2021;29(1):88-135. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-88-135.

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).

Введение

Творческий контакт с теоретиком - залог постановки перспективной задачи и продуктивности экспериментирования. Для нашей научной группы большой удачей стало многолетнее сотрудничество с С.П. Кузнецовым в исследовании динамического хаоса. В этой статье приводится обзор экспериментальных работ, которые были выполнены совместно с Сергеем Петровичем на основании его аналитических и численных результатов1. В последнее время в области радиофизики и нелинейной динамики можно наблюдать чрезмерно большое количество теоретических результатов, полученных численно, которые не имеют ясных перспектив практического использования и в силу этого не представляют интерес для исследователей-экспериментаторов. В этом отношении исследования С.П. Кузнецова, которые тоже по большей части теоретические и численные, можно считать эталоном правильного пониманиями роли теории и численного моделирования. В данном контексте было бы уместно упомянуть выражение «нет ничего более практичного, чем хорошая теория» (приписываемое Людвигу Больцману). Это выражение яр-

1Исторически первым примером этого сотрудничества стало экспериментальное доказательства динамической природы хаоса в распределенной системе «электронный поток - обратная электромагнитная волна». Задача, в ее решении участвовал и один из соавторов, была поставлена Д.И. Трубецковым после обнаружения С.П. Кузнецовым и А.С. Пиковским хаотизации процессов в этой системе при численном моделировании [1].

ко отражает тот факт, что многие значимые результаты, полученные в натурном эксперименте, имели хорошую теоретическую базу, разработанную Сергеем Петровичем Кузнецовым.

В представленной статье рассматриваются устройства, на основе которых изучается критическое поведение двух однонаправленно связанных систем с удвоениями периода, раздел 1, и мультистабильность в динамике связанных систем с удвоениями периода, раздел 2. В разделе 3 обсуждаются натурные эксперименты, в которых реализуется переход к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний и странный нехаотический аттрактор. Экспериментальное исследование системы с запаздыванием на пороге хаоса обсуждается в разделе 4. В разделе 5 представлены несколько типов автогенераторов, демонстрирующих гиперболический хаос. И наконец, в разделе 6 представлена реализация комплексного аналитического отображения в физическом эксперименте.

Критические явления - явления вблизи точки перехода к хаосу при изменении параметров - обладают свойствами универсальности и подобия. Они определяются только качественным типом перехода, но не детальным видом уравнений системы, с которым связаны локальные во времени особенности динамики. Это связано с большими временными масштабами процессов, предшествующих хаосу, которые существенно превышают характерные временные масштабы объекта наблюдения. Наиболее хорошо изученным и доступным общественности 1980-х стал тип критического поведения при переходе порядок-хаос через последовательность бифуркаций удвоения периода. С ним ассоциируется имя М. Фейгенбаума [2,3], рассмотревшего его на примере квадратичного отображения

где хп - динамическая переменная, задающая состояние системы в момент дискретного времени п, X - управляющий параметр. Критическое значение параметра для уравнения ( ) есть Хс = = 1.40116... Основное свойство подобия состоит в том, что если обозначить Хп - бифуркационное значение параметра, соответствующее п-й бифуркации удвоения периода, то при приближении параметра Хп к критическому значению Ит[(Хга+1Хга)/(А,гаА,га_1)] = 8 = 4.669201... в системе реализуется режим, подобный исходному, но с увеличенным в два раза временным масштабом.

Естественным продолжением моделирования в этом направлении стало наше исследование двух систем с удвоением периода и однонаправленной связью (первая действует на вторую, но вторая не влияет на первую) [4]:

где хп, уп - динамические переменные, Х1, Х2 - управляющие параметры, в - параметр связи. Актуальность рассмотрения такой модели объяснялась наличием интереса к проблеме турбулентности, развивающейся вниз по потоку. При отсутствии связи (в = 0) каждое из отображений демонстрирует сценарий перехода к хаосу через последовательность удвоений периода и характеризуется критическим значением Хс = 1.40116 и показателями масштабной инвариантности 8 = 4.669201... и а = 2.5029....

В качестве экспериментальной системы, демонстрирующей переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, выступал нелинейный колебательный контур при

1. Критическое поведение двух однонаправленно связанных систем

с удвоениями периода

Хп+1 — 1

(1)

Хп+1 = 1 - Х1 хп, Уп+1 = 1 - Х2уп - в%п,

(2)

гармоническом воздействии [5-7]. Известно, что нелинейный осциллятор при внешнем гармоническом воздействии демонстрирует хаотическое поведение. Одной из первых работ на данную тему была статья Холмса в 1979 году [8]. Так как уравнение вынужденных колебаний осциллятора является универсальной моделью и описывает колебательные процессы в системах различной физической природы, то после работы Холмса появился ряд статей, посвященных как численному, так и экспериментальному исследованию хаоса в нелинейном неавтономном осцилляторе. Первые экспериментальные исследования хаоса в нелинейном неавтономном радиотехническом осцилляторе были проведены Линсеем [5]. В этом эксперименте в качестве нелинейного элемента использовался полупроводниковый диод с р-п переходом. Аналогичные результаты, но с более подробным анализом спектров колебаний вблизи границы перехода порядок-хаос к хаосу и вычислением универсальных констант Фейгенбаума провели Теста, Перез и Джефрис [6]. Так как процесс переноса заряда в полупроводниковом диоде носит сложный характер, то встал вопрос о том, какие свойства диода приводят к хаотизации вынужденных колебаний в такой цепи. На эту тему в 1982 году в журнале Physical Review прошла целая дискуссия [9-11]. Роллинс и Хант предложили механизм хаотизации вынужденных колебаний, связанный с конечным временем рассасывания заряда в базе диода и зависимостью времени восстановления диода от приложенного напряжения, что представляет собой аналог запаздывания во времени. Теста, Перез и Джефрис утверждали, что механизм хаотизации вынужденных колебаний связан с нелинейной емкостью диода. Позже был проведен эксперимент в диапазоне сверхвысоких частот, в котором коаксиальный резонатор с варакторным диодом возбуждался в диапазоне от 0.1 до 2 ГГц гармоническим сигналом, и в нем также наблюдались сложные режимы колебаний. Окончательный ответ на вопрос о механизме возбуждения сложных колебаний в неавтономном колебательном контуре с полупроводниковым диодом поставили экспериментальные и численные исследования моделей [13-19].

Томас Куртц и Вернер Лаутерборн численно исследовали модель в виде уравнения Тоды [13], и получили хорошее соответствие структуры пространства параметров внешнего воздействия математической модели и экспериментальной системы. Следует отметить, что уравнение Тоды выводится из уравнения контура с диодом, при условии, что диод заменяется конденсатором, емкость которого экспоненциально зависит от приложенного напряжения. Мартин Хаслер предложил модель возбуждаемого контура с диодом, в которой диод заменен схемой на переключаемых конденсаторах [14]. Данная модель была подробно исследована экспериментально в [15, 16] и было получено хорошее соответствие результатам с динамикой контура с диодом. В [17] была предложена кусочно-нелинейная модель, а в [18, 19] - мультимодальные модельные отображения, в основе которых лежало представление о диоде в первую очередь как о нелинейной емкости.

На рис. 1 показана схема исследуемой экспериментальной системы. Она включает два синфазно возбуждаемых от общего источника переменного напряжения колебательных контура L1D1 и L2D2, однонаправленно связанных с помощью усилителя с выходным сигналом В пространстве параметров такого осциллятора выбирались области, наиболее соответствующие фейгенбаумовским закономерностям.

В случае связанной системы (в = 0) формируется новый тип критического поведения, характеризующийся новыми значениями показателей масштабной инвариантности.

На рис. 2, a представлена полученная численно структура пространства управляющих параметров (A,i, Х2) при в = 0.25. Сплошные линии соответствуют бифуркациям удвоения периода, штриховкой отмечен переход к хаосу, числами внутри различных областей указан период колебаний. Бифуркационные значения X2 зависят от Xi (кривые на рис. 2, a), штриховкой отмечены

Рис. 1. Схема эксперимента при однонаправленной связи между контурами системы (1) Fig. 1. Diagram of an experiment with unidirectional coupling between system circuits (1)

линии возникновения хаоса. Представленная на рис. 2, а картина режимов в пространстве параметров системы обладает масштабно-инвариантной структурой: вся изображенная картина областей воспроизводится в уменьшенном виде внутри прямоугольника, показанного штриховыми линиями. Соответствующее изменение масштаба по оси А.1 пропорционально фейгенбаумовской константе 81 = 4.669201, а по оси определяется новой константой, которая найдена нами численно, 82 = 2.39.

Центр подобия картины областей на плоскости (А4 Д2) называется бикритической точкой. В этой точке система имеет бесконечное счетное множество (неустойчивых) циклов периода 2м. Ближайшие к нулю элементы циклов в первой подсистеме изменяются пропорционально а^, а1 = 2.5029, а во второй подсистеме - пропорционально а^, а2 = 1.52.

На рис. 2, Ь представлены полученная экспериментально структура пространства управляющих параметров (^1, и2). Сравнение рис. 2, а и 2, Ь указывает на их хорошее сходство.

Рис. 2. Плоскость параметров для отображения (2) (а) и экспериментальной системы в виде связанных нелинейных колебательных контуров (b). В - бикритическая точка

Fig. 2. Parameter planes for map (2) (a) and for experimental system in the form of coupled nonlinear oscillatory circuits (b). B is bicritical point

Рис. 3. Спектры колебаний в двух подсистемах в бикритической точке: вверху - рассчитанные для системы ( ), внизу - полученные экспериментально

Fig. 3. Fourier spectra in two subsystems at the bicritical point: at the top - calculated for system ( ), at the bottom - obtained experimentally

На рис. 3 представлены спектры колебаний в двух подсистемах в бикритической точке: рассчитанные и полученные экспериментально. Соотношение между амплитудами бифуркацио-ных субгармоник в случае универсальности Фейгенбаума составляет примерно 13.6 дБ, что подтверждают спектры мощности, представленные на рис. 3 слева, полученные как численно, так и экспериментально. Соотношение между амплитудами бифуркационных субгармоник в спектрах колебаний подсистем, находящихся под воздействием первых, иное и составляет около 6 дБ, что соответствует новому типу критического поведения (рис. 3, справа).

Результаты данной работы наглядно показывают, что универсальность закономерностей критического поведения выражается не только в динамике индивидуальной системы, демонстрирующей переход к хаосу через удвоения периода, но и в явлениях, возникающих при взаимодействии таких систем.

2. Мультистабильность в динамике связанных систем с удвоениями периода

Работы С.П. Кузнецова, посвященные исследованию динамики связанных систем с удвоением периода при различных типах связи [20-23], получили дальнейшее развитие как в совместных трудах, так и трудах его коллег [24-31]. Одним из итогов этой работы стала классификация всего многообразия мультистабильных состояний в таких системах.

Численно, на примере системы связанных отображений вида

хп+1 = f (хп) + k[f (уп) - f (хп)\,

Уп+i = f (Уп) + k[f (хп) - f (yn)},

и экспериментально, на примере системы симметрично связанных синфазно возбуждаемых нелинейных осцилляторов (рис. < ), было показано, что в пределе нулевой связи (к = 0) каждый режим периода N может быть реализован N способами, отличающимися сдвигом колебаний подсистем во времени на величину т = 0,1, 2, ...,Ы — 1. Каждый режим представляет собой отдельный вид колебаний, а все вместе они формируют базу для описания иерархии колебательных режимов при введении связи, когда взаимодействие подсистем приводит к различным вариантам их взаимной синхронизации.

Для обозначения периодических видов используется запись с нижним индексом, Ит. В хаотических режимах, обозначаемых верхним индексом, Nт, несмотря на отсутствие повторяемости в движениях, можно сохранить принцип классификации, используемый для периодических режимов, если понимать под N число лент (связность) аттрактора, а под т, — временной сдвиг между колебаниями подсистем на определенной ленте аттрактора, например, содержащей максимальные значения хп и уп. Режимы с т = 0, для которых хп — уп = 0, а фазовый портрет располагается на диагонали плоскости (хп, Уп), являются синфазными. Остальные колебательные режимы с т, = 0 — несинфазные. Заметим, что хаотические режимы могут быть несинфазными (хп = уп) даже при т = 0, например, в области слабой связи подсистем. Чтобы отличать такие режимы от синфазных, будем использовать для их обозначения индекс т = N. Возможность реализации того или иного вида колебаний определяется величинами параметров и выбором начальных условий.

На рис. 5 на плоскости (хп, уп) представлены фазовые портреты сосуществующих аттракторов, наблюдаемых при увеличении управляющего параметра. На рис. 6 представлена схема эволюции сосуществующих аттракторов. Эволюция каждого из видов колебаний зависит от его свойств симметрии. Симметричные несинфазные циклы демонстрируют бифуркацию Андронова-Хопфа, а несимметричные - последовательность удвоений периода колебаний. Механизм рождения новых видов колебаний, как показано в [24-26], связан с бифуркациями неустойчивых видов колебаний.

Полученные результаты являются общими для широкого класса систем вида (3) при условии идентичности унимодальных функций / (хп) и / (уп). В случае мультимодальности / (хп) и /(Уп) разнообразие колебательных состояний системы (3) становится еще большим. Колебания

Рис. 4. Схема связанных нелинейных колебательных контуров Fig. 4. Scheme of coupled nonlinear oscillatory circuits

Рис. 5. Аттракторы системы (3) на плоскости (жп, уп) при к = 0.006 Fig. 5. Attractors of the system (3) on the plane (жп, yn) at к = 0.006

Рис. 6. Схема эволюции колебательных состояний связанной системы с изменением управляющего параметра при малом фиксированном коэффициенте связи

Fig. 6. Diagram of the evolution of oscillatory states of a coupled system with a change in the control parameter at a small fixed coupling coefficient

подсистем могут быть различны даже при нулевой связи, например, если изолированные элементы обладают бистабильностью и их начальные условия выбраны в бассейнах притяжения различных аттракторов. Хорошее качественное совпадение результатов численного моделирования и физического эксперимента говорит об общности представленной картины режимов связанной системы.

3. Переход к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний и странный нехаотический аттрактор

С.П. Кузнецов внес значительный вклад в изучение перехода от регулярного поведения к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний. Начиная с основополагающих работ Ландау [32] и Рюэля и Такенса [33,34], многие авторы обращались к теоретическому и экспериментальному исследованию различных аспектов таких переходов. Как оказалось, некоторые тонкие детали квазипериодической динамики трудно выявить и изучать в автономных системах, но их можно успешно анализировать, рассматривая системы с внешним квазипериодическим

воздействием. Действительно, в автономных системах характерные частоты определяются внутренней динамикой, и управлять ими независимо от других параметров трудно, если вообще возможно. Напротив, в неавтономных системах частоты, представленные в спектре внешнего воздействия, можно рассматривать просто как управляющие параметры и задавать произвольно. В эксперименте их легко регулировать, обеспечивая любое желаемое соотношение частот.

В системах с квазипериодическим внешним воздействием на пути от регулярной динамики к хаосу встречается своего рода промежуточный тип поведения, который отвечает странному нехаотическому аттрактору (СНА). Это обстоятельство делает всю картину перехода весьма нетривиальной. Странные нехаотические аттракторы впервые были описаны в работе Гребоджи с соавторами в 1984 году [35]. С тех пор они исследовались как численно, так и в эксперименте [36-53].

Одна из наиболее сложных проблем в исследовании странных нехаотических аттракторов заключается в их идентификации, особенно это касается физического эксперимента. В работах С.П. Кузнецова с соавторами [54-56] для идентификации странных нехаотических аттракторов был реализован так называемый метод рациональных аппроксимаций.

В качестве математической модели использовалось отображение вида

Хп+1 = X - Х2п + е sin(2ПУп), Уп+1 = Уп + ю (modi).

(4)

На рис. 7 на плоскости параметров, где по одной оси координат отложен управляющий параметр логистического отображения, а по другой - амплитуда внешнего воздействия, представлены карты динамических режимов системы (4). На плоскости параметров (X, е) присутствует линия бифуркации удвоения тора. Если двигаться вдоль этой линии в сторону увеличения амплитуды воздействия, то она оканчивается в некоторой критической точке. На эту точку в дальнейшем будем ссылаться как на точку TDT (torus doubling terminal).

Можно утверждать, что критическое поведение, реализующееся в точке TDT, имеет фундаментальное значение для понимания динамики системы в целом. Действительно, в этой точке сходятся области всех характерных для системы качественно различных режимов: квазипериодического поведения, странного нехаотического аттрактора и хаоса. Для описания динамики в точке TDT был развит подход, основанный на методе ренормгруппы (РГ). С его помощью удалось вскрыть свойства скейлинга аттрактора, который реализуется в критической точке, а также найти закономерности подобия, присущие карте динамических режимов на плоскости параметров вблизи этой точки.

Рис. 7. Карта динамических режимов системы (4) на плоскости управляющий параметр - амплитуда внешней силы. Области различных режимов обозначены тонами серого цвета. От белого к черному: расходимость D, тор T1, удвоенный тор T2, странный нехаотический аттрактор SNA, хаос C. Критическая точка TDT (X = 1.1, е = 0.36) отмечена крестиком

Fig. 7. Chart of dynamic regimes of the system (4) on the plane, the control parameter is the amplitude of the external force. Areas of different regimes are indicated by shades of gray. From white to black: divergence D, torus T1, double torus T2, strange non-chaotic attractor SNA, chaos C. The TDT critical point (X =1.1, e = 0.36) is marked with a cross

Рис. 8. а - эволюция портрета аттрактора на итерационной диаграмме при движении по параметрам вдоль линии бифуркации удвоения тора: (1) Аг = 0.647, Ая = 0.06, (2) Ai = 0.705, Ая = 0.09, (3) - точка TDT Ai = 0.755, А2 = 0.108; b - спектр колебаний в точке TDT (физический эксперимент)

Fig. 8. a - evolution of the portrait of the attractor on the iteration diagram when moving in parameters along the bifurcation line of the doubling of the torus: (1) Ai = 0.647, Ая = 0.06, (2) Ai = 0.705, Ая = 0.09, (3) - point TDT Ai = 0.755, A2 = 0.108; b - Fourier spectrum at point TDT (physical experiment)

На рис. 8 представлена эволюция портрета аттрактора на итерационной диаграмме при движении по параметрам вдоль линии бифуркации удвоения тора и спектр колебаний в точке ТБТ.

Экспериментально исследовался нелинейный колебательный контур, возбуждаемый бигар-моническим сигналом, представляющим собой сумму двух гармонических сигналов: амплитуды А\ и частоты Ю1 = 2лД и амплитуды А2 и частоты Ю2 = 2л/2, причём Ю2/Ю1 = (\/5 — 1)/2 (рис. 9, а).

На рис. 9, Ь показана блок-схема экспериментальной установки. Она включает в себя колебательный контур, образованный катушкой индуктивности Ь, полупроводниковым диодом Б и резистором К, три генератора гармонических колебаний, делители частоты с управляемыми коэффициентами деления, сумматор с низким выходным сопротивлением, частотомер, генератор импульсов, осциллограф, анализатор спектра, аналого-цифровой преобразователь (АЦП), персональный компьютер.

Формирование сигналов внешнего воздействия и контроль соотношения частот осуществлялись следующим образом. Сигнал опорного генератора (использовался высокостабильный генератор с кварцевой стабилизацией частоты) поступает на входы делителей частоты Б1 и Б2 с коэффициентами деления п и т, соответственно. Выходные сигналы делителей частоты подаются на входы внешней синхронизации стандартных генераторов О1 и О2. С выхода делителя Б1 сигнал поступает на вход синхронизации генератора О1, в итоге формируется высокостабильный по частоте гармонический сигнал амплитуды А1 и частоты Ш1. Подобным образом при включенном ключе К осуществляется синхронизация генератора О2. В этом случае формируется высокостабильный по частоте гармонический сигнал амплитуды ^2 и частоты Ю2, при этом отношение Ю1/Ю2 = т/п. При разомкнутом ключе К имеет место иррациональное соотношение частот, равное «золотому среднему». Соотношения частот генераторов измерялись с точностью до 4-го знака. Гармонические сигналы генераторов О1 и О2 поступают на вход аналогового сумматора с низким выходным сопротивлением, а с его выхода - на исследуемую цепь.

Определение типа динамического режима, реализующегося в системе при различных значениях параметров, осуществлялось на основе наблюдения спектра мощности колебаний, фа-

зовых портретов, аттракторов в сечении Пуанкаре. Однообходному тору Т1 отвечала гладкая замкнутая кривая, удвоенному тору Т2 - две замкнутых кривых и т.д. Потеря гладкости наблюдаемой кривой или ее размытие свидетельствовало о переходе к режиму СНА или к хаосу. Для диагностики странного нехаотического аттрактора использовался метод рациональных аппроксимаций. Для этого задавалось рациональное соотношение частот из чисел последовательности Фибоначчи, в эксперименте использовались отношения Ш1/ш2=13/21 и ^/^2=34/55. Бифуркации удвоения периода при рациональном соотношении частот соответствовал переход к СНА в иррациональном пределе. С помощью аналого-цифрового преобразователя генерируемый системой сигнал, пропорциональный току в контуре, вводился в компьютер.

Рис. 9. Схема экспериментальной установки для исследования перехода к хаосу через разрушение квазипериодичности

Fig. 9. Scheme of an experimental setup for studying the transition to chaos through the destruction of quasi-periodicity

Рис. 10. Карта динамических режимов на плоскости параметров экспериментальной системы

Fig. 10. Chart of dynamic regimes on the parameter plane of the experimental system

На рис. 10 приведена карта динамических режимов на плоскости параметров (Л 1,^2), полученная в эксперименте. По горизонтали и вертикали отложены амплитуды двух гармонических составляющих внешнего квазипериодического воздействия. Сплошными кривыми отмечены линии удвоения тора, различными тонами серого цвета отмечены области существования гладких торов Т1, Т2, Т4, возникших на базе циклов с периодом Т, 2Т, 4Т, где Т = 2л/ю1, странного нехаотического аттрактора и хаоса. В эксперименте легко находится линия удвоения тора, которая заканчивается в терминальной точке ТБТ. На рис. 11 представлены полученные в эксперименте примеры итерационных диаграмм для аттракторов, отвечающих: а - тору, Ь - удвоенному тору, с - СНА, й - хаосу. По осям координат отложены значения динамической переменной (тока в контуре) на двух последовательных временных шагах, где величина шага отвечает одному периоду «основного» воздействия Т. В целом, наблюдается хорошее соответствие результатов экспериментальных и численных исследований. В представленных результатах впервые в физическом эксперименте приведены убедительные доводы существования странного нехаотического аттрактора.

При анализе структуры плоскости управляющих параметров возник вопрос о взаимном расположении на ней бифуркационных линий. В физическом эксперименте воздействие с отрицательной амплитудой соответствует введению начальной фазы, равной п. На рис. 12 на плоскости параметров внешнего воздействия (^1, А2) приведены области существования различных режимов колебаний в случае положительных и отрицательных амплитуд воздействия. Светлые и светло-серые области, обозначенные Т1, Т2, Т4, соответствуют движению на гладких торах. На осях точками отмечены бифуркационные значения параметров А1 и А2. Через эти точки проходят сплошные линии, на которых имеют место бифуркации удвоения тора.

Как показывают результаты исследований, линии бифуркации удвоения торов являются конечными и опираются на отдельную пару терминальных точек ТБТ. В итоге на плоскости параметров формируется бифуркационная структура, представляющая последо-

Рис. 11. Полученные в эксперименте примеры итерационных диаграмм для аттракторов, отвечающих: а - тору, b - удвоенному тору, c - СНА, d - хаосу

Fig. 11. Experimentally obtained examples of iteration diagrams for attractors corresponding to: a - torus, b - doubled torus, c - SNA, d - chaos

Рис. 12. Карта динамических режимов экспериментальной системы на плоскости параметров (А1, А2) в случае положительных и отрицательных амплитуд воздействия

Fig. 12. Chart of dynamic regimes on the parameter plane (A1, A2) in the case of positive and negative amplitudes

вательно соединенные посредством терминальных точек линии удвоения тора и линии рождения странного нехаотического аттрактора. При этом граница перехода к хаосу замыкается на терминальные точки.

4. Системы с запаздыванием на пороге хаоса

Переход от маломерных динамических систем к многомерным является логическим продолжением исследований сложной нелинейной динамики. Одно из направлений исследований в этой области связано с изучением систем с запаздыванием. Системы с запаздывающей обратной связью широко наследуются в радиофизике и электронике, нелинейной оптике и некоторых других областях [57-65].

Одна из актуальных проблем динамики этого класса систем состоит в выяснении особенностей поведения у порога возникновения хаоса. Заметим, что системы с запаздыванием следует рассматривать как распределенные системы, роль пространственных структур играют конфигурации сигнала, заданные на интервале запаздывания. Несмотря на наличие ряда работ экспериментального и численного характера, освещающих некоторые аспекты перехода к хаосу в системах с запаздыванием, вопрос продолжает оставаться во многом открытым. Интересным направлением исследований представляется анализ, ориентированный на концепции универсальности и подобия (скейлинга). Для экспериментальной проверки выводов, вытекающих из результатов работы [64], была разработана специальная физическая модель системы с цифровой линией задержки, позволяющей регулировать время запаздывания в широких пределах [65]. Результаты эксперимента сопоставляются с результатами численного решения дифференциальных уравнений, описывающих систему, и с выводами, следующими из найденных в [64] соотношений универсальности и подобия.

Обобщенная схема генератора с запаздывающей обратной связью может быть представлена в виде линии задержки, усилителя и инерционного элемента, замкнутых в кольцо, причем в реальной системе все три элемента схемы могут быть выполнены при помощи одного устройства. К таким устройствам можно отнести усилители с обратной связью, обладающие одновременно запаздывающими, инерционными и усилительными свойствами. Обычно система может быть названа генератором с запаздывающей обратной связью в случае, если время задержки намного превышает время инерционности в системе. В достаточно общем случае системы с запаздывающей обратной связью могут содержать не одну, а несколько задержек, нелинейных элементов, фильтров. В простейшем случае инерционный элемент описывается уравнением первого порядка, время задержки только одно, и уравнение системы имеет вид

£0x(t) = -x(t) + f (x(t - To)).

(5)

Это уравнение описывает экспериментальный генератор с запаздыванием, здесь г0 - постоянная времени фильтра первого порядка, х соответствует напряжению на выходе фильтра, а экспериментальная передаточная характеристика нелинейного элемента хорошо аппроксимируется функцией с одним квадратичным максимумом вида f (ж) = Vom — ln(exp(2x — 11.18) + + exp(—4.5х — 0.36) + 0.00115). Здесь напряжение смещения VCM играет роль управляющего параметра.

На рис. 13 представлена блок-схема генератора с запаздывающей обратной связью, в котором используется цифровая линия задержки. Использование цифровой линии задержки позволяет сделать почти идеальный элемент, не обладающий дисперсией, нелинейностью и отражениями от краев.

На рис. 14 представлено разбиение плоскости параметров (VCM , р) на области существования характерных колебательных состояний. Параметр р определяется отношением параметров запаздывания и временного масштаба р = т0/е0. Сплошные линии соответствуют эксперименту, значками отмечены данные работы [64], в которой бифуркационные точки находятся с использованием уни-

Рис. 13. Блок-схема генератора с задержкой, штриховой линией обведены цифровые узлы

Fig. 13. Block diagram of a delayed generator, digital nodes are circled in dashed lines

Рис. 14. Разбиение плоскости параметров (Уем, р) на характерные режимы для генератора с запаздывающей обратной связью

Fig. 14. Structure of the parameter plane (Уем, р) for a generator with delayed feedback

версальной функции, определяющей поправки для систем с запаздыванием (обсуждается далее). Зададим для определенности значение параметра р = 20 и рассмотрим динамику системы при увеличении параметра нелинейности. При малых значениях Vom система находится в устойчивом состоянии. При достижении Vom некоторого значения происходит бифуркация рождения цикла с периодом 2Т. При дальнейшем увеличении Vom колебания приобретают форму, близкую к прямоугольной.

Длительность перепадов обусловлена временем инерции во, а длительность пологих участков - временем задержки т0. При дальнейшем увеличении параметра Vom наблюдается последовательность удвоений периода и переход к хаосу (см. рис. 14). В хаосе происходят бифуркации слияния лент аттрактора и переход к развитому одноленточному хаосу. В генераторе вначале возникает однородный хаос, на осциллограмме это проявляется как случайные изменения величины значения пологой части. При этом пологие части в различные моменты времени не пересекаются между собой. С увеличением Vom происходит разупорядочивание состояний в пределах одной пологой части, при этом временные реализации, наложенные одна на другую, пересекаются между собой.

Дальнейшее увеличение параметра Vom приводит к появлению различных структур, имеющих несколько пологих частей в течение времени задержки. Жесткое появление таких режимов сопровождается соответствующими изменениями в спектре. На плоскости параметров (см. рис. 14) верхние ветви штриховых линий соответствуют жесткому появлению режимов с 3, 5 и более перепадами на интервале запаздывания, а нижние ветви - их исчезновению при обратном движении по параметру. Таким образом, область выше нижней штриховой линии является областью мультистабильности, в которой могут существовать либо режим с одним пологим участком на интервале запаздывания, либо режимы с большим числом пологих участков на интервале запаздывания. При достаточно больших р линии появления и исчезновения режимов с различным числом перепадов на интервале запаздывания выходят на горизонтальные асимптоты.

Каждый из режимов с несколькими перепадами на интервале запаздывания на пути к хаосу претерпевает последовательность бифуркаций удвоения периода, в хаосе - слияния лент. При дальнейшем увеличении параметра Vom в спектре хаотического режима на базе каждого из этих циклов сначала сохраняются следы регулярного режима, после чего формируется развитый хаотический сигнал, спектр которого не зависит от пути, по которому проводилось движение к точке с заданными параметрами. Рассмотрим более подробно область мультистабильности, в которой существуют режимы с различным числом пологих участков (или перепадов) на интервале запаздывания. Из рис. 14 видно, что, пока р < 30, в генераторе наблюдается переход только к режиму с 3 пологими участками на интервале запаздывания. При малых р, когда перепады занимают значительную часть интервала запаздывания, такой режим симметричен, то есть имеет на интервале запаздывания три перепада и три пологих участка, примерно одинаковых по длине. С увеличением р симметрия может нарушаться, причем перепады, обладая нейтральной устойчивостью по отношению к временному сдвигу, могут с течением времени смещаться друг относительно друга.

В системе могут также существовать режимы с большим количеством перепадов (пологих участков) на интервале запаздывания. Число пологих участков всегда нечётно (7, 9, 11, и т.д.). Они также могут быть симметричными (при меньших значениях параметра р) и несимметричными (при больших р). Переход к хаосу для каждого из этих режимов происходит через последовательность бифуркаций удвоения периода.

В качестве примера на рис. 14 представлены отрезки временных рядов, соответствующие динамике генератора с запаздыванием при различных значениях параметрах р.

Сопоставление результатов экспериментов и численного исследования показывает, что поправки к бифуркационным значениям для систем с запаздыванием, найденные с использованием универсальных функций [63,64], находятся в хорошем соответствии с результатами физического эксперимента. При очень больших р бифуркационные значения выходят на горизонтальные асимптоты, отвечающие точкам бифуркации отображения Уп+1 = /При уменьшении р бифуркационные линии загибаются вверх, причем до значений р ^ 10 получается хорошее соответствие с данными, основанными на соотношениях универсальности и подобия.

5. Генератор гиперболического хаоса

Значительный вклад С.П. Кузнецов внес в фундамент нелинейной динамики - теорию хаотических аттракторов. Математическая теория динамического хаоса в нелинейных системах, базирующаяся на строгом аксиоматическом фундаменте, использует концепцию гиперболичности [66-72]. Это подразумевает, что все существенные траектории в фазовом пространстве динамической системы имеют седловой тип, с хорошо определенными подпространствами устойчивых и неустойчивых направлений в окрестности траектории. Гиперболические системы дис-сипативного типа, в которых динамика сопровождается сжатием фазового объема, демонстрируют странные аттракторы с сильными хаотическими свойствами. В учебниках и монографиях по нелинейной динамике примеры гиперболических аттракторов представлены искусственными математическими конструкциями, такими как аттрактор Плыкина и соленоид Смейла-Вильямса [66-73].

Аттрактор Смейла-Вильямса имеет место в модельной диссипативной динамической системе, задаваемой отображением трёхмерного фазового пространства в себя (рис. 15). Рассмотрим трехмерную область в форме тора (а). Представляя его для наглядности как резиновый бублик, растянем его в длину, сложим вдвое и вложим в исходный тор (Ь). Чтобы он там поместился, приходится предположить, что в ходе процедуры площадь поперечного сечения сокращается более чем в два раза, то есть общий объем бублика уменьшается (диссипативность). На рисунке (с) показано, как выглядит образ исходного тора после двух итераций отображения, а на рисунке ((Г) - получающийся в пределе большого числа шагов соленоид Смейла-Вильямса. Поперечное сечение объекта в процессе построения имеет вид одного, затем двух, четырех, восьми и так далее кружков. Очередной шаг построения состоит в том, что внутри каждого кружка выделяются две области в форме кружков меньшего размера, которые оставляются для следующего шага, а все остальное множество исключается. Таким образом, в пределе большого числа шагов формируется поперечная фрактальная структура аттрактора, аналогичная канторову множеству.

Гиперболические странные аттракторы, представителем которых служит соленоид Смейла-Вильямса, являются, как доказано, грубыми (структурно устойчивыми) [66-70]. Грубость озна-

Рис. 15. Иллюстрация формирования аттрактора Смейла-Вильямса Fig. 15. Illustration of the formation of the Smale-Williams attractor

чает нечувствительность характера движений и структуры взаимного расположения траекторий в фазовом пространстве по отношению к вариации уравнений, задающих динамику системы. В частности, канторова структура странного гиперболического аттрактора сохраняется без бифуркаций, по крайней мере, пока вариации не слишком велики. Показатель Ляпунова, ответственный за характерную для хаоса чувствительность динамики по отношению к возмущениям начальных условий, зависит от параметров гладким образом (без провалов в отрицательную область, присутствующих обычно в случае негиперболического аттрактора).

Представляется, однако, что математическая теория гиперболического хаоса никогда не была применена убедительно к какому-либо физическому объекту, несмотря на то, что ее концепции сплошь и рядом привлекаются для интерпретации хаотического поведения реалистических нелинейных систем.

С другой стороны, широко исследуемые физически мотивированные нелинейные системы со сложной динамикой, например, хаотические автогенераторы, нелинейные осцилляторы с периодическим внешним воздействием, модель Ресслера и др. не относятся к классу систем с гиперболическими аттракторами [72-75]. Как правило, наблюдаемый в них хаос связан с так называемым квазиаттрактором, который наряду с хаотическими траекториями включает также устойчивые орбиты большого периода. (Последние обычно не различимы при численном решении уравнений на компьютере из-за узости бассейнов притяжения.) Строгое математическое описание квазиаттракторов остается нерешенной проблемой, хотя в физических системах негиперболичность эффективно маскируется в силу присутствия шума. В модели Лоренца в определенной области параметров хаотический аттрактор, как доказано, обладает основными свойствами гиперболических аттракторов (с оговорками, касающимися нарушения в некоторых деталях аксиоматических положений гиперболической теории), и динамика характеризуется как квазигиперболическая [76,77].

Известно немного теоретических работ, в которых обсуждаются примеры гиперболического хаоса в системах, описываемых дифференциальными уравнениями. В работе [78] рассмотрена механическая система, названная «тройным соединением», которая в отсутствие трения допускает описание в терминах орбит на поверхности отрицательной кривизны. В диссипативном случае при добавлении обратной связи это должно приводить, как ожидается, к возникновению гиперболического хаотического аттрактора. В работе [79] сконструирован искусственный пример потоковой системы с трехмерным фазовым пространством, имеющей в сечении Пуанкаре аттрактор Плыкина. Этот пример, однако, выглядит слишком сложным, чтобы можно было говорить о возможности его реализации в физической системе. Наконец, в работе [80] приводится аргументация в пользу существования аттрактора Плыкина в сечении Пуанкаре трехмерной потоковой системы, мотивированной проблемами нейродинамики.

В своих работах С.П. Кузнецов предложил сравнительно простые математические модели с гиперболическими аттракторами, допускающими экспериментальную реализацию. На основе этих работ в статьях [81-83] были сконструированы, по всей видимости, первые из известных экспериментальные системы, демонстрирующие гиперболический хаос.

5.1. Система с гиперболическим аттрактором на основе неавтономных осцилляторов ван дер Поля. Первая радиофизическая система с гиперболическим хаосом была предложена и исследована в лабораторном эксперименте в работе [81].

На рис. 16 представлена схема двух автогенераторов с собственными частотами юо и 2юо, соответственно. Каждый из двух осцилляторов содержит колебательный контур, образованный катушкой индуктивности Ь\г2 и емкостью, соответственно, С*1,2, так что юо = 1/\fL\Ci, 2юо = 1/л/Ъ2С2. Отрицательное сопротивление (—#1,2) вносится специальным элементом

Рис. 16. Схема генератора гиперболического хаоса на основе двух генераторов ван дер Поля с периодически меняющимся параметром возбуждения

Fig. 16. Circuit of a hyperbolic chaos generator based on two van der Pol generators with a periodically varying excitation parameter

на основе операционного усилителя, причем величину отрицательного сопротивления можно считать практически постоянной в рабочем интервале напряжений при колебаниях в контурах. Нелинейная проводимость, обеспечивающая увеличение потерь энергии с ростом амплитуды колебаний, вводится элементом, составленным из полупроводниковых диодов в виде двух параллельно соединенных ветвей с противоположным направлением пропускания тока. Полевой транзистор вносит в колебательный контур практически линейную положительную проводимость, величина которой регулируется напряжением, подаваемым на затвор транзистора. Это напряжение медленно изменяется во времени, совершая колебания периода 2пЫ/шо, где N - целое число, причем на одном полупериоде этого процесса первый осциллятор находится в режиме генерации колебаний, а второй - под порогом генерации. На следующем полупериоде они меняются ролями. Первый генератор действует на второй посредством нелинейного квадратичного элемента A1. Производимая при этом вторая гармоника сигнала служит затравкой для возникающих колебаний второго осциллятора в диапазоне частот вблизи 2шо, когда он выходит за порог генерации. В свою очередь, второй генератор действует на первый через нелинейный элемент A2, осуществляющий смешение поступающего сигнала и вспомогательного сигнала на частоте шо. При этом появляется составляющая на разностной частоте, которая попадает в резонансный диапазон для первого осциллятора и служит затравкой, когда он начинает генерировать. Таким образом, оба осциллятора, составляющих схему, по очереди передают возбуждение один другому, что можно охарактеризовать как эстафетный механизм.

Поясним, почему схема функционирует как генератор хаоса. Предположим, что на стадии генерации первого осциллятора его колебания имеют некоторую фазу ф : U\ œ cos(wo£ + ф). Сигнал U2 на выходе нелинейного элемента A1 содержит вторую гармонику: cos(2wo£ + 2ф), и его начальная фаза есть 2ф. Когда полупериод заканчивается, и начинает генерировать второй осциллятор, возникающие колебания переменной U2 получают ту же самую начальную фазу 2ф. Благодаря смешению этих колебаний со вспомогательным сигналом частоты шо на нелинейном элементе A2, удвоенная фаза передается в исходный частотный диапазон. Таким образом, на новой стадии возбуждения первого осциллятора он получит начальную фазу 2ф. Очевидно, значения фазы первого генератора на последующих стадиях даются, по крайней мере в определенном приближении, отображением вида

фп+1 = 2фп (mod 2п). (6)

Как известно, динамика, описываемая этим отображением, хаотическая. Это хорошо изученный пример хаоса, отображение «зуб пилы» (saw-tooth map) [66,69,71,72]. В частности, для него легко установить присутствие неустойчивости движения по отношению к возмущению начальных условий, являющейся основным характерным атрибутом хаотической динамики.

В самом деле, из уравнения (6) очевидно, что на каждом шаге итераций малое возмущение исходного состояния возрастает вдвое.

Будем рассматривать динамику нашей системы двух взаимодействующих осцилляторов стробоскопически, отслеживая дискретную последовательность мгновенных состояний с периодом внешнего воздействия Т. Формально говоря, такое описание сводится к итерациям некоторого отображения четырехмерного пространства в себя. Действительно, мгновенное состояние системы определяется набором четырех переменных, характеризующих напряжение и ток в обоих колебательных контурах, V = {и, 1\,и2, /2}. Если в некоторый момент времени £ = пТ задан вектор V = Vn, то динамика системы однозначно определит эти же переменные через период воздействия: Vn+l = F(Vn).

В четырехмерном пространстве состояний направление, связанное с фазой ф, отвечает расширению, а три остальных направления - сжатию. Интерпретируя действие стробоскопического отображения Vn+l = F(Vn) геометрически, мы можем вообразить вложенный в 4-мерное пространство тороид (прямое произведение одномерной окружности и трехмерного шара) и связать одну итерацию отображения с продольным растяжением и поперечным сжатием этого объекта, вкладываемого затем дважды сложенным внутрь исходной области. Это точно соответствует конструкции гиперболического аттрактора Смейла-Вильямса.

Составим систему уравнений, описывающих динамику предлагаемой схемы. Для каждой подсистемы записываем уравнение Кирхгофа, выражающее равенство нулю суммарного тока в параллельных ветвях схемы, и уравнение, связывающее напряжение и ток через катушку индуктивности:

С^ + Д - ^ + да) + ^ [д 1 - к\а ес8(юо^/К)] = 0,

М Н\

(11\

= Щ + К2^2 еos(юоí),

( (7)

С2+ 12 - ^ + №) + и2[д2 - к2аеos(юоt/К)] = 0,

¿2 (¡2 = и2 + К1^2.

( 1

В этих уравнениях функция /( и) = аи + |3и3 характеризует зависимость тока от напряжения для нелинейного элемента, составленного из полупроводниковых диодов; К12 - коэффициенты передачи в цепях, обеспечивающих связь между двумя подсистемами; множитель [д ± ка еos(юоЬ/К)] отвечает проводимости, вносимой в контур полевым транзистором при наличии переменного напряжения на затворе ± а еos(юоЬ/N). С использованием безразмерных переменных

I/2 / X1/2

и параметров

,/0 тт ( 6пв \1/2 ( 6я|3 V

т=юо'/2я, ж=ичю^) , и=чю^)

и ( 6я|3 \1/2 г ( 6я|3 \1/2

у = и2Кюос2) , " = 12Кюос1)

А1 = 2п к1а/юоС1, А2 = 2п к2а/юоС2,

к1 = 2лш-1С-1(Е-1 - а - д1), Ъ2 = 2лю-1С-1(Е-1 - а - д2),

(8)

__(9)

I юоС? [С2

£1 = Ки

I юоС2

приходим к следующей системе уравнений:

х + 2пи - (hi + Ai cos 2пт/N)х + -х3 = 0,

3

и = 2п (х + е2у cos 2пт),

у + 4nv - (h2 - А2 cos 2nx/N)у + -у3 = 0,

3

v = 4л(у + е1х2).

Каждая из двух подсистем описывается парой уравнений первого порядка, допускающей представление в виде уравнения ван дер Поля с изменяющимися во времени коэффициентами. Динамические переменные (х, и) отвечают первому, а (у, V) второму осциллятору. С учетом использованной нормировки, характерная круговая частота первого осциллятора равна 2п (что соответствует периоду Ах = 1), а второго - 4п. Множитель Л-1,2 ± А\,2 со&2пх/Ы представляет медленно осциллирующий во времени параметр, управляющий бифуркацией рождения цикла в одной и другой подсистеме.

На рис. 17 показаны типичные образцы временных зависимостей переменных х и у, полученных из численного решения уравнений (10) методом Рунге-Кутты при N = 8 и значениях параметров А\ = 1.5, А2 = 6, е\ = е2 = 0.1, Н = Н2 = 0. На диаграмме (а) представлена одна реализация, а на диаграмме (Ь) - набор примерно из десятка реализаций, отвечающих последовательным участкам одного и того же генерируемого сигнала. Из первого рисунка видно,

Рис. 17. Временные зависимости х и у, чёрные и серые линии, соответственно, полученные из численного решения уравнения ( ). N = 8, A1 = 1.5, А2 = 6, e1 = е2 = 0.1, h1 = h2 =0. a - одна реализация, b - несколько участков временной реализации одного и того же сигнала, наложенные одна на другую

Fig. 17. Time series х and у, black and gray lines, respectively, obtained from the numerical solution of the equation (10). N = 8, A1 = 1.5, A2 =6, e1 = e2 = 0.1, h1 = h2 = 0. a - one time serie, b - several sections of the same signal, superimposed on one another

что имеет место поочередное возбуждение первого (черная кривая) и второго (серая кривая) осцилляторов; возбуждение как бы по эстафете передается по очереди от одного осциллятора к другому. Из второго рисунка можно сделать на визуальном уровне заключение о непериодичности процесса. Более тщательный анализ показывает, что на самом деле имеет место хаос, который проявляет себя в случайном смещении максимумов и минимумов функций ж(£) и у(Ъ) относительно огибающей генерируемых колебаний на последовательных стадиях возбуждения осцилляторов.

На рис. 18, а показан фазовый портрет аттрактора в проекции на плоскость переменных (ж, х). На диаграмме рис. 18, Ь на той же плоскости отложены точки, отвечающие последовательности моментов времени тп = пЫ, то есть представлен портрет аттрактора в стробоскопическом сечении. На рис. 18, с приведена эмпирическая диаграмма для фазы первого осциллятора, где по горизонтальной оси отложена величина фазы, относящаяся к моменту времени тп, а по вертикали - к моменту времени хп+\. Фазы определяются посредством соотношения

{arctg(-(2п) 1х/ж), х > 0 п + arctg(-(2п) 1х/х), х< 0.

(11)

Как видно из рисунка, отображение для фазы топологически эквивалентно соотношению (6). (Некоторые искажения возникают из-за неточности качественных рассуждений при выводе формулы (6), а также самого определения фазы; соответствие становится лучше при больших отношениях периодов N.)

Для проведения экспериментального исследования схема, представленная на рис. 16, была реализована в виде лабораторного устройства. Конденсаторы в колебательных контурах имели емкости С\ = 20 нФ и С2 = 5 нФ. Катушки Ь\ и выполнены на ферритовых сердечниках 2000НМ с одинаковой индуктивностью, около 1 Гн. Соответственно, рабочая частота двух осцилляторов составляла = юо/2л = 1090 Гц и = 2/1 = 2180 Гц. Элемент отрицательного сопротивления реализован на операционном усилителе 140УД26, а нелинейный элемент - на диодах КД102. Для внесения в колебательные контуры изменяющейся во времени проводимости использованы полевые транзисторы КП303Г. Нелинейные элементы, через которые осуществлялась связь обеих подсистем, выполнены на основе аналоговых умножителей 525ПС2.

Напряжения и и2, снимаемые, соответственно, с первого и второго контура, можно было подавать на регистрирующую аппаратуру (осциллограф, анализатор спектра) или вводить в компьютер в виде временного ряда посредством аналого-цифрового преобразователя АДМ12-3

Рис. 18. Портрет аттрактора в проекции на плоскость (ж, х/2я). Значения параметров как на рис. 17 Fig. 18. Phase portrait of an attractor in projection onto a plane (ж, x/2я). The parameter values are as in Fig. 17

(12-разрядный, максимальная частота дискретизации 3 МГц). Функции 11\ и 112 получались как результат аналогового дифференцирования с использованием стандартной дифференцирующей цепочки, содержащей емкость 500 пФ, резистор 62 кОм и операционный усилитель 140УД26.

В эксперименте при надлежащем подборе параметров в системе можно было наблюдать хаотические колебания, обусловленные эстафетной передачей возбуждения от одного осциллятора к другому в соответствии с механизмом, рассмотренным в предыдущих разделах. На рис. 19, а, c показаны типичные образцы временных зависимостей переменного напряжения в режиме хаотической генерации в одной и другой подсистеме при отношении частоты медленного изменения параметров и частоты вспомогательного сигнала N = 8 и N = 4. Диаграммы построены на компьютере с использованием записанных в память временных рядов, полученных посредством аналого-цифрового преобразования напряжений и и2(Ъ). Частота выборки составляла 200 кГц, то есть на период характерной частоты генерации юо приходилось примерно 200 точек.

Рис. 19. Типичные образцы экспериментальных временных зависимостей переменного напряжения первой и второй подсистем, чёрные и серые линии, соответственно, в режиме хаотической генерации и эмпирические итерационные диаграммы для фазы первой подсистемы при N = 8 (а, b) и N = 4 (c, d)

Fig. 19. Typical experimental time series of alternating voltages of the first and second subsystems, black and gray lines, respectively, in the chaotic generation mode and empirical iteration diagrams for the phase of the first subsystem at N = = 8 (a, b) and N = 4 (c, d)

На рис. 19, Ь, й приведены эмпирические «итерационные диаграммы» для фазы первого осциллятора. Для их построения в компьютер вводился двухкомпонентный временной ряд. Одна компонента отвечала выборке сигнала и1 (¿) с периодом медленной вариации параметров Т = 2пЫ/юо в моменты времени, примерно соответствующие максимуму амплитуды колебаний первого осциллятора. В качестве второй компоненты фигурировала производная сигнала

на выходе дифференцирующей цепочки в те же моменты времени. Фаза определялась по формуле, аналогичной соотношению (11). По горизонтальной и вертикальной оси на графике отложены значения фазы, относящиеся к последовательным моментам выборки. То обстоятельство, что отображение для фазы топологически эквивалентно хаотическому отображению «зуб пилы» (6), существенно для интерпретации наблюдаемого в эксперименте аттрактора как гиперболического.

На рис. 20, а показана фотография фазового портрета аттрактора с экрана осциллографа в режиме генерации хаоса при N = 4. На входы горизонтального и вертикального отклонения электронного луча подавались, соответственно, переменное напряжение от первой подсистемы и\ (¿) и сигнал с выхода дифференцирующей цепочки, пропорциональный производной по времени и:(£). Выдержка при съемке была порядка нескольких секунд, чтобы отобразить достаточно большое число характерных периодов движения изображающей точки на аттракторе. На рис. 20, Ь приведён также портрет аттрактора в стробоскопическом сечении в проекции на плоскость (^1, П\), полученный из того же двухкомпонентного временного ряда, который использовался при построении эмпирической итерационной диаграммы на рис. 19, й. Видно, что этот портрет выглядит в точности как изображение соленоида Смейла-Вильямса. Отдельно, на вставке к рис. 20, Ь показан фрагмент, демонстрирующий в увеличенном виде тонкую фрактальную структуру «полос», из которых построен аттрактор.

На рис. 21 сравниваются спектры колебаний, найденные для численного решения системы (10) - диаграмма (а), и полученные экспериментально - диаграмма (Ь). Для экономии места и для наглядности сопоставления с результатами численного моделирования, на диаграмме (Ь) мы приводим две фотографии, смонтированные на одном графике в оформлении, аналогичном диаграмме (а). Спектр колебаний обоих осцилляторов сплошной; для первого осциллятора он расположен в диапазоне вблизи частоты юо, а для второго - вблизи 2юо. Отметим очевидное сходство со спектром, полученным при численном моделировании. В качестве отличий, по-видимому, непринципиальных, можно обратить внимание на несколько большую степень изрезанности

Рис. 20. Фотография с экрана осциллографа портрета аттрактора в проекции на плоскость динамических переменных первого осциллятора при N = 4 (а) и стробоскопическое сечение этого аттрактора (b)

Fig. 20. Photo of the oscilloscope screen with the portrait of the attractor in projection onto the plane of the dynamic variables of the first oscillator at N = 4 (a) and stroboscopic section of this attractor (b)

Рис. 21. а - Спектры колебаний системы ( ). b - Спектры экспериментальной системы, полученные фотографированием с экрана анализатора спектра. N = 4, остальные параметры как на рис. 17

Fig. 21. a - Fourier spectra of system ( ). b - Spectra of the experimental system obtained by photographing from the screen of the spectrum analyzer. N = 4, other parameters are as in Fig. 17

спектра в экспериментальной системе, присутствие вторичного максимума спектральной плотности в первом осцилляторе вблизи частоты второй гармоники, а также отсутствие узких пиков спектральной плотности в низкочастотной области во втором осцилляторе.

Набор полученных экспериментально результатов позволяет уверенно утверждать, что в эксперименте мы имеем дело с тем же объектом, что и в теоретическом рассмотрении - странным аттрактором типа Смейла-Вильямса в неавтономной колебательной системе. Помимо рассмотренной схемы на основе двух автогенераторов с эстафетной передачей фазы, был предложен целый ряд различных схем, реализующих странный гиперболический аттрактор. Например, в работе [84] предложен и реализован в эксперименте радиотехнический генератор хаоса на основе неавтономного осциллятора ван дер Поля с запаздыванием. Осциллятор пребывает поочередно в режиме возбуждения и затухания в силу периодического изменения параметра, ответственного за бифуркацию рождения предельного цикла. Возбуждение колебаний на каждой новой стадии активности стимулируется сигналом, который поступает через линию задержки, будучи порожденным на предыдущей стадии активности. Благодаря квадратичному нелинейному преобразованию при передаче сигнала, на каждой очередной стадии активности имеет место умножение фазовой переменной на фактор 2, так что для фазы реализуется растягивающее отображение окружности (отображение Бернулли) с хаотической динамикой.

5.2. Автономная система - генератор гиперболического хаоса. Дальнейшим развитием физических представлений о гиперболическом хаосе в электронных схемах была разработка автономных электронных устройств с аттрактором Смейла-Вильямса, не требующих наличия внешнего сигнала [82]. В работе [85] было рассмотрено несколько искусственных примеров

автономных систем с гиперболическими аттракторами, одна из которых имеет минимальную размерность, допускающую существование аттрактора Смейла-Вильямса. При построении радиофизической схемы она была принята за основу, с некоторой модификацией, имеющей целью упрощение схемотехнической реализации.

Следуя [85], обратимся сначала к двумерной системе типа «хищник-жертва», мгновенное состояние которой задается парой неотрицательных переменных

г\ = 2[1 - Г2 + 1Г1 - 50(п - 1)2]Г1, Г2 = 2(п - 1)Г2. (12)

В установившемся режиме она демонстрирует периодические автоколебания, причем на плоскости переменных п, Г2 изображающая точка посещает окрестность начала координат раз за разом. После каждого такого прохождения происходит сначала возбуждение первой подсистемы (переменная п, «жертва»), потом возбуждение второй (г2, «хищник»), далее затухание первой подсистемы, более медленное затухание второй, и затем цикл повторяется.

Пусть теперь Г1 и Г2 представляют собой квадраты модуля двух комплексных величин а1 и 0,2. Запишем уравнения для этих переменных и дополним их членами, описывающими связь подсистем, пропорциональными, соответственно, а2 и аь что приводит к уравнениям

(й = [1 - ^ +1 м2 - 50(|а1|2 - 1)2]а1- 2£la2, (13)

а2 = (1а112 - 1)а,2 - £2^1.

Здесь 61 и £2 - параметры связи, которые в дальнейшем изложении фиксированы и приняты равными £1 = 0.04, е2 = 0.4.

В системе с комплексными переменными (13) активизация второй подсистемы происходит в присутствии воздействия со стороны первой подсистемы, благодаря чему аргумент а2 наследует величину аргумента, отвечавшую переменной аь Затем, на стадии затухания, вторая подсистема в свою очередь обеспечивает затравочное воздействие для первой при очередном прохождении орбиты вблизи начала координат. Поскольку соответствующий член содержит квадрат комплексной переменной а2, передача возбуждения сопровождается удвоением аргумента комплексного числа. Далее процесс повторяется, причем на каждом новом цикле угловая переменная, отвечающая аргументу комплексных величин, умножается на фактор 2. Это соответствует растягивающему отображению окружности - отображению Бернулли Фга+1 = 2Фга, которое характеризуется хаотической динамикой и имеет положительный показатель Ляпунова Л = Ы2 и 0.693.

Полагая й1 = х + ги и й2 = у + IV, можно отделить в (13) действительные и мнимые части и перейти к уравнениям в действительных переменных:

X = [1 - (у2 + V2)2 + 2(х2 + и2) - ±0(х2 + и2 - 1)2]х - 2£1 (у2 - V2),

й=[1 - (у2 + V2)2 + 1 (х2 + и2) - 5о(х2 + и2 - 1)2]и - £1УЬ, (14)

у = (х2 + и2 - 1)у - £2Х,

V = (х2 + и2 - 1)у - е2и.

Для описания динамики в терминах отображения Пуанкаре введем сечение в четырехмерном фазовом пространстве подходящей гиперповерхностью и определим соответствующее трехмерное отображение на этой гиперповерхности. Его аттрактором будет служить объект в виде

Рис. 22. Зависимости от времени динамических переменных, полученные при численном решении уравнений (14) для £ 1 = 0.04, £2 = 0.4

Fig. 22. Time dependencies of dynamic variables obtained by numerically solving equations (14) for e1 = 0.04, £2 = 0.4

соленоида Смейла-Вильямса, поскольку имеется угловая переменная, претерпевающая удвоение на каждой очередной итерации, и, как следует из анализа показателей Ляпунова (см. ниже), это сопровождается сжатием фазового объема по остальным направлениям в пространстве состояний.

На рис. 22 приведены графики зависимости от времени динамических переменных, полученные при численном решении уравнений (14). Можно видеть, что стадии активности одной и другой подсистемы перемежаются со стадиями подавления. Согласно вычислениям, средний временной период повторения стадий для данного режима равен (Т) = 5.68.

На рис. 23 показаны портреты аттрактора - один на плоскости переменных, отвечающих первой подсистеме (ж, и), а другой на плоскости амплитудных переменных двух подсистем (г 1, г2) = (ж2 + и2, у2 + V2).

Рис. 23. Портреты аттрактора системы (14) при е1 = 0.04, £2 = 0.4 на плоскости переменных, отвечающих первой подсистеме (а) и на плоскости амплитудных переменных первой и второй подсистемы (b)

Fig. 23. Portraits of the attractor of system (14) for e1 = 0.04, £2 = 0.4 on the plane of variables corresponding to the first subsystem (a) and on the plane of amplitude variables of the first and second subsystems (b)

На рис. 23, Ь возбуждение первой подсистемы соответствует уходу траектории от начала координат вправо, возбуждение второй - уходу вверх, с последующим подавлением сначала первой, а затем второй подсистемы, и новым возвращением в окрестность начала координат.

Для задания секущей Пуанкаре используем соотношение г2 = у2 + V2 = с0, с0 = 3, причем учитываем проходы траекторий только в направлении увеличения амплитуды г2.

На рис. 24 показан портрет аттрактора в сечении Пуанкаре в проекции на плоскость переменных второй подсистемы и приведена диаграмма, иллюстрирующая преобразование циклической переменной - аргумента комплексной амплитуды второй подсистемы при последовательных проходах секущей Пуанкаре. Как можно видеть, оно с замечательной точностью соответствует отображению Бернулли.

При конструировании радиофизической схемы принята идеология по возможности точного воспроизведения уравнений с использованием элементов, применяемых в технике аналогового моделирования, таких как интеграторы, умножители, сумматоры, что представляется разумным в качестве первого шага на пути построения реальных генераторов гиперболического хаоса. В дальнейшем, по-видимому, можно будет реализовать более простые схемы на традиционной для радиотехники элементной базе (транзисторы, диоды, конденсаторы, резисторы).

Схема, представленная на рис. 25, содержит операционные усилители Щ-О7 и умножители А1-А10. Все умножители характеризуются коэффициентом передачи К, равным по абсолютной величине 1/10 (то есть при входных напряжениях и\ и и2 на выходе получается напряжение Ки\и2), причем для умножителей А6 и А7, обозначенных на схеме серым цветом, этот коэффициент отрицательный.

С каждой из четырех динамических переменных х, и, у, V ассоциируется интегратор на базе операционного усилителя (соответственно, и 1, и2, и3, и4), емкости (С 1, С2, С3, С4) и резистора (К1, К2, КЗ, К4). Собственно величины х, и, у, V отвечают напряжениям на конденсаторах С1, С2, С3 и С4, соответственно.

Динамика во времени соответствует системе уравнений (14) при измерении времени в единицах т. Это константа с размерностью времени т = КС, определенная через емкость

Рис. 24. Портрет аттрактора в сечении Пуанкаре в проекции на плоскость переменных первой подсистемы (а) и диаграмма, иллюстрирующая преобразование циклической переменной - аргумента комплексной амплитуды второй подсистемы при последовательных проходах секущей Пуанкаре (b) для системы (14) при е1 = 0.04, е2 = 0.4

Fig. 24. Phase portrait of an attractor in the Poincare section in projection onto the plane of variables of the first subsystem (a) and a diagram illustrating the transformation of a cyclic variable - the argument of the complex amplitude of the second subsystem with successive passes of the Poincare section plane (b) for system (14) with e1 = 0.04, e2 = 0.4

Рис. 25. Схема устройства, динамика которого описывается уравнениями (14), где за единицу времени принята величина т = 0.22мс, а коэффициенты связи составляют е1 = 0.04, е2 = 0.4. Динамические переменные х, и, у, v отвечают напряжениям на конденсаторах С1, С2, С3, С4, измеренным в вольтах

Fig. 25. Scheme of a device, the dynamics of which is described by equations (14), where the value of т = 0.22 ms is taken as a unit of time, and the coupling coefficients are e1 = 0.04, e2 = 0.4. Dynamic variables x, u, y, v correspond to voltages across capacitors C1, С2, С3, С4, measured in volts

С = С1 = С2 = С3 = С4 и характеристическое сопротивление Е = 100 кОм, Е1 = К2 = = КЗ = К4 = 10 кОм. При указанных на схеме номиналах т = 0.22 мс.

Умножители А1, А2, операционный усилитель и5 и резисторы ШЗ, Ш4, К7, Я8 образуют блок, формирующий сигнал ^2 = х2 + и2 - 1. Соответствующий сигнал, будучи умножен на у и V посредством элементов А8 и А9, подается на интеграторы, отвечающие за третье и четвертое уравнения системы (14). Также сигнал ^2 и его квадрат, получаемый посредством умножителя А5, используются вместе с выходным сигналом блока на элементах АЗ, А4, и6, для получения сигнала ц1 = 1 - (у2 + V2) + 2(х<2 + и2) - 50(х<2 + и2 - 1)2 на выходе операционного усилителя и6. Коэффициенты, присутствующие в выражении для Ц1, определяются соотношением сопротивлений К5, К9, К10, К15 и К17. Будучи умножен на х и у посредством элементов А6, АЛ, сигнал Ц1 поступает на интеграторы, соответствующие первому и второму уравнениям (14). Члены, описывающие воздействие первой подсистемы на вторую, формируются благодаря подаче сигналов х и и через одинаковые резисторы К11 и К12. (Их сопротивление отвечает за величину параметра связи &2, будучи ему обратно пропорциональным.) Член в первом уравнении (14), определяющий воздействие со стороны второй подсистемы, формируется благодаря подаче сигнала, пропорционального разности квадратов переменных у и V с выхода операционного усилителя и7 на соответствующий интегратор через резистор К20. Аналогично, член, отвечающий за связь во втором уравнении, обеспечивается выходным сигналом умножителя А10, подаваемым на интегратор через резистор Ш8. Выбор В20 = 2В.18 обеспечивает нужное соотношение членов в первом и втором уравнениях. Коэффициент связи £1 находится в обратной пропорциональности с величинами Е18 и Е20. Моделирование динамики устройства в среде МиШзт

показало соответствие ее динамики численному эксперименту. Дальнейший шаг - экспериментальное исследование в радиофизическом эксперименте. Экспериментальная установка представляла собой макет, изготовленный по схеме, показанной на рис. 25. В качестве операционных усилителей использовались микросхемы типа АВ822АК, а в качестве аналоговых умножителей микросхемы АЭбЗЗАК. Сбор и анализ данных осуществлялся с помощью четырехканального цифрового осциллографа типа М808104А. Осциллограф позволяет записывать в цифровом виде данные с точностью 11 двоичных разрядов при максимальной скорости записи 109 выборок в секунду и осуществлять целый ряд вычислений, в том числе и преобразование Фурье.

На рис. 26 показаны временные зависимости напряжений х, и, у, V, полученные для лабораторного макета. Спектр переменной х, полученный при помощи цифрового осциллографа М808104А приведен на рис. 27.

На рис. 28 показаны портреты аттрактора на плоскости переменных, отвечающих первой подсистеме, и на плоскости амплитудных переменных подсистем (х2 +и2, у2 +г>2). Первый из них получен в эксперименте непосредственно на экране осциллографа и демонстрирует несомненное сходство с рис. 23, а. Портрет аттрактора на диаграмме (Ь) построен путем обработки полученного в эксперименте четырехкомпонентного временного ряда с шагом выборки 1 мкс при записи длинной реализации (порядка 106 отсчетов) для напряжений х, и, у, V в файл. Вид аттрактора демонстрирует несомненное сходство с рис. 23, Ь, хотя надо отметить довольно существенное зашумление и поперечное уширение аттрактора, обусловленное, очевидно, техническими флук-туациями, возникающими при функционировании реального электронного устройства.

Для построения портрета аттрактора в сечении Пуанкаре и диаграммы, иллюстрирующей преобразование типа отображения Бернулли для циклической переменной, записанный в ходе эксперимента четырехкомпонентный временной ряд подвергается обработке специально составленной программой аналогично тому, как это делалось с данными моделирования в среде МиШзт. Считывая шаг за шагом записанные данные, вычисляем величину г2 = у2 + V2. В момент ¿га, когда эта величина, изменяясь в сторону увеличения, проходит уровень со = 3, определяем значения хп, ип, уп и ьп. Учитывая технические флуктуации, которые могут вести к ложному определению момента прохождения секущей Пуанкаре, при обработке исключаются

О 10 20 30 40 ms

Рис. 26. Зависимости переменных от времени, полученные при помощи цифрового осциллографа MSO8104A Fig. 26. Time series obtained with MSO8104A digital oscilloscope

Рис. 27. Спектр переменной х, полученный при помощи цифрового осциллографа MSO8104A. По вертикали -10 дБ/дел, по горизонтали - 10 кГц/дел

Fig. 27. Spectrum of the x variable obtained with an MSO8104A digital oscilloscope. Vertical scale 10 is dB/div, horizontal -10 kHz/div

Рис. 28. Фазовый портрет аттрактора на плоскости (х, и), полученный при помощи цифрового осциллографа MS08104A (а), и портрет аттрактора в проекции на плоскость амплитудных переменных первой и второй подсистемы, построенный обработкой записанных в файл данных для экспериментального макета

Fig. 28. Phase portrait of the attractor on the plane (x, u), obtained using the MS08104A digital oscilloscope (a), and the portrait of the attractor in the projection onto the plane of the amplitude variables of the first and second subsystems constructed by processing the data recorded in the file for the experimental model

Рис. 29. Построенный путем обработки экспериментальной реализации портрет аттрактора в сечении Пуанкаре в проекции на плоскость переменных первой подсистемы (а) и диаграмма, иллюстрирующая преобразование циклической переменной Ф = arg (у + iv) при последовательных проходах секущей Пуанкаре (b)

Fig. 29. A portrait of the attractor constructed by processing the experimental implementation in the Poincare section in projection onto the plane of variables of the first subsystem (a) and a diagram illustrating the transformation of the cyclic variable Ф = arg (у + iv) with successive passes of the Poincare secant (b)

события, произошедшие в пределах 10 шагов по выборке от предыдущего прохода. Также исключаются события, которые отвечают малым амплитудам первой подсистемы г\ = х2 + и2 в момент прохода. (Ложные срабатывания этого последнего типа отвечают локальному нарушению монотонной зависимости Г2 от времени на нисходящем участке траектории из-за технических флуктуаций.) Представляя в координатах (х, и) данные, отвечающие зарегистрированным моментам пересечения заданного уровня г2, с исключением ложных событий, строим портрет аттрактора в сечении Пуанкаре (рис. 29, а), а с помощью набора значений угловой переменной Фп = arg(y(tn) + iv(tn)), в координатах (Фп, Фга+1) получаем график отображения на диаграмме (b). Сравнение полученных диаграмм с рис. 24 показывает хорошее качественное соответствие, несмотря на довольно сильное поперечное уширение наблюдаемых образований из-за технических флуктуаций в реальном эксперименте.

Приведенные результаты показывают, что механизм функционирования, ассоциирующийся с присутствием гиперболического хаоса, в реальном устройстве сохраняется, несмотря на довольно большой уровень флуктуаций. Это обстоятельство можно рассматривать как проявление структурной устойчивости наблюдаемого хаотического аттрактора.

Таким образом, описанная в [82] схема электронного устройства представляет собой первый реальный пример автономной электронной системы, демонстрирующей гиперболический хаос.

6. Реализация комплексного аналитического отображения в физическом эксперименте

Идея исследования динамики дискретных отображений в физическом эксперименте была предложена еще в работе Леона Чуа [86]. Логичным образом дискретного отображения в радиоэлектронике являются дискретные цепи. В дискретной цепи информация представляется величинами токов или напряжений, изменяющимися непрерывно в некотором интервале, но при этом на временной оси сигнал задан таким образом, что имеет смысл в дискретные значения времени. При таком подходе запоминание значений сигналов обычно реализуют с помощью

конденсаторов, в течение некоторого времени сохраняющих напряжение на своих обкладках, а дискретное время задается при помощи специального тактового генератора.

Экспериментальная работа С.П. Кузнецова, в которой было предложено моделировать одномерное комплексное отображение системой связанных одномерных отображений в действительных числах, положила начало новому направлению исследований [87]. В работе развивается идея о представлении комплексного отображения вида:

гп+1 = к - ¿а, (15)

(где к - комплексный управляющий параметр, г - комплексная переменная) в форме системы связанных квадратичных отображений.

При к = 0 динамика отображения тривиальна. Нетрудно видеть, что, если взять начальную точку го внутри единичного круга, то в процессе итерирования комплексная переменная не покинет этот круг (при этом выполняется соотношение |^|<1), причем каждое последующее значение будет меньше предыдущего. Аттрактором в этом случае является точка начала координат. В том случае, когда начальная точка лежит за пределами единичного круга, она убегает на бесконечность. Таким образом, существует два аттрактора - ноль и бесконечность, а плоскость комплексных чисел разбита на два множества - области притяжения аттракторов. Граница между ними - единичная окружность. В таком простейшем случае граница является регулярной кривой, но при к = 0 отображение (15) может порождать и фрактальную границу. Эти границы называются множествами Жюлиа, а их дополнения на комплексной плоскости - множествами Фату. При изменении управляющего параметра можно наблюдать огромное разнообразие форм этих множеств.

Разделяют два основных типа множеств Жюлиа: некоторые из них являются связными, а другие представляют собой облака из точек (или обобщенные канторовы множества). Таким образом, появляется возможность ввести новое множество - множество значений к, для которых множество Жюлиа связно. Оно называется множеством Мандельброта М. Множество Жюлиа для данного значения параметра является связным в том случае, если траектория, стартующая из экстремума отображения (в случае квадратичного отображения (15) это г = 0), не убегает на бесконечность. Этот факт был доказан в фундаментальных работах Фату и Жюлиа. Следовательно, поведение итерационного отображения зависит от параметра к и от начального условия го. Если зафиксировать к и изменять го в поле комплексных чисел, то получим множество Жюлиа, а если зафиксировать го = 0 и изменять параметр к, то множество Мандельброта представляет собой границу, разделяющую область динамики в конечном объеме и убегания на бесконечность.

Такое одномерное комплексное отображение может быть представлено в виде двух привычных и имеющих физическое толкование действительных квадратичных отображений, связанных специфическим способом. Для того чтобы это показать, разделим действительную и мнимую части в отображении (15):

Ив (гп+1) = Ив (к) - (Ив (гп))2 + (1ш (гп))2, 1ш (гп+1) = 1ш (к) - 2 Ив (гп) 1ш (гп).

(16)

Введем следующие обозначения:

х = Ив (г) + в 1ш (г), у = Ив (г) - в 1ш (г), к1 = Ив (к) + в 1ш (к), к2 = Ив (к) - в 1ш (к),

где в = 0 - произвольная константа. Учитывая (17), перепишем (16) в виде:

хп+1 = к1 - х2п + е(хп - уп)2, Уп+1 = к2 - у1 + е(хп - уп)2,

(17)

(18)

где е = (1 + в2)/(4в2) - величина, которую можно назвать коэффициентом связи. Как видно из уравнения, характер связи в этой системе таков, что на каждом шаге дискретного времени параметр нелинейности в каждой из подсистем одновременно сдвигается на величину, пропорциональную квадрату разности динамических переменных. При этом сдвиг параметра в каждой из подсистем имеет один и тот же знак.

В численном эксперименте эта система была подробно исследована в том числе в работах учеников С.П. Кузнецова [88] при разных значениях параметра связи е. На рис. 30 приведены характерные виды разбиения плоскостей параметров (к1, к2) на характерные режимы при различных значениях е. На этом рисунке области конечной динамики закрашены серым цветом (периодические режимы) и черным цветом (хаотические режимы). Белым цветом обозначены области, в которых динамическая переменная уходит на бесконечность. Наиболее интересен случай, в котором границы областей конечной динамики представляют собой множество Мандельброта (рис. 30, а, с). Аналогичная динамика наблюдается в исходном комплексном отображении.

Конечно, при переходе от комплексных чисел к привычным для нас действительным числам можно было остановиться на уравнении (16), сразу после разделения комплексного уравнения (15) на действительную и мнимую части. В этой системе связанных отображений также

наблюдается комплексная аналитическая динамика, характерная для (15). Однако подход, основанный на использовании связанных систем, кажется потенциально гораздо более интересным, поскольку он дает направление для дальнейших исследований динамических систем, демонстрирующих поведение, сходное с комплексными отображениями.

Использованное в качестве основного элемента рассматриваемой системы логистическое отображение должно рассматриваться как представитель широкого класса универсальности, который включает в себя множество реальных физических систем и их математических моделей (ассоциирующихся с каскадом бифуркаций удвоения периода).

Для того чтобы воспроизвести динамику связанных логистических отображений (18), была специально разработана схема на переключаемых конденсаторах. Предложенная схема содержит следующие элементы:

1. Четыре ячейки выборки-хранения (по две для каждого логистического отображения), которые являются аналоговыми запоминающими устройствами. На рис. 31 они обозначены пунктирными рамками и цифрами - 11, 12, 21, 22. Каждая ячейка выборки-хранения состоит из аналогового ключа К и конденсатора С. Совокупность двух ячеек выборки-хранения, управление ключами которых осуществляется двумя последовательностями неперекрывающихся тактовых импульсов и нелинейного элемента, делает возможным реализацию одномерного нелинейного дискретного отображения, как это было показано в предыдущем разделе. Четыре ячейки выборки-хранения позволяют реализовать два одномерных отображения.

Рис. 31. Подробная блок-схема экспериментального макета для исследования системы связанных отображений (18) Пунктирными рамками обозначены ячейки выборки-хранения, Кц, K12, K21 и K22 - аналоговые ключи, Лц, Âi2, A2i, â22, L1, L2, E, Hi, H2, D - операционные усилители, N1, N2 и N12 - умножители. Обозначения для динамических переменных на схеме соответствуют обозначениям в уравнении (18) следующим образом: х„ ^ х1, х„+1 ^ х'1, Уп ^ ®2, Уп + 1 ^ ж2

Fig. 31. Detailed block diagram of the experimental model for studying the system of coupled maps (18) Dotted boxes denote the sample-hold cells, K11, K12, K21 and K22 are analog keys, A11, A12, A21, A22, L1, L2, E, H1, H2, D are operational amplifiers, N1, N2 and N12 are multipliers. The designations for the dynamic variables in the diagram correspond to the designations in equation (18) as follows: x„ ^ x1, x„+1 ^ x'1, Уп ^ x2, Уп+1 ^ x!2

2. Три переменных сопротивления - К^ , и Д^, подключенных через усилители 1/1, Ь2 и Е, осуществляющие изменение параметров к1, к2 и е, соответственно.

3. Три умножителя - N1, N2 и N12 обеспечивающие квадратичную нелинейность, то есть позволяющие получить величины х^, у2п и х2п + у2п.

4. Дифференциальный операционный усилитель Б, позволяющий реализовать разность (%п Уп).

5. Суммирующие усилители Н1 и Н2 для получения суммы напряжений.

Наблюдение и исследование режимов схемы проводилось при помощи осциллографа при изменении управляющих параметров к1, к2 и при различных значениях параметра связи е. Ожидалось, что при соответствующих параметрах связи в системе будут наблюдаться сложные динамические режимы, соответствующие области динамики с конечными значениями переменной, которые соответствуют динамическому диапазону использованных электронных компонентов. В тех случаях, когда значения напряжений в схеме выходили за пределы динамического диапазона, поведение схемы идентифицировалось как «убегание на бесконечность» в численном эксперименте.

Для демонстрации феноменов комплексной динамики в реальной физической системе приведем результаты экспериментального исследования предложенной радиотехнической схемы.

На рис. 32 представлены две карты динамических режимов на плоскости параметров (^1; ^2), которые регулируются переменными сопротивлениями К^, К^ и соответствуют параметрам нелинейности в системе уравнений (18). Значения параметра связи равны е = 0.1 (рис. 3 , а) и е=0.5 (рис. 32 , Ь). Первый рисунок демонстрирует ромбовидную структуру, соответствующую рис. 30, с. Цифрами обозначены периоды неподвижной точки в экспериментальной системе.

На рис. 32, Ь наблюдается структура, сходная с множеством Мандельброта (рис. 30, а). Были получены изображения большой кардиоиды множества Мандельброта и лепестков с периодами 2, 3, 4, 5, 8, 9. При движении по диагонали можно наблюдать последовательность

Рис. 32. Конфигурации множеств, возникающих на плоскости параметров (Xi, X2) (на рисунке по осям отложены значения напряжения в схеме, находящиеся с параметрами нелинейности в соотношении U1 = 5X1, U2 = 5X2 при значениях параметра связи е = 0.1 (а) и е = 0.5 (b). Штриховкой на рис. а обозначена область со сложной динамикой

Fig. 32. Configurations of sets arising on the plane of parameters (X1, X2) (in the figure, along the axes, the voltage values in the circuit are plotted, which are with nonlinearity parameters in the ratio U1 = 5X1, U2 = 5X2 for the values of the coupling parameter e = 0.1 (a) and e = 0.5 (b). The hatching in Fig. a denotes a region with complex dynamics

бифуркаций удвоения периода, в мелких лепестках наблюдались бифуркации утроения и учетве-рения периода. Лепестки более высоких периодов и тонкую фрактальную структуру множества Мандельброта не удается наблюдать из-за погрешностей эксперимента.

Необходимо отметить, что рассматривалась динамика реального физического объекта, находящегося под действием таких факторов, как шум и технические флуктуации напряжений. Связанные элементы не являются абсолютно идентичными, а функции нелинейности не являются строго квадратичными. Тем не менее, все эти факторы не нарушают феноменов комплексной аналитической динамики в рассматриваемой системе.

Заключение

Мы представили краткий обзор экспериментальных работ, выполненных на основе аналитических и численных результатов, полученных С.П. Кузнецовым и его коллегами в разные годы. В большинстве представленных экспериментальных работ, выполненных на основе идей и численных результатов теоретика С.П. Кузнецова, он стремился поучаствовать непосредственно. Был готов обсудить конструкцию и детали задачи, покрутить ручки и посмотреть на стрелки приборов или обработать данные. А около экспериментального стенда у него было чему поучиться. Так, если бы не он, мы при изучении структуры пространства параметров объекта еще долго записывали бы измеренное, как полагается классически обученному физику, в таблицы рабочей тетради, а не «кощунствовали», сразу ставя точки хитрых бифуркационных линий на бумажной «простыне».

Показательно, что в последнее десятилетие Сергей Петрович с большим удовольствием экспериментировал с радиотехничекими схемами на компьютерных симуляторах. Благодаря своей удивительной научной интуиции он и здесь добился завидного мастерства. На этом поприще его «звездным», на наш взгляд, продуктом стала схема генератора гиперболического хаоса. Появление примера физической системы с гиперболическим хаотическим аттрактором имеет принципиальное значение для дальнейшего развития нелинейной динамики и ее приложений. С точки зрения исследователей, занимающихся анализом реальных систем физической и иной природы, это, в определенном смысле, «прорыв в гиперболическую область». Очевидно, используя данный пример как отправную точку и опираясь на присущее гиперболическим аттракторам свойство грубости, можно строить и другие примеры систем с гиперболическими хаотическими аттракторами.

Несмотря на значительный объем сделанного, часть находок замечательного теоретика -С.П. Кузнецова - ждет своей натурной иллюстрации. Ясный стиль изложения и постоянная ориентированность на физическую реализацию и практическое применения делают труды С.П. Кузнецова до сих пор не исчерпанным источником вдохновения для экспериментаторов.

Список литературы

1. Безручко Б.П., Булгакова Л.В., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания и неустойчивость в лампе обратной волны // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, № 6. С. 1136-1139.

2. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. 1978. Vol. 19, no. 1. P. 25-52. DOI: 10.1007/BF01020332.

3. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. Т. 141, № 2. С. 343-374. DOI: 10.3367/UFNr.0141.198310e.0343.

4. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Новый тип критического поведения связанных систем // ДАН СССР. 1986. Т. 287, вып. 3. С. 619-622.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15

16

17

18

19

20

21

22

126

Linsay P.S. Period doubling and chaotic behaviour in a driven anharmonic oscillator // Phys. Rev. Lett. 1981. Vol. 47, no. 19. P. 1349-1352. DOI: 10.1103/PhysRevLett.47.1349. Testa J., Perez J., Jeffries C. Evidence for universal chaotic behavior of a driven nonlinear oscillator// Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48, № 11. P. 714-717. DOI: 10.1103/PhysRevLett.48.714. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32, № 12. С. 2558-2566.

Holmes P. A nonlinear oscillator with a strange attractor // Philos. Trans. of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1979. Vol. 292, no. 1394. P. 419-448. DOI: 10.1098/rsta.1979.0068.

Rollins R.W., Hunt E.R. Exactly solvable model of a physical system exhibiting universal chaotic behavior // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, no. 18. P.1295-1298. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1295.

Testa J., Perez J., Jeffries C. Testa, Perez and Jeffries respond // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, no. 14. P. 1055. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1055.

Hunt E.R. Comment on a driven nonlinear oscillator // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, no. 14. P. 1054. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1054.

Безручко Б.П., Кулешов А.В., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Нелинейные колебания в резонаторе с варакторным диодом // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36, № 8. С. 1519-1524.

Kurz Th., Lauterborn W. Bifurcation structure of the Toda oscillator // Phys. Rev. A. 1988. Vol. 37, no. 3. P. 1029-1031. DOI: 10.1103/physreva.37.1029.

Хаслер М.Ж. Электрические схемы с хаотическим поведением // Тематический выпуск ТИИЭР. 1987. Т. 75, №. 8. С. 40-54.

Безручко Б.П., Селезнев Е.П.Сложная динамика возбуждаемого осциллятора с кусочно-линейной характеристикой // Письма в ЖТФ. 1994. Т. 20, вып. 19. С. 75-79. Селезнев Е.П., Захаревич А.М. Структура пространства управляющих параметров неавтономного кусочно-линейного осциллятора // ЖТФ. 2006. Т. 76, № 4. С. 133-135. DOI: 10.1134/S1063784206040220.

Безручко Б.П., Жалнин А.Ю., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Дискретные нелинейные модели периодически возбуждаемой RL-диод цепи // Известия вузов. ПНД. 1997. Т. 5, № 2. С. 48-62.

Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П.Модель диссипативного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами // Письма в ЖТФ. 1994. Т. 20, вып. 11. С. 78-82.

Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map // Chaos, Solitons, Fractals. 1995. Vol. 5, № 11. P. 2095-2107. DOI: 10.1016/0960-0779(95)00007-Q.

Кузнецов С.П.Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума // Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28, № 8. С. 991-1007.

Кузнецов С.П.Масштабно-инвариантная структура пространства параметров связанных систем Фейгенбаума // ЖТФ. 1985. Т. 55, № 9. С. 1830-1834.

Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2, № 3-4. С. 90-105. DOI: 10.1070/RD1997v002n04ABEH000050.

23. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Переход от симметричного к несимметричному режиму хаотической динамики в системе диссипативно связанных рекуррентных отображений // Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32. № 1. C. 49-54.

24. Астахов В.В., Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнёв Е.П. Особенности возникновения квазипериодических движений в системе диссипативно связанных нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14, № 1. С. 37-41.

25. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнёв Е.П.Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов // Изв. вузов. Радиофизика. 1988. Т. 31, № 5. С. 627-630.

26. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнёв Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем//Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15, № 3. С. 60-65.

27. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н. Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах//ЖТФ. 1990. Т. 60, № 10. С. 19-26.

28. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Мультистабильность в колебательных системах с удвоением периода и однонаправленной связью // ДАН СССР. 1990. Т. 314, №2. С. 332-336.

29. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Бассейны притяжения хаотических аттракторов в связанных системах с удвоением периода // Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23, № 4. С. 40-46.

DOI: 10.1134/1.1261565.

30. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Виды колебаний, мультистабильность и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода // Известия вузов. ПНД. 2002. Т. 10, № 4. С. 47-68.

31. Stankevich N. V., Dvorak A., Astakhov V. et al. Chaos and hyperchaos in coupled antiphase driven toda oscillators // Regular and Chaotic Dynamics. 2018. Т. 23, № 1. С. 120-126.

DOI: 10.1134/S1560354718010094.

32. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. Т. 44, № 8. С. 339-342.

33. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. Vol. 20. P. 167-192. DOI: 10.1007/BF01646553.

34. РюэльД., Такенс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы: Сб. ст. / Я.Г. Синай, Л.П. Шильников. М.: Мир, 1981. С. 117-151.

35. Grebodgi C., Ott E., Pelican S., Yorke /.Strange attractor that are not chaotic // Physica D. 1984. Vol. 13, № 1-2. P. 261-268. DOI: 10.1016/0167-2789(84)90282-3.

36. Bondeson A., OttE., Antonsen Jr. T.M. Quasiperiodically forced damped pendula and Schrodinger equations with quasiperiodic potentials: Implications of their equivalence // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55, № 20. P. 2103-2106. DOI: 10.1103/PhysRevLett.55.2103.

37. Romeiras F.J., Bondeson A., Ott E., Antonsen Jr. T.M., Grebogi C. Quasiperiodically forced dynamical systems with strange nonchaotic attractors // Physica D. 1987. Vol. 26, № 1-3. P. 277-294. DOI: 10.1016/0167-2789(87)90229-6.

38. Romeiras F.J., Ott E. Strange nonchaotic attractors of the damped pendulum with quasiperiodic forcing // Phys. Rev. A. 1987. Vol. 35, № 10. P. 4404-4413. DOI: 10.1103/physreva.35.4404.

39. Ding M., Grebogi C., Ott E. Evolution of attractors in quasiperiodically forced system // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39, № 5. P. 2593-2598. DOI: 10.1103/physreva.39.2593.

40. Ditto W.L. et al. Experimental observation of a strange nonchaotic attractor // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 65, № 5. P. 533. DOI: 10.1103/PhysRevLett.65.533.

41. Ding M., Grebogi C., Ott E. Dimensions of strange nonchaotic attractors // Phys. Lett. A. 1989. Vol. 137, no. 4-5. P. 167-172. DOI: 10.1016/0375-9601(89)90204-1.

42. Hunt B.R., Ott E. Fractal properties of robust strange nonchaotic attractors // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 87, no. 25. P. 254101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.87.254101.

43. Kapitaniak T., Ponce E., and Wojewoda J.Route to chaos via strange non-chaotic attractors // J. Phys. A.: Math. Gen. 1990. Vol. 23, no. 8. P. L383. DOI: 10.1088/0305-4470/23/8/006.

44. Pikovsky A. and Feudel U. Characterizing strange nonchaotic attractors // CHAOS. 1995. Vol. 5. P. 253. DOI: 10.1063/1.166074.

45. Feudel U., Kurths J. and Pikovsky A. Strange nonchaotic attractor in a quasiperiodically forced circle map//Physica D. 1995. Vol. 88, no. 3-4. P. 176-186. DOI: 10.1016/0167-2789(95)00205-I.

46. Zhou T., Moss F., Bulsara A. Observation of a strange nonchaotic attractor in a multistable potential // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45, no. 8. P. 5394-5400. DOI: 10.1103/physreva.45.5394.

47. Kuznetsov S., Pikovsky A., Feudel U. Birth of a strange nonchaotic attractor: A Renormalization group analysis // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51, no. 3. P. R1629-R1632.

DOI: 10.1103/PhysRevE.51.R1629.

48. Kuznetsov S., Feudel U., Pikovsky A. Renormalization group for scaling at the torus-doubling terminal point // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 57, no. 2. P. 1585-1590.

DOI: 10.1103/PhysRevE.57.1585.

49. Witt A., Feudel U., Pikovsky A. Birth of strange nonchaotic attractors due to interior crisis //PhysicaD. 1997. Vol. 109, no. 1-2. P. 180-190. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00168-1.

50. Osinga H.M., Feudel U. Boundary crisis in quasiperiodically forced systems // Physica D. 2000. Vol. 141, no. 1-2. P. 54-64. DOI: 10.1016/S0167-2789(00)00031-2.

51. Kaneko K. Doubling of torus // Prog. Theor. Phys. 1983. Vol. 69. № 6. P. 1806-1810. DOI: 10.1143/PTP.69.1806.

52. Кузнецов С.П. О воздействии периодического внешнего возмущения на систему, демонстрирующую переход порядок - хаос через бифуркации удвоения периода // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39. № 3. С. 113-116.

53. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Фойдель У. Странный нехаотический аттрактор // В кн.: Нелинейные волны - 2004 / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова и В.И. Некоркина. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2005. С. 484.

54. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Пиковский А.С., Фойдель У., Селезнев Е.П. О динамике нелинейных систем под внешним квазипериодическим воздействием вблизи точки окончания линии бифуркации удвоения тора // Изв. ВУЗов. ПНД. 1997. Т. 5, № 6. С. 3-20.

55. Bezruchko B.P., Kuznetsov S.P., Seleznev Ye.P. Experimental observation of dynamics near the torus-doubling terminal critical point // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62, № 6. P. 7828-7830. DOI: 10.1103/PhysRevE.62.7828.

56. Селезнев Е.П., Захаревич А.М. Динамика нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, № 17. С. 13-18. DOI: 10.1134/1.2061728.

57. Кислов В.Я., Залогин Н. Н., Мясин Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, № 6. С. 1118-1130.

58. Кац В.А., Трубецков Д.И. Возникновение хаоса при разрушении квазипериодических режимов и переходе через перемежаемость в распределенном генераторе с запаздыванием // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39, № 3. С. 116-119.

59. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. Т. 87. 312 с.

60. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. 252 с.

61. УаШе R., Delisle C. Periodicity windows in a dynamical system with a delayed feedback // Phys. Rev. A. 1986. Vol. 34, № 1. P. 309-318. DOI: 10.1103/PhysRevA.34.309.

62. Ikeda К., Kondo К., Akimoto О. Successive higher-harmonic bifurcations in systems with delayed feedback // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, № 20. P. 1467-1470.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1467.

63. Le Berre М., Ressayre E., Tallet A., Gibbs H.M. High-dimension chaotic attractors of a nonlinear ring cavity // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56, № 4. P. 274-277.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.56.274.

64. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Универсальность бифуркаций удвоения периода в одномерной диссипативной среде. // Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28, № 3. С. 308-319. DOI: 10.1007/BF01035479.

65. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Каменский В.Ю., Пономаренко В.И. Экспериментальное подтверждение закономерностей универсальности и подобия для модели генератора с запаздывающей обратной связью // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14, № 11. С. 1014-1019.

66. Синай Я.Г. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981. 253 с.

67. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники, т. 2. Под ред. Р.В. Гамкрелидзе. Изд. ВИНИТИ АН СССР, Москва, 1985.

68. Eckmann J.-P. and Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. 1985. Vol. 57, № 3. P. 617-656. DOI: 10.1103/RevModPhys.57.617.

69. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем / М.: Факториал, 1999. 768 с.

70. Afraimovich V., Hsu S.-B. Lectures on chaotic dynamical systems, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 28, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, 2003, 353 pp.

71. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Addison-Wesley, New York, 1989, 360 pp.

72. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1993.

73. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М: Физматлит, 2001. 296 с.

74. Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange Axiom-A attractors near quasi periodic flows on Tm, m ^ 3 // Comm. Math. Phys. 1978. № 64. P. 35-40. DOI: 10.1007/BF01940759.

75. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. М.-Ижевск: Инст. Компьютерных исследований, 2003.

76. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца//ДАН СССР. 1977. Т. 234. С. 336-339.

77. Mischaikow K., Mrozek M., Szymczak A. Chaos in the Lorenz Equations: A Computer Assisted Proof Part III: Classical Parameter Values // Journal of Differential Equations. 2001. Vol. 169. № 1. P. 17-56. DOI: 10.1006/jdeq.2000.3894.

78. Hunt T.J., MacKay R.S. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor // Nonlinearity. 2003. Т. 16, №. 4. С. 1499.

DOI: 10.1088/0951-7715/16/4/318.

79. Hunt T.J. Low Dimensional Dynamics: Bifurcations of Cantori and Realisations of Uniform Hyperbolicity. PhD Thesis. University of Cambridge, 2000.

80. Belykh V., Belykh I., Mosekilde E. Hyperbolic Plykin attractor can exist in neuron models // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2005. Т. 15, № 11. С. 3567-3578.

DOI: 10.1142/S0218127405014222.

81. Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла-Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Т. 129, № 2. С. 400-412.

DOI: 10.1134/S1063776106020166.

82. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Автономная система - генератор гиперболического хаоса: схемотехническое моделирование и эксперимент // Известия вузов. ПНД. 2013. Т. 21, № 5. С. 17-30. DOI: 10.18500/0869-6632-2013-21-5-17-30.

83. Isaeva O.B., Kuznetsov S.P., Savin D.V., Sataev I.R., Seleznev Y.P. Hyperbolic chaos and other phenomena of complex dynamics depending on parameters in a nonautonomous system of two alternately activated oscillators // Int. J. Bif. Chaos. 2015. Vol. 25, №. 12. P. 1530033. DOI: 10.1142/S0218127415300335.

84. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла-Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, № 18. С. 1-8. DOI: 10.1134/S1063785008090162.

85. Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors // Physica D. 2007. Vol. 232. № 2. P. 87-102. DOI: 10.1016/j.physd.2007.05.008.

86. Родригес-Васкес А., Хуэртас Х.Л., Руэда А., Перес-Вердю Б., Чжуа Л.О. Хаос в схемах на переключаемых конденсаторах: дискретные отображения // ТИИЭР. 1987. Т. 75, № 8. С.124-140.

87. Isaeva O.B., Kuznetsov S.P., Ponomarenko V.I. Mandelbrot set in coupled logistic maps and in an electronic experiment // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P. 055201.

DOI: 10.1103/PhysRevE.64.055201.

88. Исаева О.Б. Комплексная аналитическая динамика в приложении к радиофизическим системам. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Саратов, 2003. 161 с.

References

1. Bezruchko BP, Bulgakova LV, Kuznetsov SP, Trubetskov DI. Stochastic self-oscillations and instability in a backward-wave tube. Journal of Comm. Techn. and Electronics. 1983;28(6): 1136-1139 (in Russian).

2. Feigenbaum MI. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. J. Stat. Phys. 1978;19(1):25-52. DOI: 10.1007/BF01020332.

3. Feigenbaum M. Universal Behavior in Nonlinear Systems. Los Alamos Science. 1980;1(1):4-27. DOI: 10.1016/0167-2789(83)90112-4.

4. Bezruchko BP, Gulyaev YuV, Kuznetsov SP, Seleznev EP. New type of critical behaviour of coupled systems at the transitions to chaos. DAN SSSR. 1986;287(3):619-622 (in Russian).

5. Linsay PS. Period doubling and chaotic behaviour in a driven anharmonic oscillator Phys. Rev. Lett. 1981;47(19):1349-1352. DOI: 10.1103/PhysRevLett.47.1349.

6. Testa J, Perez J, Jeffries C. Evidence for universal chaotic behavior of a driven nonlinear oscillator. Phys. Rev. Lett. 1982;48(11):714-717. DOI: 10.1103/PhysRevLett.48.714.

7. Astakhov VV, Bezruchko BP, Seleznev EP. Investigation of the dynamics of a nonlinear oscillatory circuit under harmonic action. Journal of Comm. Techn. and Electronics. 1987;32(12): 2558-2566.

8. Holmes P. A nonlinear oscillator with a strange attractor. Philos. Trans. of the Royak Society A: Mathematical. Physical and Engineering Sciences. 1979;292(1394):419-448.

DOI: 10.1098/rsta.1979.0068.

9. Rollins RW, Hunt ER. Exactly solvable model of a physical system exhibiting universal chaotic behavior. Phys. Rev. Lett. 1982;49(18):1295-1298. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1295.

10. Testa J, Perez J, Jeffries C. Testa, Perez and Jeffries respond. Phys. Rev. Lett. 1982;49(14):1055. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1055.

11. Hunt ER. Comment on a driven nonlinear oscillator. Phys. Rev. Lett. 1982;49(14):1054. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1054.

12. Bezruchko BP, Kuleshov AV, Ponomarenko VI, Seleznev EP. Nonlinear oscillations in the resonator with varactor diode. Journal of Comm. Techn. and Electronics. 1991;36(8):1519-1524 (in Russian).

13. Kurz Th, Lauterborn W. Bifurcation structure of the Toda oscillator. Phys. Rev. A. 1988;37(3): 1029-1031. DOI: 10.1103/physreva.37.1029.

14. Hasler MJ. Electrical circuits with chaotic behavior. Proc. of the IEEE. 1987;75(8):1009-1021. DOI: 10.1109/PROC.1987.13846.

15. Bezruchko BP, Seleznev EP. Complex dynamics of a driven oscillator with a piecewise-linear characteristic. Tech. Phys. Lett. 1994;20:800-801.

16. Seleznev EP, Zakharevich AM. Structure of the control parameter space for a nonautonomous piecewise linear oscillator. Technical physics. 2006;51(4):522-524.

DOI: 10.1134/S1063784206040220.

17. Bezruchko BP, Zhalnin AYu, Prokhorov MD, Seleznev EP. Discrete nonlinear models of a periodically excited RL-diode circuit. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 1997;5(2): 48-62 (in Russian).

18. Bezruchko BP, Prokhorov MD, Seleznev EP. Model of a dissipative oscillator in the form of a one-dimensional mapping with three parameters. Tech. Phys. Lett. 1994;20(6):508-510.

19. Bezruchko BP, Prokhorov MD, Seleznev YeP. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map. Chaos, Solitons, Fractals. 1995;5(11):2095-2107. DOI: 10.1016/0960-0779(95)00007-Q.

20. Kuznetsov SP. Universality and scaling in the behavior of coupled Feigenbaum systems. Radio-physics and Quantum Electronics. 1985;28(8):681-695 (in Russian). DOI: 10.1007/BF01035195.

21. Kuznetsov SP. Scale invariant structure of the parameter space of coupled Feigenbaum systems. Tech. Phys. 1985;55(9):1830-1834 (in Russia).

22. Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Sataev IR. Co-dimensionality and typicality in the context of the problem of describing the transition to chaos through period doublings in dissipative dynamical systems. Regular and chaotic dynamics. 1997;2(3-4):90-105 (in Russian).

DOI: 10.1070/RD1997v002n04ABEH000050.

23. Kuznetsov SP, Pikovsky AS. Transition from symmetric to asymmetric regime of chaotic dynamics in a system of dissipatively coupled recurrent maps. Radiophysics and Quantum Electronics. 1989;32(1):49-54 (in Russian).

24. Astakhov VV, Bezruchko BP, Kuznetsov SP, Seleznev EP. Onset of Quasiperiodic Motions in a System of Dissipatively Coupled Nonlinear Oscillators Driven by a Periodic External Force. Tech. Phys. Lett. 1988;14(1):37-41 (in Russian).

25. Astakhov VV, Bezruchko BP, Ponomarenko VI, Seleznev EP. Quasihomogeneous stochastic motions and their break-up in a system of coupled nonlinear oscillators. Radiophysics and Quantum Electronics. 1988;31(5):627-630 (in Russian).

26. Astakhov VV, Bezruchko BP, Gulyaev YV, Seleznev EP. Multistable states of dissipatively-coupled Feigenbaum systems. Tech. Phys. Lett. 1989;15(3):60-65 (in Russian).

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

132

Astakhov VV, Bezruchko BP, Erastova EN, Seleznev EP. Oscillation modes and their evolution in dissipatively coupled Feigenbaum systems. Tech. Phys. 1990;60(10):19-26 (in Russian). Bezruchko BP, Gulyaev YV, Pudovochkin OB, Seleznev EP. Multistability in oscillatory systems with period doubling and unidirectional coupling. Proceedings of the Academy of Sciences USSR. 1990;314(2):332-336 (in Russian).

Bezruchko BP, Seleznev EP. Basins of attraction for chaotic attractors in coupled systems with period doubling. Tech. Phys. Lett. 1997;23(2):144-146. DOI: 10.1134/1.1261565. Bezruchko BP, Prokhorov MD, Seleznev EP. Oscillation modes, multistability and basins of attraction of attractors of symmetrically coupled systems with period doubling. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2002;10(4):47-68 (in Russian).

Stankevich NV, Duorak A, Astakhov V et al. Chaos and hyperchaos in coupled antiphase driven toda oscillators. Regular and Chaotic Dynamics. 2018;23(1):120-126. DOI: 10.1134/S1560354718010094.

Landau LD. To the problem of turbulence. Proceedings of the Academy of Sciences USSR. 1944;44(8):339-342 (in Russian).

Ruelle D, Takens F. On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys. 1971;20:167-192. DOI: 10.1007/BF01646553.

Ruelle D, Takens F. On the nature of turbulence. Strange attractors, Moscow, Mir; 1981. p. 117-151 (in Russian).

Grebodgi C, Ott E, Pelican S, Yorke J. Strange attractor that are not chaotic. Physica D. 1984;13(1-2):261-268. DOI: 10.1016/0167-2789(84)90282-3.

Bondeson A, Ott E, Antonsen Jr. TM. Quasiperiodically forced damped pendula and Schrodinger equations with quasiperiodic potentials: implications of their equivalence. Phys. Rev. Lett. 1985; 55(20):2103-2106. DOI: 10.1103/PhysRevLett.55.2103.

Romeiras FJ, Bondeson A, Ott E, Antonsen Jr. TM, Grebogi C. Quasiperiodically forced dynamical systems with strange nonchaotic attractors. Physica D. 1987;26(1-3):277-294. DOI: 10.1016/0167-2789(87)90229-6.

Romeiras FJ, Ott E. Strange nonchaotic attractors of the damped pendulum with quasiperiodic forcing. Phys. Rev. A. 1987;35(10):4404-4413. DOI: 10.1103/physreva.35.4404. Ding M, Grebogi C, Ott E. Evolution of attractors in quasiperiodically forced system. Phys. Rev. A. 1989;39(5):2593-2598. DOI: 10.1103/physreva.39.2593.

Ditto WL et al. Experimental observation of a strange nonchaotic attractor. Phys. Rev. Lett. 1990;65(5):533. DOI: 10.1103/PhysRevLett.65.533.

Ding M, Grebogi C, Ott E. Dimensions of strange nonchaotic attractors. Phys. Lett. A. 1989; 137(4-5):167-172. DOI: 10.1016/0375-9601(89)90204-1.

Hunt BR, Ott E. Fractal properties of robust strange nonchaotic attractors. Phys. Rev. Lett. 2001;87(25):254101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.87.254101.

Kapitaniak T, Ponce E, and Wojewoda J. Route to chaos via strange non-chaotic attractors. J. Phys. A.: Math. Gen. 1990;23(8):L383. DOI: 10.1088/0305-4470/23/8/006. Pikovsky A and Feudel U. Characterizing strange nonchaotic attractors. CHAOS. 1995;5):253. DOI: 10.1063/1.166074.

Feudel U, Kurths J and Pikovsky A. Strange nonchaotic attractor in a quasiperiodically forced circle map. Physica D. 1995;88(3-4):176-186. DOI: 10.1016/0167-2789(95)00205-I.

Zhou T, Moss F, Bulsara A. Observation of a strange nonchaotic attractor in a multistable potential. Phys. Rev. A. 1992;45(8):5394-5400. DOI: 10.1103/physreva.45.5394.

47. Kuznetsov S, Pikovsky A, Feudel U. Birth of a strange nonchaotic attractor: A Renormalization group analysis. Phys. Rev. E. 1995;51(3):R1629-R1632. DOI: 10.1103/PhysRevE.51.R1629.

48. Kuznetsov S, Feudel U, Pikovsky A. Renormalization group for scaling at the torus-doubling terminal point. Phys. Rev. E. 1998;57(2):1585-1590. DOI: 10.1103/PhysRevE.57.1585.

49. Witt A, Feudel U, Pikovsky A. Birth of strange nonchaotic attractors due to interior crisis. Physica D. 1997;109(1—2):180—190. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00168-1.

50. Osinga HM, Feudel U. Boundary crisis in quasiperiodically forced systems. Physica D. 2000; 141(1-2):54-64. DOI: 10.1016/S0167-2789(00)00031-2.

51. Kaneko K. Doubling of torus. Prog. Theor. Phys. 1983;69(6):1806-1810. DOI: 10.1143/PTP.69.1806.

52. Kuznetsov SP. Effect of a periodic external perturbation on a system which exhibits an orderchaos transition through period-doubling-bifurcations metal-insulator-semiconductor. JETP Letters. 1984;39(3):113—116. (in Russian).

53. Kuznetsov SP, Pikovsky AS, Feudel U. Strange non-chaotic attractor. World Scientific Publishing; 2006.

54. Bezruchko BP, Kuznetsov SP, Pikovsky AS, Feudel U, Seleznev EP. On the dynamics of nonlinear systems under an external quasiperiodic action near the end point of the torus doubling bifurcation line. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 1997;5(6):3-20 (in Russian).

55. Bezruchko BP, Kuznetsov SP, Seleznev YeP. Experimental observation of dynamics near the torus-doubling terminal critical point. Phys. Rev. E. 2000;62(6):7828-7830.

DOI: 10.1103/PhysRevE.62.7828.

56. Seleznev EP, Zakharevich AM. Dynamics of a nonlinear oscillator under quasi-periodic drive action. Tech. Phys. Lett. 2005;31(9):725-727. DOI: 10.1134/1.2061728.

57. Kislov VYa, Zalogin NN, Myasin EA. Investigation of stochastic self-oscillatory processes in autogenerators with delay. Journal of Comm. Tech. and Electronics. 1979;24(6):1118-1130 (in Russian).

58. Kats VA, Trubetskov DI. Onset of chaos during the disruption of quasiperiodic regimes and transition through intermittence in a distributed generator with retardation. JETP Letters. 1984;39(3):137.

59. Anischenko VS. Complex oscillations in simple systems. Vol. 87. Moscow, Nauka; 1990. 312 p. (in Russian).

60. Dmitriev AS, Panas AI. Dynamic chaos: new carriers of information for communication systems. Moscow, Fizmatlit; 2002. 252 p. (in Russian).

61. Vallee R, Delisle C. Periodicity windows in a dynamical system with a delayed feedback. Phys. Rev. A. 1986;34(1):309-318. DOI: 10.1103/PhysRevA.34.309.

62. Ikeda К, Kondo К, Akimoto О. Successive higher-harmonic bifurcations in systems with delayed feedback. Phys. Rev. Lett. 1982;49(20):1467-1470.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1467.

63. Le Verre М, Ressayre E, Tallet A, Gibbs HM. High-dimension chaotic attractors of a nonlinear ring cavity. Phys. Rev. Lett. 1986;56(4):274-277. DOI: 10.1103/PhysRevLett.56.274.

64. Kuznetsov SP, Pikovsky AS. Universality of period doubling bifurcation in one-dimensional dissipative medium. Radiophysics and Quantum Electronics. 1985;28(3):205-215.

DOI: 10.1007/BF01035479.

65. Bezruchko BP, Kuznetsov SP, Kamenskiy VYu, Ponomarenko VI. Experimental confirmation of the laws of universality and similarity for the model of a generator with delayed feedback. Tech. Phys. Lett. 1988;14(11):1014-1019 (in Russian).

66. Sinai YaG. Strange Attractors / Ed. Ya.G. Sinai and L.P. Shilnikov. Moscow, Mir, 1981. 253 p. (in Russian).

67. Modern problems of mathematics. Fundamental directions. Results of Science and Technology, v.2. Ed. RV Gamkrelidze. All-Russian Institute for Scientific and Technical Information of the Academy of Sciences USSR, Moscow; 1985. (in Russian).

68. Eckmann J-P and Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors. Rev. Mod. Phys. 1985;57(3):617-656. DOI: 10.1103/RevModPhys.57.617.

69. Katok AB, Hasselblat B. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge University Press, 1st edition, 1996. 824 p.

70. Afraimovich V, Hsu S-B. Lectures on chaotic dynamical systems, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 28, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, 2003, 353 pp.

71. Devaney RL. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. New York: Addison-Wesley; 1989. 360 p.

72. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press; 1993.

73. Kuznetsov SP. Dynamical chaos. Moscow; Fizmatlit; 2001. 296 p. (in Russian).

74. Newhouse S, Ruelle D, Takens F. Occurrence of strange Axiom-A attractors near quasi periodic flows on Tm, m ^ 3. Comm. Math. Phys. 1978(64):35-40. DOI: 10.1007/BF01940759.

75. Anishchenko VS, Astakhov VV, Vadivasova TE, Neiman AB, Strelkova GI, Shimansky-Geier L. Nonlinear effects in chaotic and stochastic systems. Moscow, Izhevsk, Inst. of Computer science, 2003 (in Russian).

76. Afraimovich VS, Bykov VV, Shilnikov LP. On the origin and structure of the Lorentz attractor. Proceedings of the Academy of Sciences USSR. 1977;234):336-339 (in Russian).

77. Mischaikow K, Mrozek M, Szymczak A. Chaos in the Lorenz Equations: A Computer Assisted Proof Part III: Classical Parameter Values. Journal of Differential Equations. 2001;169(1):17-56. DOI: 10.1006/jdeq.2000.3894.

78. Hunt TJ, MacKay RS. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor. Nonlinearity. 2003;16(4):1499.

DOI: 10.1088/0951-7715/16/4/318.

79. Hunt T.J. Low Dimensional Dynamics Bifurcations of Cantori and Realisations of Uniform Hyperbolicity. PhD Thesis, University of Cambridge, 2000.

80. Belykh V, Belykh I, Mosekilde E. Hyperbolic Plykin attractor can exist in neuron models. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2005;15(11):3567-3578.

DOI: 10.1142/S0218127405014222.

81. Kuznetsov SP, Seleznev EP. A strange attractor of the Smale-Williams type in the chaotic dynamics of a physical system. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2006;102(2): 355-364. DOI: 10.1134/S1063776106020166.

82. Kuznetsov SP, Ponomarenko VI, Seleznev EP. An autonomous system is a generator of hyperbolic chaos: schematic modeling and experiment. Izvestiya VUZ. Applied nonlinear dynamics. 2013; 21(5):17-30 (in Russian). DOI: 10.18500/0869-6632-2013-21-5-17-30.

83. Isaeva OB, Kuznetsov SP, Savin DV, Sataev IR, Seleznev YP. Hyperbolic chaos and other phenomena of complex dynamics depending on parameters in a nonautonomous system of two alternately activated oscillators. Int. J. Bif. Chaos. 2015;25(12):1530033.

DOI: 10.1142/S0218127415300335.

84. Kuznetsov SP, Ponomarenko VI. Realization of a strange attractor of the Smale-Williams type in a radiotechnical delay-feedback oscillator. Tech. Phys. Lett. 2008;34(9):771-773.

DOI: 10.1134/S1063785008090162.

85. Kuznetsov SP, Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors. Physica D. 2007;232(2):87-102. DOI: 10.1016/j.physd.2007.05.008.

86. Rodriguez-Vazquez A, Huertas HL, Rueda A, Perez-Verdue B, Chzhua LO. Chaos in circuits on switched capacitors. Proceedings of the IEEE. 1987;75(8):124-140 (in Russian).

87. Isaeva OB, Kuznetsov SP, Ponomarenko VI. Mandelbrot set in coupled logistic maps and in electronic experiment. Phys. Rev. E. 2001;64):055201. DOI: 10.1103/PhysRevE.64.055201.

88. Isaeva OB. Complex analytical dynamics as applied to radiophysical systems. Dissertation for the degree of candidate of physical and mathematical sciences. Saratov, 2003, 161 p. (in Russian).

Безручко Борис Петрович - родился в посёлке Шиханы Саратовской области (1946). Окончил Саратовский государственный университет (1969) по направлению «радиофизика и электроника». Работает в СГУ в должности профессора кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии и в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники РАН ведущим научным сотрудником лаборатории моделирования в нелинейной динамике. Доктор физико-математических наук по специальности «радиофизика», профессор. Автор более 100 статей в рецензируемых журналах.

Россия, 410019 Саратов, ул. Зелёная, 38

Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН Россия, 410012 Саратов, ул. Астраханская, 83 Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского E-mail: bezruchkobp@gmail.com

Пономаренко Владимир Иванович - родился в Саратове (1960). Окончил Саратовский государственный университет (1982). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1992) и доктора физико-математических наук (2008). Ведущий научный сотрудник Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН. Область научных интересов: нелинейная динамика, системы с запаздыванием, синхронизация, моделирование биологических систем. Автор более 200 научных публикаций.

Россия, 410019 Саратов, ул. Зелёная, 38

Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН Россия, 410012 Саратов, ул. Астраханская, 83 Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского E-mail: ponomarenkovi@gmail.com

Селезнев Евгений Петрович - родился в Саратове (1960), окончил Саратовский государственный университет (1982). После окончания СГУ работает в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН, в настоящее время в должности зам. директора по научной работе. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1990) и доктора физико-математических наук (2006). Область научных интересов - радиофизика, экспериментальное исследование нелинейных явлений. Имеет более 150 научных публикаций.

Россия, 410019 Саратов, ул. Зелёная, 38

Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН E-mail: evgenii_seleznev@mail.ru