CC BY
63
УДК 531/534: [57+61]
Российский Журнал
www.biomech.ru
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА СТРУКТУРЫ ТРАБЕКУЛЯРНОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ
А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, А.А. Заборских
Кафедра теоретической механики Пермского национального исследовательского политехнического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: nyashin@inbox.ru
Аннотация. Одной из основных задач современной биомеханики зубочелюстной системы является учёт структурных особенностей для различных её отделов. Неоднородность пористой структуры может быть описана методами количественной стереологии; при этом структурные особенности костной ткани описываются посредством тензора структуры (fabric tensor) Н. В работе рассмотрена измерительная процедура, позволяющая проводить стереологические исследования. Отработана методика экспериментального получения трёхмерных (кубических) образцов трабекулярной костной ткани, пригодных для дальнейшего построения тензора структуры.
Ключевые слова: биомеханическое моделирование, закон Вольфа, структура костных тканей, трабекулярная (губчатая) костная ткань, тензор структуры, эллипс структуры, муфельная печь.
Введение
В настоящее время существует множество неоднородных материалов, имеющих сложную внутреннюю структуру. То же самое относится и к объектам естественного биологического происхождения, таким как кость. Свойства таких материалов определяются, в том числе, их строением, структурой [6, 11, 15, 26, 31, 37].
В частности, известно, что трабекулярная (губчатая) костная ткань является неоднородной пористой анизотропной структурой. Механические свойства губчатой костной ткани также анизотропны и в значительной мере определяются её внутренней архитектурой [15, 17, 21, 22, 24]. При этом трабекулы в живой губчатой кости располагаются закономерно, сообразно тому, какие внешние нагрузки испытывает данная кость, о чём говорит закон Вольфа для костной ткани [16, 23, 48]. Многие задачи биомеханики зубочелюстной и опорно-двигательной систем человека требуют описания напряжённо-деформированного состояния губчатой костной ткани с учётом формирования её структуры во времени при изменении внешних нагрузок [6, 11-15, 35, 36, 40].
Например, при постановке задач об определении напряжённо-деформированного состояния в нижней челюсти человека необходимо учитывать не только неоднородность свойств твёрдых и мягких тканей, но и их внутреннюю структуру [11-15, 17, 26]. Таким образом, необходимо иметь способ количественного
© Киченко А.А., Тверье В.М., Няшин Ю.И., Заборских А.А., 2011 Киченко Александр Александрович, ст. преп. каф. теоретической механики, Пермь Тверье Виктор Моисеевич, к.т.н., доцент каф. теоретической механики, Пермь Няшин Юрий Иванович, д.т.н., профессор, зав. каф. теоретической механики, Пермь Заборских Анна Александровна, магистрант каф. теоретической механики, Пермь
09806267
описания формирующейся под воздействием изменяющегося биомеханического давления структуры костной ткани для различных отделов зубочелюстной системы [6, 11-15].
В связи с этим возникает необходимость введения величины, которая учитывала бы структурные особенности губчатой кости и могла бы быть легко встроена в зависимость строение - свойства материала, иначе говоря, в количественное описание микроструктуры кости.
В настоящее время считается, что одним из наиболее удачных способов описания локальной структуры многих пористых и композиционных материалов и, в частности, локальной структуры губчатой кости (в том числе степени её анизотропии) является симметричный, положительно определенный тензор второго ранга, названный тензором структуры (fabric tensor) и обозначаемый H [17, 18, 22, 29, 33, 34, 37].
Тензор структуры, построенный для губчатой костной ткани, позволяет компактно в тензорной форме описать анизотропию костной структуры, причём его главные значения позволяют охарактеризовать распределение материала вдоль главных направлений. Существенной особенностью тензора структуры является его общность: посредством этого тензора можно описать структурные особенности любой губчатой кости скелета человека.
В литературе практически отсутствуют данные о построении тензора структуры для реальных трёхмерных образов трабекулярной костной ткани [27]. В представленной статье была отработана методика получения трёхмерных образцов трабекулярной кости и дальнейшего построения тензоров структуры, соответствующих полученным образцам.
Материалы и методы
Количественное описание структуры губчатой костной ткани (построение тензора структуры) можно осуществить методами стереологии [8, 30, 41-47]. Для построения такого тензора необходимо определить ряд вспомогательных стереометрических величин. Все стереологические измерения производятся на плоском шлифе губчатой кости (или изображении этого шлифа), специально подготовленном для этого.
В первую очередь, определяется относительная площадь кости на поверхности шлифа, обозначаемая как Лль (рис. 1). Другая измеряемая величина - это число пересечений между линиями специальной тестовой сетки и границами «кость - пора», обозначаемое как /(9). Шаг сетки зависит от среднего размера структурных элементов исследуемого материала (т.е. от среднего размера трабекул).
Ещё одна необходимая стереометрическая величина - среднее расстояние между порами L - позволяет описать степень анизотропии материала. Согласно определению E. Underwood, среднее расстояние между порами - это «среднее расстояние между двумя границами «кость - пора», измеряемое вдоль определённого направления» [41]. Для определения L в данном направлении 9 на образец костной ткани (или его изображение) накладывается сетка, состоящая из параллельных тестовых линий, измерения повторяются в различных направлениях 9. Рис. 1 иллюстрирует подобное измерение.
На практике [6, 15] среднее расстояние между порами принято вычислять по следующей формуле:
Lb (е) = 2^Аль, (1)
Рис. 1. Определение среднего расстояния между порами для одной тестовой линии на костном шлифе в системе координат (еа - ер)
где Е/ - суммарная длина тестовых линий, /(9) - число пересечений между линиями сетки и границами «кость - пора», ААЬ - относительная площадь кости в исследуемом образце [15]. В результате серии измерений в различных направлениях можно получить синусоидальное распределение Lb(9) [15, 43].
Среднее расстояние между порами как функция направления Lb(9) может быть описано уравнением эллипса
Ґ
1
V
Ьъ (в)
таа + даРР + ™аа _ трр
2
2
cos2в + тар sin 2в,
(2)
где индексы а и в (не суммировать!) обозначают соответственно оси еа и ер в системе координат, введённой на плоскости костного шлифа, в которой проводятся измерения (см. рис. 1). В результате измерений получается эллипс, соответствующий формуле (2) [15].
В работе [28], основываясь на экспериментально полученных данных, авторы показали, что в трёхмерном случае (во всех трёхмерных губчатых структурах) среднее расстояние между порами Ьъ следует представлять в виде эллипсоида:
Ьъ (в)
п • М • п,
(3)
где п - единичный вектор в направлении тестовой линии на шлифе костного образца, определяемый как
п = cos в еа + sin в Єр,
(4)
поэтому можно ввести эквивалентный симметричный, положительно определённый тензор второго ранга: тензор анизотропии М. Согласно теореме об обратном тензорном признаке [5] таа, трр, тар являются компонентами тензора анизотропии М, который в матричном представлении имеет вид
тп т12 т13
м = т12 2 2 т2 3 2 т2
_т13 т23 т33
Тензор анизотропии М может быть построен с помощью метода, описанного в работе [28] для кубического костного образца. При изучении трёхмерного образца костной ткани необходимо провести исследование трёх взаимно ортогональных плоскостей (построить эллипс структуры путём измерения различных по направлению Lb(9) на исследуемых шлифах) и найти для каждой проекции соответствующие компоненты тензора анизотропии. При этом, поскольку обобщение трёхмерной информации от плоских измерений, сделанных на трех взаимно перпендикулярных шлифах костного образца, требует учитывать возможные изменения микроструктуры внутри исследуемого объёма, необходимо ввести определённые поправочные коэффициенты. Данные коэффициенты должны из неравенства
(тп/ да22)1_2 • (т22 / т33)2-3 • (т33/ т11)3-1 * 1 (5)
полученного вследствие вышеописанных причин, сделать равенство. Здесь индексы 1 и
2 обозначают измерения, проведенные в плоскости костного шлифа е1 - е2 и т.д. Иначе говоря, необходимо ввести поправки вида
X = «1X1, х2 = а2Х2 в плоскости е1 _ е2,
х2 = азХ2, х3 = «4Х3 в плоскости е2 _ ез, (6)
х{ = а5Х1, х3 = а6Х3 в плоскости е1 _ ез.
При этом поправочные коэффициенты также должны уменьшать погрешность измерений при эксперименте [15, 28]. Учитывая введенные поправки, получаем
т1'1 = а12т11, т'22 = а|т22, т{2 = а1 а2т12 в плоскости е1 _ е2,
т'22 = а2т22, т'33 = а%т33, т'23 = а3а4т23 в плоскости е2 _ е3, (7)
т[1 = а|т11, т'33 = а^т33, т'13 = а5а6т13 в плоскости е1 _ е3.
При определении компонент тензора анизотропии на плоскости е1 - е2 можно определить компоненту тензора (т^)^, т.е. компоненту тензора тп на плоскости е1 - е2. Аналогично при определении компонент тензора М на плоскости е1 - е3 можно определить компоненту тензора (т^)^, т.е. компоненту тензора тп на плоскости
е1 - е3. Для устранения погрешностей принимается равенство соответствующих компонент тензора М:
(т11 )1_ 2 = (т11)1_ 3,
(т22 )2 _ 3 = (т22)1_ 2, (8)
(т33)2 _ 3 = (т3з)1_ 3.
Учитывая (5) и (8), получаем соотношение
(т11 /т22)1_2 • (т22 /т33)2_3 • (т33 /т11)3_1 = (а1 а3 а6 /а2 а4 а5 ) . (9)
Для минимизации погрешностей уравнений принимаем, что
(а1 / а2) = (а3 / а4) = (а6 / а5) = [(т22 / т11)1_2 (т33 / т22)2_3(т11 / т33)3_1 ]1/6 . (10)
В итоге получаем систему из шести уравнений
«12(т1і)і-2 - «52(т1і)і-3 = 0 а22(т22)1-2 - а32(т22)2-3 = 0 а42(т33)2-3 - а62(т11)1-3 = 0,
аі/а2 - С = 0,
(11)
а3/а4 - С = 0, а6/а5 - С = 0,
где С - правая часть равенства (10), определяемая согласно следующему соотношению:
Система (11) включает в себя шесть неизвестных поправочных коэффициентов (а1, а2, а3, а4, а5, а6). Также должны выполняться условия
При этом необходимо задавать один из поправочных коэффициентов аі. Это возможно, поскольку интерес представляют не абсолютные значения компонент тензора структуры сами по себе, а отношения между главными значениями тензора анизотропии и ориентация его главных направлений [28, 37]. Данный факт в дальнейшем позволит нормировать тензор М и связанные с ним тензорные величины
Решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений позволяет уточнить компоненты тензора анизотропии М и построить эллипсоид структуры.
Компоненты уточнённого тензора анизотропии т^, т'22, т'33, т^, т'23, т'и можно
определить, воспользовавшись соотношениями (7):
В работе [18] было предложено называть тензор, алгебраически связанный с уточнённым тензором анизотропии, тензором структуры. Тензор структуры Н связан с тензором анизотропии М следующим образом [15, 18, 22, 37]:
При этом главные оси тензоров Н и М совпадают, однако формы эллипсоидов, геометрически отображающих эти два тензора, несколько отличны друг от друга.
Рассмотрим, каким образом может быть определён тензор анизотропии для плоского случая, а именно:
С = [(т22 / т11)1-2 (т33 / т22)2-3 (т11 / т33)3-1 ].
(12)
а2 Ф 0, а4 Ф 0, а5 Ф 0.
(13)
[15, 16, 17, 37].
тП = а12(т11)1-2, т22 = а22(т22)1-2, т3 3 = а42(т33)2-3,
(14)
(15)
м = Г таа та^ ^ таР тРРу
(16)
Для определения трёх компонент тензора M необходимо провести три измерения Lb(9) для трёх различных (желательно равноотстоящих друг от друга [30, 32]) направлений 9, а затем решить систему уравнений (2) относительно maa, mpp и map [15].
Обозначим левую часть уравнения (2) как некоторую функцию /(9), зависящую от измеряемых стереологических параметров, а именно:
/ (е) =
Lb (Є)
(17)
В этом случае можно получить зависимость компонент тензора М от этой функции в общем виде. Для простоты изложения введём следующие обозначения:
de/ de/
/t = / (Єі), у і = 2Єі, і = 1,2,3,
(18)
где fl - значения введённой стереометрической функции для соответствующих направлений 91. Тогда компоненты тензора анизотропии таа, трр и тар могут быть определены по следующим общим формулам:
m=
aa
mPP =
_ f2(l _ cosуі)_ f1(1 _ cosу2)
cos у 2 _ cos у1 _ fi(l + cos у 2 )_ f2 (1 + cos уї)
cos у2 _ cos у1
+x-
ctg
ctg
уї 2у2 ^ (l _ cosу1 )_ sin у1 , (19)
уі +у 2
•(l + cos у1) + si
Л
sin у1
(20)
тар = г.
Функция х, введённая для простоты изложения, может быть записана как
г = fз - к • А + А (к -1)
sin уз _ k • sin у 2 + sin у 1 (k _ l)
(21)
(22)
где k - коэффициент, зависящий от выбранных направлений при стереологических
измерениях
k
de/ cos у з _ cos у1
cos у 2 _ cos у1
При этом должно выполняться условие
sin (у 1 _ у 2) + sin (у 2 _ у з) + sin (у з _ у І)
2/1/2/3
* 0.
(23)
(24)
Учитывая выражение (15), связывающее тензор анизотропии М и тензор структуры Н, можно перейти к общей записи и для соответствующих компонент тензора структуры [15]. Если привести тензор М к диагональному виду
/X 0 ^
(25)
M
'aP
*aP
*pp;
p;
то тогда его компоненты и Хр могут быть определены как
cos у2 - cos у1 ^ ^ 2 )
У
cos у1 + sin у1 ±
cos у2 - cos у1
)
(26)
2
На практике наиболее распространенным случаем являются стереологические измерения для следующих направлений: 91 = 0°, 02 = 120° и 93 = 240°. Тогда с учётом (19-23) компоненты тензора анизотропии могут быть записаны следующим образом:
где к = 1. При этом необходимое условие положительной определённости тензора М может быть записано как
Для углов измерения 91 = 0°, 02 = 120° и 93 = 240° и Хр могут быть записаны как
В настоящее время при стереометрических исследованиях авторами используется интерактивный компьютерный метод. Последовательность измерительных процедур была разработана на кафедре теоретической механики Пермского национального исследовательского политехнического университета и подробно описана в работе [15]. В соответствии с вышеописанной методикой было проведено стереологическое исследование ряда тестовых, идеализированных структур, чью степень анизотропии не представляет труда определить визуально. Также был рассмотрен ряд микрофотографий, демонстрирующих различные образцы трабекулярной костной ткани. Полученные результаты не противоречат природной действительности и описывают степень анизотропии исследованных структур с высокой степенью точности [11, 14, 15].
Подготовка образцов трабекулярной кости для построения тензора струкуры
Для получения образцов трабекулярной костной ткани авторами была отработана методика получения шлифов кости. Аналогичные методики были ранее описаны в литературе [1], тем не менее возникла необходимость уточнить ряд параметров эксперимента. Отработка производилась на дистальных образцах бедренных костей, изъятых у крупного рогатого скота (коровы).
т,
аа
/1,
(27)
(28)
(29)
/1 > 0,
2/1/2 + /2/3 + /1/3)> (/12 + /22 + /з2)•
(30)
Чр = 3 [(/ + /2 + /з )± ^/12 + /22 + /з2 - /1/2 - /1/3 - /2/3
(31)
Тогда тензор структуры Н примет вид
(32)
а б
Рис. 2. Дистальные концы бедренных костей: а - дистальный конец бедренной кости коровы [7]; б - дистальный конец бедренной кости человека [2]
Рис. 3. Дистальный конец бедренной кости коровы (характерный образец)
На рис. 2, а показан дистальный конец бедренной кости коровы, на рис. 2, б -дистальный конец кости человека. Дистальный конец тела бедренной кости, расширяясь, без резкой границы переходит в два мыщелка - медиальный и латеральный, между которыми находится межмыщелковая ямка. Мыщелки бедра имеют суставные поверхности, которые, соединяясь, образуют надколенниковую поверхность, служащую для сочленения с большой берцовой костью и с надколенником. Над мыщелками расположены одноименные надмыщелки [2, 3]. Сравнительный анализ описания внешнего и внутреннего строения бедренной кости человека и крупного рогатого скота [7] не выявил принципиальных отличий в строении дистального отдела бедренной кости человека и коровы, поэтому нижеследующая методика подготовки для анализа и обработки бедренной кости крупного рогатого скота пригодна для аналогичной обработки человеческой кости.
Материалом для исследования являлись фрагменты мыщелков дистального отдела бедренной кости коровы. На рис. 3 показан характерный образец, иссекаемый из кости; резекция мышц и связок, имеющихся на мыщелке, производилась предварительно. Из данной и аналогичных костей, из медиального и латерального мыщелков, производилось иссечение образцов трабекулярной костной ткани. Их размеры не должны быть менее 1 см3 со стороной около 10 мм (имеется в виду пригодная для исследования область). На рис. 4 показаны области, из которых производилось извлечение образцов губчатой кости. В соответствии с описанной ранее методикой [15] иссечённые образцы должны иметь три взаимно ортогональные плоскости. В среднем удавалось получить препараты с размерами 20*20*20 мм (пригодная для исследования область).
а
Рис. 4. Расположение зон извлечения образцов губчатой кости из дистального отдела бедренной кости: а - вид спереди, б - вид сзади [2]
Рис. 5. Характерный трёхмерный образец трабекулярной костной ткани, иссечённый из медиального мыщелка дистального отдела правой бедренной кости коровы до (а) и после
(б) отделения от мыщелка
Резекция (иссечение) костных образцов производилась из медиального и латерального мыщелков дистальных отделов бедренных костей коровы. На рис. 5 показан характерный образец, иссечённый из медиального мыщелка дистального отдела правой бедренной кости до (рис. 5, а) и после (рис. 5, б) отделения от мыщелка.
На рис. 6 представлены три полученные взаимно ортогональные плоскости костного образца. Исследования проводились не позже одних суток после получения образца, без его консервации. С целью предотвращения высыхания и разложения препарата до исследования образцы трабекулярной кости хранили в герметичной таре при температуре -2 —4°С [1].
Известно, что при прокаливании кость теряет органические вещества, но сохраняет свою форму и строение [3, 9]. При этом оптимально доводить кость до серого каления [9]. Такое прокаливание позволяет сохранить достаточную прочность костного препарата для дальнейшей работы с ним (например, выявления структуры костной ткани), с другой стороны, имеющаяся органическая составляющая полностью выгорает. При этом температура горения костей превышает 800-1100°С, температура 600-800°С позволяет довести кость до серого каления без её разрушения.
в
Рис. 6. Три взаимно ортогональные грани иссечённого костного образца: а - фронтальная,
б - горизонтальная, в - сагиттальная
Таким образом, для выявления структуры костной ткани образцы подвергались прокаливанию в муфельной печи, помещённой в вытяжной шкаф (рис. 7). Для определения времени и температуры прокаливания была проведена серия экспериментов. Перед проведением испытаний образцы выдерживали в помещении в этой же таре в течение не менее двух часов с целью равномерного согревания до 20°С. Всего было испытано 16 образцов.
В результате было выявлено, что наилучший результат достигается при температуре прокаливания 600°С. Время прокаливания существенно зависело от размеров образца и варьировалось от 50 до 120 мин для образцов характерных размеров. Рекомендуемое [1] время прокаливания (четыре часа) оказалось завышенным, поскольку наблюдались испарение твердой фазы и повышенная хрупкость образца.
На рис. 8 представлен пример образца, доведённого до серого каления, сразу же после его извлечения из муфельной печи. Для выявления трабекулярной структуры полученные образцы было необходимо очистить от зольных остатков. На рис. 9 показан пример образца после соответствующей обработки.
Далее трабекулярная структура на трёх взаимно ортогональных плоскостях фотографировалась и оцифровывалась, на полученных изображениях костных шлифов выделялась площадка размерами 20*20 мм. Съёмка производилась при искусственном направленном освещении на цифровую фотокамеру Panasonic DMC-FZ 8 ^2.8^ 3.3, ВО 100).
Рис. 7. Муфельная печь
Рис. 8. Характерный вид костного образца после его извлечения из муфельной печи. Представлены взаимно ортогональные грани иссечённого костного образца: а - фронтальная, б - горизонтальная, в - сагиттальная; и его объёмное изображение (г)
Рис. 9. Характерный вид костного образца после его подготовки для построения тензора структуры. Представлены взаимно ортогональные грани иссечённого костного образца: а - фронтальная, б - горизонтальная, в - сагиттальная; и его объёмное изображение (г)
Обработка изображения и последующие необходимые стереометрические измерения выполнялись в специализированной программе для обработки и анализа изображений Image Tool в соответствии с описанной ранее методикой [15]. Шаг сетки был равен 1 мм.
Пример построения тензора структуры для трабекулярной кости
Для представленного на рис. 9 образца был построен тензор структуры. Результаты измерений (эллипсы структуры) показаны на рис. 10. Полученные данные позволяют утверждать, что исследованный образец практически изотропен в двух плоскостях и имеет преимущественное распределение трабекул в сагиттальной плоскости.
Результаты измерений для представленных образцов показаны на рис. 11. Видно, что исключение компактной ткани из исследуемого объёма оказывает существенное влияние на измерения, проведённые на горизонтальной плоскости. Для других плоскостей представленные эллипсы структуры качественно соответствуют ранее полученным результатам. Данный факт, по-видимому, можно объяснить тем, что компактная ткань на горизонтальном костном шлифе занимала более значимую область, чем на оставшихся шлифах.
в
Рис. 10. Три взаимно ортогональные грани иссечённого костного образца с наложенными на них эллипсами структуры: а - фронтальная, б - горизонтальная, в - сагиттальная. На рисунке видна область, занимаемая компактной костной тканью
в
Рис. 11. Три взаимно ортогональные грани иссечённого костного образца с наложенными на них эллипсами структуры: а - фронтальная, б - горизонтальная, в - сагиттальная. Область расположения компактной костной ткани исключена из рассмотрения
Рис. 12. Эллипсоид структуры для образца, показанного на рис. 10
В соответствии с вышеописанной методикой был построен тензор анизотропии; с учетом поправочных коэффициентов a1 = 0,96, a2 = 1,11, aз = 1,27, a4 = 1,46, a5 = 1,00 (коэффициент задавался), a6 = 0,87 тензор М имел следующие компоненты:
' 3,31 0,48 - 0,54
м = 0,48 5,97 - 0,31
- 0,54 - 0,31 4,10
Эллипсоид структуры показан на рис. 12.
Заключение
Была отработана методика экспериментального получения трёхмерных образцов трабекулярной костной ткани и дальнейшего построения тензора структуры. В настоящее время после изучения методов, используемых для количественной оценки процессов перестройки костной ткани, авторы продолжают рассматривать математическое моделирование в качестве инструмента более глубокого изучения того, как осуществляется перестройка и как она влияет на структуру кости. Возвращаясь к закону Вольфа, повторим, что трабекулярная архитектура губчатой кости в локальной области структурно адаптируется к местному напряжению в костной ткани [15, 17, 26, 31, 37-40, 48]. В частности, ориентация трабекул в данной области совпадает с главными направлениями тензора напряжений в этой же области [15-26, 31, 37, 49]. При моделировании напряжённо-деформированного состояния кости значительный интерес представляет описание эволюции трабекулярной структуры во времени.
Список литературы
1. Акулич Ю.В., Акулич А.Ю., Денисов А.С. Определение параметров структуры губчатой кости проксимального отдела бедра человека по оптической плотности рентгенологического изображения // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Медицинские науки. -
2007. - № 1. - С. 3-11.
2. Анатомический атлас человеческого тела / под ред. Ф. Кишша. - Будапешт: Изд-во Акад. наук Венгрии, 1973. - Т. 1. - 316 с.
3. Билич Г.Л., Сапин М.Р. Анатомия человека. - М.: Издательский дом ОНИКС, 1998. - Кн. 1. - 236 с.
4. Бусыгин А.Т. Возрастные особенности строения восходящей ветви нижней челюсти. - Ташкент:
Гос. мед. изд-во Министерства здравоохранения УзССР, 1961. - 272 с.
5. Демидов С.П. Теория упругости. - М.: Высш. шк., 1979. - 432 с.
6. Киченко А.А., Тверье В.М., Няшин Ю.И., Симановская Е.Ю., Еловикова А.Н. Становление и развитие классической теории описания структуры костной ткани // Российский журнал биомеханики. - 2008. - Т. 12, № 1. - С. 68-88.
7. Попеско П. Атлас анатомии домашних животных. - М.: Академия, 2005. - Т. 3. - 206 с.
8. Салтыков С.А. Стереологическая металлография. - М.: Металлургия, 1958. - 122 с.
9. Самищенко С.С. Судебная медицина: учеб. для юридических вузов. - М.: OCR Палек, 1998. - 294 с.
10. Симановская Е.Ю., Еловикова А.Н., Тверье В.М., Няшин Ю.И. Биомеханическое описание особенностей функций жевательного аппарата у человека в норме и при различных патологических процессах // Российский журнал биомеханики. - 2004. - Т. 8, № 4. - С. 15-26.
11. Тверье В.М., Симановская Е.Ю., Еловикова А.Н., Няшин Ю.И., Киченко А.А. Биомеханическое описание структуры костных тканей зубочелюстной системы человека // Российский журнал биомеханики. - 2007. - Т. 11, № 1. - С. 9-24.
12. Тверье В.М., Симановская Е.Ю., Няшин Ю.И. Атрофический синдром, связанный с изменениями
биомеханического давления в зубочелюстной системе человека // Российский журнал
биомеханики. - 2006. - Т. 10, № 1. - С. 9-13.
13. Тверье В.М., Симановская Е.Ю., Няшин Ю.И. Методы биомеханического моделирования зубочелюстной системы человека // Современные проблемы биомеханики. Биомеханика: достижения и перспективы: научный совет РАН по биомеханике. - М.: Изд-во МГУ, 2006. - Вып. 11. -С. 226-236.
14. Тверье В.М., Симановская Е.Ю., Няшин Ю.И., Киченко А.А. Биомеханический анализ развития и функционирования зубочелюстной системы человека // Российский журнал биомеханики. - 2007. -Т. 11, № 4. - С. 84-104.
15. Экспериментальные методы в биомеханике / под ред. Ю.И. Няшина, Р.М. Подгайца. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2008. - 400 с.
16. Cowin S.C. An evolution Wolff’s law for trabecular architecture // J. Biomech. Engng. - 1992. - Vol. 114. -P. 129-136.
17. Cowin S.C. Bone mechanics handbook. - Second edition. - New York: CRC Press, 2001. - 1136 p.
18. Cowin S.C. Fabric dependence of an anisotropic strength criterion // J. Mech. Materials. - 1986. - Vol. 5. -P. 251-260.
19. Cowin S.C. Imposing thermodynamic restrictions on the elastic constant-fabric tensor relationship // J. Biomechanics. - 1998. - Vol. 31. - P. 759-762.
20. Cowin S.C. Mechanical modeling of the stress adaptation process bone // J. Calcified Tissue Int. - 1984. -Vol. 36. - P. S99-S104.
21. Cowin S.C. The mechanical and stress adaptive properties of bone // J. Annals of Biomechanical Engineering. - 1983. - Vol. 11. - P. 263-295.
22. Cowin S.C. The relationship between the elasticity tensor and the fabric tensor // J. Mech. Materials. -
1985. - Vol. 4. - P. 137-147.
23. Cowin S.C. Wolff’s law of trabecular architecture at remodeling equilibrium // J. Biomech. Engng. -
1986. - Vol. 108. - P. 83-88.
24. Cowin S.C., Mehrabadi M.M. Identification of the elastic symmetry of bone and other materials // J. Biomechanics. - 1989. - Vol. 22. - P. 503-515.
25. Cowin S.C., Mehrabadi M.M. On the identification of material symmetry for anisotropic elastic materials // J. Mech. Appl. Math. - 1987. - Vol. 40. - P. 451-476.
26. Fung Y.C. Biomechanics. - New York: Springer-Verlag, 1990. - 464 p.
27. Goulet R.W., Goldstein S.A., Ciarelli M.J., Kuhn J.K., Brown M.B., Feldkam L.A. The relationship
between the structural and orthogonal compressive properties of trabecular bone // J. Biomechanics. -
1994. - Vol. 27. - P. 375-389.
28. Harrigan T.P., Mann R.W. Characterization of microstructural anisotropy in orthotropic materials using a second rank tensor // J. Mater. Sci. - 1984. - Vol. 19. - P. 761-767.
29. Kanatani K. Stereological determination of structural anisotropy // Int. J. Eng. Sci. - 1984. - Vol. 22. -
P. 531.
30. Lloyd E., Hodges D. Quantitative characterisation of bone. A computer analysis of microradiographs // J. Clin. Orthop. - 1971. - Vol. 78. - P. 230-250.
31. Martin R.B., Burr D.B., Sharkey N.A. Skeletal tissue mechanics. Second edition. - New York: Springer-Verlag, 1998. - 392 p.
32. Merz W.A., Schenk R.K. Quantitative structural analysis of human cancellous bone // J. Acta. Anat. -1970. - Vol. 75. - P. 54-66.
33. Oda M. Fabrics and their effects on the deformation behaviors of sand. - Saitama University: Dept. of Foundation Eng., 1976.
34. Odgaard A., Kabel J., van Rietbergen B., Dalstra M., Huiskes R. Fabric and elastic principal directions of cancellous bone are closely related // J. Biomechanics. - 1997. - Vol. 30. - P. 487-495.
35. Simanovskaya E.Y., Bolotova M.Ph., Nyashin Y.I. Mechanical pressure as generator of grouth, development and formation of the dentofacial system // Russian Journal of Biomechanics. - 2001. - Vol. 5, No. 3. - P. 14-17.
36. Simanovskaya E.Y., Bolotova M.Ph., Nyashin Y.I., Nyashin M.Y. Masticatory adaptation of the human dentofacial system // Russian Journal of Biomechanics. - 2002. - Vol. 6, No. 4. - P. 15-61.
37. Telega J.J., Jemiolo S. Fabric tensor in bone mechanics // J. Engineering Transactions. - 1998. - Vol. 46. -P. 3-26.
38. Turner C.H., Cowen S.C. On the dependence of elastic constants of an anisotropic porous material upon porosity and fabric // J. Mater. Sci. - 1987. - Vol. 22. - P. 3178-3184.
39. Turner C.H., Cowen S.C., Rho J.Y., Ashman R.B., Rice J.C. The fabric dependence of the orthotropic elastic constants of cancellous bone // J. Biomechanics. - 1990. - Vol. 23. - P. 549-561.
40. Tverier V.M., Nyashin Y.I., Simanovskaya E.Y. Biomechanical description of the functional features of human masticatory apparatus in norm and in various pathological processes // J. Mechanika & Medycynie. -
2008. - No. 9. - P. 147-160.
41. Underwood E. Quantitative stereology . - Mass.: Addision Wesley, 1970. - 370 p.
42. Whitehouse W.J. A stereological method for calculating the internal surface areas in structures which have become anisotropic as the result of linear expansions or contractions // J. Microscopy. - 1974. - Vol. 101. -P. 169-176.
43. Whitehouse W.J. Cancellous bone in the anterior part of the iliac crest // J. Calcified Tissue Research. -1977. - Vol. 23. - P. 67-76.
44. Whitehouse W.J. Irregularities and asymmetries in trabecular bone in the innominate and elsewhere // J. Metab. Bone Dis. Rel. Res. - 1981. - Vol. 2. - P. 271-278.
45. Whitehouse W.J. The quantitative morphology of anisotropic trabecular bone // J. Microscopy. - 1974. -Vol. 101. - P. 153-168.
46. Whitehouse W.J., Dyson E.D. Scanning electron microscope studies of trabecular bone in the proximal end of the human femur // J. Anat. - 1974. - Vol. 118. - P. 417-444.
47. Whitehouse W.J., Dyson E.D., Jakcson K.C. The scanning electron microscope in studies of trabecular bone in a human vertebral body // J. Anat. - 1971. - Vol. 108. - P. 481-496.
48. Wolff J. Das Gesetz der Transformation der Knochen. - Berlin: Hirshwald, 1892. - 416 p.
49. Zysset P.K., Curnier A. An alternative model for anisotropic elasticity based on fabric tensor // J. Mech. Mat. - 1995. - Vol. 21. - P. 243-250.
EXPERIMENTAL DETERMINATION OF THE FABRIC TENSOR FOR CANCELLOUS BONE TISSUE
A.A. Kichenko, V.M. Tverier, Y.I. Nyashin, A.A. Zaborskikh (Perm, Russia)
Consideration of structural features of the dentofacial system units is one of the main problems of contemporary dental biomechanics. Heterogeneity of spongy structure can be described by methods of quantitative stereology. At the same time, structural features of the bone tissue are described by means of the fabric tensor H. The measuring procedure for stereological investigations is analyzed. Procedure of experimental obtaining of threedimensional (cubical) cancellous bone tissue is elaborated; these specimens will be applicable for fabric tensor construction in future.
Key words: biomechanical modelling, Wolff’s law, bone tissue structure, trabecular (cancellous) bone tissue, fabric tensor, fabric ellipse, muffle furnace.
Получено 15 ноября 2011
