CC BY
2
МАШИНОСТРОЕНИЕ
УДК 534-18+621.0
DOI: 10.25206/1813-8225-2024-191-5-13 EDN: GRFNGU
Б. А. КАЛАШНИКОВ1 В. В. БОХАН12 К. В. ПЕНЬКОВ1
1 Омский государственный технический университет, г. Омск
2 АО «Федеральный научно-производственный центр «Прогресс»,
г. Омск
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ДЕМПФИРОВАНИЯ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ_
Коэффициенты нелинейной функции демпфирования механической системы с одной поступательной степенью свободы определяются по экспериментально полученной осциллограмме свободных колебаний. Функция моделируется тремя видами трения: сухим, линейно-вязким и нелинейно-вязким. Определяются численные значения коэффициентов демпфирования. Получена характеристика диссипативной силы в функции перемещения, по которой находится количество рассеянной за период энергии. Методом энергетического баланса приближённо находится эквивалентный коэффициент относительного затухания, с использованием которого выполняется численное интегрирование уравнения движения. Наложением расчётной осциллограммы на экспериментальную показывается удовлетворительное совпадение огибающей и фазы колебательного процесса. Уточнение параметров функции демпфирования может быть найдено аппроксимацией экспериментальных амплитуд. Найденное значение коэффициента относительного затухания может быть использовано для решения нелинейных задач динамики слабодемпфированных систем.
Ключевые слова: нелинейная функция демпфирования, сухое трение, линейно-вязкое трение, нелинейно-вязкое трение, диссипация энергии, огибающая, коэффициент относительного затухания, метод энергетического баланса.
1. Введение. Механизмы демпфирования играют важную роль во многих приложениях, включая мониторинг состояния конструкций [1], динамику робототехнических [2, 3], энергетических [4, 5], механических [6], биологических [7—10], микро-и наноэлектромеханических [11, 12] систем. Правильный выбор модели демпфирования и оценка параметров её нелинейной функции скорости являются важной проблемой в области динамики ме-
ханических систем (МС). Основные трудности возникают из-за большого разнообразия механизмов рассеивания энергии, их сложности и взаимодействия, а также приближённого характера моделей диссипации энергии [13]. Такой подход с ограниченным интересом к фактическим источникам и механизмам демпфирования обосновывается тем фактом, что количество энергии, рассеиваемой в обычных МС, весьма незначительно. Поэтому
диссипативные силы, зависящие от этой энергии, являются малыми по сравнению с инерционными и восстанавливающими силами. Физически более обоснованные методами теории вязко- и термоупругости модели внутреннего трения являются и более сложными, и поэтому используются редко.
При расчёте частотных характеристик МС основной проблемой является определение характеристик сил неупругого сопротивления. Непосредственное измерение их сопряжено с большими трудностями, однако достаточно просто можно получать экспериментальные осциллограммы свободных затухающих колебаний МС. Уменьшение амплитуд на них определяется конкретной, в общем случае, нелинейной функцией демпфирования. Поэтому, получив убывающую последовательность их, можно определить параметры этой функции. Известно, что демпфирование, возникающее при движении МС, обусловлено тремя видами трения: внутренним, конструкционным и внешним, вызванным движением в вязких средах, жидкостях или газах.
Для важного частного случая слабодемпфиро-ванных МС с одной степенью свободы, линейных по восстанавливающей силе, нелинейную функцию демпфирования, зависящую только от обобщённой скорости, с помощью малого параметра £ представляют в виде степенной функции О (д) = рЯ|X либо в виде степеннот= ряда [14, с. 354; 15—16]
о- (н ) = р£ Ял|н|
. |Л-1 .
" н
(1)
причём в практически важных случаях т < 2. Это означает, что нелинейная функция демпфирования, формируемая все=и имдющимися в МС источниками сил неупругого сопротивления,моделируется суммой сухого (о д 0), яинеЯнд -вяздого (п = 1) и квадратичного (п = 2) трения.
В работе [13] пр= экспериментальном и численном рассмотрении колеб аний МС в виде плоского физического маятника в воздухе рассматриваются три составляющие силы неупругого сопротивления:
— линейно-вязкая (пропорциональная угловой скорости);
— нелинейно-вдзкая (квадрадично дависящая от этой скорости);
— пропорциднальная у=корению.
Отмечается, что последняя компонента вводится
для удовлетворидел=но го приближения к реальному движению маятника в воздухе. Со ссылкойна [17] утверждается, чэо введдние достзвдяющей, =оо-порциональной ускореиию в в ыражении доя силы сопротивления, не следует считать необычным. В случае колебательного движения элементарных тел (сферы, бескинечноео цилиндра и т. д.) в вяи-кой жидкости аналитические решения прд малых числах Рейнольдса показывают, что сопротивление имеет две части: пропо0 циональнвю с ко рости (диссипативную) и пропорциональную усворению
(инерционную). В дкспе.имедте вачмлдны. уьил
р
отклонения маятника цыл «больюим»: — е Кд е р .
Коэффициенты демпфирования для четырёх дмш маятника находались тремя методами: конечно-разностным, бисекции и градиентным. Вычислялись средние и средне квадратичные ошибки результатов численного интегрирования уравнений движения по сравнению с экспериментальными осциллограммами. Уравнения интегрировались последовательно с линейным трением, с суммой линейного и ква-
дратичного и с суммой линейного, квадратичного и трения, пропорционального ускорению. Отмечено, что во втором случае коэффициент демпфирования получился отрицательным, что физически нереализуемо, и поэтому авторы ограничились только квадратичным трением, утверждая, что в этом случае предсказание действительного движения лучше, чем в случае только линейного трения.
Показано, что введение в демпфирующий коэффициент члена, пропорционального ускорению, не является пренебрежимо малым и что вклад этого члена зависит от начального угла отклонения маятника.
На заключительной стадии выполняется «общая оптимизация», под которой понимается, что расстояние между численными и экспериментальными осциллограммами минимизируется одновременно для всех значений начальных отклонений и длин маятника. Приведены значения трёх коэффициентов демпфирования для четырёх различных длин маятника.
Констатируется, что описание силы неупругого сопротивления, зависящей как от скорости, так и от ускорения, оказывается наиболее подходящим. Утверждается, что трение в опоре маятника несущественно по сравнению с сопротивлением воздуха. Способность шнура к скручиванию и неплоские колебания могут иметь большее значение. Все три коэффициента предполагались постоянными, не зависящими от числа Рейнольде а.
В статье [18] экспериментально и теоретически рассматриваются колебания линейного по восстанавливающей силе физического мрятника — шара. Указывается, что использование закона линейно-вязкого трения Стокса о = 6Р^Гд в этом случае приводит к большим ошибкам и что необходимо учитывать квадратичное и внутреннее трение.
В дополнение к формуле Стокса при гармоническом движении сила вязкого трения включает в себя «глубину проникновения 5», которая зависит от угловой частоты колебаний ю и плотности жидкости р. Путем сравнения теории и эксперимента предложено уточнённое выражение для формулы Стокса при гармоническом движении, в которую входит «глубина проникновения». Показано, что в обычных случаях глубина 5 меньше радиуса шара примерно на порядок. Другими словами, вязкое гармоническое трение может быть намного больше, чем вязкое трение стационарного потока. При этом показано, что диссипативная сила пропорциональна площадишара, а не её радиусу.Отмечено,что если в МС включены скользящие или катящиеся элементы, то должно использоваться нелинейное трение Кулона. Констатируется также, что квадратичное трение наиболее важно в начале затухающих колебаний, линейное в средней части и сухое в их конце. Приведена осциллограмма свободных зату-хьющих колебаний физического маятника в воде, на которую нанесена полученная численно огибаю щая.
В уравнении движения с линейной восстанавливающей силой учитываются четыре видатрения: сухое, гистерезисное, амплитудно-зависимое (жидкостное) и линейно-вязкое, причём первые три зависят от знака скорости. Гистерезисное и амплитудно-зависимое называются «модифицированным кулоновским» затуханием.
В статье [19] предлагается метод измерения сил и коэффициентов трения на основе регистрации затухающих амплитуд, не требующий измерения
о=0
самих амплитуд. Эксперименты проводятся на физическом маятнике с опорой качения. Утверждается, что при числе полных колебаний, превышающих 103, метод, предложенный в [14, 15], неудобен, а уменьшение числа измеряемых амплитуд, приводит к увеличению погрешности в определении коэффициентов де мп фи рования Р0, Р1, Р2. Сила трения (диссипативная функция) аппроксимируется выражением ((К) = (И + И|К + рк2) sign(K). Уравнение движения решается асимптотическим методом, при помощи которого находятся выражения для второй гармоники тройной частоты и поправка для частоты свободных колебаний,влиянием которых на решение в дальнейшем пренебрегают. При этом утверждается, что полученное выражение для огибающей первой гармоники остаётся прежним. Из аппроксимации этим выражением экспериментальной огибающей находятся коэффициенты демпфирования
Ро, Р1, Р2.
Арсенал исследователей по надежной оценке параметров демпфирования постоянно пополняется по мере открытия новыхи более сложных методов анализа данных. К их числу относится анализ топологических данных (пиков-впадин осциллограмм), двумерное изображение которых называется диаграммой инерционности и которое используется для оценки параметров степенного затухания из функции свободного отклика. В статье [20] приведены результаты оценки коэффициентов сухого линейно-вязкого иквадратичного трения с минимизацией влияния аддитивного шума на экспериментальные осциллограммы свободных затухающих колебаний физического маятника. Утверждается, что по сравнению с большинством алгоритмов идентификации параметров затухания этот метод является вычислительно быстрым и требует только временного ряда в качестве входных данных. Показано, что он устойчив к широкому диапазону параметров затухания, к высоким уровням шума и низким ча-стокам дискр етизации. При оценке вязкого затухания метод позволяет достаточно точно рпределять коэффициент относительного затухания вплоть до кр=тиоеского ^ = 1, в то время как большинство методов рграничено значением Ка=3. Метод может быть распространён на МС с конечным числом степеней свободы.
2. Экспериментальная частн.
2.1. Эксперкментсльнык стенд. Установка представляет собой тележку масс ей т = К,5 кг, которая мокет пер вмещаться только г горизонтальном направлении в иредтлао +р,2 м (рис. 1).
ЮИсткость боковой пружины, найденная эксперимент альо о по формуле с2 = ис2 составляет
—
с2 = 11Н2 —
м
Демпфирующие глементы Р0, Р1, в2 условно представляют непотенциальные силы, возникающие при колебанинк массы т зг счет внрт^ннего трения в материале пружин, конструкционного трения и сопротивления воздуса (рис. 2).
Характеристика суммарной диссипативной силы (нелинейной функци— демпфирования), создаваемой этими факторами, записывается в виде
fd (x) = Pq Х + p1x + |2|x|x.
Рис. 1. Стенд для экспериментального определения нелинейной функции демпфирования
Рис. 2. Динамическая модель МС для определения нелинейной функции демпфирования по огибающей колебательного процесса а^^
с последующей записью ее через мостовую схему и многофункциональную плату аналогового и цифрового ввода/вывода ЛА — 70М4 на жесткий диск компьютера с последующей обработкой в пакете Maple.
Установка позволяет изучать и другие задачи линейной и нелинейной динамики. Например, получать экспериментальные данные по частотам и формам главных колебаний МС с двумя степенями свободы или амплитуды и частоты точек бифуркации в осцилляторе Дуффинга.
2.2. Результаты эксперимента. В ходе эксперимента выполнялась запись дискретных отсчетов свободных колебаний МС до ее полной остановки с шагом дискретизации - 0,02 с.
По формулам
= ai + «W У = «к-«к
(3)
(2)
Измерение об об щенной координаты (ОК) x производится датчиком потенциометрического типа
находилась сумма и разность соседних амплитуд ак свободных затухающих колебаний (табл. 1).
Отсчёты ОК и времени фиксировались до тех пор, пока аддитивный шум не становился по уровню сопоставимым с полезным сигналом — затухаю-щимиколебаниями. На сбойных участках (если они возникали) отсчёты определялись приближённо. Далее дискретные значения ОК и времени (табл. 1)
x
к
Таблица 1
Амплитуды ak, их сумма xk и разность yk по огибающей осциллограммы a (í)
№ ak Ук
1 0,0744 0,13233 0,00855
2 0,06189 0,11480 0,00898
3 0,05291 0,09897 0,00685
4 0,04606 0,8660 0,00552
5 0,04054 0,07890 0,00218
6 0,03836 0,07101 0,00571
7 0,03265 0,06160 0,00370
8 0,02895 0,05405 0,00385
9 0,02510 0,04849 0,00171
10 0,02339 0,04379 0,00299
11 0,02040 0,03866 0,00214
12 0,01826 0,03438 0,00214
13 0,01612 0,02995 0,00299
14 0,01383 0,02644 0,00122
15 0,01261 0,02274 0,00248
16 0,01013 0,01956 0,00070
17 0,00943 0,01828 0,00058
18 0,00885 0,01685 0,00085
19 0,00800 0,01471 0,00129
20 0,00671 0,01214 0,00128
21 0,00543 0,01043 0,00043
22 0,00500 0,00957 0,00043
23 0,00457 0,00758 0,00156
24 0,00301 0,00459 0,00143
25 0,00158 0,00273 0,00043
26 0,00115 0 0
отклонению, т.к. во всех экспериментах начальная скорость устанавливдлась нулевой д = 0.
3. ОбраЛодкх резульяадов эдсперимента. Уравнение движения МС на рис. 2 с функцией демпфирования (2) при )=1 оое в ней только первых трёх слагаемых записывается в виде
mx + Р0--1- рx + 02 |x|X + c2x = 0.
xi
(4)
Его можно использовать и фя нахождения нелинейной функции демпфирования в МС типа Дуффинга (при дополнительной установке в стенд на рис. 1 в ертикель н о й пружшнь^) пр и ус лови и пр е-небрежения ]в её эквевалентной жёсткости зависимостью от амплитуды колебаний.
Из малости келебений не всегда слееует линейность МС по восстансвдиваияцей смле. Напртмер, МС типа Дуффинга с начальной деформацией вертикально^ пружины, равной нулю, принципиально не может нввершать линейных колебаний, т.к. в этоь сл^1 ае в степенной характеристике восстанавливающей силы нет линейного члена и излагаемая ниже методика опрн.еленоя нелинейной функции демпфирования неприменима.
Коэффицпенты неупругого сопротивления Р0, Р1, Н2 с ненинейдой функоси демпфирования (2), входящей в ура внение (4), связаны с соответствующими приведенным и коэффициентами трения у0, у1, у2, сооцпошениями [14, с. 357; 15, с. 155].
1 в в
л ^ тиВСтф;лн а _иссф;лв а _свф. (5)
К в в
Коэффициенты у0 у1Г у2, имеющие размерность [м], [1/р], Ьм-1], определяютев из системы линейных акгебраическвх у^вндний [ 14, а. 35ь]
(Н ь н)ст д (Мо,)сн д (Мань.11^Н2^Св а 3] ь 3Nьа
н ь 1 ё (е ь 1 ё (е ь i ё
М ct |ст д I М оН |сн д I М 4 |св а (пт ь 3еь 1)(пт д 3еьн)
еь1
у 2
( N--
Z xk / +1 Z x31т- +1 Z x¡ Ir2 = Z х2Ук
к I/2
к=- J к=-
.(6)
Рис. 3. Экспериментальная осциллограмма свободных затухающих колебаний МС на рис. 1и еёмодели на рис.2
перемасштабировались в пакете Maple, попарно конвертировались в список списков, который в виде осца;сограммы выводился на печать (рис. 3).
Визуально нелинейность характеристики демпфирующей силы вбнаружсиваессо уже в том, ото обе огибающих типичной осциллограммы не имеют вида экспоненты. На рис. 3 обозначено N = = 26 амплитуд, по которым определялись коэффициенты нелинейной фуэкции демпфирования Bd (И Д. МС имеет с р мметричлую линейную характеристику восстанавливающей силы, поэтому период колебаний есть достояиная величина . Число юс| s 16 с-1 — это значение частоты свободных колебаний МС с демпфированием, найденное по их периоду, а число и0 = aenv(0) у 0,09 м — это начальное значение огибающей a (t), равное начальному
где сумма хк и разность ук соседних амплитуд ак определялись по (3) в табл. 1.
Для краткости система (6) переписывается в виде
а11 ai2 ai3" Y о b ]
a21 a22 a23 T1 (7)
a3i a32 a33 _ Ьз J
4В
Коэффициент у0 = —0 = Аак , равный посаоян-У2
ной величине, есть уменьшение амплитуд п4 прямолинейной огибающей за один период затухающих колебаний при условии, что МС демпфиров ана
ь
только сухим трением; коэффициент у1 = —, где
5 — логарифмический декремент — при условии, что система демпфирована только линейно-вязким трением.
Решив систему линейных алгебраических уравнений (7), получим коэффициенты у0, у1Г у2, а по ним по соотношениям (=) коэффициентьы демпфирования
к=-
к=-
к=-
N--
N--
к=-
к=-
Р0 = 0,134 H; н = 1,73
м/с
у 10'.
Р2 = 1,468
H
2 д 2 ■
н2/с
(8)
y(x) = Yo + Y ix + Э^2
(9)
пересчитывается в нелинейную функцию демпфирования (2) при помощи соотношений [14, с. 361]
x(и) п —и,
2м n
У(x) п (Ро + Pix + P2Iи\и) ■
(1o)
лгм_
fi(x) = ±Р „(ом)
1 -
(12)
4. Валидация коэфоициентов функции демпфирования
4.1. Привед ео на я х ар актерис тик а о елинейной функции демпфирования. Приведенная функция демпфирован иа
*
* . J * эксперимент
Д. Н
и
(Г 25
D.S
12 xin-.м
_1__I
П.75
У. м/с
Рис. 4. Нечётно-симметричные графики приведенной аппроксимирующей (11) и нелинейной функции демпфирования (2)
л«
Зависимость рпп^нос^и экспе^]:^:ииептаоины:х; (Амплитуд от их суммы (9) аппроксимируется методом наименьших ква„ратов па+аболо1
y(x) П 0,2lx2 4- о,039x + 0,00046. (11)
Если демпфирование в МС равно нулю, т. е. она консервативна, то разность соседних амплитуд становится равыои нушн, а мх с—мма — Кривая (9) вырождается в точку с координатами (2x0; 0). Другими словами, огибающая a (t) содержит в себе всю информацию о нелннайно(ь функции демпфирования (О).
После перосчёта диссипативной силы и скорости в разность и сумму амплитуд или, наоборот, с использовалием (Ш) 1рафикифрнкцир демпфирования (2) н (11) должны инвпадать (рис. 4).
Следует отметить ппчти линейный тип характе-рис^ини диссипативной силы.
4.2. Нелинейная функция демпфирования. При ]тасчёте этой харакоеристати и сё составляющих с использованием коэффицленссв (8) принима-лодь, что к одвому концу исружины с2 прикладывается гармоничес^кнэмн^матиче^к:ое возбуждение y(t) = д cocrot с н£1лтот^й, до\и^;скнй к собственной ros roc s 16 ста к, чтоб ы амплитуда абсолютных коле^ний йи равняиась начальному смещению x0 = 0,П9 м, принятому в эксперименте при свибодныл колеиндиях. В этом сличае характеристики ^^нги, лимейно-вязкого и квадратичного трени) оаиcывакзгcя выражениями fi,0(X)п ^S60^) 4,1 О1 п М- Эl,l(X)пH2X-X| и вy-xмар-
ная fl(x)п fl0(x)+ fl,1(X) + fl,2(зl,) lPMf■
Максимальная скорость при построении графиков находилась как x д меx0 = 1,0 —. Характеристи-
с
ка 4 совпадает с кривий по (2) на рис. 4.
4.3. Эквивалентный коэффициент относительного затухания. Принимая, что в режиме вынужденного движенид кооебьния происходат по гар-моническому маиопу, (иемfраиум ы (и) в формулу характеристики диссипативной силы в функции перемещения для сухого (n = 0), линейно-вязкого (n = 1) и квадратично го(п = 2) трения:
Рис. 5. Расчётная характеристика нелинейной функции демпфирования врежиме вынужденно го движения и её составляющне: 1 — сухого тренит /^(-¿С 2 — линейно-йязкого /й1(х); 3 — нелинейно-вязкого (турбулентного) трения / (-с); 4 — суммарная характеристика 4)
Полагая, что частота колебаний основания дис-сипативных элементов Р0, Р1Г Р2 яри сакреплённой массе т (рис. 1) равна чсстоте свободных колебаний ю = ю о 16 а-д х амплитуда его колебаний равна начальному смещению в эксперименте на сво°одные, т. е. что е = х0 ф 0,09 м, построим приближённые характеристикн (12) сухого (л = 0), диней но-вязкоко (л = 1) х не линей но-вяз кого (л = 2) составвнющих и их сфммы (рис. 6).
Хааактеристики оа рве. 6 могат быть построены и в режиме вынужденного двкжения при неоа-крепдённой мнпск ин ус коеоуждении за пружину с2 с частотой, приблнжёнпо кавооИ собснвкнной ю = юс о оен, что6ы амплитуда колебаний была равна начальному смещению о = х0 о пвободном движении.
Количество энергии, рассеиваемой нелинейной силой демпфирования (2) в вынужденном движении, находится по фодмрле [р1]
ю ден„ко м1о ым
(13)
где интеграл О(о) д J(niy a)„+1lal а д нf; для
( 2 „ = т; о д 1; „ = 1; О д-; „ = 2: о д-.
„дТ
2
Количество энергии, рассеиваемой сухим, линейно-вязким и квадратичным трением, и суммарное найдётся как
W0 = 4P0x0; Щ = Яр ^
8 , ,
W = -P2x0V; W = W + W + W.
(14)
Подставив в (14) значения коэффициентов демпфирования (8), т0 = 3(09 м, со = юс = 16 с-1, получим колитество энерто ) = 1 (7 Д(, по которому найдём среднюю мощность процесса диссипации
энергии N =
W 1,47 Дж
т а,н Эт. Воспользовавшись
Т 0,190 с
принципом эн ергет ич еск о но баланса, найдём величину эквивалентного козфррциента относительного затухания
Ce q
W
1кх 02юс yj
; 0,026 ,
heq =
Pe^^ 3,63 Hj(м/с)
2m
2 • 4,5 кг
s 0,4 с"1,
где Peq = 2Ce,
У (x )-
С (e"""*' " i)+ сг (e-2,ci' " l) С (e-2"^' +1) + с2 (e~2"ci' +l)
x,
где с1, с2 некоторые постоянные; I
Это обстоятельство даёт возможность упрощеч-ния динамических моделей МС.
Рис. 6. Характеристики составляющих демпфирования в функции ОК х (петли гистерезиса): 1 — сухого трения /,0(х); 2 — линейно-вязкого /„(х); 3 — нелинейно-вязкого (турбулентного) трения /,2(х); 4 — суммарная характеристика /¡(х)
которая может быть ифпользована пфи решении других экспериментальных згднч нелинейной динамики на стенде (рис. е).
Численное иноегнировонто О.ДИ (4) о найденными экспериментально кьэффициентаьи сухогз Р0, линейно-вязкого Н1 т квадратичного Р2 трения (8) показывает удтвлетворительнон совпадение экспериментальной осц илоограммы с расчётной (рис. 7).
Огибающие а (() построены при значении коэффициента затухания
5. Обсужднние результатов
1. Количество энергииг рассриваемой зз период свободных затухающих колебаний, будет несколько меньше, чем по (13), т. к. в крайних положениях амплитуда будет меньше, чем в начале периода. В этих положениях кинетическая энергия МС равна нулю, а убыль полной энергии будет обеспечиваться уменьшением только потенциальной энергии, т. е. уменьшением амплитуды колебаний (табл. 1).
2. Принцип энергетического баланса, положенный в основу получения эквивалентного коэффициента относительного затухания, нн означает полного совпадения экспериментальной и раочётной огоба-ющих. Удовлетворттелоное сорпадение огибающих наблюдается на начальном и конечном участках примерно на трёх пнр чцдах. Можно утверждать, что имеет место ствпареное огибающих в среднем.
3. Несмотря на значительный разброс экспериментальных точек ориведеннок аппроксимирующая и нелинейная функцьл демпфирыватия совпадают полностью. При демпфировании МС тоньрь ьдеим линейно-вязким тфением зависимо).т]р разности амплитуд от их суммы гписывается мане¡-[ным выражением
Рис. 7. Наложение экспериментальной 1 и расчётной 2 осциллограмм; ?0 = 0,887 с — время задержки снятия удерживающей массу ш связи; х0 = 0,09 м — начальное отклонение массы ш
6. Выводы
1. Удовлетворительное совпадение огибающей и фазы экспериментальной осциллограммы с расчётной, полученной численным интегрированием уравнения движения, позволят рекомендовать полученное значение эквивалентного коэффициента относительного затухания для расчёта динамики механически подобных МС.
2. Для уточнения коэффициентов нелинейной функции демпфирования целесообразно по экспериментальным амплитудам получить аппроксимирующее выражение для огибающей и воспользоваться описанной выше процедурой.
3. Метод энергетического баланса применим для слабодемпфированных МС. Для сильно- и передемпфированных осцилляторов целесообразно воспользоваться топологическим методом.
4. Суммарные графики функций демпфирова-ниянезначительно отличаются от прямых, поэтому нелинейную функцию демпфирования с удовлетворительной точностью можно заменить эквивалентной прямолинейной, что упростит практические расчёты.
Библиографический список
1. Cao M. S., Sha G. G., Gao Y. F. [et al.] Structural damage identification using damping: a compendium of uses and features //
Smart Materials and Structures. 2017. Vol. 26 (4). 043001. DOI: 10.1088/1361-665X/aa550a.
2. Erickson D., Weber M., Sharf I. Contact stiffness and damping estimation for robotic systems // The International Journal of Robotics Research. 2003. Vol. 22 (1). P. 41-58. DOI: 10.1177/0278364903022001004.
3. Mohammad A. E. K., Uchiyama N., Sano S. Reduction of electrical energy consumed by feed-drive systems using sliding-mode control with a nonlinear sliding surface // IEEE Transactions on Industrial Electronics.. 2014. Vol. 61 (6). P. 2875-2882. DOI: 10.1109/TIE.2013.2275975.
4. Ma J., Sun Y., Yuan X. [et al.]. Dynamics and collapse in a power system model with voltage variation: The damping effect // PLOS ONE. 2016. Vol. 11 (11). e0165943. DOI: 10.1371/journal. pone.0165943.
5. Prasertwong K., Mithulananthan N. A New Algorithm Based on Logarithm Decrement to Estimate the Damping Ratio for Power System Oscillation // 2017 14th International Conference on Electrical Engineering/Electronics, Computer, Telecommunications and Information Technology (ECTI-CON). 2017. DOI: 10.1109/ECTICon.2017.8096288.
6. Lin R., Zhu J. Model updating of damped structures using FRF data // Mechanical Systems and Signal Processing. 2006. Vol. 20 (8). P. 2200-2218. DOI: 10.1016/j.ymssp.2006.05.008.
7. Qiao G., Rahmatalla S. Identification of damping and stiffness parameters of cervical and lumbar spines of supine humans under vertical whole-body vibration // Journal of Low Frequency Noise Vibration and Active Control. 2019. Vol. 39 (1). P. 59-71. DOI: 10.1177/1461348419837031.
8. Minetti A. E., Moorhead A. P., Pavei G. Frictional internal work of damped limbs oscillation in human locomotion // Proceedings of the Royal Society B. 2020. Vol. 287 (1931). P. 20201410. DOI: 10.1098/rspb.2020.1410.
9. Gupta T. Identification and experimental validation of damping ratios of different human body segments through anthropometric vibratory model in standing posture // Journal of Biomechanical Engineering. 2006. Vol. 129 (4). P. 566-574. DOI: 10.1115/1.2720917.
10. Moore J. R., Maguire D. A. Natural sway frequencies and damping ratios of trees: concepts, review and synthesis of previous studies // Trees. 2004. Vol. 18 (2). P. 195-203. DOI: 10.1007/s00468-003-0295-6.
11. Polunin P. M., Yang Y., Dykman M. I. [et al.]. Characterization of MEMS resonator nonlinearities using the ringdown response // Journal of Microelectromechanical Systems. 2016. Vol. 25 (2). P. 297-303. DOI: 10.1109/JMEMS.2016.2529296.
12. Mo Y., Du L., Qu B. [et al.]. Damping ratio analysis of a silicon capacitive micromechanical accelerometer // Wireless Sensor Network. 2017. Vol. 09 (05). P. 178-188. DOI: 10.4236/ wsn.2017.95010.
13. Salamon R., Kaminrski H., Fritzkowski P. Estimation of parameters of various damping models in planar motion of a pendulum // Meccanica. 2020. Vol. 55. P. 1655-1677. DOI: 10.1007/s11012-020-01197-z.
14. Каудерер Г. Нелинейная механика: пер. с нем. Москва: Изд-во иностр. лит-ры. 1961. 779 с.
15. Вибрации в технике: справочник. В 6 т. / Ред. совет: В. Н. Челомей (пред., гл. ред.) [и др.]). Москва: Машиностроение, 1979-1981. Т. 2. Колебания нелинейных механических
систем / Под ред. И. И. Блехмана. Москва: Машиностроение, 1979. 351 с.
16. Макаров В. А. Расчёт параметров диссипативной функции по огибающей экспериментальной виброграммы // Машиноведение. 1988. № 5. С. 98-99. ()
17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 6. Гидродинамика. 3-е изд., испр. Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 736 с.
18. Randall D. Peters. Nonlinear Damping of the 'Linear' Pendulum. 2003. DOI: 10.48550/arXiv.physics/0306081.
19. Джилавдари И. З., Русак А. А. Измерение сил трения методом аппроксимации огибающей // Трение и износ. 2000. Т. 21, № 4, с. 424-432. EDN: WXJZKB
20. Myers A. D., Khasawneh F. A. Damping parameter estimation using topological signal processing // Mechanical Systems and Signal Processing. 2022. Vol. 174. 109042. DOI: 10.1016/j.ymssp.2022.109042.
21. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. 3-е изд., перераб. Москва: Наука, 1991. 252 с. ISBN 5-02-014137-2.
КАЛАШНИКОВ Борис Александрович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Авиа- и ракетостроение» Омского государственного технического университета (ОмГТУ), г. Омск.
SPIN-код: 7574-1323 ORCID: 0000-0002-9946-3480 AuthorID (SCOPUS): 6701318766 ResearcherID: M-9643-2014
Адрес для переписки: [email protected] БОХАН Владимир Викторович, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Основы теории механики и автоматического управления» ОмГТУ, г. Омск; старший научный сотрудник АО «Федеральный научно-производственный центр «Прогресс», г. Омск. SPIN-код: 3625-7966 AuthorID (РИНЦ): 747705 ORCID: 0000-0003-0690-381X ResearcherID: P-3030-2017
Адрес для переписки: [email protected] ПЕНЬКОВ Константин Вадимович, аспирант кафедры «Основы теории механики и автоматического управления» ОмГТУ, г. Омск. ORCID: 0009-0002-7567-5478 ResearcherID: LDG-2742-2024 Адрес для переписки: [email protected]
Для цитирования
Калашников Б. А., Бохан В. В., Пеньков К. В. Экспериментальное определение нелинейной функции демпфирования механических систем // Омский научный вестник. 2024. № 3 (191). С. 5-13. DOI: 10.25206/1813-8225-2024-191-5-13.
Статья поступила в редакцию 20.06.2024 г. © Б. А. Калашников, В. В. Бохан, К. В. Пеньков
UDC 534-18+621.0
DOI: 10.25206/1813-8225-2024-191-5-13 EDN: GRFNGU
B. A. KALASHNIKOV1 V. V. BOKHAN12 K. V. PENKOV1
1 Omsk State Technical University, Omsk, Russia
2 JSC «Federal Research and Production Center «Progress», Omsk, Russia
DETERMINING
THE NONLINEAR DAMPING
FUNCTION USING EXPERIMENTS
In this article, the coefficients of the nonlinear damping function of a mechanical system with one translational degree of freedom are determined from an experimentally obtained oscillogram of free vibrations. The function is modeled using three types of damping: coulomb damping, linear viscous, and nonlinear viscous damping. Numerical values of the damping coefficients are identified. The characteristic of the dissipative force as a function of displacement is obtained, and is used to find the amount of energy dissipated over a time period. An equivalent relative damping ratio is approximated using the energy balance method and then used to perform numerical integration of the equation of motion. A satisfactory match of the envelope curve and the phase of the vibrational process is demonstrated by comparing the calculated oscillogram to the experimental one. The damping function parameters can be further refined by approximating the experimental amplitudes. The obtained value of the relative damping coefficient can be used to solve nonlinear problems in the area of dynamics of weakly damped systems. Keywords: nonlinear damping function, Coulomb damping, linear viscous damping, nonlinear viscous damping, energy dissipation, envelope curve, relative damping ratio, energy balance method.
References
1. Cao M. S., Sha G. G., Gao Y. F. [et al.] Structural damage identification using damping: a compendium of uses and features // Smart Materials and Structures. 2017. Vol. 26 (4). 043001. DOI: 10.1088/1361-665X/aa550a. (In Engl.).
2. Erickson D., Weber M., Sharf I. Contact stiffness and damping estimation for robotic systems // The International Journal of Robotics Research. 2003. Vol. 22 (1). P. 41-58. DOI: 10.1177/0278364903022001004. (In Engl.).
3. Mohammad A. E. K., Uchiyama N., Sano S. Reduction of electrical energy consumed by feed-drive systems using sliding-mode control with a nonlinear sliding surface // IEEE Transactions on Industrial Electronics.. 2014. Vol. 61 (6). P. 2875-2882. DOI: 10.1109/TIE.2013.2275975. (In Engl.).
4. Ma J., Sun Y., Yuan X. [et al.]. Dynamics and collapse in a power system model with voltage variation: The damping effect // PLOS ONE. 2016. Vol. 11 (11). e0165943. DOI: 10.1371/journal. pone.0165943. (In Engl.).
5. Prasertwong K., Mithulananthan N. A New Algorithm Based on Logarithm Decrement to Estimate the Damping Ratio for Power System Oscillation // 2017 14th International Conference on Electrical Engineering/Electronics, Computer, Telecommunications and Information Technology (ECTI-CON). 2017. DOI: 10.1109/ECTICon.2017.8096288. (In Engl.).
6. Lin R., Zhu J. Model updating of damped structures using FRF data // Mechanical Systems and Signal Processing. 2006.
Vol. 20 (8). P. 2200-2218. DOI: 10.1016/j.ymssp.2006.05.008. (In Engl.).
7. Qiao G., Rahmatalla S. Identification of damping and stiffness parameters of cervical and lumbar spines of supine humans under vertical whole-body vibration // Journal of Low Frequency Noise Vibration and Active Control. 2019. Vol. 39 (1). P. 59-71. DOI: 10.1177/1461348419837031. (In Engl.).
8. Minetti A. E., Moorhead A. P., Pavei G. Frictional internal work of damped limbs oscillation in human locomotion // Proceedings of the Royal Society B. 2020. Vol. 287 (1931). P. 20201410. DOI: 10.1098/rspb.2020.1410. (In Engl.).
9. Gupta T. Identification and experimental validation of damping ratios of different human body segments through anthropometric vibratory model in standing posture // Journal of Biomechanical Engineering. 2006. Vol. 129 (4). P. 566-574. DOI: 10.1115/1.2720917. (In Engl.).
10. Moore J. R., Maguire D. A. Natural sway frequencies and damping ratios of trees: concepts, review and synthesis of previous studies // Trees. 2004. Vol. 18 (2). P. 195-203. DOI: 10.1007/s00468-003-0295-6. (In Engl.).
11. Polunin P. M., Yang Y., Dykman M. I. [et al.]. Characterization of MEMS resonator nonlinearities using the ringdown response // Journal of Microelectromechanical Systems. 2016. Vol. 25 (2). P. 297-303. DOI: 10.1109/JMEMS.2016.2529296. (In Engl.).
12. Mo Y., Du L., Qu B. [et al.]. Damping ratio analysis of a silicon capacitive micromechanical accelerometer // Wireless
Sensor Network. 2017. Vol. 09 (05). P. 178-188. DOI: 10.4236/ wsn.2017.95010. (In Engl.).
13. Salamon R., Kaminrski H., Fritzkowski P. Estimation of parameters of various damping models in planar motion of a pendulum // Meccanica. 2020. Vol. 55. P. 1655-1677. DOI: 10.1007/s11012-020-01197-z. (In Engl.).
14. Kauderer G. Nelineynaya mekhanika [Nonlinear mechanics]: trans. from German. Moscow, 1961. 779 p. (In Russ.).
15. Vibratsii v tekhnike: spravochnik. V 6 t. [Vibrations in Engineering: handbook. In 6 vols. / Ed. Board: V. N. Chelomey (Chairman, Chief ed.) [et al.]). Moscow, 19791981. T. 2. Kolebaniya nelineynykh mekhanicheskikh sistem [Vol. 2. Fluctuations of nonlinear mechanical systems] / Ed. by I. I. Blekhmana. Moscow, 1979. 351 p. (In Russ.).
16. Makarov V. A. Raschet parametrov dissipativnoy funktsii po ogibayushchey eksperimental'noy vibrogrammy [Calculation of the parameters of the dissipative Function from the Envelope of the experimental vibrogram] // Mashinovedenie. Mashinovedenie. 1988. No. 5. P. 98-99. (In Russ.).
17. Landau L. D., Lifshits E. M. Teoreticheskaya fizika. V 10 t. T. 6. Gidrodinamika [Theoretical physics. In 10 vols. Vol. 6. Hydrodynamics]. 3rd ed., revised. Moscow, 1986. 736 p. (In Russ.).
18. Randall D. Peters. Nonlinear Damping of the 'Linear' Pendulum. 2003. DOI: 10.48550/arXiv.physics/0306081. (In Engl.).
19. Dzhilavdari I. Z., Rusak A. A. Izmereniye sil treniya metodom approksimatsii ogibayushchey [Measurement of friction forces by a method approximating of envelope curve] // Trenie i iznos. Friction and Wear. 2000. Vol. 21, no. 4. P. 424-432. EDN: WXJZKB. (In Russ.).
20. Myers A. D., Khasawneh F. A. Damping parameter estimation using topological signal processing // Mechanical Systems and Signal Processing. 2022. Vol. 174. 109042. DOI: 10.1016/j.ymssp.2022.109042. (In Engl.).
21. Panovko Ya. G. Vvedeniye v teoriyu mekhanicheskikh kolebaniy [Introduction to the theory of mechanical vibrations]. 3rd ed., revised. Moscow, 1991. 252 p. ISBN 5-02-014137-2. (In Russ.).
KALASHNIKOV Boris Aleksandrovich, Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Professor of Aircraft and Rocket Building Department, Omsk State Technical University (OmSTU), Omsk. SPIN-code: 7574-1323 ORCID: 0000-0002-9946-3480 AuthorlD (SCOPUS): 6701318766 ResearcherlD: M-9643-2014
Correspondence address: [email protected] BOKHAN Vladimir Victorovich, Candidate of Technical Sciences, Senior Lecturer of Fundamentals of Mechanics Theory and Automatic Control Department, OmSTU, Omsk; Senior Researcher, JSC «Federal Research and Production Center «Progress», Omsk. SPIN-code: 3625-7966 AuthorID (RSCI): 747705 ORCID: 0000-0003-0690-381X ResearcherlD: P-3030-2017
Correspondence address: [email protected] PENKOV Konstantin Vadimovich, Graduate Student of Fundamentals of Mechanics Theory and Automatic Control Department, OmSTU, Omsk. ORCID: 0009-0002-7567-5478 ResearcherID: LDG-2742-2024
Correspondence address: [email protected] For citations
Kalashnikov B. A., Bokhan V. V., Penkov K. V. Determining the nonlinear damping function using experiments // Omsk Scientific Bulletin. 2024. No. 3 (191). P. 5-13. DOI: 10.25206/1813-82252024-191-5-13.
Received June 20, 2024.
© B. A. Kalashnikov, V. V. Bokhan, K. V. Penkov
