CC BY
12
УДК 631.7.04-197:631:7.019.10
В.О. Повгородний
Институт проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного,
Украина
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕРМОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТУРБИН
Экспериментально-теоретическое исследование термоупругого состояния элементов турбостроения осуществляется исходя из решения обратной задачи термоупругости. В результате решения обратной задачи термоупругости можно определить температурное поле диска турбины исходя из температурных напряжений. Обратная задача термоупругости решается с использованием уравнения Фредгольма и конечно-разностный аналог ядра интегрального оператора строился, исходя из кусочно-постоянной аппроксимации, и позволяет заменить эксперимент. В качестве примера рассмотрим полый круговой цилиндр. Результаты расчета можно использовать как неотъемлемую часть проектирования объектов энергетического машиностроения (паровых и газовых турбин), а также расчета их ресурса и выбора системы охлаждения.
Введение
Сформулируем следующую задачу экспериментально-теоретического исследования термоупругого напряженного состояния тела. Пусть в теле, занимающем область V, имеется стационарное неоднородное температурное поле и соответствующее ему поле термоупругих напряжений. В результате измерений на части поверхности температура Т(л) и тензор термоупругих напряжений Оу (8) считаются известными. При этих условиях требуется определить температуру Т(х) поверхности Ь .
1. Формулирование проблемы
Тензор термоупругих напряжений О у, у врас-
сматриваемом случае удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений стационарной термоупругости в напряжениях [1]
оУ, j = °,
°ij,kk + i-kk + «tET), j = 0, (1)
J' 1 + ц
öynj = Она L+S.
Здесь окк — первый вариант тензора напряжений; о. — коэффициент теплового расширения; Е — модуль упругости; ц — коэффициент Пуассона; Т — температурное поле без источни-
ков; Пу — компоненты единичного вектора внешней нормали в точках поверхностей Ь и 6 .
Рассмотрим случай, когда в точке Хд Ь задана обобщенная функция температуры Т0 8 (х - х0), где Т0 — константа, 8 (х - х0) — дельта-функция Дирака. На части поверхности 8 положим температуру, равную нулю. Найдем в этом случае решение уравнений теплопроводности для рассматриваемой области. Эта задача является полностью определенной в смысле краевых условий и корректно поставленной. В результате решения системы уравнений (1) определим распределение значений тензора напряжений в объеме тела, в том числе и на поверхности 6 . Обозначим тензор напряжений на 6 через Ну(?,х0). Пусть точка х0 пробегает все множество точек, принадлежащих Ь . В результате построим функции Грина для напряжений. Зная функции Грина Ну (л, х0), можно определить напряженное состояние на поверхности 6 от произвольного распределения температуры Т(Х) на поверхности Ь при условии равенства нулю температуры на 6 . Тензор напряжений в точках л 6 можно представить в следующем виде
о j (s) = J Hj (s, x )T (x )dL(x).
(2)
Поскольку выражение (2) представляет собой суперпозицию решений краевых задач термоупругости, то тензор напряжений Оу (х) также будет удовлетворять системе уравнений линейной термоупругости (1).
Рассмотрим теперь случай, когда на поверхности S задана температура T(S) , известная из постановки задачи, а на поверхности L температура равна нулю. Найдем в этом случае решение системы уравнений (1) — (2). Эта задача также является полностью определенной в смысле краевых условий и конкретно поставленной. В результате решения определим распределение значений тензора напряжений в объеме тела и в точках s е S. Обозначим тензор напряжений на
Sчерез о J (x). Предположим теперь, что распределение температуры как на поверхности S, так и на поверхности L известно (T(x) и T(s)). Тогда заданный на наружной поверхности тензор
*
напряжений о* (x) будет удовлетворять следующему уравнению
о* (s) = о J (s) + J Hj (s, x)T(x)dL(x). (3)
i
Тензор термоупругих напряжений, определяемый этим выражением, ввиду линейности рассматриваемой задачи удовлетворяет всем уравнениям термоупругости и заданным граничным условиям.
При известном распределении температуры
*
T(s) и известном тензоре напряжений о * (x)
на поверхности Sпредставление (3) является уравнением относительно неизвестного распределения температуры T(x) на поверхности L.
Перепишем уравнение (3) в следующем виде
J H j (s, x )T (x )dL(x ) = q>j (s),
где фу (5) = о*- (5) - о0- (5), у = 1,2,3.
Таким образом, для нахождения неизвестного распределения Т(х) на поверхности £ необходимо решить это интегральное уравнение Фред-гольма первого рода. Решение этого уравнения представляет собой обратную задачу термоупругости, в которой изучаемый объект (в данном случае Т(Х) — распределение температуры на Ь) не доступен для прямого экспериментального исследования, и изучается его некоторое проявление фу (5).
2. Решение проблемы
Методы решения обратной задачи термоупругости аналогичны рассмотренным выше. Но здесь необходимо отметить, что построение альтернирующего итерационного процесса в этой задаче невозможно ввиду специфики граничных условий, задаваемых на поверхности измерений.
Задача не сводится к некоторой корректно-по-ставленой, минуя использование процедуры регуляризации или конструктивного выделения компактного множества корректности, на котором возможен поиск искомого решения. В то же время рассматриваемая задача характеризуется тем обстоятельством, что искомая величина является скалярной величиной, а отклик ее проявляется в виде тензорной величины. Это весьма благоприятное обстоятельство, позволяющее во многих случаях получать устойчивые приближения, не пользуясь методом регуляризации. Используя же регуляризацию, можно в широких пределах варьировать эффективную зону измерений, сужая ее до тех пределов, с которых начинает сказываться неустойчивость алгоритма регуляризации [2, 3].
Изложенный метод восстановления температуры на недоступных для измерений поверхностях может быть использован при рассмотрении нестационарной задачи термоупругости, в том числе с распределенными по объему источниками тепла. Отличие этой задачи от рассмотренной стационарной заключается в способе построения интегрального оператора, являющегося функцией времени и определяемого из решения уравнений нестационарной термоупругости.
Могут быть также найдены значения Кт относительного коэффициента теплообмена из соотношения Кт = Т,п /(8 - Т), где 9 — известная температура внешней среды или теплоносителя, а градиент температуры Т,п в точках на границе тела вычисляется по данным восстановленного в объеме тела температурного поля.
В качестве примера рассмотрим полый круговой цилиндр, имеющий радиальные размеры, но ограниченную длину 2Ь = 200 мм, и находящийся под действием осесимметричного, нестационарного температурного поля, полученного при нулевой начальной температуре и мгновенно нагреваемой внутренней поверхности, поддерживаемой неизменной во времени. На торцах и внешней поверхности цилиндра поддерживается нулевая температура. Коэффициент температуропроводности материала цилиндра а = 2,3*104 мм2/ч. Требуется при известных на внешней поверхности осевых и кольцевых напряжениях о и 099, приведенных на рис. 1 и соответствующих 40-й секунде прогрева, определить распределение температуры на внутренней поверхности цилиндра и возникающие в нем термоупругие (температурные) напряжения.
При решении этой задачи конечно-разностный аналог ядра интегрального оператора строился исходя из кусочно-постоянной аппроксимации функции, задающей распределение температуры на внутренней поверхности. Взята сетка с шагом
Ах =10 мм, на которой температурное воздействие последовательно на каждом интервале сетки принималось постоянным и равным 70 = const при нулевом значении температуры на всей остальной части поверхности. При этих условиях решались краевые задачи термоупругости (десять задач при принятой сетке) и были построены
T T
ядра Hxx(SjXj) и Hqq(sjXj), соответствую-
Gu(x), МПа
щие 40-й с прогрева цилиндра, где I = 1,20 и
] = Цо.
На рис. 1 приведены результаты решения обратной задачи термоупругости. Кривая 1 (сплошная) соответствует точному распределению температуры на внутренней поверхности, кривая 2 (пунктир с точкой) соответствует регуляризо-ванному решению обратной задачи, полученному по точным значениям совместно использованных осевых и кольцевых напряжений на внешней поверхности.
На рис. 2 представлены регуляризованные решения при двух уровнях погрешности задания кольцевых и меридиональных напряжений. Кривые 1 и 2 отвечают значениям относительных случайных ошибок с нормальным законом распределения, не превышающим соответственно 5 и 10% от величины напряжений в узловых точках si. Рисунок иллюстрирует устойчивость регу-ляризованных приближений к возмущению исходных данных (кривая 3 — точное значение искомой температуры).
Полученные результаты показывают следующее. Регуляризованное решение (см. кривую 3 на рис.1), полученное на основе совместного использования информации о кольцевых и меридиональных напряжениях, обладает высокой степенью приближения к точному решению. Хотя количество информации, необходимое для восстановления распределения температуры в рассматриваемом случае, могло бы быть значительно меньшее, использование избыточной информации позволило получить устойчивые приближения в широком диапазоне изменения параметра регуляризации. Практически оптимальное значение параметра регуляризации в приведенном на рис.1 случае занимает интервал 0,01 > а > 0,00001. Приведенное на рис. 1 нерегуляризованное решение (кривая 3), хотя и «разболтано», но отражает тенденцию поведения искомого решения. При получении нерегуляризованного решения с меньшим или минимально необходимым количеством исходной информации наблюдается усиление «разболтки». При этом зона оптимальных значений параметра регуляризации сильно сужается.
100
S(x), см
-100
Рис. 1. Исходные данные (напряжения ахх и а00 на внешней поверхности) и результаты восстановления распределения температуры (на внутренней поверхности)
1 — точное решение; 2 — регуляризованное решение; 3 — нерегуляризованное решение
Т, °С
50
-50
-100
\
Vi
2 л> 4 6 ос
2
р! К
/
V > Jkx 3^N
S, см
Рис. 2. Регуляризованные решения при двух уровнях
погрешностей исходных данных 1 — точное решение; 2 — регуляризованное решение; 3 — нерегуляризованное решение
Выводы
Решение проблемы регулирования внешних или внутренних температурных силовых нагру-жений, при которых будут достигнуты температурные напряжения или перемещения в элементах конструкций в пределах допустимых значений, имеют теоретическую и практическую ценность. Целесообразно считать, что единственный
0
путь нахождения этих величин как функции времени и геометрических координат заключается в решении обратных задач теплопроводности и термоупругости и определении температурного поля исходя из поля температурных напряжений.
Кроме того, экономичность состоит в том, что дороговизна и сложность экспериментальных исследований вызывает необходимость создания расчетно-теоретических методик исследования данных технических объектов и разработки алгоритмов для аналитического и численного решения ряда тестовых задач температурного управления.
Литература
1. Бахышев Ш.М. Обратные задачи термоупругости. — М.: Прометей, 2002. — 152 с.
2. Крысько В. А, Павлов В. А Оптимизация формы термоупругих тел. — Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 200°. — 16° с.
3. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Наука, 1984.— 261 с.
Поступила в редакцию 29.06.08
Рецензент: д.т.н., профессор Шубенко А.Л. Институт проблем машиностроения НАН Украины, г. Харьков
Експерименталъно-теоретичне досл!дження термопружного стану елемент1в турбо-будування здшснюетъся виходячи з виршення оберненог задач! термопружност!. В резулъ-тат! виршення оберненог задачi термопружност! можно визначити температурне поле диска турбти виходячи з температурних напруг. Обернена задача термопружностi вирi-шуетъся з використанням р!вняння Фредголъма та к!нцево-р!зностний аналог ядра !нтег-ралъного оператора будувався, виходячи з кусково-постйног апроксимацП та дозволяв замтити експеримент. В якостi прикладу розглянуто полий круговий цилтдр. Резулътати розрахунку можна використовувати як нев!д 'емну частину проектування об'ект!в енерге-тичного машинобудування (парових та газових турб!н), а також розрахунку гх ресурсу та вибору системи охолодження.
The article йеуо1ей to problems of definition and study of mechanical characteristics and temperature field of damption of mechanical constructions of element's of turbine and inverse problem of the thermoelasticity.. The temperature field is definite with account temperature stress. The results of calcuiations of the thermal and stress state's are received by the Valter's method and finite element's method and Fredgol'm equations.The example — long cylinder. The main results of the paper have been implemented in the project of the turbine's elements industrial production in developing new device 's of turbine's in Ukraine.
