ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБАЕМЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, ВОССТАНОВЛЕННЫХ ПОСЛЕ РАЗРУШЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 624.012.4545 Б01 10.52928/2070-1683-2023-33-1-2-9

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБАЕМЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, ВОССТАНОВЛЕННЫХ ПОСЛЕ РАЗРУШЕНИЯ

д-р техн. наук, проф. Д.Н. ЛАЗОВСКИЙ11, канд. техн. наук Э. ЧАПАРАНГАНДА2) (VПолоцкий государственный университет имени Евфросинии Полоцкой, 22Ботсванский международный университет науки и технологий)

В статье приводятся результаты экспериментально-теоретического исследования изгибаемых железобетонных элементов при действии статической нагрузки, доведенных до разрушения и восстановленных с заменой участка деформированной рабочей арматуры, в том числе и с предварительным напряжением нового участка арматуры. Установлены особенности их работы под нагрузкой.

Выполнено на основе общей деформационной модели поперечного сечения моделирование напряженно-деформированного состояния восстановленных изгибаемых железобетонных элементов, а также сопоставление вычисленных параметров напряженно-деформированного состояния с их опытными значениями.

Ключевые слова: изгибаемый железобетонный элемент, исходная опытная балка, восстановленная опытная балка, напряженно-деформированное состояние, бетон, арматура, разрушающий изгибающий момент, ширина раскрытия трещин, прогиб балки.

Введение. В процессе эксплуатации железобетонных конструкций зданий и сооружений при воздействии условий окружающей среды (попеременного замораживания и оттаивания в водонасыщенном состоянии, высоких температур, химического воздействия и др.) в ряде случаев на отдельных участках конструкций существенно снижается прочность бетона, уменьшается площадь поперечного сечения рабочей арматуры. Кроме того, в случае землетрясений, взрывов, аварий техногенного характера происходит разрушение бетона и арматуры железобетонных конструкций в зоне максимального воздействия.

Одним из путей реконструкции зданий и сооружений может быть восстановление разрушенных железобетонных конструкций путем замены разрушенного бетона и арматуры.

Экспериментально-теоретическое исследование изгибаемых железобетонных элементов, восстановленных после разрушения, включало испытание опытных балок для выявления особенностей их деформирования под нагрузкой, моделирование их напряженно-деформированного состояния (НДС), расчет и сопоставление с опытными значениями основных параметров НДС на основе общей деформационной модели поперечного сечения железобетонных конструкций [1, с. 224-230; 2; 3].

Методика экспериментального исследования. Для проведения исследования напряженно-деформированного состояния восстановленных после разрушения изгибаемых железобетонных элементов в лабораторных условиях было изготовлено 8 опытных железобетонных балок длиной 1500 мм и размерами поперечного сечения 80* 160 мм.

Опытные балки были изготовлены из мелкозернистого бетона со средней плотностью 2340 кг/м3 и средними значениями призменной прочности при сжатии /ст=10,2...10,8 МПа, начального модуля упругости Ест=23103 МПа и прочности при растяжении /ст=1,08 МПа. Прочностные и деформационные характеристики бетона определялись во время испытаний специальных образцов (призм, кубов) при сжатии и раскалывании.

В качестве рабочей арматуры растянутой зоны опытных балок применялась свариваемая стержневая горячекатаная арматура из стали марки 35ГС диаметром 12 мм со средними значениями предела текучести о^т=437...450 МПа, временного сопротивления ст„т=634...658 МПа и модуля упругости Е=2,1105 МПа. С целью исключения возможности разрушения опытных балок в зоне среза их приопорные зоны длиной 500 мм были армированы поперечной арматурой из проволоки диаметром 4 мм с шагом 75 мм.

Испытание исходных опытных балок проводилось по балочной схеме с шарнирным опиранием по концам двумя сосредоточенными силами, приложенными в третях пролета. В процессе испытаний вплоть до разрушения измеряли деформации бетона и арматуры, прогиб, ширину раскрытия трещин.

После разрушения опытных балок с помощью механизированного инструмента вырубался бетон в средней трети балок, оголялась рабочая арматура. Рабочая арматура в растянутой зоне вырезалась, и к концам существующей арматуры внахлест на длине 150 мм приваривался отрезок заменяющей арматуры. В качестве заменяющей рабочей арматуры опытных балок использовалась арматура из того же стержня, что и арматура исходной балки.

После этого опытная балка устанавливалась в опалубку и производилось бетонирование средней трети

балки.

Балки Б-У...Б-УШ восстанавливались с предварительным напряжением восстановленного участка арматуры. Для этого сохраняемые участки балок по концам с восстановленной рабочей арматурой устанавливались со строительным подъемом, затем бетонировалась сжатая зона конструкции. После набора прочности бетона сжатой зоны опытную балку нагружали предварительно сжатыми пружинами, которые освобождали после их установки (рисунок 1). При этом заменяющая арматура в растянутой зоне балок получала предварительное растягивающее напряжение, затем производили бетонирование растянутой зоны балок в нагруженном состоянии. Величина предварительного напряжения подбиралась такая, чтобы исключить образование трещин в верхней зоне балок при отпуске, и контролировалась по деформациям арматуры с помощью тензорезисторов. Предварительное напряжение в момент времени бетонирования составляло 200 МПа. После набора прочности бетоном растянутой зоны пружины сжимали, освобождая восстановленную балку от нагрузки. Предварительное напряжение восстановленной арматуры после отпуска натяжения согласно показаниям тензорезисторов составляло 172...184 МПа.

Для восстановления опытных балок после разрушения применялся мелкозернистый бетон со следующими прочностными и деформационными характеристиками в момент испытания восстановленных опытных балок: /аш=11,2...19,5 МПа, £,Ст=(23...31,1) 103 МПа,/сйи=1.1...1,64 МПа.

Испытание восстановленных опытных балок производилось по аналогичной схеме, что и испытание исходных балок.

Номенклатура, геометрические размеры поперечных сечений и характеристики свойств материалов опытных балок (исходных и восстановленных) приведены в таблице 1.

а - схема испытания и конструкция исходных опытных балок; б - схема испытания и конструкция восстановленных опытных балок; в - схема предварительного напряжения восстановленной рабочей арматуры

Рисунок 1. - Схема испытания и конструкция опытных балок

Таблица 1. - Номенклатура, размеры сечений и характеристики материалов опытных балок

Шифр балки Размеры сечения исходной балки Бетон исходной балки Исходная и заменяющая арматура Бетон восстановленной части балки Размеры сечения балки после восстановления

ь, к, л, /ст, „/с/т, Ес103, Оут, Опт, Е105, fcm, /с/т, Ес103, ь, к, л,

мм мм мм МПа МПа МПа МПа МПа МПа МПа МПа МПа мм мм мм

Б-1 85 160 135 10,8 1,08 23,0 450 658 2,1 11,2 1,1 23,0 88 165 144

Б-11 80 159 132 10,8 1,08 23,0 437 634 2,1 11,2 1,1 23,0 83 167 150

Б-Ш 80 155 130 10,2 1,08 23,0 437 634 2,1 19,5 1,64 31,1 82 170 148

Б-1У 85 160 132 10,2 1,08 23,0 450 658 2,1 19,5 1,64 31,1 87 160 144

Б-У 85 162 137 10,8 1,08 23,0 437 634 2,1 11,2 1,1 23,0 88 168 139

Б-У1 85 165 138 10,8 1,08 23,0 450 658 2,1 11,2 1,1 23,0 86 170 136

Б-У11 80 160 135 10,2 1,08 23,0 437 634 2,1 19,5 1,64 31,1 84 168 138

Б-УШ 80 160 132 10,2 1,08 23,0 437 634 2,1 19,5 1,64 31,1 85 170 148

Результаты экспериментального исследования. Разрушение опытных балок, как исходных, так и восстановленных, происходило в зоне действия максимального изгибающего момента в результате достижения растянутой арматурой предела текучести с последующим разрушением бетона сжатой зоны, за исключением одной восстановленной балки Б-УШ, разрушение которой было вызвано разрывом продольной арматуры балки в месте приварки при нагрузке, составляющей 65% от разрушающей нагрузки исходной балки. Это связано с прожогом и охрупчиванием арматуры при электродуговой сварке (нарушение режима сварки в виде чрезмерной силы тока). Характер разрушения исходных и восстановленных опытных балок после разрушения приведен на рисунке 2.

Особенностью трещинообразования восстановленных опытных балок являлось более раннее образование трещин нормального отрыва в месте контакта бетона исходных балок и нового бетона, что объясняется величиной адгезии нового и старого бетона, меньшей чем прочность бетона на растяжение. Расстояние между трещинами, средняя ширина их раскрытия и прогиб исходных балок и восстановленных после разрушения практически не отличались на всех этапах нагружения. Увеличение прочности бетона восстановленных балок в зоне чистого изгиба уменьшало деформативность и повышало несущую способность по сравнению с исходными балками. Предварительное напряжение рабочей арматуры восстановленных балок Б-У...Б-УТ1 уменьшало их деформа-тивность и ширину раскрытия трещин нормального отрыва по сравнению с исходными опытными балками.

а - исходные опытные балки б - восстановленные опытные балки

Рисунок 2. - Вид опытных балок после разрушения 4

Моделирование НДС изгибаемых железобетонных элементов, восстановленных после разрушения.

Общая деформационная модель поперечного сечения железобетонных элементов, основанная на гипотезе плоского сечения для распределения осредненных деформаций по сечению, уравнениях равновесия и диаграммах деформирования бетона и арматуры, позволяет получить основные параметры НДС железобетонных элементов при действии нагрузки на любом этапе их работы1 [1, с. 224-230; 2; 3].

Расчет разрушающего изгибающего момента, момента образования и ширины раскрытия трещин нормального отрыва, прогиба в середине пролета при эксплуатационной нагрузке исходных опытных балок выполнялся по разработанной методике [1, с. 224-230].

Для изгибаемых железобетонных элементов уравнения напряженно-деформированного состояния имеют

вид:

к п

Z °ci Aci (У0 - yci) + Z °si Asi (У0 - y si)- M =0; i=l i=k+l

к n

Z °ci + Z Gs¿ Asi =0; (1)

i=l i-k+l

s( с,s )i - - ( y0 ~ У (с,s )i ) , a( с,s )i - f( Z(e,s )i ) ■

где M - изгибающий момент от внешней нагрузки;

<j(c,s)i и £(с,ф - нормальные напряжения и относительные деформации соответственно в /-той элементарной площадке бетона или арматуры;

A(c,s)i и у(с,ф - соответственно площадь сечения и расстояние от выбранной оси до центра тяжести /-той элементарной площадки бетона или арматуры;

уо - расстояние от выбранной оси до центра тяжести сечения;

к и (n-k) - количество элементарных площадок соответственно бетона и арматуры в поперечном сечении.

Пример вычисленного распределения относительных деформаций и напряжений по поперечному сечению исходной опытной балки Б-I в предельном по прочности состоянии приведен на рисунке 3.

Критерием образования трещин нормального отрыва является достижение элементарным слоем бетона на уровне центра тяжести арматурного стержня предельных относительных деформаций sctm,u. Максимальное значение изгибающего момента Mu, при котором выполняются условия равновесия (1) в поперечном сечении с трещиной, соответствует прочности железобетонного элемента.

Для вычисления изгибающего момента образования трещин Mcr и соответствующего его прочности Mu использовалась билинейная диаграмма деформирования свободной арматуры2,3,4: в первом случае вследствие ее совместной работы с бетоном без сдвигов; во втором - вследствие приближения коэффициента ys к значению, равному 15.

Вычисление жесткости участка по длине изгибаемого железобетонного элемента с трещинами для расчета прогибов опытных плит производилось с учетом работы растянутого бетона как среднее значение суммы жест-костей элементарных площадок бетона и арматуры по границам участка

1 Статически неопределимые железобетонные конструкции. Диаграммные методы автоматизированного расчета и проектирования: метод. пособие. - М.: М-во стр-ва и жилищно-коммунального хоз-ва Рос. Федерации, 2017. - 197 с. URL: https://meganorm.ru/Index2/1/4293740/4293740525.htm.

2 CEB-FIB Model Code for Concrete Structures 2010. URL: https://www.wiley.com/en-us/fib+Model+Code+for+Concrete+ Structures+2010-p-9783433604083.

3 СП 63.13330.2018. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. СНиП 52-01-2003. - Москва, 2018. - 143 с.

4 СП 5.03.01-2020. Бетонные и железобетонные конструкции. - Минск, 2020. - 236 с.

5 Lazouski D., Gluhov D., Lazouski Y. Modeling the behavior of statically indeterminate reinforced concrete structures under load // Перспективные направления инновационного развития строительства и подготовки инженерных кадров: сб. науч. ст. XXII Междунар. науч.-метод. семинара, Брест, 29-30 сент. 2022 г. / Брест. гос. техн. ун-т. - Брест: БрГТУ, 2022. - C. 95-107. URL: https://rep.bstu.by/handle/data/32920.

а - диаграммы деформирования бетона и арматуры с отметками красной точкой состояния наиболее сжатого волокна

бетона и рабочей арматуры; б - распределение относительных деформаций и нормальных напряжений по высоте поперечного сечения (цифры на выносных линиях - напряжения в МПа) (синим и красным цветом - относительные деформации соответственно в сжатой и растянутой зонах: голубым и розовым - аналогично, напряжений)

Рисунок 3. - Моделирование НДС в поперечном сечении исходной опытной балки Б-1

Результаты сопоставления опытных и расчетных значений разрушающего изгибающего момента Ми, момента образования Мег и среднего значения (в зоне чистого изгиба) ширины раскрытия трещин w, прогибов а для исходных опытных балок приведены в таблице 2.

Таблица 2. - Экспериментальные и расчетные значения разрушающего изгибающего момента, момента образования и ширины раскрытия трещин, прогибов исходных опытных балок

Шифр балки Muexp, кНм Mjh, кНм Muexx> Mcrexp, кНм Mcrlh, кНм Mcrexp wexW мм wth, мм wexP мм ath, мм aexp

Mulh Mcrth w¡h ath

Б-I 5,92 5,69 1,04 0,8 0,82 0,97 0,18 0,168 1,07 3,24 3,35 0,97

Б-II 5,08 5,20 0,98 0,8 0,75 1,06 0,16 0,152 1,05 3,46 3,29 1,05

Б-III 4,95 5,05 0,98 0,8 0,72 1,11 0,15 0,146 1,03 3,58 3,35 1,07

Б-IV 5,54 5,45 1,02 0,8 0,80 1,00 0,15 0,153 0,98 3,41 3,13 1,08

Б-V 5,50 5,50 1,00 0,8 0,81 0,98 0,15 0,147 1,02 2,89 2,75 1,05

Б-VI 5,92 5,86 1,01 0,8 0,81 0,98 0,16 0,174 0,92 3,36 3,29 1,02

Б-VII 5,01 5,21 0,96 0,8 0,78 1,03 0,15 0,151 1,00 3,16 3,18 0,99

Б-VIII 5,05 5,15 0,98 0,8 0,78 1,03 0,15 0,151 1,00 3,21 3,33 0,96

Расчет разрушающего изгибающего момента, момента образования и ширины раскрытия трещин нормального отрыва, прогиба в середине пролета при эксплуатационной нагрузке восстановленных после разрушения опытных балок Б-Г...Б-ГУ выполнялся по методике, аналогичной расчету исходных опытных балок, с геометрическими размерами поперечного сечения, соответствующими заменяющему бетону диаграммами деформирования при сжатии и растяжении. При этом не учитывалась работа бетона при растяжении в поперечном сечении балок в месте сопряжения старого и нового бетонов.

Определение параметров НДС восстановленных опытных балок с предварительным напряжением восстановленного участка арматуры Api производилось в два этапа.

На первом этапе для изгибаемых железобетонных элементов с предварительным напряжением арматуры уравнения НДС имеют вид:

к

Y^ciAi (УО - Ус )- Z а piApi (уО - Ур1 ) = 0

i=l i=k+l к

ZGaAbi - Z apiApi= 0; (3)

i=i i=k+i

eci = - (Уо - Усi ) + SP , Gpi = - (Уо - Ург ) + S pki + SP ;

r

f( *cih а pi = f(S pi)

где еркг - относительная деформация предварительно напряженного /-того стержня арматуры, соответствующая начальному контролируемому значению предварительного напряжения;

ер - относительная деформация в центре тяжести поперечного сечения от усилия предварительного напряжения, которая определяется по формуле

п

Е стрг'Арг'

ер = ЬШ-. (4)

Е Еа Аа

г=1

Относительные деформации на уровне стержней предварительно напряженной арматуры, которые характеризуют потери предварительного напряжения при обжатии, вычисляются по формуле

е1 рг =1 (Уо - Ург ) + еР . (5)

Расчетом на первом этапе определяются параметры НДС изгибаемого железобетонного элемента после обжатия усилием предварительного напряжения с учетом потерь в стержнях предварительно напряженной арматуры.

На втором этапе расчета железобетонного элемента под действием внешней нагрузки уравнения для вычисления параметров НДС изгибаемого железобетонного элемента с предварительным напряжением арматуры имеют вид:

к

Ест«Аа(уо-Уа)+ Е ар1Арг(УО -Ур1)-м=0;

7=1 г=к+1

к п

ЕааАа + Е °ргАрг = 0; (6)

7=1 7=к+1

ес7 = - (у0 - ус7 ) + е1с,Р , ер7 = - (у0 - ур7 ) + еркг + е1Р ;

Ъсг = Я есг)> а рг = Яе пг)

рг J * '-'рг

где Е1р - относительная деформация от действия усилия предварительного напряжения, вычисленная на первом этапе расчета.

Пример вычисленного распределения относительных деформаций и нормальных напряжений по поперечному сечению восстановленной опытной балки Б-У при натяжении восстановленной арматуры в пружинной установке, при отпуске предварительного напряжения восстановленной арматуры после набора прочности бетоном восстановления, а также в предельном по прочности состоянии приведен на рисунке 4.

а - при натяжении восстановленного участка арматуры; б - при отпуске натяжения; в - в предельном состоянии перед разрушением (распределение относительных деформаций и нормальных напряжений по высоте поперечного сечения) (цифры на выносных линиях - напряжения в МПа) (синим и красным цветом - относительные деформации соответственно в сжатой и растянутой зонах: голубым и розовым - аналогично, напряжений)

Рисунок 4. - Моделирование НДС в сечении восстановленной опытной балки Б-У

Расчет восстановленных после разрушения опытных балок Б-У...Б-УП с предварительным напряжением арматуры производился в два этапа в соответствии с этапами их восстановления: при отпуске натяжения восстановленного участка арматуры после набора прочности бетоном восстановления и при нагружении внешней нагрузкой.

Расчетное значение предварительного напряжения восстановленного участка арматуры при отпуске его натяжения для восстановленных опытных балок составляло 181...189 МПа, расхождение с экспериментальными значениями не превышает 8%.

Вычисление жесткости участков по длине восстановленных опытных балок для расчета их прогибов производилось с учетом фактических геометрических размеров поперечного сечения и диаграмм деформирования бетона для разных (исходных и восстановленных) участков балок как среднее значение суммы жесткостей элементарных площадок бетона и арматуры по границам участка, без учета работы бетона на растяжение в поперечном сечении в месте стыка исходного и восстановленного бетона.

Результаты сопоставления опытных и расчетных значений параметров НДС восстановленных после разрушения опытных балок: разрушающего изгибающего момента, момента образования и ширины раскрытия трещин нормального отрыва, прогибов, приведены в таблице 3.

Таблица 3. - Расчет разрушающего изгибающего момента, момента образования и ширины раскрытия трещин, прогибов восстановленных после разрушения опытных балок

Шифр Muexp, Muth, Muexp, Mcrcexp, Mcrcth, Mcrcexp wexp, wth, wexp aexp, ath, aexp

балки кНм кНм Muth кНм кНм Mcrcth мм мм wth мм мм ath

Б-I 6,04 6,20 0,97 0,35 0,91 0,38 0,20 0,177 1,12 3,28 3,06 1,07

Б-II 6,25 6,12 1,02 0,35 0,83 0,42 0,20 0,179 1,11 3,56 3,35 1,06

Б-III 7,12 6,87 1,04 0,4 1,21 0,33 0,21 0,18 1,16 3,08 2,77 1,11

Б-IV 7,04 6,91 1,02 0,4 1,20 0,33 0,21 0,198 1,05 3,17 2,89 1,10

Б-V 6,35 6,32 1,00 3,8 4,2 0,90 0,05 0,042 1,19 1,54 1,48 1,04

Б-VI 6,62 6,30 1,05 3,8 4,32 0,88 0,05 0,053 0,94 1,67 1,52 1,09

Б-VII 6,35 6,48 0,98 3,8 4,61 0,82 0,05 0,044 1,13 1,75 1,68 1,04

Б-VIII 3,24 - - - 4,43 - - 0,038 - - 1,56 -

Анализ результатов моделирования НДС и расчета его основных параметров восстановленных опытных балок показывает удовлетворительную сходимость с опытными значениями.

Заключение. Проведенные экспериментально-теоретические исследования:

- подтвердили возможность восстановления изгибаемых железобетонных конструкций после их разрушения на отдельных участках;

- позволили установить общую картину и основные особенности работы под нагрузкой восстановленных после разрушения изгибаемых железобетонных конструкций, в том числе с предварительным напряжением восстановленного участка рабочей арматуры;

- подтвердили применимость общей деформационной модели к расчету параметров НДС изгибаемых железобетонных конструкций, восстановленных после разрушения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лазовский Д.Н. Усиление железобетонных конструкций эксплуатируемых строительных сооружений. - Новополоцк: Полоц. гос. ун-т, 1998. - 240 с.

2. Расчетная модель напряженно-деформированного состояния статически неопределимых железобетонных конструкций / Д.Н. Лазовский, Д.О. Глухов, Е.Д. Лазовский и др. // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. F, Стр-во. Прикладные науки. - 2022. -№ 14. - С. 29-44.

3. Work modelling of bending reinforced concrete elements under load / E. Chaparanganda, D. Lazouski, Y. Lazouski et al. // Journal of New Results in Science. - 2021. - № 10(1). - P. 100-114.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lazovskii, D.N. (1998). Usilenie zhelezobetonnykh konstruktsii ekspluatiruemykh stroitel'nykh sooruzhenii. Novopolotsk: Polots. gos. un-t. (In Russ.).

2. Lazovskii, D.N., Lazovskii, E.D, Glukhov, D.O. & Gil', A.I. (2022). Raschetnaya model' napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya staticheski neopredelimykh zhelezobetonnykh konstruktsii [Computational model of the stress-strain state of statically indeterminate reinforced concrete structures]. Vestn. Polots. gos. un-ta. Ser. F, Str-vo. Prikladnye nauki [Vestnik of Polotsk State University. Part F, Constructions. Applied Sciences], (14), 29-44. (In Russ., abstr. in Engl.).

3. Chaparanganda, E., Lazouski, D., Lazouski, Y. & Glukhov, D. (2021). Work modelling of bending reinforced concrete elements under load. Journal of New Results in Science, 10(1), 100-114.

Поступила 21.04.2023

EXPERIMENTAL AND THEORETICAL STUDY OF BENDING REINFORCED CONCRETE ELEMENTS RESTORED AFTER DESTRUCTION

D. LAZOUSKIV, E. CHAPARANGANDA2) Euphrosyne Polotskaya State University of Polotsk, 22Botswana International University Of Science And Technology)

The article presents the results of an experimental and theoretical study of bent reinforced concrete elements under the action of a static load. Experimental bending elements were brought to destruction and then restored with the replacement of the section of the deformed working reinforcement. Several test slabs were rebuilt with a new section of rebar prestressed. The features of work under load of bent reinforced concrete elements restored after destruction are established.

Performed, on the basis of the general deformation model of the cross section, modeling of the stress-strain state of the restored bending reinforced concrete elements. Comparison of the calculated main parameters of the stressstrain state with their experimental values showed satisfactory convergence.

Keywords: bent reinforced concrete element, original experimental beam, restored experimental beam, stressstrain state, concrete, reinforcement, breaking bending moment, crack opening width, beam deflection.