Научная статья на тему 'Экспериментально-теоретический метод определения режимов стохастичности поля скорости звука в глубоком море'

Экспериментально-теоретический метод определения режимов стохастичности поля скорости звука в глубоком море Текст научной статьи по специальности «Геофизика»

CC BY
10
1
Поделиться
Ключевые слова
ЯПОНСКОЕ МОРЕ / ЗОНА КОНВЕРГЕНЦИИ / СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / ЗОНАЛЬНАЯ СТРУКТУРА АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ / СИСТЕМА МОНИТОРИНГА / ПРОСВЕТНАЯ ГИДРОЛОКАЦИЯ / THE SEA OF JAPAN / CONVERGENCE ZONE / STOCHASTIC MODELING / THE ZONAL STRUCTURE OF ACOUSTIC FIELDS / MONITORING SYSTEM / SONAR METHOD

Аннотация научной статьи по геофизике, автор научной работы — Кирьянов Алексей Валерьевич

Приведены результаты моделирования влияния уровня стохастичности скорости звука на формирование зональной структуры акустического поля для условий Японского моря в лучевом приближении. Источник излучения располагался выше оси подводного звукового канала на глубине 50 м. Определены координаты границ трёх первых зон конвергенции на глубине расположения источника излучения для различных значений случайной компоненты поля скорости звука. Изменение границ зон конвергенции происходит по линейному закону, при этом ближние границы смещаются к источнику, а дальние от источника. Определены угловые спектры прихода лучевых траекторий, формирующие максимумы вертикальных распределений акустического поля на ближних и дальних границах первых трёх зон конвергенции в зависимости от уровня случайной компоненты поля скорости звука. На основе анализа характера изменения угловых спектров прихода лучевых траекторий предложен экспериментально-теоретический метод определения режимов стохастичности поля скорости звука в глубоком море, заключающийся в том, что по экспериментально измеренным координатам начала или конца зон конвергенции и рассчитанным угловым спектрам прихода лучевых траекторий можно определить тип режима стохастичности поля скорости звука: режим слабых флуктуаций или режим сильных флуктуаций. Предложенный экспериментально-теоретический метод определения режимов стохастичности поля скорости звука может быть использован при проектировании систем мониторинга методами просветной гидролокации для выбора оптимальных мест расположения приемных антенн.

Похожие темы научных работ по геофизике , автор научной работы — Кирьянов Алексей Валерьевич,

Experimental-theoretical method for determining the stochastic modes of the sound speed field in deep sea

The paper presents the results of modeling the effect of the stochasticity level of sound speed on formation of the zonal structure of acoustic field in the conditions of the Sea of Japan in ray approximation. The radiation source was located above the axis of the underwater acoustic channel at the depth of 50 m. The coordinates of the boundaries of the three first convergence zones were determined at the depth of the radiation source for different values of the random component of the sound speed field. Changes in the boundaries of convergence zones follow a linear law, with the near boundaries shifting towards the source, and the distant ones moving away from the source. The angular spectra of arrival of the ray trajectories, which form the maxima of the vertical distributions of the acoustic field at the near and far borders of the first three convergence zones, are determined depending on the level of the random component of the sound speed field. Based on the analysis of the nature of the change in the angular spectra of the arrival of the ray trajectories, an experimental-theoretical method is proposed for determining the stochastic modes of the sound speed field in deep sea, which means that the experimentally measured coordinates of the beginning or end of the convergence zones and the calculated angular spectra of the arrival of the ray trajectories allow to determine the type of the stochasticity mode of the sound speed field: the mode of weak fluctuations or the mode of strong fluctuations. The proposed experimental theoretical method for determining the stochasticity modes of the sound velocity field can be used in designing monitoring systems using sonar methods to select the optimal location of receiving antennas.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Экспериментально-теоретический метод определения режимов стохастичности поля скорости звука в глубоком море»

КОРАБЛЕСТРОЕНИЕ. Физические поля корабля, океана и атмосферы

DOI.org/10.5281/zenodo.2578706 УДК 534.222

А.В. Кирьянов

КИРЬЯНОВ АЛЕКСЕЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ - старший преподаватель кафедры приборостроения Инженерной школы, e-mail: kirianov.av@dvfu.ru Дальневосточный федеральный университет Суханова ул., 8, Владивосток, 690091

Экспериментально-теоретический метод определения режимов стохастичности поля скорости звука в глубоком море

Аннотация: Приведены результаты моделирования влияния уровня стохастичности скорости звука на формирование зональной структуры акустического поля для условий Японского моря в лучевом приближении. Источник излучения располагался выше оси подводного звукового канала на глубине 50 м. Определены координаты границ трёх первых зон конвергенции на глубине расположения источника излучения для различных значений случайной компоненты поля скорости звука. Изменение границ зон конвергенции происходит по линейному закону, при этом ближние границы смещаются к источнику, а дальние - от источника. Определены угловые спектры прихода лучевых траекторий, формирующие максимумы вертикальных распределений акустического поля на ближних и дальних границах первых трёх зон конвергенции в зависимости от уровня случайной компоненты поля скорости звука. На основе анализа характера изменения угловых спектров прихода лучевых траекторий предложен экспериментально-теоретический метод определения режимов стохастичности поля скорости звука в глубоком море, заключающийся в том, что по экспериментально измеренным координатам начала или конца зон конвергенции и рассчитанным угловым спектрам прихода лучевых траекторий можно определить тип режима стохастичности поля скорости звука: режим слабых флуктуаций или режим сильных флуктуаций. Предложенный экспериментально-теоретический метод определения режимов стохастичности поля скорости звука может быть использован при проектировании систем мониторинга методами просветной гидролокации для выбора оптимальных мест расположения приемных антенн. Ключевые слова: Японское море, зона конвергенции, стохастическое моделирование, зональная структура акустического поля, система мониторинга, просветная гидролокация.

Введение

Зональная структура акустических полей в глубоком море определяется полем скорости звука. Процессы, происходящие в океане, приводят к флуктуациям скорости звука, величина которых вдали от фронтальных зон обычно не превышает 0,75 м/с. Флуктуации малы по отношению к детерминированной компоненте поля скорости звука, однако эффект их воздействия накапливается вдоль траекторий распространения звука на большие расстояния [8].

На протяжении прошлого столетия быстрое развитие теории распространения волн в случайно-неоднородных средах тесно связано с исследованиями распространения электромагнитных волн. Разработанные методы включают в себя метод плавных возмущений (метод Рытова), уравнение переноса для потока энергии и уравнение для статистических моментов распространяющегося поля [9, 12, 13]. Общность этих методов в том, что они учитывают

© Кирьянов А.В., 2019

О статье: поступила 12.02.2019; финансирование: бюджет ДВФУ.

случайное отклонение траектории распространяющегося сигнала от той единственной детерминированной траектории, которая соединяет излучатель и приёмник. Однако лишь очень малое число таких решений применимо к задачам подводной акустики, что вызвано особым характером флуктуаций скорости звука и рефракцией как основным механизмом формирования зональной структуры акустических полей в подводных волноводах.

В настоящее время наиболее часто для расчёта акустических полей в случайно-неоднородных подводных волноводах для случая малых флуктуаций скорости звука используется метод плавных возмущений, а при сильных флуктуациях - метод интегрирования по траекториям [8, 15]. Отметим, что эти методы являются приближёнными и требуют априорного знания величины случайной компоненты поля скорости звука AC~(x,z), измерение которой по всей трасе распространения зондирующего излучения в режиме реального времени технически невозможно. В этой связи возникает необходимость в разработке косвенного метода определения режимов стохастичности поля скорости звука при проведении натурных экспериментов по дальнему распространению.

Зональная структура акустического поля формируется за счёт сходимости лучевых траекторий и фокусировки звука в зонах конвергенции (ЗК), обусловленных рефракцией и выходом к поверхности звуковых лучей, распространяющихся в подводных волноводах. Результаты экспериментальных исследований дальнего распространения звука в океане существенно отличаются от расчетных, полученных с использованием гладких профилей скорости звука. Наблюдается засветка зон акустической тени, сдвиг ЗК, более ранний приход акустических лучей [1-5, 14, 17, 18]. Различие результатов численного моделирования и экспериментальных данных обычно объясняется наличием мелкомасштабных неоднородностей скорости звука, обусловленных флуктуациями температуры и солености морской среды, которые необходимо учитывать при моделировании распространения звука в океане.

Таким образом, при проведении морского эксперимента по дальнему распространению звука величины изменения координат ближних и дальних границ ЗК можно поставить в соответствие с расчётной величиной AC~(x,z). Кроме того, вертикальное распределение акустического поля на дальностях координат ближних границ ЗК формируется лучами, идущими от дна к поверхности, а на дальних границах - от поверхности к дну. Это положение является основным информативным признаком при определении режимов флуктуации поля скорости звука.

Постановка задачи и исходные данные для моделирования

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Цель работы - исследование динамики изменения угловых спектров лучевых траекторий, формирующих вертикальные распределения акустического поля (ВРАП) на ближних и дальних границах первых трёх ЗК, для определения информативных признаков режимов слабых и сильных флуктуаций в интересах создания систем мониторинга акваторий методами гидролокации на просвет.

Границам слабых и сильных флуктуаций будет соответствовать значение AC~(x,z), при котором ВРАП на ближних границах ЗК будет формироваться не только лучами, идущими от дна к поверхности, но и лучами, идущими от поверхности к дну, а на дальних границах - наоборот.

При проведении численных экспериментов использовался метод стохастического моделирования, суть которого изложена в работах [10, 11, 16]. Случайная компонента поля скорости звука AC~(x, z) дискретно изменялась от 0 до 0,3 м/с дискретностью 0,01 м/с. Для каждого значения AC~(x, z) > 0 было проведено по 1000 экспериментов. При проведении численного моделирования использовалась программа Rays, разработки ДВФУ [6].

Для моделирования использовались данные о вертикальном распределении скорости звука для глубокой части Японского моря (порядка 3000 м), размещенные на сайте Межведомственной информационной системы для доступа к ресурсам морских информационных систем и комплексного информационного обеспечения морской деятельности (ЕСИМО)

(рис. 1) [7]. Длина полигона - 120 км, источник излучения расположен выше оси подводного звукового канала на глубине 50 м. Угол раскрыва источника ±6° соответствует водному распространению лучевых траекторий без переотражения от дна и поверхности для всех выбранных значений случайной компоненты поля скорости звука. Дискретность выхода лучевых траекторий равна 0,02°.

Рис. 1. Вертикальное распределении скорости звука - а, схема района - Ь [7].

Результаты и обсуждение

Результаты численных экспериментов показывают, что при увеличении уровня случайной компоненты поля скорости звука ближние границы первых трех ЗК на глубине расположения источника смещаются в сторону источника, а дальние - от источника по линейному закону (рис. 2). При этом чем больше номер ЗК, тем больше смещение координат ближних и дальних границ. Ширина ЗК увеличивается, а зона тени сокращается с возрастанием порядкового номера зоны.

Аналитические зависимости изменения координат границ зон конвергенции от уровня случайной компоненты поля скорости звука приведены на рис. 2. Из зависимостей следует, что при фиксированных уровнях случайной компоненты поля скорости звука координаты ближних границ зон конвергенции смещаются в направлении к источнику на большее расстояние, чем дальние в направлении от источника.

На рис. 3 приведены зависимости угловых спектров лучевых траекторий, формирующих максимумы ВРАП на границах зон конвергенции. Из результатов, представленных на рис. 3, следует, что на дальностях, соответствующих ближним границам всех трёх зон конвергенции и дальней границы 1ЗК, выполняется режим слабых флуктуаций. На дальней границе 2ЗК режим слабых флуктуаций наблюдается при ДС~(х, z) < 0,2 м/с, при больших значениях ДС~(х, z) наступает режим сильных флуктуаций. На дальней границе ЗЗК режим слабых флуктуаций наблюдается при ДС~(х, z) < 0,05 м/с, при больших уровнях ДС~(х, 2) наступает режим сильных флуктуаций.

29

28,5

28

27,5 г , ■л

* 27 26,5

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

26 25,5

58 57,5 57 56,5 56 а 55,5

* 55 54,5

54 53,5 53

X = -8,6Ь к + 28,5 5км 1 Ближняя граница 1ЗК

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 м/с

1 X = - 13,4Ьк + 57,4к м 1 Ближняя граница

2З1 С

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 м/с

36 35,5 35

| 34,5

и

34 33,5 33

70 69,5 69 68,5

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

I 68

и

67,5 67 66,5 66

X = 7,5Ьк + 33,3к( и Дальняя граница

1ЗК

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 м/с

X = 10Ьк + 66,6км Дальняя

граница 2ЗК ;

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 м/с

87 86 85 84 * 83 82 81 80

V X = -17,2 .Ьк + 8 6,2км 1 Ближняя граница ЗЗК

104,5 104 103,5 103

■л

* 102 101,5 101 100,5 100

X = 12 ,5Ьк + 100,2к Дальняя и граница Як'

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 м/с

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 м/с

Рис. 2. Динамика изменения координат ближних и дальних границ первых трёх зон конвергенции в зависимости от уровня случайной компоненты поля скорости звука: х - дальность, Ь - численное значение ДС"(х, г), к - размерный коэффициент.

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2019. № 1(38)

30000

20000

10000

отн. ед.

Дальняя граница 1ЗК

-4

-0-2 0 2

углы прихода, градусы

углы прихода, градусы

10

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

10

отн. ед

-1-1-12000

Ближняя граница 10000 3ЭК

8000

6000

4000

2000

-10 -8 -6 -4 -2

углы прихода, градусы

отн. ед. 25000

-2

0 2 4

углы прихода, градусы

Рис. 3. Угловые спектры лучевых траекторий, формирующие максимумы ВРАП на границах зон конвергенции в зависимости от уровня АС"(х, г).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4

6

8

0

6

0

Заключение

Результаты численного моделирования показывают возможность применения предложенного экспериментально-теоретического метода для определения режимов стохастич-ности поля скорости звука на дальностях, соответствующих границам зон конвергенции. При этом границы зон конвергенции определяются при проведении экспериментов по дальнему распространению звука в море, а собственно режимы стохастичности - по угловым спектрам прихода лучевых траекторий на глубинах максимумов вертикального распределения акустического поля.

Для всех значений величин случайной компоненты поля скорости звука, для которых проводилось моделирование, режим слабых флуктуаций наблюдался на ближних границах трех первых зон конвергенции. В то же время режим сильных флуктуаций наблюдался, начиная с AC~(x, z): более 0,2 м/с - для 2ЗК и 0,05 м/с - для ЗЗК, что объясняется эффектом накопления влияния стохастичности параметров водной среды вдоль траекторий распространения акустических лучей.

В дальнейшем данный метод может быть использован при проектировании систем мониторинга акваторий методами просветной гидролокации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вадов Р.А. О предсказуемости местоположения зон конвергенции в океане // Акуст. журн. 2005. Т. 51, № 3. С. 323-329.

2. Вировляндский А.Л., Казарова А.Ю., Любавин Л.Я. Фокусировка звуковых импульсов методом обращения времени на стокилометровых трассах в глубоком море // Акуст. журн. 2012. Т. 58, № 6. С. 723-732.

3. Галкин О.П., Гостев В.С., Попов О.Е., Швачко Л.В., Швачко Р.Ф. Засветка зоны тени в двух-канальном океаническом волноводе с тонкой структурой неоднородностей скорости звука // Акуст. журн. 2006. Т. 52, № 3. С. 306-313.

4. Галкин О.П., Харченко Е.А., Швачко Л.В. Структура акустического поля в океане на различных частотах звукового диапазона // Акуст. журн. 2000. Т. 46, № 3. С. 325-335.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Галкин О.П., Швачко Л.В. Исследование структуры звуковых полей в океане при глубоководном приеме // Акуст. журн. 2003. Т. 49, № 6. С. 768-777.

6. Злобин Д.В., Кирьянов А.В., Сальников Б.А. Программа для ЭВМ «Моделирование распространения звука в двумерно-неоднородных подводных волноводах в лучевом приближении». Свидетельство о рег. № 2018612054, дата регистрации в Реестре программ для ЭВМ 09.02.2018 г.

7. Межведомственная информационная система для доступа к ресурсам морских информационных систем и комплексного информационного обеспечения морской деятельности [электронный ресурс]. URL: http://portal.esimo.ru (дата обращения: 18.10.2017).

8. Распространение звука во флуктуирующем океане: пер. с англ. / под ред. С. Флате. М.: Мир, 1982. 336 с.

9. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 2. М.: Наука, 1978. 463 с.

10. Сальников Б.А., Сальникова Е.Н. Гидроакустическая система обнаружения порывов подводных магистральных трубопроводов // Известия ЮФУ. Технические науки. 2009. № 6. С. 36-44.

11. Сальников Б.А., Сальникова Е.Н. Моделирование и исследование зональной структуры акустических полей в случайно-неоднородных подводных волноводах // Подводные исследования и робототехника. 2008. № 1/5. С. 47-57.

12. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967. 548 с.

13. Чернов Л.А. Волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1977. 170 с.

14. Colosi J. Sound Propagation through the Stochastic Ocean. Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2016, 424 p.

15. Feynman R., Hibbs A. Quantum mechanics and path integrals. N.Y., McGraw-Hill, 2005, 371 p.

16. Kiryanov A.V., Salnikova E.N., Salnikov B.A., Slesarev N.Yu. Modeling and study of main regularities of the formation of sound fields in randomly inhomogeneous underwater waveguides. Proceed-

ings of Meetings on Acoustics. Vol. 24, N 1, 23 September 2015, Article number 070008, 5th Pacific Rim Underwater Acoustics Conference, PRUAC 2015. DOI: 10.1121/2.0000126.

17. Van Uffelen L.J., Worcester P.F., Dzieciuch M.A., Rudnick D.L. The vertical structure of shadow-zone arrivals at long range in the ocean. J. Acoust. Soc. Am. 2009 Jun;125(6):3569-3588.

18. Van Uffelen L.J., Worcester P.F., Dzieciuch M.A., Rudnick D.L., Colosi J.A. Effects of upper ocean sound-speed structure on deep acoustic shadow-zone arrivals at 500- and 1000-km range. J. Acoust. Soc. Am. 2010;127:2169-2181.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Physical Fields of Ship, Ocean and Atmosphere www.dvfu.ru/en/vestnikis

DOI.org/10.5281/zenodo.2578706

Kiryanov A.

ALEXEY KIRYANOV, Senior Lecturer, Department of Instrument Engineering, School of Engineering, e-mail: kirianov.av@dvfu.ru Far Eastern Federal University 8 Sukhanova St. Vladivostok, 690091, Russia

Experimental-theoretical method for determining the stochastic modes of the sound speed field in deep sea

Abstract: The paper presents the results of modeling the effect of the stochasticity level of sound speed on formation of the zonal structure of acoustic field in the conditions of the Sea of Japan in ray approximation. The radiation source was located above the axis of the underwater acoustic channel at the depth of 50 m. The coordinates of the boundaries of the three first convergence zones were determined at the depth of the radiation source for different values of the random component of the sound speed field. Changes in the boundaries of convergence zones follow a linear law, with the near boundaries shifting towards the source, and the distant ones moving away from the source. The angular spectra of arrival of the ray trajectories, which form the maxima of the vertical distributions of the acoustic field at the near and far borders of the first three convergence zones, are determined depending on the level of the random component of the sound speed field. Based on the analysis of the nature of the change in the angular spectra of the arrival of the ray trajectories, an experimental-theoretical method is proposed for determining the stochastic modes of the sound speed field in deep sea, which means that the experimentally measured coordinates of the beginning or end of the convergence zones and the calculated angular spectra of the arrival of the ray trajectories allow to determine the type of the stochasticity mode of the sound speed field: the mode of weak fluctuations or the mode of strong fluctuations. The proposed experimental theoretical method for determining the stochasticity modes of the sound velocity field can be used in designing monitoring systems using sonar methods to select the optimal location of receiving antennas. Keywords: the Sea of Japan, convergence zone, stochastic modeling, the zonal structure of acoustic fields, monitoring system, sonar method.

REFERENCES

1. Vadov R.A. On the predictability of the location of convergence zones in the ocean. Acoustic J. 2005(51);3:323-329.

2. Virovlyansky A.L., Kazarova A.Y., Lyubavin L.Y. Focusing of sound pulses using the time reversal technique on 100-km paths in a deep sea. Acoustic J. 2012(58);6:723-732.

3. Galkin O.P., Gostev V.S., Popov O.E., Shvachko L.V., Shvachko R.F. Illumination of the shadow zone in a two-channel oceanic waveguide with a fine structure of sound speed inhomogeneities. Acoustic J. 2006(52);3:306-313.

4. Galkin O.P., Kharchenko E.A., Shvachko L.V. The structure of the acoustic field in the ocean at different frequencies of the acoustic range. Acoustic J. 2000(46);3:325-335.

5. Galkin O.P., Shvachko L.V. Investigation of the structure of sound fields in the ocean during deep-water reception. Acoustic J. 2003(49);6:768-777.

6. Zlobin D.V., Kirianov A.V., Salnikov B.A. Computer software «Simulation of sound propagation in two-dimensional inhomogeneous underwater waveguides in the beam approximation». Certificate of State Registry No. 2018612054, date of registration in the Registry of computer programs, February 09, 2018.

7. Interdepartmental information system for access to the resources of marine information systems and integrated information support for marine activities. URL: http://portal.esimo.ru - 18.10.2017.

8. Sound propagation in fluctuating ocean. Ed. By S. Flate. Moscow, Mir, 1982, 336 p.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

9. Rytov S.M., Kravtsov Yu.A., Tatarsky V.I. An introduction to statistical radiophysics. Part II. Random fields. Moscow, Nauka, 1978, 463 p.

10. Salnikov B.A., Salnikova E.N. Hydroacoustic system of early detection of underwater main pipelines breaches. Izvestiya SFedU. Engineering Sciences. 2009;6:36-44.

11. Salnikov B.A., Salnikova E.N. Modeling and study of the zonal structure of acoustic fields in randomly inhomogeneous underwater waveguides. Underwater Studies and Robotics, FEB RAS. 2008(1/5):47-57.

12. Tatarsky V.I. Wave propagation in a turbulent atmosphere. M., Nauka, 1967, 548 p.

13. Chernov L.A. Waves in randomly inhomogeneous media. M., Nauka, 1977, 170 p.

14. Colosi J. Sound Propagation through the Stochastic Ocean. Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2016,424 p.

15. Feynman R., Hibbs A. Quantum mechanics and path integrals. N.Y., McGraw-Hill, 2005, 371 p.

16. Kiryanov A.V., Salnikova E.N., Salnikov B.A., Slesarev N.Yu. Modeling and study of main regularities of the formation of sound fields in randomly inhomogeneous underwater waveguides. Proceedings of Meetings on Acoustics. Vol. 24, N 1, 23 September 2015, Article number 070008, 5th Pacific Rim Underwater Acoustics Conf., PRUAC 2015. DOI: 10.1121/2.0000126.

17. Van Uffelen L.J., Worcester P.F., Dzieciuch M.A., Rudnick D.L. The vertical structure of shadow-zone arrivals at long range in the ocean. J. Acoust. Soc. Am. 2009 Jun;125(6):3569-3588.

18. Van Uffelen L.J., Worcester P.F., Dzieciuch M.A., Rudnick D.L., Colosi J.A. Effects of upper ocean sound-speed structure on deep acoustic shadow-zone arrivals at 500- and 1000-km range, J. Acoust. Soc. Am. 2010;127:2169-2181.