CC BY
29
УДК 622.831+539.3 В.Е. Миренков
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОРОД,
ВМЕЩАЮЩИХ ПЛАСТ ПОЛЕЗНОГО ИСКОПАЕМОГО*
Проведен экспериментально-аналитический расчет деформирования пород, вмещающих пласт полезного ископаемого.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, задачи теории упругости, технология отработки пласта.
Семинар № 3
Добыча полезных ископаемых, таких как уголь, при технологии сжигания его в пласте с последующим отводом тепла, газ, нефть и т.п., исключающих присутствие человека под землей, производится в плохо контролируемых условиях. При этом процесс сгорания угля и продвигание этого фронта или вытеснение газа и нефти по пласту, фронт которых также нельзя считать сплошным и фиксированным на каждый момент времени.
Чтобы управлять изменением напряженно-деформированного состояния вмещающих пород при таких процессах необходимо моделировать ситуацию и иметь экспериментальные данные, обеспечивающие возможность формулировки граничных условий. Если в [1] использовались натурные замеры вертикальных компонент смещений кровли выработки в качестве одного граничного условия, принимая для второго априорные предположения отсутствия касательных напряжений по границе с угольным пластом в условиях глубокого заложения. Существенным при этом является доступ к отрабатываемому пласту и возможность вести замеры и воздействовать на массив закладкой или оставлением целиков. При безлюдной выемке такой возможности нет, имеется только ряд скважин, обеспечивающих добычу. Возникает проблема получения информации о деформировании массива пород в процессе добычи.
Простейший случай для реализации задачи расчета деформирования, когда можно воспользоваться известными подходами [2-4] при формулировке граничных условий для всех трех основных задач теории упругости, сводится к снесению всех сведений о пласте на прямолинейный разрез, что допустимо в случаях малости толщины и максимального отклонения пласта от горизонтального разреза по сравнению с глубиной заложения, т.е. моделируем породы кровли полосой, а полезный пласт занимает разрез длиной 2а (рис. 1).
Работа выполнена при финансовой поддержке Г осударственного контракта № 02.515.11.5028 и РФФИ (проект № 07-05-00004).
Дополнительно будем считать, что породы почвы достаточно жесткие и можно пренебречь их деформированием. В этом случае известны следующие варианты формулировки граничных условий на продолжении разреза для Г1 [1-4]:
У
Рис. 1. Расчетная схема пород кровли
и = V = 0, а < |х| < да;
V = т = 0, а < |х| < да;
V = ^(х), т = 0 на |х| < да;
V = ^(х), и= 0 на |х| < да,
(1)
(2)
(3)
(4)
где и, V - компоненты смещений, т - касательные напряжения.
В условиях большой неопределенности процесса деформирования, достаточно сильных априорных предположениях типа (1)-(4), тем не менее, в рамках принятых допущений расчеты напряжений и смещений будем проводить аналитически, что является основным стержнем, вокруг которого возможно проводить уточнения в любом направлении.
Для области О, ограниченной контуром Г = Г1 + Г2, имеют место соотношения, связывающие значения компонент напряжений и смещений [5],
1 ^ V) + 2цд V),
f(і0) + 2цд(і0) = - Г'
тг /
І — ІП
-С,
кг((0) — 2цд((0) = 1ГК(І) 2^9{І)С —
%і Г і — /0
1 * Т — 7
--Дf (() + (()] ^,
где к, ^ — упругие постоянные;
(5)
Г (І) = 1{( Хп + 1Уп) ds,
(6)
Хп, Уп - значения напряжений в направлении осей х и у, соответственно; g = и + /V; t є Г, ^ - аффикс точки границы; черточка под функцией обозначает сопряженное значение; / - мнимая единица.
На дневной поверхности Г 2 граничные условия сформулируем в виде
&п = Тп = 0, |х| < да (7)
С учетом (7) из (5) компоненты смещений для границ Г и Г2 определяются из уравнений
где f—Лі + (/12 на Гі.
Таким образом, соотношения (8) можно рассматривать как решение в квадратурах задачи определения компонент смещений границ пород кровли. Подстановка (1)-(4) в уравнения (8) однозначно определяет решение таких четырех задач для полосы О.
Граничные значения напряжений для |х| < а формулируются как изменения напряженного состояния за время наблюдения, т.е.
Оу — Оу0 (х), г — То (х), |х| < а. (9)
Главное в рассматриваемой задаче связано с достоверностью формулировки граничных условий на Г1.
Возможность наступления динамических явлений связана со сдвиговыми деформациями, определяемыми касательными напряжениями. В качестве таких критериев примем:
1. Условие Треска
ds
[> - ^ )2 + ь2 ]2
ds
(8)
—да
Хтзх = к , (10)
где k - предел текучести при сдвиге; 01, 03 - главные напряжения
2. Условие Мизиса
+ СТу -СТхСТу + 3x2 (11)
где от - напряжение текучести.
Рассчитав напряженное состояние из (8) для (1)-(4) и (9) по формулам (10), (11) определяются области повышенных напряжений, где возможны сдвиги, т.е. наихудшие и наилучшие ситуации к которым нужно стремиться изменяя, например, технологию - очередность повышения (понижения) дебита скважин. Для расчета напряжений из (8) необходимо проводить численное дифференцирование /ц и/12, что приводит к потере точности. Чтобы избежать этого продифференцируем по х первые два уравнения (8), получим
1 [г (к + 1-х
4 ци—' (х) = -(к - 1)сту1 — Н ^---------------------------------}-± ds -
у % I ■’ s - х
7 8^- х-и2 ^ 7 8hц{(s- х-[(s- х-2 - 3h2]и + h[3(s- х-2 - h2]^2 ^
» [^ - х-2 + Н2 ]2 » [(s - х-2 + h2 ]3
, 1 [ г (к + 1-ст
4 (х- = (к - 1-х1(х- + — [-Г-------------------------------------------------------------------— ds + (12)
% ^ s - х
7 8- х-v2 ^ + 7 8цН {Н [3^- х-2 - Н2 ] и - (s- х-[^ - х-2 - 3Н2 ] V2 ^
» [(s - х-2 + Н2]2 » [^ - х-2 + Н2 ]3
Если вести наблюдения за поведением дневной поверхности с начала отработки пласта, то возможно, используя эти данные, определить приведенный модуль Юнга пород кровли. При наличии достаточного количества данных о смещениях на Г2 представляется возможным уточнить условия (1)-(4) с последующим уточнением решения (8) и областей, где достигаются предельные значения (10), (11). Нормальные и касательные напряжения оу и т определяются при решении системы (8) с соответствующими граничными условиями из (1)-(4). Для определения ох, оу и т входящие в (10), (11), воспользуемся соотношениями [6]
ох + оу = 4Reф'(z)
сту - iх = 2 Reф'^- + zф"(z- + У ^- (13)
Граничные значения функций, входящих в правые части (13), имеют вид (к + 1-р(*0) = [ f(*о- + 2ц9(^с)]
(к +1 М*о- = кЖ)- 2ц9(?о)- * Ф'(*- (14)
Следовательно, из (14), согласно [6], получаем
(к+1-р' ^-=—гf+2ц- dt,
4 2%\ Г (* - z)2
(к + 1-р'£- = 1 | (15)
% Г (* - z)3
/ и\ и \ — :к7-2цд 1 г!(/■ + 2цд-,,
(к + 1-У (z - = — Г—-----С*- — Ш С,
2 %1 Г (* - z-2 2 %1 Г (* - z)3
что полностью определяет правые части (14) не производя численного дифференцирования />0) и g(to).
Для границы области О из первого уравнения (13) с учетом (14) имеем
4 г о '1 3 - к 8ц ,
ст х =---г[ст у + 2Ци ]-ст у =-7ст у +-------------------------------7 и (16)
к +1 ь у -1 у к +1 у к + 1
Подставляя первое уравнение (12) в (16) окончательно получим для Г1
1 [г X ^ 7 8^-х-и2 .
стх1 = сту1 + -■{ I —ds + I ——------------------------------------ds +
х1 у1 "Ц s- х ^- х-2 + Н2П2
-р 8h|J,{(s - х)О - х)2 - 3Н2 ] и2 + h [(s - х)2 - h2 ] v2
» [(s - х)2 +
(17)
Уравнение (17) имеет совсем простой вид на первой стадии отработки пласта, когда это влияние не ощущается на дневной поверхности, т.е. и2(х) « v2(x) « 0. В этих условиях первые два уравнения (8) определяют и^х) и Vl(x) как функции от /ц(х) и /12(х), а третье и четвертое уравнения должны тождественно выполняться и могут служить для уточнения тех или иных экспериментальных данных, аппроксимаций или гипотез.
Таким образом, система сингулярных интегральных уравнений (8) позволяет рассмотреть любую основную задачу, сформулированную для у = 0. Если имеются натурные данные, любые и в любом количестве, то появляется возможность произвести доопределение как упругих характеристик массива, так и процесса деформирования. Важно подчеркнуть, что какой бы вид в плане не имел пласт полезного ископаемого, аппроксимация его отрезком прямой |х| < <а, представляет первое приближение исходной задачи - управление горным давлением. Как следует из сказанного, технология отработки пласта есть механика плюс экономика.
--------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Грицко Г.И., Власенко Б.В., Посохов Г.Е. и др. Прогнозирование и расчет проявлений горного давления. - Новосибирск: Наука, 1980. - 159 с.
2. Бареблатт Г.И., Христианович С.А. Об обрушении кровли при горных выработках. - Изв. АН СССР, ОТН, 1955. - № 11. - С. 73-86.
3. Михлин С.Г. О напряжениях в породе над угольным пластом. - Изв. АН СССР, ОТН, 1942. - № 7-8. - С. 13-28.
4. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. - М.-Л.: Наука, 1953. - 230 с.
5. Красновский А.А., Миренков В.Е. Расчет деформирования составных блоков пород с трещинами. - ФТПРПИ. - 2007. - № 2. - С.28-40.
6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с. ЕШ
— Коротко об авторе -------------------------------------------------------------
Миренков В.Е. - зав. лабораторией механики горных пород Института горного дела СО РАН, г. Новосибирск, admin@misd.nsc.ru
