Экспериментальная проверка при статистическом моделировании процессов, представленных детерминированными моделями Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Egorov Alexey Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, alek-sej egorovahk.ru, Russia, Ioshkar-Ola, Mari State University,

Lysyannikov Alexey Vasilyevich, candidate of technical sciences, docent, lysyanni-kov. alekamail. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University, Institute of Oil and Gas

УДК 539. 374

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ПРИ СТАТИСТИЧЕСКОМ

МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ МОДЕЛЯМИ

Г.В. Панфилов, А.В. Черняев, В. А. Сухонин, М.В. Корнюшина

Обоснованы цели проверок статистических гипотез при моделировании процессов ОМД, представленных детерминированными моделями, и задачи проверочного натурного многофакторного планируемого эксперимента.

Ключевые слова: детерминированная и вероятностная системы уравнений, статистическое моделирование, планируемый многофакторный эксперимент.

Методика статистического моделирования процессов, представленных детерминированными моделями, изложена в работе [1]. В ряде случаев целью исследования может служить не столько замена исходной математической системы дифференциальных и алгебраических уравнений (детерминированной модели) изучаемого процесса статистически обоснованными уравнениями регрессии (гораздо более компактной и удобной для практического использования вероятностной моделью), сколько проверка качества и уточнение указанной детерминированной модели.

Важное значение при этом имеет понимание сущности проверки статистических гипотез на различных этапах анализа, в частности, таких, как оценка значимости коэффициентов регрессии различных факторов и эффектов их взаимодействия, и проверка адекватности полученных моделей. Так, при построении вероятностной модели исследуемого процесса с учетом «плавающих» контрольных факторов, проверка значимости коэффициентов регрессии, приводящая к выявлению некоторых незначимых коэффициентов, является смешанной оценкой, поскольку не позволяет однозначно указать причину их незначимости. Эта причина может заключаться в сути самой детерминированной системы уравнений, а может быть лишь следствием того, что при данном вероятностном моделировании субъективно принят слишком сложный аппроксимирующий полином (завышенного порядка). Причинами неадекватности полученной вероятно-

143

стной модели также могут быть - принятие, наоборот, слишком простого аппроксимирующего полинома (отрицательный результат, требующий корректировки) и отличия в результатах, полученных по детерминированной и вероятностной модели, построенной с учетом «плавающих» контрольных факторов, связанные со значимым влиянием на выходные параметры последних (положительный результат, уточняющий детерминированную модель). Влияние «плавающих» факторов обусловливает и возможные различия в численных значениях самих коэффициентов регрессии, стоящих при одних и тех же факторах или их взаимодействиях.

Очевидно, что представленный выше этап исследования еще не отражает моменты соответствия рассмотренных моделей и реального исследуемого процесса, в том числе и влияния случайных факторов. Это можно сделать только проведением натурных многофакторных экспериментов. Но и в этом случае получают лишь смешанные оценки. Так, при проведении обычного многофакторного натурного планируемого эксперимента с проверкой указанных статистических гипотез различие в численных значениях коэффициентов регрессии и их значимости может быть обусловлено: 1) неточностью самой детерминированной и соответствующей вероятностной модели с учетом «плавающих» контрольных факторов; 2) действием случайных факторов в натурном эксперименте.

Для установления адекватности полученных моделей необходимо провести дополнительную проверку с подстановкой в расчетный алгоритм соответствующих средних значений выходного параметра.

Цель и алгоритм проведения проверки статистических гипотез. Целью проведения проверок статистических гипотез, кроме известных их назначений, является разделение смешанных оценок и обеспечение возможности получения однозначных утверждений. Ниже приведено краткое назначение каждой проверки в порядке последовательности их проведения.

1. Вначале целесообразно по изложенной ранее методике [1 - 5] получить вероятностную модель и проверить статистические гипотезы, не внося в исходную детерминированную систему уравнений ни каких значимых корректировок. Например, искусственно разбрасывая построчные значения выходного параметра (для получения результатов построчных параллельных опытов) на малую незначимую величину (в частности, на ±0,5 %).

2. Далее также по указанной методике получают вероятностную модель с учетом «плавающих» контрольных факторов, также с соответствующей проверкой статистических гипотез. Установленные в результате сравнения различия в величине и значимости коэффициентов регрессии и возможное отсутствие адекватности этих моделей, в данном случае однозначно укажут на повышение качества второй модели именно за счет учета плавающих факторов.

Повторно отметим, что указанный цикл проверок практически не оценивает качество детерминированной системы исходных уравнений и полученных на ее основе вероятностных моделей на исследуемый реальный процесс и, тем более, не определяет уровень действия на его результаты случайных факторов. Это можно выполнить только проведением натурных планируемых многофакторных экспериментов. Но и тогда получаемые результаты являются смешанными оценками. Так, проведение обычного планируемого натурного многофакторного эксперимента позволит выявить различия в результатах (численные значения и значимость коэффициентов регрессии, адекватность моделей), обусловленные как качеством составления исходной детерминированной модели, так и действием комплекса случайных факторов.

3. В случаях, когда необходимо разделить указанные смешанные оценки, целесообразно провести натурный эксперимент, который назовем «чистым» и в котором тщательными организационно-техническими мероприятиями действие случайных факторов сведено к возможному минимуму. Очевидно, что различия в результатах в этом случае по отношению как к первой, так и ко второй вероятностным моделям будут в основном обусловлены качеством формирования исходной детерминированной системы уравнений по отношению к реальному исследуемому процессу.

4. Для выявления действия на получаемые результаты случайных факторов, например, к какому-либо действующему или создаваемому производству, натурный многофакторный эксперимент проводится при соответствующих технико-технологических условиях. В этом случае в качестве выходного параметра рекомендуется принимать разность между первым и вторым натурными экспериментами, что обеспечит совокупную добавку в уравнения регрессии, обусловленную действием только случайных факторов (рис. 1). Поскольку эта совокупная добавка состоит в основном из слагаемых, подобных слагаемым в основном натурном или модельном уравнениях регрессии, то, в итоге, их можно привести к каноническому компактному виду.

На рис. 1 представлена схема проведения такого натурного эксперимента. Здесь показано, что в качестве выходного параметра принимается разность между последним натурным и модельным с учетом «плавающих контрольных факторов» экспериментов:

Ау = У - ~. (1)

Совокупная погрешность от действия случайных факторов определяется уравнением регрессии от варьируемых факторов

ет =Ау(х1). (2)

Общее уравнение регрессии представляется в виде суммы двух составляющих:

У = ~ (-Х, Vк ) + АУ{х1 ), (3)

145

где - к учтенных «плавающих» факторов V.

В заключение уравнение регрессии (3) можно записать в свернутом каноническом виде:

У = ~,ук,ет ). (4)

Рис. 1. Схема проведения натурного планируемого многофакторного эксперимента по выявлению совокупной ошибки результатов, вносимой случайными факторами, по отношению к результатам «чистого» натурного или модельных экспериментов

Пример моделирования процесса изотермической отбортовки патрубков с наклонным фланцем из анизотропных материалов. В узлах конструкции двигательной установки летательных аппаратов применяют горловины емкостей топлива и переходные патрубки с косыми фланцами (рис. 2). В этой связи актуален процесс производства указанных патрубков, связанный с отбортовкой полуфабриката и последующей операцией прошивки, повышающей точность толщины стенки и внутреннего диаметра самого патрубка [6].

Расчет режимов технологии производится на основе энергетической верхнеграничной теоремы пластичности с использованием разрывных полей скоростей перемещений. Деформации реализуются в блоках деформаций и на линиях разрыва скоростей. Плоская листовая заготовка с центральным отверстием устанавливается на наклонной поверхности матрицы. Торец пуансона при рабочем ходе внедряется в заготовку последовательно до полного контакта с ее поверхностью. Операция отбортовки происходит за несколько последовательных этапов: этап 1 (рис. 3) с неустановившейся стадией при входе пуансона в часть заготовки и стадией устано-

146

вившегося деформирования половины донной части заготовки; этап 2 операции (рис. 3) с неустановившейся стадией другой части с переходом в установившуюся стадию деформирования всей донной части заготовки под пуансоном; этап 3 (рис. 3) - заключительный при деформировании оставшейся донной части заготовки. Для оценки повреждаемости материала заготовки при формообразовании используются уравнения энергетической и деформационной теории прочности.

а б в

Рис. 2. Схемы фланцевых элементов на трубах (а, б) и в днище (в)

Таким образом, исходная детерминированная система алгебраических и дифференциальных уравнений является достаточно громоздкой и потребовала создания специальной компьютерной программы. Статистическое моделирование операции изотермической отбортовки полуфабрикатов с наклонным фланцем выполнено для алюминиевого сплава АМг6 и титанового сплава ВТ6С. В качестве выходных параметров выбраны относительная сила отботровки Р = Р/(2рг^о^ео), где Р - сила процесса, г -радиус отбортованного патрубка по срединной поверхности и повреждаемость материала заготовки с.

По результатам анализа априорной информации сформирована таблица факторного пространства для оценки силы изотермической отбортов-ки (табл. 1, 2).

В качестве аппроксимирующего полинома принята линейная модель со всеми эффектами взаимодействий

У = ь0 + Ь1Х1 + ь2 х2 + ь3 х3 + ь4 х4 +

+ Ь[2 Х1Х2 + Ь13 Х1Х3 + Ь[4 Х1Х4 + Ь23 Х2 Х3 + Ь24 Х2 Х4 + Ь34 Х3 Х4 + (5)

+ Ь123 Х1Х 2 Х 3 + Ь124 Х1Х 2 Х 4 + Ь134 Х1Х 3 Х 4 + Ь234 Х 2 Х 3 Х 4 + Ь1234 Х1Х 2 Х 3 Х 4.

этап 3

Рис. 3. Этапы изотермической отбортовки патрубков с наклонным фланцем

148

Таблица 1

Факторное пространство при моделировании силы отбортовки

Факторы Уровни варьирования факторов

№ Наименование фактора Натуральное значение фактора Кодированное обозначение фактора V. . Лг пни (X =-1) Х10 (X = 0) V. Лг тах (X = +1)

1 Угол наклона фланца а X1 5 10 15

2 Скорость операции V X 2 0,01 0,5 1,0

3 Коэффициент отбортовки Ко Хз 1,6 1,8 2

4 Коэффициент анизотропии Я X 4 0,2 1,1 2

Таблица 2

Факторное пространство оценки повреждаемости сплава АМг6

Факторы Уровни варьирования факторов

№ Наименование фактора Натуральное значение фактора Кодированное обозначение фактора X . Лг тш (X =-1) Xi 0 (X = 0) X • тах (X =+1)

1 Скорость операции V X1 0,01 0,5 1,0

2 Коэффициент отбортовки Ко X 2 1,6 1,8 2

3 Коэффициент анизотропии Я Хз 0,2 1,1 2

Для получения построчных дисперсий в ряде вариантов использовался искусственный симметричный разброс выходного параметра в диапазонах ±5, 10 и 15 %. В этом случае моделировалась ситуация с тремя параллельными опытами в каждой строчке плана, в которых одно значение выходного параметра принимается равным расчетному по детерминиро-

ванной модели, два других - симметрично увеличенному и уменьшенному на фиксированную величину расчетному значению. Так как искусственный разброс принят симметричным, то средние значения выходного параметра оказались численно равными соответствующим значениям силы и повреждаемости материала, вычисленным по принятой детерминированной модели (табл. 3).

Таблица 3

Факторное пространство оценки повреждаемости сплава ВТ6С

Факторы Уровни варьирования факторов

№ Наименование фактора Натуральное значение фактора Кодированное обозначение фактора V. . Лг 111111 (X =-1) Х10 (X = 0) V. Лг тах (X = +1)

1 Коэффициент отбортовки Ко X1 1,6 1,8 2

2 Коэффициент анизотропии Я X 2 0,2 1,1 2

Далее был проведен вариант моделирования с «плавающими» контрольными факторами. Анализ сформированной в начале исследования детерминированной модели показал, что в качестве «плавающих» контрольных факторов при исследовании силы отбортовки следует принять толщину заготовки £ о и параметры уравнения состояния А, т и п . При исследованиях повреждаемости материала в качестве «плавающих» контрольных факторов приняты толщина заготовки £о и константы критериев разрушения: С\, В и С2, В2 для сплавов ВТ6С и АМг6 соответственно. Возможные диапазоны изменения толщины устанавливались в соответствии с ГОСТ на исследуемые материалы, параметров уравнения состояния и критериев разрушения принимались ±5 % от табличного значения. Все соответствующие данные сведены в табл. 4.

Количество параллельных опытов для каждой комбинации варьируемых факторов, реализуемых за счет изменения «плавающих» контрольных факторов, принималось равным 5. Частные значения каждого «плавающего» контрольного фактора генерировались по закону нормального распределения в принятых диапазонах их изменения. Численные значения полученных построчных выборок сведены в табл. 5 и 6. В дальнейшем для статистического машинного эксперимента использовались сформирован-

ные ранее матрицы планирования полного факторного эксперимента для факторов, варьируемых на двух уровнях с пятью параллельными опытами.

Анализ полученных в результате статистической обработки уравнений регрессии показывает, что наибольшее влияние на силу изотермической отбортовки в исследуемом диапазоне изменения варьируемых факторов оказывает скорость перемещения инструмента V (X2). Влияние угла наклона фланца а (Х1), коэффициентов отбортовки К0 (X3) и анизотропии Я (X4) менее существенно. Значимые парные эффекты взаимодействия имеют соизмеримое с перечисленными факторами влияние на выходной параметр. Воздействие, оказываемое на выходной параметр тройными эффектами взаимодействия, является значимым, но сила его влияния незначительна.

Установлено, что на величину повреждаемости материала при изотермической отбортовке наибольшее влияние оказывает коэффициент от-бортовки К0, характеризующий степень формоизменения заготовки. Вторым по значимости фактором является коэффициент анизотропии Я. Кроме того, для сплава АМг6, подчиняющегося энергетической теории ползучести, существенно влияние скорости перемещения инструмента V.

Таблица 4

Факторное пространство «плавающих» контрольных факторов

Кодированное обозначение фактора Наименование варьируемого фактора Натуральное обозначение фактора Размерность Возможные диапазоны изменения

Сила отбортовки: Сплав АМг6

Толщина материала мм 3,76 - 4,00

»2 Параметр уравнения состояния А - 51,623 - 57,057

»3 Параметр уравнения состояния т - 0,0988 - 0,1092

»4 Параметр уравнения состояния п - 0,0247 - 0,0273

Сила отбортовки: Сплав ВТ6С

Толщина материала $0 мм 3,75 - 4,16

»2 Параметр уравнения состояния А - 63,46 - 70,14

»3 Параметр уравнения состояния m - 0,0266 - 0,0294

»4 Параметр уравнения состояния п - 0,0551 - 0,0609

Окончание табл. 4

Кодированное обозначение фактора Наименование варьируемого фактора Натуральное обозначение фактора Размерность Возможные диапазоны изменения

Повреждаемость материала: Сплав АМг6

Толщина материала $0 мм 3,76 - 4,00

»2 Параметр разрушения - 19,192 - 21,212

»3 Параметр разрушения В2 - -1,350 - -1,492

Повреждаемость материала: Сплав ВТ6С

Толщина материала $0 мм 3,75 - 4,16

»2 Параметр разрушения С1 - 1,972 - 2,180

»3 Параметр разрушения В1 - -1,131 - -1,250

Таблица 5

Сгенерированные построчные выборки «плавающих» факторов при моделировании зависимостей для силы отбортовки

и

2

X

Й О X и и о &

о о н

к а

«

Я -е-

я И

X

X 2

ю

о ^

&

? Л

&

К «

ев и

ю

2

Ч

Выборки частных значений «плавающих» контрольных

факщ ров, сгенерированных по нормальному закону

№ п/п

в частных выборках = $0 N гч > V 3] = т П 3] = п

Материал - алюминиевый сплав АМг6

1 3,949 54,105 0,1046 0,0257

2 3,773 54,703 0,1067 0,0253

3 3,815 55,927 0,1090 0,0272

4 3,923 56,844 0,1027 0,0267

5 3,992 51,876 0,0997 0,0247

Материал - титановый сплав ВТ6С

1 4,152 68,65 0,0285 0,0577

2 3,932 70,03 0,0269 0,0595

3 3,946 64,01 0,0273 0,0573

4 4,007 63,76 0,0292 0,0555

5 3,778 66,91 0,0282 0,0604

Таблица 6

Сгенерированные построчные выборки «плавающих» факторов при моделировании зависимостей для повреждаемости материала

Любая j-я комбинация основных варьируемых факторов Выборки частных значений «плавающих» контрольных факторов, сгенерированных по нормальному закону

№ п/п в частных выборках = ^ П 2] = С1,2 п 3 ] = В1,2

Материал - алюминиевый сплав АМг6

1 3,805 20,766 -1,353

2 3,965 19,830 -1,437

3 3,908 19,209 -1,480

4 3,794 20,032 -1,394

5 3,862 21,164 -1,377

Материал - титановый сплав ВТ6С

1 4,023 2,084 -1,166

2 3,987 2,013 -1,212

3 4,142 2,034 -1,181

4 3,783 2,107 -1,228

5 3,923 2,138 -1,143

Выполнено сравнение результатов расчета силы отбортовки и повреждаемости материала, полученных по регрессионным моделям и исследуемой детерминированной модели (рис. 4 - 7). Расчеты выполнены в исследуемом интервале варьирования факторов г, где г = -1 соответствует нижнему, г = 1 - верхнему уровню варьирования согласно табл. 1 - 3. Здесь цифрами 1 - 5 обозначены данные, полученные по детерминированной модели, по регрессионным моделям при искусственном разбросе выходного параметра 5, 10, 15 % соответственно и по модели с использованием «плавающих» контрольных факторов соответственно.

Показано, что расхождение результатов не превышает 10 %, полученные регрессионные модели корректно описывают зависимость силы изотермической отбортовки и повреждаемости материала от исследуемых технологических факторов в принятом диапазоне варьирования и могут быть использованы как для исследования процесса изотермической отбор-товки, так и для назначения рациональных режимов его реализации.

Установлено, что увеличение интервала искусственного симметричного разброса выходного параметра с ±5 до ±15 % приводит к росту погрешности расчета по полученной регрессионной модели (табл. 7 - 12). Учет возможного изменения «плавающих» контрольных факторов при планировании активного статистического машинного эксперимента приводит к повышению точности получаемых результатов. Поэтому для дальнейших исследований использованы регрессионные модели, полученные с использованием «плавающих» контрольных факторов.

153

Параметры проверки статистических гипотез (сила отбортовки)

Таблица 7

Материал Критерий Кохрана Дисперсия выходного параметра Дисперсия коэфф-тов регрессии Табличный критерий Стьюдента Дисперсия адекватности Критерий Фишера

% £ V2 $ад ргр

Сплав АМгб ±5 0,292 0,335 0,00045 0,00001 2,037 0,00027 0,596 2,90

±10 0,00178 0,00004 0,00129 0,726 2,51

±15 0,00401 0,00008 0,00420 1,049 2,32

плав. 0,218 0,230 0,00018 0,000002 1,997 0,00047 2,602 2,90

Сплав ВТ6С ±5 0,269 0,335 0,00031 0,00001 2,037 0,00009 0,285 2,67

±10 0,00125 0,00003 0,00070 0,565 2,51

±15 0,00281 0,00006 0,00375 1,337 2,25

пкф 0,221 0,230 0,00018 0,000002 1,997 0,00022 1,230 2,90

Таблица 8 Параметры проверки статистических гипотез (повреждаемость материала)

Материал Критерий Кохрана Дисперсия выходного параметра Дисперсия коэфф-тов регрессии Табличный критерий Стьюдента Дисперсия адекватности Критерий Фишера

% £ ЁТ Я2У $Ък 'г йод Рт

Сплав АМгб ±5 0,289 0,516 0,00051 0,00002 2,12 0,00062 1,225 3,24

±10 0,00240 0,00008 0,00062 0,306 3,24

±15 0,00459 0,00019 0,00572 1,248 2,85

пкф 0,289 0,391 0,00060 0,00002 2,037 0,00074 1,228 2,67

Сплав ВТ6С ±5 0,438 0,768 0,00099 0,00008 2,306 0,00337 3,397 6,59

±10 0,00396 0,00033 0,00337 0,849 6,59

±15 0,00892 0,00074 0,00337 0,378 6,59

пкф 0,438 0,629 0,00039 0,00002 2,12 0,00162 4,168 4,35

о-58

»«I

а

£ £

•а К

£

а

й

а а а ад

СЬ

ь;

«в

а

«и

I

а к а

а©

в?

а а

и

Он

а

«

с

£

в4

+

о

о" +

го *

О гм о о" I

г) *

о ип О

о"

' *

, ^ оо

^ О

О ©„

Щ о

® X

+

+ ^

¡4

го П

н

ОО О о

о"

+

см

¡4

о

о"' +

СМ О

о"

I

■ч-

гм

гм ^

о

+

1Л1 1Г)

о о" I

го

го о"

гч ГО

о" +

го СМ

о о"

1П

-н

+

О

о"

+

го

и

гч <о

о"

I

см

о

о"

I

1Л>

о

о" +

го

г--чО

о"

+

см

см

Ю О

о" I

гм ^ см

0 ^

1 3

о

о" +

го

I ГЦ

О 3

э о

II о" +

+1

■ч-

с-4

о о о"

го см

О

о" +

см <3 о" I

см ^

с\

о

о"

I

Ог

о

+

го ^

Г-

мэ о

о" +

см ^

ГЧ гм

о"

+

*г>

о о"

I

со со

<г,

+

о

о" +

го

* ч

^ , ГО

о гч о о" I

см

¿г

<о

о" I

-гГ

о

о" +

см

00 о <о

о" +

■ч-

см ^

оо о о

о" +

го

ч

, см

00

о о"

см ^

со О)

гм о"

|>

о

о" I

см

+

<3

о"

+

го

С-1

^

1Л1

о

II о

^ +

-е-

§

с

СЗ

я и

с ^

и <

+

о" +

го

'-г о

о" I

см

го •о о. о" I

^

о со о^

о" +

ГО к,

о

о"

+

СМ

н

гч о

^

оо о о

о" +

го СМ

о +

О0

о о"

I

г-

^ 3 о 5

II о"

+

2

о„ о" I

СМ

со о

о" +

сч

1Л

-н

+ 1У-)

о

о"

го

о

<=>

I

С4

со

о о" I

о.

СО

о

о"

+

го

■л о

о'

+

см

* I

гм

п

о о"

+ 1П СО

о

о" +

СМ

ч

гм

о

И о" +

о

СМ ^

со о^

о"

+

ГО

см ^

по"

+

СО

о

о"

!

^ о

СО

о

о" +

го ^

ко

о

сТ

+

см ^

гм о

о"

+

оо ^

о

о" !

г-^

гм о" II

+

со

о

о" +

го

^ & г-

■—■ О!

О ^ о о

I

см

о

I ^

ЧГ чо

N "

о о

^ О4

ч +

® го + ^

го гм

ч—

О ^

о

+

см

о о" 1

СМ

г-

СО

о

о" +

см

о ¡1 о"

5

Щ

о о I

гг-гч

ог

1Г>

41

и с

а и

2 чо

С н

и И

Уравнения регрессии для оценки силы отбортовки в натуральных переменных

Таблица 10

Материал %

Сплав АМгб ±5 р = -0,1606 + 0,0063а - 0,7718У + 0,1539ЛГ + 0,06797? + 0,0301аУ - 0,004аК + 0,0015а7? + + 0,7622га: - 0,0912УК - 0,0444,0 - 0,032аУК + 0,0036аУК + 0,0889УКЯ

±10 Р = -0,053 + 0,0043а - 0,9869V ± 0,105/: - 0,02997? + 0,034аУ - 0,004аК + 0,0033а7? + + 0,86^: + 0,1044УЯ - 0,032аУК

±15 Р = -0,3789 + 0,0368а - 0,4084К + 0,265/С + 0,0045л1 - 0,0236а^ - 0,02а/С ± 0,54га: ± 0,1022*7?

пкф Р = -0,1436 + 0,0047а - 0,8118У + 0,1439К ± 0,06797? + 0,0329аГ - 0,003а/: + 0,0015а7? + + 0,7922га: - 0,0912га? - 0,04447:7? - 0,034а га: + 0,0036ага? + 0,0889УКК

Сплав ВТ6С ±5 Р = -0,0688 + 0,0047а - 0,6024Г + 0,07 К - 0,01117? + 0,0145аГ - 0,003а/: + 0,0015а7? + + 0,64 гаг + 0,0422га? - 0,022ага: + о,оозбага?

±10 р = -0,0492 + 0,0027а - 0,6415У + 0,07К - 0,02897? + 0,0184аК - 0,003а/: + 0,0033а7? + + 0,64га: + 0,0778га - 0,022ага:

±15 Р = -0,0319 + 0,001а - 0,2455К + 0,04К + 0,00447? - 0,0212аГ + 0,42га: ± 0,0778га?

пкф Р = -0,0838 + 0,0045а - 0,6591К + 0,0944/: + 0,02897? + 0,0255аГ - 0,003а/: + 0,0016а7? + + 0,6711 УК - 0,0245га? - 0,0222А7? - 0,028аУК + 0,0027ага? + 0,0444К/:7?

Таблица 11

Уравнения регрессии для оценки повреждаемости материала __в кодированных переменных_

Материал %

Сплав АМг6 ±5 у = 0,428 + 0,026Х1 + 0,11Х2 + 0,089Х3 + 0,021Х2 Х3

±10 у = 0,428 + 0,026Х1 + 0,11Х2 + 0,089Х3 + 0,021Х2 Х3

±15 у = 0,428 + 0,11Х2 + 0,089Х3

пкф у = 0,427 + 0,026Х1 + 0,11Х2 + 0,089Х3 + 0,021Х 2 Х3

Сплав ВТ6С ±5 у = 0,612 + 0,117 Х1 + 0,087Х2

±10 у = 0,612 + 0,117 Х1 + 0,087Х2

±15 у = 0,612 + 0,117 Х1 + 0,087Х2

пкф у = 0,605 + 0,11Х1 + 0,079Х2

Таблица 12 Уравнения регрессии для оценки повреждаемости материала в натуральных переменных

Материал %

Сплав АМг6 ±5 а = -0,4658 + 0,052К + 0,4217К - 0,1111Я + 0,1167К ■ Я

±10 а = -0,4658 + 0,052К + 0,4217К - 0,1111Я + 0,1167К ■ Я

±15 а = -0,6708 + 0,55К + 0,0989Я

пкф а = -0,4648 + 0,052К + 0,4217К - 0,1111Я + 0,1167К ■ Я

Сплав ВТ6С ±5 а = -0,5473 + 0,585К + 0,0967Я

±10 а = -0,5473 + 0,585К + 0,0967Я

±15 а = -0,5473 + 0,585К + 0,0967Я

пкф а = -0,4815 + 0,55К + 0,0878Я

0,8

0,0 --

-1 .0 1

1-

Рис. 4. Графические зависимости Р от Ь для сплава АМг6

Рис. 5. Графические зависимости P от i для сплава ВТ6С

0,8

0,6

(О

0,4

0,2

1 ? ^^ \2J\4_

-1

Рис. 6. Графические зависимости œ от i для сплава АМг6 1,0

0,8

СО

0,6

0,4

1 5 ^^ \ 2,3,4

Рис. 7. Графические зависимости œ от i для сплава ВТ6С

158

Проверочный натурный планируемый многофакторный эксперимент. Из двух возможных проверочных экспериментов (см. п. 2) проведем только общий, выявляющий совместное влияние на потребную технологическую силу погрешности формирования детерминированной модели и комплекса случайных факторов при отбортовке наклонного патрубка из алюминиевого сплава АМг6. Все условия проведения натурного эксперимента принимаем аналогичными модельному (с учетом «плавающих» контрольных факторов). В результате проведения эксперимента получена следующая первичная информация (табл. 13). Значения параметров, полученных при проверке статистических гипотез, сведены в табл. 14. При этом оценка адекватности модели проводилась с использованием численных данных, соответствующих статистическому моделированию, с учетом «плавающих» контрольных факторов.

Таблица 13

Значения силы отбортовки в 5 параллельных опытах для сплава АМг6 в натурном проверочном эксперименте

№ опыта Л ^2 ^3 ^4 ^5

1 0,101 0,085 0,099 0,095 0,089 0,094 0,000045

2 0,091 0,095 0,093 0,096 0,089 0,093 0,000008

3 0,462 0,453 0,473 0,428 0,450 0,453 0,000279

4 0,255 0,251 0,246 0,230 0,239 0,244 0,000099

5 0,134 0,131 0,138 0,121 0,125 0,130 0,000047

6 0,124 0,132 0,116 0,121 0,127 0,124 0,000037

7 0,759 0,742 0,777 0,708 0,727 0,743 0,000723

8 0,388 0,406 0,396 0,417 0,378 0,397 0,000231

9 0,095 0,081 0,091 0,086 0,084 0,087 0,000031

10 0,125 0,133 0,135 0,120 0,129 0,128 0,000037

11 0,574 0,601 0,547 0,562 0,588 0,574 0,000449

12 0,457 0,477 0,468 0,488 0,445 0,467 0,000282

13 0,117 0,126 0,111 0,144 0,122 0,124 0,000157

14 0,120 0,126 0,135 0,124 0,130 0,127 0,000033

15 0,920 0,960 0,896 0,899 0,940 0,923 0,000743

16 0,683 0,621 0,635 0,668 0,653 0,652 0,000617

Таблица 14

Значения параметров, полученных при проверке статистических

гипотез

Наименование статистического параметра Обозначение Материал

АМг6

Расчетное значение критерия Кохрана g 0,19467

Табличное значение критерия Кохрана §Т 0,230

Дисперсия выходного параметра S¡ 0,00024

Дисперсия коэффициентов регрессии Ь1 0,000003

Табличное значение критерия Стьюдента Т 1,997

Дисперсия адекватности &ад 0,000012

Расчетное значение критерия Фишера F 0,05036

Табличное значение критерия Фишера Рт 3,99

В результате получены соответствующие статистически обоснованные уравнения регрессии в кодированных (5) и натуральных (6) значениях переменных.

у = 0,335 - 0,056Х1 + 0,222Х2 + 0,067Х3 + 0,050Х4 - 0,061ХХ - 0,021ХХ + + 0,014Х1Х4 + 0,055Х2Х3 + 0,047Х2Х4 + 0,004Х3Х4 -- 0,016Х1Х2Х3 + 0,008Х1Х2Х4 - 0,004Х1Х3Х4 + 0,008Х2Х3Х4 , (6)

Р = -0,0401 - 0,0002« - 0,77787 + 0,0856К - 0,0499Я + 0,0293« - 0,0003оК + + 0,00930? + 0,7722ГК - 0,0912КЯ + 0,0222КЯ -- 0,032а¥К + 0,0036«Я - 0,0044оКЯ + 0,0889УКЯ . (7)

Сопоставление результатов модельных и натурного экспериментов приведено на рис. 8.

Таким образом, в данной работе совместно с работой [1] сформированы правила статистического моделирования, в частности, процессов пластического формообразования, представленных громоздкими детерминированными исходными системами уравнений (математическими моделями) и дающих результаты в виде неудобных, а в ряде случаев неприемлемых для практического использования частных графических зависимостей при принятии ряда переменными конкретных константных значений.

При этом обосновано, что указанное статистическое моделирование целесообразно проводить на математической базе планируемого многофакторного эксперимента с переводом детерминированной модели в вероятностную с помощью «плавающих» контрольных факторов (констант детерминированной модели).

0,8 0,6 0,4

Р

0,2 0,0

-1 .0 1 1-»

Рис. 8. Зависимости необходимой технологической силы для отбортовки полуфабриката с наклонным фланцем из алюминиевого сплава АМг6 от основных варьируемых факторов: 1 - по детерминированной модели; 2 - по модели с учетом плавающих факторов; 3 - по результатам проверочного натурного

эксперимента

Сформулирован алгоритм проверки модельных статистических гипотез, позволяющих уйти от «смешанных» утверждений о качестве полученных статистических моделей (уравнений регрессии). Однако показано, что реальный учет комплекса случайных факторов на исследуемый процесс возможен лишь при проведении проверочного натурного многофакторного эксперимента, поскольку любое моделирование их совместного действия обладает низким уровнем правдоподобия.

Практическое применение разработанной методики рассмотрено на сложном процессе изотермической отбортовки патрубков с наклонным фланцем из анизотропных материалов.

Список литературы

1. Панфилов Г.В., Черняев А.В., Сухонин В.А. Управление «плавающими» факторами при статистическом моделировании процессов, представленных детерминированными системами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 7. С. 3 - 16.

2. Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Лазарев А.А.. Активный статистический анализ систем с теоретическими моделями проведением машинного эксперимента // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып. 5. С. 98 - 112.

161

3. Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Перминов Д. А. Применение машинного статистического эксперимента для исследования теоретической модели штамповки сердечников пуль // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып. 6. С. 61-73.

4. Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Калинин С.С. Обработка результатов многофакторного эксперимента по радиальной штамповке концевых участков крестообразного профиля // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып. 7. С. 20-28.

5. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. 279 с.

6. Чудин В.Н., Яковлев С.С., Корнюшина М.В. Математическая модель операции отбортовки отверстия в листовых анизотропных заготовках в режиме кратковременной ползучести // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 4. С. 66-77.

Панфилов Геннадий Васильевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Черняев Алексей Владимирович, д-р техн. наук, проф., mpf-tula aramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Сухонин Владимир Александрович, нач. группы управления агропроектами, [email protected], Россия, Тула, ООО «Пивоваренная компания «Балтика»,

Корнюшина Мария Владимировна, асп., mpf-tulaaramhler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

EXPERIMENTAL VERIFICATION IN STATISTICAL MODELING OF PROCESSES, SUBMITTED BY DETERMINA TED MODELS

G. V. Panfilov, A. V. Chernyaev, V.A. Suhonin, M. V. Kornyushina

The aims of the statistical hypotheses checks in the modeling of OMD processes, represented hy deterministic models and the tasks of the verified full-scale multifactorial planned experiment are validated.

Key words: deterministic and probabilistic systems of equations, statistical modeling, planned multifactor experiment.

Panfilov Gennady Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State Uuniversity,

Chernyaev Aleksey Vladimirovich, doctor of technical sciences, docent, mpf-tulaaramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Suhonin Vladimir Aleksandrovich, Suhonin@,baltika. com, head of agro-management group, Russia, Tula,LLC «Brewery «Baltic»,

162

Kornyushina Mariya Vladimirovna, postgraduate, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 539.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА С ПОЛОСТЬЮ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЗАДАННЫХ ЗВУКООТРАЖАЮЩИХ СВОЙСТВ

С.А. Скобельцын

Решена задача определения законов изменения плотности и модулей упругости покрытия упругого некругового цилиндра с полостью для обеспечения заданных отражающих свойств при рассеянии звука. Предполагается, что материальные параметры внутренней части цилиндра и диапазон изменения параметров покрытия известны. Конкретные значения материальных параметров покрытия предлагается искать путем анализа функции формы амплитуды рассеянного акустического поля в дальней зоне для заданного диапазона углов.

Ключевые слова: дифракция звука, гармоническая плоская волна, упругий некруговой цилиндр с полостью, упругое покрытие, обратная задача

Характеристики отражения звука упругим объектом могут быть изменены за счет использования относительно тонкого покрытия из другого материала. В ряде случаев параметры отражения могут быть скорректированы путем использования неоднородного покрытия.

Влияние упругих свойств материала упругого цилиндра на рассеяние звука в жидкости изучалось во многих работах. Основные элементы модели рассеяния звуковых волн упругим цилиндром рассмотрены в [1 - 4]. В работах [5 - 13] исследуются особенности влияния неоднородности материала цилиндра на рассеяние звука. Причем в статьях [8 - 13] рассматривается неоднородность цилиндра, связанная с наличием покрытия. В ряде работ дополнительным элементом неоднородности цилиндра полагалось наличие полости. В статье [13] представлено решение задачи о выборе характеристик неоднородного покрытия цилиндра, обеспечивающего заданные звукоотражающие свойства упругого объекта. В большей части работ изучался случай кругового цилиндра. Если допускалось наличие полости, то ось полость полагалась совпадающей с осью цилиндра.

163