Экспериментальная оценка эффективности программного модуля оптимизации стратегий фрезерования сложных поверхностей optimill Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Б.Б.Пономарев

Экспериментальная оценка эффективности программного модуля оптимизации стратегий фрезерования сложных поверхностей ОрАМШ

Рис.1, Тестовые летали

Программный модуль ОрШШ. позволяет решать задачи оптимизации траектории движения инструмента на основе использования стандартных стратегий фрезерования сложных поверхностей [1, 2]. Он исходит из того, что имеется общая стратегия, определяющая последовательность обработки отдельных областей сложной поверхности, и частная, устанавливающая в рамках технологического перехода траекторию движения инструмента при обработке одной из областей.

При проведении экспериментальных исследований с целью оценки программного модуля ОрШШ были поставлены задачи:

оценить работоспособность системы и ее технико-экономическую эффективность в сопоставлении с другими системами;

определить влияние изменения параметрического ряда фрез на показатели эффективности обработки сложных поверхностей;

установить оптимальный ряд диаметров фрез применительно к данной поверхности.

Для обеспечения сопоставимости получаемых результатов в эксперименте использовали тестовые образцы, Технологическую подготовку выполняли без использования и с использованием методики оптимизации. При оценке оптимальности общей и частной стратегий фрезерования сравнение проводили по длине траектории перемещения инструмента, машинному времени, вычисленному при неизменных режимах резания и количеству подъемов фрезы. При анализе

а)

обоснованности выбора размеров инструмента сравнивали площади обработанных поверхностей. Для оценки технических результатов обработки определяли величину погрешности изготовления и шероховатость получаемой поверхности.

Тестовые детали (рис. 1) имели сложные поверхности первого и второго порядков и различные конструктивные элементы в виде карманов, бобышек, вертикальных и наклонных стенок, канавок, выпуклых и вогнутых поверхностей постоянного и переменного радиусов, а также двойной кривизны. При этом форма поверхности детали позволяла обработать её на трехко-ординатном фрезерном станке с ЧПУ. Материалом заготовок служил алюминиевый сплав В95 и сталь ЗОХГСА. Выбранные материалы обеспечивали получение остаточного гребешка как результата собственно обработки, а не побочных явлений.

Для минимизации влияния на результаты эксперимента факторов, не связанных с программой исследования, в технологии изготовления тестовых деталей были постоянными;

• условия черновой и получистовой обработки; стратегии чистовой обработки, используемые для однотипных инструментов;

станок, материал инструмента, материал заготовки и режимы резания.

Трехмерные модели деталей были построены с помощью системы автоматизированного моделирования фирмы 0е1сат. Программное обеспечение фирмы

"ЛЬ ,

Deicam pic использовали и на других этапах обработки образцов как технологических, так и метрологических.

Основная часть исследований была проведена на тестовых деталях, выполнявшихся согласно рис 1а. Их изготавливали из сплава В95. Обработку осуществляли на трехкоординатном фрезерном станке модели 6520ФЗ с системой ЧПУ НЗЗ-1М концевыми двузубыми фрезами из быстрорежущей стали Р6М5 (рис. 2). Рабочая часть инструментов имела или цилиндрическую форму с режущими кромками на периферии и торце, или цилиндрическую, завершающуюся полусферой. Далее будем их соответственно именовать цилиндрическими и сфероцилиндрическими, Ряд диаметров был принят: для цилиндрических фрез - 4; 6; 10 мм, для сфероцилиндрических - 2; 6; 10 мм. Такие диаметры позволили реализовать обработку элементов поверхности тестовой детали в пределах каждой области соответствующего технологического перехода.

Подготовительную обработку проводили в два этапа. Основную черновую обработку всех заготовок осуществляли послойно цилиндрической фрезой диаметром 10 мм. Отклонения на размеры, получаемые в результате черновой обработки, составляли ±0,1 мм, припуск на последующую обработку - 0,5 мм. Толщина слоев была рассчитана с учетом требуемой точности. Список высот черновой выборки был принят следующим: 8,33; 6,61; 5,00; 3,33 мм. Инструмент со слоя на слой переводили по наклонной прямой или по спирали в зависимости от геометрии формируемого участка, Для выполнения узких карманов использовали цилиндрические фрезы диаметром 4 и 6 мм при одинаковых режимах резания. Дополнительную получистовую обработку выполняли сфероцилиндрической фрезой d=6 мм для получения равномерного припуска по всей поверхности детали и создания оптимальных условий для чистового фрезерования. Траекторию рассчитывали по растровой стратегии с межстрочным шагом 1 мм, с обеспечением припуска на чистовую обработку 0,5 мм при отклонении на размеры ± 0,01 мм.

Чистовую обработку тестовых деталей выполняли четырьмя различными способами в зависимости от методики определения границ обработки. 8 первых трех вариантах границы чистового фрезерования рассчитывали инструментальными средствами системы Роу/егМШ, которые применяют в современных отечественных и зарубежных САМ системах. Четвертый вариант предусматривал обработку по границам, определенным с помощью модуля оптимизации ОрШШ. Для достоверного сравнения результатов эксперимента при расчете траекторий по разным границам была использована однотипная частная стратегия - эквидистантное смещение. Межстрочный шаг для цилиндрических фрез равнялся их радиусу, а для сфероцилиндрических фрез его вычисляли исходя из высоты теоретического остаточного гребешка, который был принят равным 0,01 мм. Режимные параметры чистовой обработки всех образцов приведены в табл. 1.

Таблица I

Режимные параметры чистовой обработки

Фреза Частота вращения шпинделя п.мин"1 Скорость подвода инструмента Vs,мм/мин Рабочая подача мм/мин

Тип Диаметр d, мм

Цилиндрическая 10 1000 50 30

6 1250 40 25

4 1600 30 20

Сфероцилиндрическая 10 1000 50 30

ô 1250 30 20

2 1600 9 7

Границы чистовой обработки образца по варианту 1 рассчитывали двумя способами: по кромкам выбранных поверхностей и значениям угла наклона касательной в рассматриваемой точке поверхности. В первом случае при обработке цилиндрическими фрезами происходит снижение производительности, поскольку фреза, перемещаясь по границе выступов, как минимум частично теряет контакт с деталью. Нулевые зна-

Рис. 2. Обработка образцов тестовой детали по рис. 1, а фрезами: а) концевой цилиндрической; б) сфероцилиндрической

нения угла наклона профиля поверхности позволили рассчитать плоские элементарные области. Во втором случае значения углов наклона профиля от 0,1 до 89,9° позволили определить на модели участки двойной кривизны. Для гарантированного удаления материала с обрабатываемой поверхности полученную границу эквидистантно сместили на величину радиуса фрезы, использовавшейся. для выполнения технологического перехода.

Вариант 2 базировался на том, что во многих современных САМ системах предусмотрены функции доработки фрезой меньшего диаметра материала, оставшегося после предыдущей операции. Но такой метод имеет очевидные недостатки, поскольку первоначально технологу приходится рассчитывать траектории обработки для всей детали, а затем искать границы недоработанных участков. Кроме того, поиск границ доработки идет в этом случае по всей модели, включая как плоские, так и криволинейные поверхности вне зависимости от того, какой задействован инструмент: цилиндрическая или сфероцилиндрическая фреза. Так как границы являются трехмерными кривыми, то при обработке цилиндрической фрезой любого диаметра необходимо назначать сравнительно малый шаг между соседними проходами («0,1мм) для получения требуемого остаточного гребешка, в противном случае образуются ступени недопустимой величины, С учетом изложенного тестовую деталь по варианту 2, в основу технологии изготовления которой были заложены перечисленные принципы, не обрабатывали, поскольку предварительные расчеты наглядно показали низкую эффективность сформированного процесса по основному критерию - производительности.

При моделировании технологического процесса чистовой обработки тестовой детали по варианту 3, во-первых, использовали возможность системы Рошег-МШ рассчитывать траектории движения инструмента для ведения послойной доработки материала после выполнения предыдущей послойной обработки. Во-вторых, учли возможность программных средств сис-

Стратегия чистовой обработки

темы исключать из технологического перехода элементарные области, обработка которых не влияет на форму получаемой поверхности, а лишь снижает производительность формообразования.

При чистовой обработке тестовой детали по варианту 4 элементарные области обработки, рассчитанные по дискретной модели с помощью модуля ОрШШ и преобразованные в замкнутые кривые, экспортировали в систему РоюегМШ для расчета траекторий движения инструментов. Данные по стратегии чистовой обработки образца по варианту 4 приведены в табл.2.

Для выявления оптимального набора цилиндрических и сфероцилиндрических фрез были рассмотрены все возможные их комбинации на основе сформированной инструментальной базы и проведено сравнение площадей обработанных поверхностей, которые вычисляли с помощью программного модуля ОрШШ по каждому технологическому переходу. Исходными стали результаты теоретических исследований, показавших, что максимальная производительность формообразования сложных поверхностей достигается при наибольшей конформности инструментальной поверхности и поверхности детали.

Для формирования наиболее рациональной общей стратегии чистовой обработки образцов тестовой детали с помощью инструментальных возможностей системы РомуегМШ были рассчитаны основные критерии производительности: суммарная длина траектории обработки; машинное время обработки и количество подъемов фрез. Результаты расчетов представлены на рис. 3, 4. Расчетная длина перемещений инструментов, показанная на диаграммах, состоит из движений рабочих и вспомогательных (подводы, отводы, переходы от одной элементарной области обработки к другой). Расчет времени обработки по технологическим переходам был выполнен исходя из длины траекторий движения инструмента и режимных параметров резания. Количество подъемов фрезы рассчитывали согласно геометрии частных стратегий и количества элементарных областей.

Таблица 2

тестовой детали по варианту 4

Переходы Тип обрабатываемой поверхности Инструмент Частная стратегия

1 плоскость цилиндрическая фреза с1 = 10 мм; 1 = 50 мм эквидистантное смещение шагом 5 мм

2 плоскость цилиндрическая фреза с! = 6 мм; 1 = 30 мм одиночные траектории доработки

3 плоскость цилиндрическая фреза с! = 4 мм; ! = 25 мм одиночные траектории доработки

4 поверхность двойной кривизны сфероцилиндрическая фреза 6 = 10 мм; 1 = 50 мм трехмерное эквидистантное смещение шагом 0,63 мм

5 поверхность двойной кривизны сфероцилиндрическая фреза с1 = 6 мм; =30 мм трехмерное эквидистантное смещение шагом 0,49 мм

6 поверхность двойной кривизны сфероцилиндрическая фреза сЗ = 2 мм; 1 = 10 мм трехмерное эквидистантное смещение шагом 0,28 мм

Рис. 4. Время обработки в зависимости от варианта общей стратегии обработии при чистовом фрезеровании тестовой детали

по рисг 1, а

Рис. 3.

й переход 1,

цилиндрическая фреза с1=10мм

И переход 2,

цилиндрическая фреза <2=6мм

□ переход 3, цилиндрическая фреза с1-4мм

□ переход 4, сфероцилиндрическая фреза с!-10мм

Н переход 5,

сфероцилиндрическая фреза а!-6мм

□ переход б, сфероцилиндрическая фреза с1-2мм

Щ общая длина траекторий

обработки при чистовом фрезеровании

24:00:00 21:36:00 19:12:00 16:48:00 14:24:00 12:00:00 9:36:00 7:12:00 4:48:00 2:24:00 0:00:00

5

го

6

ю

0 к

1

21 ш

12 3 4

Варианты общей стратегии чистовой обработки тестовой детали

И переход 1, цилиндрическая фреза й—10мм Щ переход 2,

цилиндрическая фреза с1=бмм

□ переход 3, цилиндрическая фреза й—4мм

□ переход 4, сфероцилиндрическая фреза (1=10мм

Ш переход 5,

сфероцилиндрическая фреза сИ=6мм Й переход б, сфероцилиндрическая фреза с1=2мм Ш общее время обработки

5 25000 2

Р

X

о

5 20000

а и

0

X

0ч

X X

а

1 х ю

X

X

о. 1

2 5000 о. н св

X

15000

10000

Варианты общей стратегии чистовой обработки тестовой детали

Длина траекторий движения инструмента в зависимости от варианта общей стратегии

тестовой детали по рис. I, а

, \. У

\ Л'. V

\ ч I. V

Ч V \

- .. ч \ V П ->Ш ччЧХ\ V \. ;■; У чЧЧЧч« }>/

шш \ 4 ч- Хч\ч\ ¡///.У/.

Ш1-, Ч Ч Ч \ ч\.\, V \ i / /

X X . • Ч \ \ Ч \ \ А ■■ Ш Ч V

wm х х "ч - • "л- ч\\ д ? // х'

ш'- ■ Щ х

■Ш " : ЧЧ ^ X ' t •

тт-^ ч... • , •

* л < У *

w /> / / / ///>V'' . х"

. \ > ]■:■ г./ /■■ /.'/■.■■-•■•: / ■ ч чЧ ч

\ \ Ч V f- { '/■■ - . ч Ч ХЧЧХ- ..

■. \л ' / ч. X ••• Ч Ч>'Ч .4

v » / Ч * /V Ч .V ' Ч "

Л V V- '■;" / • - <• .4 - .•■ >

/ \ \ ■ * г. У у'

л 4.VV . ' ;>

V ■ ■ / у'

А Ж

шш шш

>

-Ч . ^ V

- . г. " 7 . V v . X

• „ г. . ■■ - . ••.

:.<-.' ..- Г .>-. . / < л, % Л >.\ v 4 Ч ,*Ч. ч;'-.<ч -Ч \ > 'v v4 •

■.Ч / <

/ ■. * -./: ' / Vv\-\\\4,., •

Ч -- Чч• • - у / ■ k\W Ч\\Ч -

. ' у. ' / 4, % -\V.. V ч чч •-<

.. -Ч • / Л'Ч V,; ч'Ч Ч Ч

ч-- • . / j Л\\ \> • .y ■. . Ч х т

/ t \\\ '\\ч, --Ч-. —ч ч X Ч Ч

ЧЧ'.* Ч / / • Чу \л \ Ч Ч, - Ч. Ч; "Ч '

■' ■,' '//■/, ■ <■' / i\\V ЧЧ\\;Х :чч; Ч

. • '/ ;*;•?•' J \ i»\ v \ \ ч ч. чч.ч. 'ч.>,. Чч.ч ' х.

Чч' ЧЧЧ Ч ,.Ч. ч, •-". Ч

.4 Ч , -

.• : /V4 чЧч:./

. ч. ч . • •'//. <■ Ъ \ \л .4 \'чч-ч. -. 'ч ч >-Ч

•.'/■*■ ч// 41 ■/ I \>V'v\-

•''■•■■'> ч Ч 4 /Л 4/ \yCx\ л ЧЧ' '' -

шмщ чшш<

ШМШтШ

// ЧЧ / / / / / г 1 I л И Чл \ Ч Чч' iHlRIRRHNIRMR IIRRHRRIRH

л /' •• /ЧЧЧЧ / /' ;••/ /7

S^V/////////■■/J//7://f ШШ/iffl S

v.-'' /Чу / / / /,;

/ / / /

• ч " Ч Ч X

W\ \ \Ч • \ \ Чч \ WX •

Рис. 5. Графический протокол измерений тестовой детали, обработанной по варианту 4

Представленные данные наглядно демонстрируют, что максимальная производительность изготовления тестовой детали достигается при построении общей стратегии чистового фрезерования с использованием программного модуля OptiMILL Он позволяет минимизировать мину траекторий движения инструментов, время обработки, а также количество подъемов фрез при переходе от обработки одной элементарной области к другой благодаря выполнению условия конформности инструментальной поверхности фрезы и поверхности детали, Оптимален и алгоритм доработки материала после выполнения предыдущего технологического перехода,

Для определения величины отклонений формы и размеров тестовых деталей, полученных в результате обработки, от электронной модели (эталона) была использована координатно-измерительная машина «Winer». Разрешающая способность машины составляет 0,001 мм, Измерения производили в одних и тех же точках. Их результаты, полученные в электронном виде импортировали в систему автоматизированного контроля PowerlNSPECT [3]. Её инструментальные средства позволили сформировать протоколы измерений каждой детали в графическом (рис. 5) и табличном видах.

Отклонения точек поверхностей деталей, обработанных по 1, 3 и 4 вариантам, представлены на рис. 6, 7, 8. На каждой тестовой детали было выполнено порядка 100 измерений. Контролируемые точки на детали, изготовленной по варианту 1, были разбиты на две инспекционные группы: в первую вошли точки, принадлежащие плоскостям с наклоном до 90° и поверхностям двойной кривизны, а во вторую - относящиеся к вертикальным стенкам. Для остальных вариантов обработки точки были объединены в общие инспекционные группы.

Из графиков (см. рис. 6, 7, 8} и данных табл. 3, 4 видно, что большинство отклонений формы и размеров тестовых деталей находится в диапазоне десятых долей миллиметра. Вероятно, такой результат получен из-за погрешностей системы станок - приспособление -инструмент, поскольку подготовительные технологические операции, включая настройку инструмента на размер, и расчеты траекторий управляющих программ были выполнены с отклонениями ±0,01мм. Тем не менее, по уровню отклонений, их критическим значениям вариант 4 отличается в лучшую сторону от остальных.

-0.3

Номер точки

А; 0.5 ММ 0.4 --

0.1

0 —•—♦

<$ ■<§ <$ <§ (§■ $ <§■ <§■ <§■■<§■ ^ • с^ с<? '

_____________Номер точки

-0.3 1

Рис. 6. График отклонений точек поверхности летали, обработанной по варианту 1: а) инспекционной группа 1; б) инспекционная группа 2

4 ¿2 ¿8 с? & £ £ С? ¿Го? ^ ¿Г ¿Г

-0.3

Номер точки

Рис. 7. График отклонений точек поверхности летали, обработанной по варианту 5

Таблица 3

Количество точек по диапазонам отклонений

Вариант обработки Диапазон отклонений Д, мм

-0,3...-0,2 -0,2...-0,1 -0,1...0 0...0Д 0,1.,.0,2 0,2...0,3 0,3...0,4

Количество измеренных точек

1 2 7 41 31 8 9 3

3 3 6 17 66 1 2 3

4 - 6 32 57 4 - -

Эффективность разработанного метода оптимизации общей стратегии обработки сложных поверхностей подтверждает и сравнение графиков распределения отклонений при различных вариантах формирования областей обработки (рис. 9). Таким образом, можно считать экспериментально доказанным, что при равных условиях наилучшие результаты обеспечивает варианта 4, технологическая подготовка которого реализована с помощью методики оптимизации общей стратегии обработки и программного модуля ОрШШ,

Таблица 4

Критические отклонения точек на поверхностях тестовых деталей

Вариант обработки тестовой детали Инспекционная группа Значение критических отклонений точек

4шп ' ММ ^шах - мм

1 -0,262 0,246

2 -0,202 0,397

3 1 -0,234 0,342

4 1 -0,18 0,196

Для оценки технико-экономической эффективности программного модуля оптимизации частной стратегии обработки сложных поверхностей (её типа и параметров) было проведено сравнение машинного времени чистового фрезерования и шероховатости обработанных поверхностей на тестовых деталях по рис. 1, б из стали ЗОХГСА. Обрабатывали их без использования и с использованием предлагаемого модуля ОрШШ. При этом операционная технология (в том числе и управляющие программы), не учитывавшая условий оптимизации, была подготовлена опытными специалистами базового предприятия.

Сравнение машинного времени чистовой обработки произвели расчетным путем в САМ системе РоууегМШ. Шероховатость поверхности деталей измеряли на профилографе - профилометре типа А1 модели 252.

Обработку осуществляли сфероцилиндрическими фрезами в три этапа: черновая - фрезой диаметром 20 мм; получистовая - фрезой диаметром 16 мм; чис-

товая - диаметром 10 мм. Последний этап был выполнен за четыре перехода, на каждом из которых обрабатывали участок, определенный технологом предприятия. Режимы резания: 5=75 мм/мин, п=700 об/мин.

Для построения траектории движения инструмента технолог при осуществлении первого варианта выбрал растровую стратегию с различными для каждой зоны углами растра. При этом суммарное машинное время чистовой обработки составило 139 минут.

После проведения оптимизации с использованием программного модуля ОрШШ была выбрана стратегия обработки по уровням оси I, В соответствии с результатами оптимизации (рис, 10) была разработана новая управляющая программа для чистовой обработки (рис,11). Плоские горизонтальные участки, не затронутые при обработке по уровням оси I, фрезеровали с помощью дополнительной программы, построенной по растровой стратегии (рис. 12). При оптимизации их не учитывали. Суммарное время чистовой обработки по траектории, рассчитанной с использованием программы оптимизации, составило 121 минуту, что на 18 минут или на 13% меньше, чем при фрезеровании по траектории, разработанной без учета предложенной методики.

Шероховатость полученных поверхностей оценивали по двум высотным параметрам - Ла и Ятт. Для

выполнения измерений снимали слепки, так как обеспечить непосредственный доступ щупа прибора и его надежный контакт с деталью в процессе измерения из-за конструктивных особенностей подобных измерительных устройств и сложности поверхностей не представлялось возможным. Слепки изготовляли путем снятия отпечатков на свинцовых образцах с помощью гидравлического пресса. Для контроля на обеих деталях были выбраны три одинаково расположенных характерных поверхности. На каждом из полученных слепков было произведено по семь измерений параметров шероховатости со сменой базовых участков. Длину трассы ощупывания приняли равной 6 мм, а шаг отсечки - 2,5 мм, С прибора снимали показания Ка,

Величину параметра Я вычисляли

Н и И

1ШХ !ШП

по зависимости

Я.

Н + И

шах ^ тш

Су су уу Су Су Су Ъ- Ъ'

1> Ф Ф с?1 Ф с§> Ф -ъ4

У' .О £ СУ чу СУ СУ СУ <у>

?у «V Ъ-

Рис. 9. Распределение отклонений при обработке по: а-варианту I, б-варианту 3, в-варианту 4

optimill

Отчет

■ ■ ij !:■: - ■■■. ■ ' .'■■.■ : .......■ : ......И —

Максимально возможный критерий оптимальности«!. 141625

Растровая стратегия: Сгтгимальный угол=76.732778 Критерий оптимальности=0.649252

;■■■•,': " ' '. ,. ' ■:•'•::•..• ' Л,

Спиральная стратегия: Оптимальные координаты ценгтра= -0.434121 4.143021 Критерий оглгимальности=0.720500

Стратегия по уровням оси 2: Критерий опт имальности=0.835245

о- ' &

Оптимальная стратегия: По уровням оси 2

■ у ■ . ■ . • ■■•..;;

Г'"'".......QK...............SI

ЛТ'ГУ УГ''1!'Г' "•••"ViTViN.iJ

Механика и машиностроение

_м__

п

где п - количество измерений; <¿1 - измеренный параметр.

При изготовлении тестовой детали по оптимальной частной стратегии, £ для Ятах во всех случаях оказалось меньше, чем обработанной по действующей технологии. Причем, если для одного из участков это уменьшение было не значительно (18%), то для двух других уже имело место существенное снижение £ -на 50 и 68%, соответственно, Математическое ожидание для Яа уменьшилось на 44 и 12% для первого и

третьего участков и возросло на 75% для второго участка. Данные проведенных исследований шероховатости поверхности подтверждены актами контроля, выданными специализированной лабораторией базового предприятия. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что использование предлагаемой методики проектирования управляющей программы не приводит к повышению трудоемкости последующих доводочных операций, так как остаточный гребешок в среднем не увеличивается.

В заключение отметим, что экспериментальная проверка работоспособности программного модуля, проведенная в производственных условиях при фрезеровании деталей технологической оснастки и основного производства, также позволяет сделать вывод о том, что предложенный математический аппарат надежен и работает без сбоев при оптимизации как общей, так и частной стратегии обработки поверхностей любой сложности. При этом достигается значительное повышение производительности и качества обработанной поверхности.

=

Рис. 10. Отчет по результатам оптимизации

Рис.11. Чистовая обработка детали с использованием модуля оптимизации стратегии

Рис. 12. Чистовая обработка плоских горизонтальных участков

Для каждого из слепков были определены математическое ожидание £ и среднее квадратическое отклонение а измеренных параметров шероховатости

с использованием следующих формул [4]:

и

п

Библиографический список

1. Медведев Ф.В., Пономарев Б.Б. Программный модуль оптимизации чистового фрезерования «ОрАМШ», свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2003610745,

2. Пономарев Б,Б. Репин В.М, Повышение производительности формообразования сложных деталей на фрезерных станках с ЦПУ /7 Вестник ИрГТУ. - 1998,- № 3, - С, 50-53,

3. Компьютерные технологии в науке, технике и образовании: Учеб. пособие / Б.Б. Пономарев, А,Г. Громашев, А,В, Савилов и др. Под общ. ред. А.И, Промптова, - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2000, - 396 с.

4. Г, Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, - М,: Мир, 1982. - 680 с.