CC BY
10
Ю. В. ГУРЬЕВ, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, Военно-морской политехнический институт Военного учебно-научного центра ВМФ "Военно-морская академия" (Россия, 197045, г. Санкт-Петербург, Ушаковская наб., 17/1) И. В. ТКАЧЕНКО, д-р техн. наук, доцент кафедры гидромеханики и морской акустики, Санкт-Петербургский государственный морской технический университет (Россия, 190008, г. Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3) Ю. С. ЕРЕМИН, начальник IT-отдела, ООО "Международный научный инновационный центр строительства и пожарной безопасности" (Россия, 199155, г. Санкт-Петербург, уп. Уральская, 13; e-mail: risk@stopfire.ru)
УДК 51-74
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПРОЕКТИРОВАНИИ ОРОСИТЕЛЕЙ АВТОМАТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК ПОЖАРОТУШЕНИЯ ТОНКОРАСПЫЛЕННОЙ ВОДОЙ
Рассмотрены основные модели вязких турбулентных потоков, применяемые в численном инженерном анализе, с оценкой возможности их практического использования. Описаны основные предположения, лежащие в основе большинства моделей турбулентности. Проведено сравнение результатов численного моделирования процесса распыления из оросителя тонкораспыленной воды с экспериментальными данными. Установлено, что в целом компьютерное моделирование обеспечивает адекватное прогнозирование сложных двухфазных течений и может быть использовано при гидродинамическом проектировании оросителей для автоматических установок пожаротушения тонкораспыленной водой.
Ключевые слова: ороситель; тонкораспыленная вода; компьютерное моделирование.
Эффективность функционирования автоматических установок пожаротушения тонкораспыленной водой (АУПТ ТРВ) решающим образом зависит от гидродинамического качества входящих в их состав оросителей, генерирующих поток тонкораспыленной воды. Традиционно характеристики новых моделей таких оросителей определяются экспериментально уже после изготовления по методикам, предназначенным для проверки технических параметров оросителей автоматических установок водяного и пенного пожаротушения [1, 2]. Вместе с тем на практике в настоящее время уже широко используются компьютерные технологии гидродинамического анализа, имеющие в ряде случаев существенное преимущество перед методами физического моделирования [3].
Настоящая статья продолжает развитие подхода, изложенного в [4] и основанного на использовании моделей вычислительной гидродинамики при проектировании оросителей АУПТ ТРВ, и включает: • описание основных моделей вязких турбулентных потоков, применяемых в численном инженерном анализе, и оценку возможности их практического использования при решении рассматриваемой задачи;
© Гурьев Ю. В., Ткаченко И. В., Еремин Ю. С., 2013
• результаты численного моделирования процесса распыления из оросителя тонкораспыленной воды и их сравнение с экспериментальными данными.
Основные модели турбулентного движения вязкой жидкости
Для прогнозирования двухфазного течения, создаваемого оросителем, методами, рассмотренными в [4], исходя из производительности современных компьютеров возможно использование двух основных моделей, дифференциальные уравнения которых получены из уравнений Навье-Стокса [3] с помощью специальных математических процедур осреднения.
Исторически первой возникла модель Рейнольдса URANS (Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes), одноименные уравнения которой представляют собой осредненные по времени исходные уравнения. Вторая, существенно более поздняя, модель базируется на так называемых уравнениях метода крупных вихрей LES (Large Eddy Simulation), полученных с помощью осреднения уравнений Навье-Стокса по объему [3]. Кратко остановимся на описании этих моделей, включающих дифференциальные уравне-
ния, замыкающие их соотношения, начальные и граничные условия.
В основе модели Рейнольдса лежат, как уже было сказано, осредненные по временному интервалу уравнения Навье-Стокса (закон сохранения импульса), которые в отечественной литературе именуются уравнениями Рейнольдса, и уравнение неразрывности (закон сохранения массы):
ди¡_
дг
_ ди,
дх
д р дх,
дх;
ди: дх
Л
ди ]
дХ;
дих
дх
д иу
ду
1
ди^
дх;
-Р Щи';
= 0,
(1)
(2)
где и — скорость истечения струи; р — плотность жидкости; р — давление в среде; ц — коэффициент динамической вязкости; ,,1 — индексы ортов декартовой системы координат, с помощью которых обеспечивается цифровая индексация координат и проекций скоростей и на оси этой системы: х1 = х, х2 = у, ..., и3 = иг;
черта над физической величиной означает осреднение по времени, а штрих (например, и[) — ее пульсационную составляющую. При такой форме записи использовано соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам: если в формуле встречается член с одинаковыми индексами, то это — компактное представление суммы. Иллюстрацией этого правила является запись второго уравнения системы (1)-(2).
По сравнению с уравнениями Навье-Стокса в уравнениях Рейнольдса появились дополнительные неизвестные (д/дх,) р и[ и'; — пространственные производные от девяти новых неизвестных величин х'у = -ри\и; называемых турбулентными напряжениями, пульсационными напряжениями или напряжениями Рейнольдса. Благодаря свойству парности этих напряжений х, = х, неизвестными остаются только шесть из них. В результате общее число неизвестных (десять) становится больше числа уравнений (четыре), что делает систему (1)-(2) незамкнутой и приводит к необходимости моделирования напряжений х, с использованием гипотез, называемых моделями турбулентности.
В основе большинства моделей турбулентности лежат два важных предположения: предложенная А. Н. Колмогоровым гипотеза о локальной изотропности турбулентных течений, справедливая для высоких чисел Рейнольдса, и градиентно-диффузион-ная гипотеза (гипотеза Буссинеска), согласно кото-
рой напряжения Рейнольдса описываются зависимостью
= -Риг и; =РУТ
^ ди,
д и;
дх; дх,
- — р Ь,; к, 3 1
(3)
где ут — коэффициент турбулентной вязкости, имеющий ту же размерность, что и коэффициент кинематической вязкости, но совершенно иную природу;
к — кинетическая энергия турбулентных пульсаций; к = 1/2 щ и';; Ьу — дельта-функция.
Не ставя перед собой задачу описания всего многообразия существующих моделей турбулентности, с которыми можно познакомиться в [3, 5], заметим, что большинство из них (в том числе и используемая в статье) являются дифференциальными и основаны на представлении турбулентной вязкости в виде
= с к! С 8 !
(4)
где Сц — эмпирическая постоянная величина (строго — функция), часто принимаемая равной 0,09; 8 — скорость диссипации кинетической энергии турбулентности.
Модели, использующие для нахождения турбулентной вязкости соотношение (4), называют (к-8)-моделями. В них неизвестную кинетическую энергию турбулентности и скорость ее диссипации находят решением дополнительно к системе (1)-(2) еще двух дифференциальных транспортных уравнений. Для сложных по структуре течений, включая течения с отрывом потока, применяют модели, в которых используется уравнение для переноса псевдозавихренности ю = 8/к. Такие модели называют (к-ю)-моделями.
Уравнения метода крупных вихрей получают путем осреднения уравнений Навье-Стокса по объему с помощью специальной процедуры, называемой пространственной фильтрацией. В результате появляется также незамкнутая система четырех дифференциальных уравнений:
(
ди,
+ И;
ди, дх1 )
д р дх,
дх,
И
ди, дх1 )
д;
дх,
ди, дх,
= 0,
(5)
(6)
где над величиной означает ее осреднение по объему;
х; — неизвестный тензор подсеточных напряжений; находится с помощью специальных моделей, которые делятся на два класса: модели добавочной вязкости и модели синтетических полей. Авторы использовали одну из моделей добавочной вязкости — модель Смагоринского [3,5]. В этой
т
модели, используя гипотезу Буссинеска, получают следующие расчетные зависимости для анизотропной части подсеточных напряжений:
zjj - 2vSGSSij ; S ij - "2
0И; д Ii
Л
д X;
д xi
(7)
где —подсеточная вязкость, которая находится согласно гипотезе длины смешения по формуле
Vsgs - lS |S | - (CsA)2 |S | ; |S | — I 2S; S„ I , (8)
— \V2 'ij Sj
¡8 — длина смешения Смагоринского; ¡8 = С5Д; С — константа Смагоринского; С5 =0,17; |£| — характерная отфильтрованная скорость сдвига.
Для решения конкретной задачи с помощью рассмотренных моделей необходимо поставить граничные и начальные условия, учитывая класс их уравнений. Известно, что эти уравнения относятся к классу не вполне параболических уравнений. Это означает, что, несмотря на их формальную принадлежность к классу параболических уравнений, они обладают гиперболическими свойствами. Детальный теоретический анализ корректности постановки граничных условий для подобных систем для случая сжимаемых дозвуковых течений приведен в [6], а для класса несжимаемых течений — в [7]. Основываясь на этих работах, можно сформулировать некоторые общие рекомендации для постановки граничных условий.
Условно расчетную область можно представить в форме параллелепипеда (рис. 1), ограниченного входной границей, выходной границей и боковыми гранями.
На входном участке границы необходимо наложить граничные условия на вектор скорости, дополненные еще одним условием, накладывающим ограничение на комбинацию нормальной компоненты скорости и давления, а не только одно ограничение на поток скорости, как в случае твердой стенки. Тогда на входной границе должен быть определен вектор скорости, характеристики турбулентности (при необходимости) и ограничен поток по полю давления:
u\(t ) - иш ; u2(t ) - и un ; 1з(t ) - i3in ;
- 0.
к(t ) - kin ; m
дп
На выходной границе должны быть ограничены две компоненты скорости, характеристика турбулентности и определено давление:
di2 дп
- 0;
ди3 дп
- о; ^ - о;
дп
Входящий поток
; ■—
■ 1 1
►
Твердая i
(поверхность) j
Выходящий поток
p(t) - Pout.
Рис. 1. Условная расчетная область для постановки граничных условий
На твердых поверхностях (стенке) должны быть поставлены три граничных условия, ограничивающие компоненты поля скорости, — условия прилипания:
- 0.
1 I wall
В качестве начальных обычно принимаются условия постоянства скорости и давления во всех точках потока. Следует отметить, что такие начальные условия не являются вполне корректными, так как не удовлетворяют уравнению неразрывности. Поэтому на начальных этапах интегрирования дифференциальных уравнений рассматриваемых моделей происходит адаптация этих условий к уравнению неразрывности.
Одним из важных вычислительных вопросов моделирования турбулентных течений с помощью моделей URANS и LES является выбор способа описания движения жидкости в пристеночной области. Например, в методе крупных вихрей для корректного описания течения вблизи стенки используются: а) прямое разрешение пристеночной области; б) моделирование течения на основе метода пристеночных функций; в) моделирование течения на основе зонального приближения (уравнений пограничного слоя), к которому также относится метод отсоединенных вихрей [3, 5]. В случае "а" шаг расчетной сетки должен разрешать 80 % энергии потока в пристеночной зоне, где имеют место наибольшие градиенты. В случаях "б" и "в" требования к сетке не столь высоки, так как вблизи стенки (во внутренней области) течение моделируется на основе зависимостей теории пограничного слоя.
Наиболее популярными в силу меньшей трудоемкости являются модели на основе закона стенки (пристеночные функции) [8]. В них предполагается, что касательные напряжения постоянны между первым расчетным узлом "p" и стенкой и равны напряжению на стенке xw. В этом случае номинальное значение динамической скорости и* - (т w/р)^2 может быть рассчитано по формуле и* - C14к P2.
Тогда соответствующее ей значение безразмерной координаты может быть оценено так:
yp - УрKlv>
а номинальная скорость в первом расчетном узле находится из логарифмического профиля скорости:
up 1
up- = "Г log yp + S,
где к* — константа Кармана;
В — константа.
Из условия баланса продукции турбулентной кинетической энергии и скорости ее диссипации граничное условие для диссипации 8р приобретает следующий вид:
Бp = ( ы*)7( к * Ур ).
При этом полагается, что нормальный поток для кинетической энергии турбулентности на стенке равняется нулю, т. е.
дк
дп
= 0.
wall
Результаты численного моделирования процесса распыления
Целью проведения вычислительного эксперимента было определение характеристик оросителя, форма и параметры которого были получены по данным экспериментальных исследований, проведенных одним из авторов статьи. Схема распылителя представлена на рис. 2.
Расчеты параметров течения, возникающего при работе распылителя АУПТ ТРВ предложенной конструкции, были выполнены с помощью двух рассмотренных выше моделей турбулентных потоков с привлечением метода объема жидкости в ячейке VOF (Volume of Fluid), в котором многофазная среда рассматривается как единая субстанция [4]. При этом использовались коммерческий пакет
Рис. 2. Схема исследуемого распылителя АУПТ ТРВ: —диаметр выходного отверстия оросителя; й2 — диаметр рабочей поверхности
Flыent (URANS-модель) и университетский пакет Flow FES (LES-модель) [3].
Pаcчeты выполнялись на высокопроизводительном компьютерном кластере, имеющем следующие характеристики: число узлов — 16, каждый из которых включает по два двуядерных процессора AMD 2.2 ГГц; общий объем оперативной памяти — 64 Гб; максимальная производительность — около 270 ги-гафлопс (миллиардов операций в секунду).
Первые расчеты проводились с помощью модели крупных вихрей. Они показали, что даже при использовании достаточно производительных компьютеров применение этой модели оказывается неприемлемым из-за слишком больших затрат времени. Pаcчeты были остановлены на 37-е сутки работы кластера, загруженного выполнением только одной задачи. В результате удалось рассчитать лишь начальный этап распыления воды (около 0,15 с). Компьютерные картины эволюции поля коэффициента смеси (отношение объема воды, содержащейся в расчетной ячейке, к ее объему), прогнозируемого методом LES, представлены на рис. 3.
Полученная в ходе вычислительного эксперимента оценка трудоемкости расчетов параметров истечения струи из распылителя по модели LES показала невозможность ее использования на практике, что побудило авторов применять для дальнейших исследований более экономичную модель URANS. Однако и эта модель потребовала от 2 до 17 сут для расчета одного варианта трехмерного процесса распыления. Время расчета определялось, в первую очередь, количеством узлов расчетной сетки, а также используемой моделью турбулентности и ее параметрами.
В этих условиях для ускорения процесса предварительных вычислений, связанных с выбором модели турбулентности, было принято решение об использовании более экономичной модели, в которой рассматривалось течение, близкое к плоскому, в расчетной области размерами 4x2,5x0,01 м3. Средняя скорость истечения жидкости из сопла распылителя в модели принималась равной средней скорости истечения из реального сопла круглой формы и составляла 26-33 м/с. В результате значения определяющего для рассматриваемой задачи критерия подобия Peйнoльдcа в реальном и квазиплоском течениях оказались идентичны.
В ходе вычислительного эксперимента были проведены расчеты с использованием трех моделей турбулентности: стандартной (^Б)-модели турбулентности (SKE), (k- ю )-модели (KW) и SST (k- ю )-модели (SST KW). Его результаты показали, что физически более обоснованные результаты и лучшую сходимость обеспечивает SST (k-ю)-модель, предложенная Ментором.
Рис. 3. Развитие течения на начальном этапе распыления (£.Е£-модель) в моменты времени с начала истечения струи: а — 0,071 с; б — 0,094 с; в — 0,106 с; д — 0,129 с
Дальнейшие расчеты выполнялись с использованием данной модели в предположении, что течение имеет осесимметричный характер. Приближенность такого допущения заключается в том, что осевая симметрия потока, имеющая место на начальном участке течения при выходе воды из сопла распылителя, затем нарушается при обтекании двух элементов конструкции распылителя, обеспечивающих его крепление. Допущение об осесимметричном характере течения позволяет выполнять расчет только в одной четверти области течения, тем самым многократно снижая объем необходимых вычислений.
Был выполнен расчет параметров работы распылителя для трех вариантов соотношения диаметров сопла й1 и рабочей площадки й2 при постоянном давлении в подводящем трубопроводе р и переменном расходе воды через ороситель Q. Результаты расчета приведены в табл. 1.
В ходе расчетов были получены не только интегральные, но и распределенные характеристики потока. На рис. 4 в качестве иллюстрации представлены распределение плотности взвеси и изменение массовой интенсивности орошения вдоль радиуса зоны орошения, имеющей форму круга. Результаты соответствуют геометрическим и гидродинамическим параметрам варианта № 1 из табл. 1.
В табл. 2 приведены результаты расчета массовой интенсивности и коэффициента равномерности орошения и их экспериментальные оценки.
Сопоставление опытных и расчетных данных показывает, что в целом компьютерное моделирование на основе решений уравнений Рейнольдса
Таблица 1. Геометрические и гидродинамические параметры расчетных течений
р, кг/м3
î, кгДм^с)
Номер варианта di, мм d2, мм р, МПа & л/с
1 5,0 4,5 0,85 0,645
2 6,0 5,5 0,85 0,784
3 7,0 6,3 0,85 1,014
26 24 22 20 18 16 14
/
/
\ \
/ \\
2/ /
0,075 0,070 0,065 0,060 0,055 0,050
0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 г, M
0,045
Рис. 4. Изменение плотности (1) и массовой интенсивности орошения (2) взвеси вдоль радиуса
Таблица 2. Сопоставление расчетных и экспериментальных значений массовой интенсивности 1т и коэффициента равномерности орошения R
Вариант Значение Im, кг/(м2-с) Значение R
Расчет Эксперимент Расчет Эксперимент
1 0,051 > 0,040 0,43 < 0,5
2 0,065 > 0,055 0,45 < 0,5
3 0,079 > 0,065 0,53 < 0,5
обеспечивает возможность прогнозирования важнейших характеристик работы оросителя и может применяться при проектировании систем пожаротушения для расчета течений.
Выводы
1. Рассмотрены основные модели турбулентных течений URANS и LES, используемые в современном гидродинамическом анализе, и проведен вычислительный эксперимент по их применению при расчете течений из оросителей АУПТ ТРВ.
2. Вычислительный эксперимент показал высокую трудоемкость (и по объему, и по времени вычислений) применения для решения рассматриваемой задачи моделей LES, в то время как модели URANS оказались более приемлемыми по этому по-
казателю, который в перспективе будет неуклонно снижаться вследствие роста производительности компьютеров.
3. Сопоставление опытных и расчетных гидродинамических характеристик оросителей показы-
вает, что в целом компьютерное моделирование обеспечивает адекватное прогнозирование сложных двухфазных течений и может быть использовано при гидродинамическом проектировании оросителей АУПТ ТРВ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ГОСТ Р 51043-2002. Установки водяного и пенного пожаротушения автоматические. Оросители. Общие технические требования. Методы испытаний. — Введ. 01.07.2003 г. — М.: ИПК Изд-во стандартов, 2002. — 50 с.
2. НПБ 87-2000. Установки водяного и пенного пожаротушения автоматические. Оросители. Общие технические требования. Методы испытаний : приказ ГУГПС МВД России от 28.04.2001 г. № 27; МЧС России от 18.06.2003 г. № 316; введ. 01.07.2001 г. — М. : ВНИИПО МВД России, 2001. —76 с.
3. Гурьев Ю. В., Ткаченко И. В. Компьютерные технологии в корабельной гидродинамике. — СПб. : ВМИИ, 2010.— 313 с.
4. ГурьевЮ.В., Ткаченко И. В., Еремин Ю. С. Анализ методов компьютерного моделирования процесса распыления из оросителя тонкораспыленной воды // Пожаровзрывобезопасность. — 2012. — Т. 21, № 10. — С. 77-80.
5. Волков К. Н., Емельянов В. Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений. — М. : Физматлит, 2008. — 386 с.
6. Poinsot T. J., Lele S. K. Boundary Conditions for Direct Simulations of Compressible Viscous Flows // J. Comput. Physics. — 1992ю — Vol. 101. — Р. 104.
7. Андросов А. А., Вольцингер H. Е. Проливы Мирового океана. Общий подход к моделированию. — СПб. : Наука, 2005. — 187 с.
8. Launder B. E., Spalding D. B. Mathematical Model of Turbulence. — London : Acad. Press., 1972.
Материал поступил в редакцию 12 ноября 2012 г.
— English
APPLICATION OF NUMERICAL MODELLING METHODS IN DESIGN OF SPRINKLERS IN AUTOMATIC WATER SPRAY/MIST FIRE EXTINGUISHING SYSTEMS
GURYEV Yuriy Vladimirovich, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department, Navy Polytechnic Institute of Navy Academy (Ushakovskaya Quay, 17/1, Saint-Petersburg 197045, Russian Federation)
TKACHENKO Igor Vyacheslavovich, Doctor of Technical Sciences, Associated Professor of Hydromechanics and Marine Acoustics Department, State Marine Technical University of Saint-Petersburg (Lotsmanskaya St., 3, Saint-Petersburg 190008, Russian Federation)
YEREMIN Yuriy Sergeyevich, Head of IT-Department, International Scientific Innovational Centre of Construction and Fire Safety (Uralskaya St., 13, Saint-Petersburg 199155, Russian Federation)
ABSTRACT
An expediency of application of hydrodynamic models in design of sprinklers in automatic water spray/mist extinguishing systems is investigated.
Main models of turbulent flows, such as URANS (Unsteady Reynolds-Averaged Navier-Stokes) and LES (Large Eddy Simulation), used in modern hydrodynamic analysis are presented in this article. Main assumptions underlying the majority of turbulence models are described. Main problems of specifying boundary and initial conditions depending on class of equations and ways of solve are presented. Methods of description of liquid flow motion in wall-adjacent area are offered.
Computing experiment based on practical application of these models and calculation of parameters of water stream expiration from sprinklers in automatic extinguishing systems is made. Calculations of the stream value, generated during sprinkler operation, were performed by means of considered models of turbulent streams using the VOF (Volume of Fluid) method. The aim of the experiment is definition of sprinkler characteristics which shape and parameters were determined by experimental research of one of the article authors. The experiment demonstrated economic groundlessness (high labor expenditures of volume and time calculations) of LES models, while URANS model shown more economical results.
Comparison of experimental and calculation hydrodynamic characteristics of sprinklers showed that, as a whole, the computer modeling allows making an adequate prognosis of difficult two-phase streams and can be used for hydrodynamic design of sprinklers.
Keywords: sprinkler; sprayed water/mist; computer modeling.
REFERENCES
1. GOSTR 51043-2002. Ustanovki vodyanogo ipennogo pozharotusheniya avtomaticheskiye. Orositeli. Obshchiye tekhnicheskiye trebovaniya. Metody ispytaniy [State Standard 51043-2002. Automatic water and foam fire fighting systems. Sprinklers, spray nozzles and water mist nozzles. General technical requirements. Test methods]. Moscow, Standartinform Publ., 2002. 50 p.
2. NPB 87-2000. Ustanovki vodyanogo i pennogo pozharotusheniya avtomaticheskiye. Orositeli. Obshchiye tekhnicheskiye trebovaniya. Metody ispytaniy [Standards of Fire Safety No. 87-2000. Automatic water and foam fire fighting sistems. Sprinklers, spray nozzles and water mist nozzles. General technical reguirements. Test methods]. Moscow, All-Russian Research Institute for Fire Protection of Emercom of Russia Publ., 2001. 76 p.
3. Guryev Yu. V., Tkachenko I. V. Kompyuternyye tekhnologii v korabelnoy gidrodinamike [Computational technologies in naval hydrodynamics]. St.-Petersburg, NEI [Naval Engineering Institute] Publ., 2010. 313 p.
4. Guryev Yu. V., Tkachenko I. V., Yeremin Yu. S. Analiz metodov kompyuternogo modelirovaniyapro-tsessa raspyleniya iz orositelya tonkoraspylennoy vody [Analysis of computer modeling methods for spraying process in irrigator with water spray]. Pozharovzryvobezopasnost — Fire and Explosion Safety, 2012, vol. 21, no. 10, pp. 77-80.
5. Volkov K. N., Yemelyanov V. N. Modelirovaniye krupnykh vikhrey v raschetakh turbulentnykh teche-niy [Large Eddy Modeling in turbulent flow calculation]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2008. 386 p.
6. Poinsot T. J., Lele S. K. Boundary Conditions for Direct Simulations of Compressible Viscous Flows. J. Comput. Physics, 1992, vol. 101, p. 104.
7. Androsov A. A., Voltsinger N. Ye. Prolivy Mirovogo okeana. Obshchiy podkhod k modelirovaniyu [World ocean straits. General approach to modeling]. St.-Petersburg, Nauka [Science] Publ., 2005.187p.
8. Launder B. E., Spalding D. B. Mathematical Model of Turbulence. London, Acad. Press., 1972.
