CC BY
71
Финансовая аналитика: Financial Analytics:
проблемы и решения 27 (2015) 28-41 Science and Experience
ISSN 2311-8768 (Online) ISSN 2073-4484 (Print)
Математический анализ и моделирование в экономике
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ СОГЛАСОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИНТЕРЕСОВ РАЗЛИЧНЫХ УРОВНЕЙ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Наталья Евгеньевна ЕГОРОВА3*, Кирилл Алексеевич ИВАНОВЬ
а доктор экономических наук, профессор, главный научный сотрудник, Центральный экономико-математический институт
Российской академии наук, Москва, Российская Федерация
nyegorova@mail.ru
ь генеральный директор ООО «АБСОЛЮТ-СИРИУС» o.selyuchenko@mail.ru
* Ответственный автор
История статьи:
Принята 05.03.2015 Принята в доработанном виде 01.06.2015 Одобрена 04.06.2015
УДК 334.01
Ключевые слова: оптимальная задача, лицо, принимающее решение, идеальная точка, множество Парето, иерархический уровень управления
Аннотация
Предмет. Рассмотрение задачи согласования экономических интересов субъектов различных уровней иерархической системы управления.
Тема. Определенный класс задач согласования экономических интересов с наличием идеальных точек, лежащих как вне, так и внутри области достижимости. Цель. Сопоставительный экономико-математический анализ и выделение преимуществ различных алгоритмов решения рассматриваемой задачи, в том числе формальных и алгоритмов с использованием эвристических процедур.
Методология. Работа базируется на концепции Парето-оптимальности, определяющей согласованное решение, а также на предложенной О. Ларичевым методике анализа корректности эвристических процедур, применяемых в многокритериальных задачах. Результаты. Разработаны модифицированные итеративные процедуры согласования экономических интересов в двухуровневых системах с использованием корректных эвристических процедур.
Область применения результатов — широкий спектр многокритериальных оптимизационных задач с наличием трудноформализуемых (социальных, экономических и др.) критериев.
Выводы. Доказано, что методы согласования экономических интересов с включением эвристических процедур позволяют учитывать в окончательном решении не только факторы, традиционно отражаемые присутствующими в моделях формальными критериями, но и неформальные аспекты, имеющие достаточно весомую значимость в реальной практике согласования экономических интересов. Разработаны эффективные формально-эвристические алгоритмы нахождения согласованных (оптимальных по Парето) экономических решений в двухуровневых управленческих структурах.
© Издательский дом ФИНАНСЫ и КРЕДИТ, 2015
Управление национальным хозяйством любой страны представляет собой сложную многоуровневую систему [1-4]. В зависимости от постановки задачи число рассматриваемых уровней может быть различно. Как правило, выделяют три иерархических уровня управления: макро (национальное хозяйство), мезо (отрасль, регион) и микро (предприятия и другие субъекты этого звена управления), каждому из которых присущи собственные социально-экономические интересы.
На каждом из уровней решается оптимизационная задача с соответствующим критерием, отражающим интересы данного иерархического звена. Затем полученные решения проходят этап согласования,
поскольку экономические интересы могут быть несовпадающими, а зачастую — и конфликтными.
Задачи согласования экономических интересов являются классическими. Существуют различные подходы к решению этих задач:
• экспертный;
• некоторое «усреднение» исходных предложений с учетом системы приоритетов [5, 6];
• метод последовательных уступок [7];
• подход на основе компромисса по Нэшу [8] и др.
В работе данная задача рассматривается как процесс поиска компромисса между решениями, планируемыми различными уровнями.
Компромисс, полученный в результате процесса согласования плановых решений (СПР), обладает:
1) экономической выгодностью для каждого из участников;
2) эффективностью по Парето1 [9, 10].
Для упрощения трехуровневая задача согласования экономических интересов редуцируется к двухуровневой, экономико-математический анализ которой проводится в следующих направлениях:
1) формулировка оптимизационной задачи согласования интересов с наличием идеальной точки;
2) использование формальных методов согласования интересов различных уровней;
3) обоснование необходимости использования эвристических методов и оценка их корректности в процедурах СПР;
4) применение формально-эвристических методов согласования экономических интересов, предполагающих участие лица, принимающего решение (ЛПР).
I. Оптимизационная задача с наличием идеальной точки. При формулировке задачи принимаются следующие гипотезы.
1. Рассматривается двухуровневая система, на верхнем уровне которой плановые решения принимаются на основе одного интегрального критерия (интегрального народнохозяйственного эффекта), на нижнем уровне — на основе нескольких (в данном случае — двух критериев, отражающих интересы мезо- и микрозвеньев).
2. Отображаются в основном вертикальные взаимодействия уровней. Из их числа выделены взаимодействия двух типов: 1) воздействия верхнего уровня (задаваемая и корректируемая идеальная точка, а также стимулирующее действие штрафной функции при отклонении от этой точки); 2) решения нижнего уровня, корректирующие начальные плановые предложения.
Горизонтальные связи (например, поставка материалов, комплектующих изделий, инвестиции) представлены экзогенными взаимодействиями.
3. Предполагается, что может быть осуществлена редукция критериев: интересы верхнего уровня,
1 См.: Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М.: Дело, 2003. 520 е.; Математика и кибернетика в экономике:
словарь-справочник. М.: Экономика, 1975. 699 с.; Экономико-математический энциклопедический словарь. М.: ИНФРА-М, 2003. 688 с.
представленные в пространстве нижнего уровня, соответствуют идеальной точке, обеспечивающей максимальный народнохозяйственный эффект. Это позволяет реализовывать процесс СПР на единой основе — на «языке» интересов нижнего уровня.
4. Идеальная целевая точка, представляющая исходные предложения верхнего уровня, может быть как достижимой, так и недостижимой. Последний случай наиболее часто встречается в реальной практике: исходные плановые предложения верхнего уровня, как правило, плохо учитывают производственные возможности и интересы нижнего уровня.
5. Для сближения предложений нижнего и верхнего уровней используется принцип обратной отрицательной связи, отражаемый с помощью штрафной функции, величина которой уменьшается при сокращении расстояния (характеризуемого выбранной метрикой) между идеальной точкой и решением нижнего уровня.
В основу экономико-математического инструментария исследования процессов СПР положена стандартная модель целевого планирования, являющаяся многокритериальной оптимизационной задачей с наличием идеальной точки и представленная в работах [9-12]. Авторы статьи провели модификацию этой модели с учетом следующих особенностей СПР:
1) рассматривается вариантная постановка задачи, позволяющая расширить допустимое множество решений оптимизационной задачи и обусловливающая подвижность границы Парето;
2) используются специальные правила корректировки целевой точки, предписанные процессом согласования;
3) вводится понятие переговорного множества, ограничивающего область согласуемых решений (для случая достижимой и недостижимой целевой точки).
В соответствии с принятыми гипотезами задача СПР представлена следующим образом:
х е Ях, х > 0, Я™ < Ях < Дхтах,
у = /г (х), I = 1п, (1)
тах = {£ ^У, (х) - р£ % (У,° - У (х))2},
где Ях — множество возможных состояний объекта х, которое задано не жестко и может варьироваться
.mm x
от области минимально возможных значений R,
nmax
до области максимально возможных Rx ;
^f, , р — весовые коэффициенты, характеризующие соответственно важность значений критериев y их отклонения от целевой точки {у0} в пространстве критериев и значимость штрафной функции
I (y0 - yt (x))2;
у. — критерии качества состояния объекта.
Решение задачи (I) обладает важным свойством: оно принадлежит границе Парето п в следующем смысле: {£}ел, где x — решение задачи (I), и yi = f (x) [10, 11]. При этом {у.} находится в окрестности целевой точки {у0} .
Далее исследуется множество y!i, являющееся образом границы п в пространстве критериев и называемое критериальной паретовской границей ф.
В задаче (I) процесс согласования интерпретируется следующим образом:
1) в рассматриваемой двухуровневой системе управления предпочтения верхнего и нижнего уровней представлены соответственно коэффициентами ^f и ; они, как и коэффициент р, отражающий условия взаимодействия этих уровней (роль штрафной функции), считаются известными;
2) начальные предложения верхнего уровня отражаются идеальной точкой, которая тоже считается известной и может быть получена на основе решения некоторой задачи, внешней по отношению к задаче (1). Обычно точка {у0} является недостижимой, т.е. {у0} g ф ;
3) экономические интересы верхнего уровня представлены идеальной (целевой) точкой, отклонения от которой в процессе СПР он стремится минимизировать; экономические интересы нижнего уровня определяются системой предпочтений cli , которая задает некоторую точку границы ф в пространстве критериев у..
II. Формальные методы согласования интересов различных уровней. Решение задачи (I) существенно зависит от параметров штрафной функции, которые в реальной практике обычно неизвестны и трудно определяемы экспертным путем. Далее используется метод экономической компенсации [13].
Данный итеративный метод отображает СПР как процесс, осуществляемый по некоторым правилам, предполагающим:
• корректировку целевой точки (производится верхним уровнем для обеспечения реализации намеченного плана);
• корректировку решения нижнего уровня (с учетом достигаемого им экономического эффекта);
• смещение границ ф (для обеспечения достижимости целевой точки).
В соответствии с этими правилами процесс СПР реализуется на переговорном множестве и заканчивается при выполнении необходимого и достаточного условия, а величина компенсации, используемой для его стимулирования, определяется с помощью известных переменных модели2.
Для реализации описанного метода задача (1) представляется в виде двух самостоятельных задач, решаемых верхним и нижним уровнями автономно. С этой целью полагается, что р = А1 / А2, где А1 > 0 и А2 > 0 — весовые коэффициенты, отражающие приоритетность предложений участников согласования и уровень допустимых компромиссов.
Соотношение между коэффициентами А1 и Х2 в
Г п п
выражении тах = <| ^ ^^у - А,2^Б(у0 - у,)2
интерпретируется как уровень развития демократизации и хозяйственной самостоятельности экономических объектов.
Так, относительно большие значения коэффициента предполагают больший учет интересов нижнего уровня в компромиссном решении и соответствуют большей его самостоятельности в процессе принятия согласованных решений.
Наоборот, относительно большие значения коэффициента А2 соответствуют преимущественному учету интересов верхнего уровня и отражают его доминирующую роль в процессе согласования.
В соответствии с введенными определениями задача нижнего уровня может быть получена при = 1 и А2 = 0, а задача верхнего уровня — при Ах = 0 и
Х2 =1.
Итак, пусть на нижнем уровне решается задача на максимум функции полезности:
2 К числу формальных методов, используемых для решения задачи СПР, относятся также другие методы решения многокритериальных задач [14-17].
¿^У, : x e Rx, x > 0, y, = f (x),
max
y,,
(2)
где — весовые коэффициенты шкалы приоритетов нижнего уровня.
Решением задачи (2) является точка хА, лежащая на границе Парето, такая, что у°р' = /(хА) = А е ф .
На верхнем уровне решается задача, представленная следующей моделью:
х е Ях, х > 0, у = (х),
min Ytf (y,0 - y)2,
(3)
где у — 7-й критериальный показатель;
Ъв — весовой коэффициент, отражающий важность 7-го критерия шкалы приоритетов верхнего уровня.
При этом решение хв задачи верхнего уровня (3) получается с учетом предложений нижнего уровня у , однако в общем случае точки хА и хв не совпадают.
Если уже известно оптимальное решение задачи (2), то в качестве такого предложения используется
У
opt
Далее производится оценка получаемого
решения с учетом некоторого глобального критерия W(y), определяющего целевую точку {y0} . Таким образом, верхний уровень стремится минимизировать отклонение от заданной целевой точки, соответствующей глобальному эффекту.
При этом могут быть использованы различные метрики, характеризующие отклонение достижимого плана от целевой точки: сумма квадратов отклонений, модуль отклонений и т.д. Так, если известна некоторая функция глобального эффекта W(y), заданная в пространстве критериев y , то в качестве целевой функции можно также рассматривать min| W(y0) - W(y)|. Ясно, что в случае монотонного поведения функции W(y) в окрестности целевой точки, решения задач при разных метриках не сильно различаются.
Часть границы Парето, ограниченную точками x4 и xB, определяется как множество согласуемых решений или переговорное множество. Последнее сужает область решения задачи. В то же время любая точка переговорного множества может быть представлена решением задачи при соответствующих параметрах системы предпочтений.
В связи с тем, что в процессе СПР решения принимаются на основе соизмерения величин
критериев у удобным является отображение переговорного множества в пространстве
критериев. Будем называть далее это отображение
*
критериальным переговорным множеством ф , так как оно является частью границы ф, ограниченной соответственно точками, определенными как решения задач (2) и (3).
Описанный процесс СПР отображен в пространстве критериев на рис. 1, где полученное в задаче (3) решение (точка хв такая, что /(хв) = В ) принадлежит границе Парето, но в общем случае не совпадает с точкой хА (где ха — начальное предложение нижнего уровня и /(хА) = А .
При реализации итеративного процесса СПР на переговорном множестве должны выполняться необходимое и достаточное условия согласования решений.
Необходимым условием согласованности решений является достижимость целевой точки. В том случае, если найдется такой, х > 0, что х е Ях
, Ятш < Ях < Ятах и у0 = /г(х), то точка {у,0} считается достижимой.
Иными словами, расширяя множество возможных состояний объекта (с учетом ослабления имеющихся ограничений за счет горизонтальных экзогенных воздействий), можно обеспечить такое смещение границы р, которое в свою очередь обеспечит сдвиг границы ф в направлении к целевой точке (см. на рис. 1 смещение критериального переговорного
Рисунок 1
Процесс согласования (двумерный случай)
У 2
0
(У0, У0)
A
У1
Примечание: (у0,у0 )— целевая точка; точки А и В — решения задач (2) и (3) соответственно в критериальном пространстве; АВ — критериальное переговорное множество; С1 — компромиссная точка; С — точка согласования решений
множества ф* от уровня А^Б^ до уровня АВ). При этом процесс смещения заканчивается, если
{у,0}е Ф .
В том случае, если такого х не нашлось, исходная целевая точка корректируется: в качестве новой целевой точки принимается ближайшая (в смысле выбранной меры) точка переговорного множества ф*, которая является достижимой и наиболее полно (среди достижимых точек) соответствует интересам верхнего уровня. На рис. 1 такой новой целевой
точкой является точка Б еф , поскольку смещением
/0 0\
переговорного множества ф достичь точки (у1 , у2) не удалось.
Пусть необходимое условие выполнено и обеспечена достижимость целевой точки. Тогда требуется корректировка исходного решения нижнего уровня и смещение его к полученной достижимой целевой точке. На рис. 1 этот процесс иллюстрируется движением от точки А к точке Б (поскольку эти точки не совпадают) по критериальному переговорному множеству ф. Причем величина смещения точки А (достигнутая точка С) определяется достаточным условием.
Достаточным условием СПР является наличие эффективной системы стимулов, обеспечивающих целенаправленное смещение решений участников согласования по переговорному множеству до их совпадения (или сближения в пределах заданной точности).
Это означает, что нижний уровень получает за отклонение от прежнего решения (точки локального оптимума) некоторую компенсацию (премию), величина которой определяется, с одной стороны, размером понесенного при смещении ущерба, а с другой — заинтересованностью верхнего уровня в таком отклонении. При этом компенсация (премия) понимается в самом широком смысле и может выражаться системой налоговых льгот, субсидированием процентной ставки за кредит, применением налоговых или кредитных каникул и т.д.
Для формального описания принципа компенсации в процессе СПР вводится предположение о том, что величина народнохозяйственного эффекта Ж(у), отражающая предпочтение верхнего уровня, может быть измерена для каждой точки, лежащей в рассматриваемом пространстве критериев у,. Таким образом, устанавливается некоторое соответствие (отношение) между точками переговорного множества ф и получаемым при этом народнохозяйственным эффектом.
Естественно предположить также, что функция Щу) в общем случае не имеет монотонно возрастающего характера: продукты и услуги, выгодные с точки зрения предпочтений нижнего уровня, могут оказаться невыгодными с точки зрения достижения народнохозяйственного эффекта, и наоборот. Именно поэтому верхним уровнем должны быть использованы системы стимулов (экономических рычагов, премий и др.) для настройки решения нижнего уровня на достижение намеченного народнохозяйственного эффекта или, по крайней мере, приближением к нему.
С позиций верхнего уровня его заинтересованность в смещении решения нижнего уровня в некоторую компромиссную точку С определяется двумя факторами:
1) величиной народнохозяйственного эффекта Ж (С) - Ж (А), обеспечиваемого при смещении решения нижнего уровня к компромиссной точке
С, принадлежащей переговорному множеству
*
ф ;
2) величиной народнохозяйственного ущерба, определяемого отклонением компромиссной точки С от целевой точки Б (чем меньше такое отклонение, тем больше выплаченная нижнему уровню премия):
П Б = ф{|Ж (С) - Ж (А)|,\Ж (В) - Ж (С)}, (4)
где ф—некоторая монотонно возрастающая функция от величины изменения народнохозяйственного эффекта (ущерба).
Так как предельная величина премии П Б , которую может выплатить верхний уровень, составляет Ж (С) - Ж (А), то в простейшем случае можно считать, что
П Б = ПБ = Ж (С) - Ж (А). (5)
С позиций нижнего уровня величина смещения А/, (х) от точки А к точке С определяется также «выгодностью» для него этого действия, т.е. соотношением
X X,/А (х) П X, [/А (х) + А/ (х)] + йП Н =
i
=х п X, /С (х)+й ПН,
где й— коэффициент, выражающий значимость для нижнего уровня премии П Н. Используя принцип компенсации, можно записать следующее равенство, отражающее баланс убытков и дополнительных выгод:
I n х , f A (x)=I n x, fC (x)+d П
Отсюда величина премии, которую верхний уровень должен выплатить нижнему для заинтересованности последнего в достижении точки С, составляет
1
С
I n X, fA (x)-I n X fC (x)
Последнее соотношение означает, что размер компенсации определяется для нижнего уровня величиной ущерба, связанного с его отклонением решения от точки А (выражение в квадратных скобках); коэффициентом 1/С , отражающим фактор «инерционности» (неуступчивости) нижнего уровня: чем меньше значимость премии (коэффициент СС), тем больше нежелание нижнего уровня смещаться от точки А и тем больше должна быть величина премии П Н.
Величина народнохозяйственного эффекта от согласования решений определяется разностью между результатом и затратами по согласованию:
ЭС = Ж (С) - Ж (А) -П В > 0,
где ЩС) и Ж(А) — народнохозяйственный эффект, соответствующий точкам С и А соответственно.
Чтобы проверить достаточное условие, следует
сопоставить величину П и ПВ. Если выполняется неравенство
ПВ>ПН, (6)
то компромиссная точка С достигается, и соответствующее ей решение считается согласованным при заданной системе стимулов и предпочтений.
Если же ПВ<ПН, достаточное условие согласованности решений не удовлетворяется,
причем для П в = П в согласованное решение в имеющейся ситуации недостижимо. Поэтому целевая точка должна быть смещена к решению нижнего уровня Ср расположенному между точками А и С удовлетворяющему условию
IX , f Cl( x) = IX , fAx - d П B.
(7)
Точка С1 характеризуется следующим образом:
1) она соответствует интересам нижнего уровня и поэтому является реализуемой;
2) не полностью учитывает интересы верхнего уровня, так как выплаченная премия Ж (С) - Ж (А) больше достигаемого при этом
народнохозяйственного эффекта Ж(C1) - W(A). Однако возникающие при этом потери верхнего уровня W( C) — Ж( С х) заведомо меньше потерь Ж(В) — Ж(А), имевшихся до процесса согласования, т.е. достигнуто улучшение конфликтной ситуации.
В рассмотренном процессе СПР принципиально возможны следующие три ситуации:
• множественность согласованных решений. Так как величина премии ПH находится в интервале |0,ПB J , может существовать множество точек, удовлетворяющих условию (6). В этом случае среди них выбирается одно, которое соответствует, например, максимальному народнохозяйственному эффекту max ЭС или является ближайшим к намеченной целевой точке, и т.д.;
• единственность согласованного решения. В этом случае условие (6) выполняется лишь для одной из точек участка AB, которая и принимается за согласованное решение;
• отсутствие согласованного решения. При этом по правилу, определяемому соотношением (7), выбирается компромиссная точка Су
III. Роль эвристических методов и их корректность в процедурах СПР. Проведенный анализ процесса СПР основывается на применении некоторых формальных конструкций, предполагающих учет экономических интересов участников согласования на основе соизмерения экономического ущерба, возникающего в связи с отклонением от намеченных целей, и дополнительного эффекта (обусловленного стимулированием объекта). Эти формальные конструкции достаточно разнообразны: постановки оптимизационных задач могут быть определенным образом модифицированы как путем их упрощения, так и усложнения [10, 18, 19].
Подобные формальные конструкции представляют собой средство теоретического анализа и удобный язык описания процессов межуровневого СПР и являются концептуальной основой проведения реальных процедур согласования, которые слишком сложны для исчерпывающего описания их формальными моделями [20].
Для эффективной реализации СПР необходимы соче тание формальных, не формальных эвристических методов и участие ЛПР, использующих эвристические процедуры и
H
учитывающих внеэкономические интересы различных сторон [21].
Важным вопросом является корректность применяемых в СПР формально-эвристических методов (ФЭМ). К числу первых отечественных исследователей данной проблемы принадлежит О.И. Ларичев, который проанализировал человеко-машинные процедуры (ЧМП) как разновидность ФЭМ, осуществляемых с помощью ЭВМ [22].
В соответствии с позицией О.И. Ларичева ЧМП могут быть охарактеризованы как корректные (легко выполняемые ЛПР) и некорректные (трудно выполняемые, сопровождающиеся ошибками ЛПР).
К корректным процедурам относятся такие, для которых:
1) используется определенный класс так называемых допустимых операций (Д) в процессе принятия решения;
2) обеспечивается сходимость итераций к в-окрестности экстремального значения неявно выраженной функции полезности.
Большинство ЧМП, применяемых в многокритериальных задачах, является некорректным. Наиболее жестким является первое требование: число операций класса Д сравнительно невелико в общем перечне ЧМП.
Второе требование нарушается чаще всего не из-за структуры выбранного финального алгоритма (итеративного процесса движения к экстремальному значению), а из-за чувствительности ЧМП к возможной ошибке ЛПР в ходе этих итераций (например, если ЛПР недостаточно хорошо понимает идею алгоритма сходимости).
Таким образом, в отличие от условий, которые обычно предъявляются к формальным итеративным алгоритмам поиска приближенного решения (сходимость процесса, обеспечение удовлетворительной скорости сходимости и т.д.), здесь на первое место выдвигаются требования к поведению ЛПР.
На рис. 2 приведена схема методики исследования корректности ЧМП [22], базирующаяся на следующих гипотезах:
• строгое формальное доказательство корректности ЧМП невозможно ввиду неполной формализованности самой процедуры; необходим содержательный анализ задачи. Здесь могут быть применены метод аналогий и опыт использования подобных процедур;
• любая ЧМП представима как комбинация конечного числа элементарных операций (ЭО), которые могут быть классифицированы по уровню своей сложности и возможности успешного осуществления их с помощью ЛПР.
В соответствии с принятыми гипотезами считается, что любая ЭО по уровню своей сложности для ЛПР может быть отнесена либо к классу Д — допустимых, либо к классу С — сложных операций.
В классе Д в свою очередь выделяются операции определенно-допустимые (Д-1), относительно которых получены достоверные сведения о возможности успешной их реализации с помощью ЛПР (например, сравнение альтернатив по одному критерию, качественное сопоставление изменений значений по двум критериям), и неопределенно-допустимые (Д-2), относительно которых не проводилось специальных исследований, однако оценка их может быть проведена логическим путем по методу аналогий (например, операция по упорядочению критериев по важности).
В классе сложных операций С аналогичным образом выявляются операции определенно-сложные (С-1) и неопределенно-сложные (С-2). Так, к первым относится операция назначения весов критериев, а ко вторым — определение маргинальных (предельных) коэффициентов замещения критериев.
Приведенная классификация элементарных операций позволяет, с одной стороны, формировать корректные ЧМП, используя ОЭ из класса Д, и в особенности из подмножеств Д-1, а с другой — дает возможность комплексной оценки корректности уже имеющихся ЧМП.
ЭО интегрируются в блоки обобщенных типовых операций (ОТО), наиболее часто используемых в задачах многокритериального выбора.
Перечень ОТО включает в себя:
1) операции с критериями (ОТО-1);
2) операции с оценками альтернатив по критериям (ОТО-2);
3) операции с оценкой альтернатив в целом (ОТО-3).
При этом ОТО-1 предполагают использование ЭО типа С-1, С-2 и Д-2 и могут быть охарактеризованы в целом как сложные для ЛПР.
ОТО-2 обычно представляют собой комбинацию ЭО типа Д-1, Д-2 (в редких случаях — С-2) и могут быть рекомендованы для использования ЧМП.
Рисунок 2
Схема методики исследования корректности ЧМП
ОТО-З могут быть оценены двояко (в зависимости от конкретной задачи и компетентности ЛИР): и как сложные, и как неопределенно-допустимые.
Итак, корректные ЧМП используют главным образом операции с оценкой альтернатив по критериям (при условии их представимости в виде комбинаций ЭО типа Д-1 и Д-2), а также любые другие операции в классе Д, причем очевидно, что применение Д-1 У Д-2 (т.е. операция Д-1 предпочтительнее операции Д-2 при организации ЧМП).
IV. Формально-эвристические методы (ФЭМ) с участием ЛПР.
ФЭМ с участием одного ЛПР. К числу наиболее известных ФЭМ, использующих понятие целевой точки, относятся [9]:
а) процедура Вержбицкого. Для реализации процедуры задается целевая точка у0 (обычно недостижимая); выбирается метрика, характеризующая степень приближения решения в пространстве критериев у к идеальной точке (в задаче (I) в качестве метрики выбрана
сумма квадратов отклонений Е (у,° - у,)2 .
7=1
Произвольным образом ЛПР «возмущает» целевую точку, далее на основе формальных методов определяется область решений, соответствующая этим возмущениям; после этого ЛПР выбирает в полученной области решение, предпочтительное с его точки зрения;
б) процедура Зелени. Она отличается от предыдущей тем, что целевая точка у0 выбирается в области эффективных (Парето-оптимальных) решений; затем ищется соответствующая область компромиссных решений (как подмножество области эффективных решений), в которой с помощью ЛПР выбирается наилучшее решение. Если область компромиссных решений не содержит решения, удовлетворяющего ЛПР, целевая точка корректируется, и процесс повторяется снова;
в) процедура внешнего ветвления. В ней назначается целевая точка у0 как недостижимая и вычисляется соответствующее ей решение х0. Если х° е Ях , процедура заканчивается; если х0е Ях, то ЛПР
указывает номер , критерия у*, который следует изменить в целевой точке таким образом, чтобы она стала «более реалистичной». После этого находится новое решение, которое проверяется на допустимость, и т.д. Таким образом, в этой процедуре ЛПР приближает целевую точку к границе эффективных решений.
Недостатком описанных ФЭМ является участие лишь одного ЛПР, который обычно отражает в своих решениях интересы одного из уровней (как правило — верхнего, поскольку основные корректировки решений связаны с изменением целевой точки). Кроме того, как доказано в работе [22], данные ФЭМ, относятся к классу некорректных ЧМП, поскольку содержат операции из класса С, реализуемые ЛПР, как правило, с ошибками. В частности, ЛПР приходится делать заключение по трем критериям одновременно (целевая точка и изменения двух критериев на границе Парето).
ФЭМ с участием двух ЛПР. В связи с необходимостью построения корректных ФЭМ в предлагаемых авторами процедурах согласования экономических интересов предусматривается взаимодействие двух ЛПР, каждый из которых принимает решения на своем уровне компетенции. Излагаемые далее различные схемы согласования являются комбинацией процедур Вержбицкого, Зелени и внешнего ветвления с учетом дифференциации компетенций различных уровней управления.
При построении данного типа ФЭМ принято несколько гипотез.
1. В согласовании участвуют не менее двух экспертов, в деятельности которых неявно выражается система предпочтений соответствующего уровня управления. При этом:
• оценка варианта производится на основе как формальных критериев у так и неформальных (мягких) критериев;
• эксперты непосредственно выбирают вариант на множестве п — т.е. наиболее предпочтительной точки на уровне Парето, что соответствует назначению весовых коэффициентов "Н и "Б в задачах (2) и (3);
• формирование компромиссного решения проводится с учетом взаимодействия ЛПР обоих уровней как партнеров по согласованию.
2. Исходная целевая точка считается недостижимой, что с оо тве тс твуе т о бы чной пр актике согласования.
3. Целенаправленная деятельность экспертов проходит на основе схемы согласования, представленной на рис. 1, причем считается, что в решениях ЛПР учитываются некоторые неформальные критерии и косвенные системы стимулирования, которые определяют значение интегральной функции полезности нижнего звена.
4. При организации итеративных алгоритмов СПР используются достаточно простые математические методы и упрощенные приемы, применяемые в практике согласования. Это обусловливается участием в реальных процедурах СПР таких экспертов, как плановики, руководители, для которых используемый инструментарий должен быть понятным и хорошо интерпретируемым.
5. Для упрощения согласования производится выделение областей переговорного множества, наиболее вероятных для попадания в них согласованного решения (сужение переговорного множества путем итерации).
Так, в соответствии с рис. 1 поиск согласованного решения осуществляется внутри переговорного множества ф , причем граничные точки А и Б по условию задачи не являются согласованным решением. В ходе итеративного процесса
решение нижнего уровня (точка А) смещается по
*
критериальному переговорному множеству ф к точке Б. Таким образом, на каждой /-й итерации
оказывается необходимым просмотр лишь той части
*
переговорного множества ф , которая находится правее смещенного положения точки А, полученного /-1-й итерации.
6. Процесс согласования осуществляется в пространстве критериев {у,}. При этом предполагается, что расчет величины народнохозяйственного эффекта Щ(у) может производиться для каждой точки пространства критериев {у,}.
Далее приводятся два итеративных алгоритма СПР с участием эвристических процедур, графическая иллюстрация которых представлена на рис. 3.
Представленное на рис. 3 требует некоторых пояснений.
Алгоритм I — с использованием коэффициента, отражающего склонность к компромиссу верхнего уровня.
1. Пусть известна целевая точка у0 и определены начальные точки А и Б на границе ф (причем АфБ), что задает начальные границы переговорного множества ф . Считается, что определение начальных точек
Рисунок 3
Алгоритмы процесса СРП с участием двух экспертов верхнего и нижнего уровней ЛПРВ и ЛПРН):
а — алгоритм I; б — алгоритм II
У 2
ЛПР1
ЛПР
У1
у Ч
ЛПР1
о о
у у
ЛПР ^^ A ж
х о
переговорного множества ф осуществляется путем решения задач (2) и (3) с возможностью корректировки полученных результатов ЛПР верхнего и нижнего уровней с учетом неформальных критериев.
2. ЛПР верхнего уровня в соответствии с формулой (4) определяет величину стимулирующей премии и информирует об этом ЛПР нижнего уровня.
3. ЛПР нижнего уровня, рассмотрев предложенные верхним уровнем условия, а также учитывая собственные неформальные интересы, смещает начальную точку А в положение точки А1, поскольку его интегральная функция полезности в соответствии с формулой (5) в точке А1 больше, чем в точке А.
4. ЛПР верхнего уровня находит компромиссное решение у0 на отрезке А1у0, соединяющем новое решение нижнего уровня А1 и прежнюю целевую точку. Это эквивалентно тому, что ЛПР верхнего уровня назначает некоторый весовой коэффициент «компромисса» у, такой, что 0 < у < 1,
у0 = А + (1 - у)(у0 - А), причем у0 = у0 при у = 0 и у0 = А при у = 1.
Предполагается, что для ЛПР верхнего уровня существуют некоторые мотивы или побудительные причины, обусловливающие поиск компромиссного решения на отрезке А1у0. Например, заключение контракта возможно лишь при полном совпадении предложений сторон, причем предложения нижнего уровня формируются лишь одним участником, и у ЛПР верхнего уровня нет иного альтернативного варианта.
5. С помощью задачи (3) находится новое достижимое решение В1, которое является ближайшим к компромиссной точке у0 и принадлежит границе ф. Так как линейные размеры у области А1В1 меньше, чем у начального переговорного множества АВ, обозначенный процесс может быть продолжен с п. 2 до совпадения предложений сторон или их сближения в заданных пределах.
В ходе описанного итеративного процесса СПР верхний уровень может применять и косвенные методы стимулирования нижнего уровня в том случае, если возможности экономического стимулирования оказались исчерпанными. Например, обещать ЛПР нижнего уровня заключение будущих выгодных контрактов, обеспечивать приоритетность поставок дефицитного производственного ресурса, включение в целевые программы и т.д.
Алгоритм II—ускоренное встречное согласование с использованием коэффициентов компромисса верхнего и нижнего уровней.
В алгоритме I предполагается, что ЛПР верхнего
уровня «умеет» переводить недостижимые точки
0 ~0
у ,у ... в соответствующие им достижимые точки В1, В2..., т.е. можно решить задачу (3) для получения достижимых точек В, В1, В2...
В реальных ситуациях это предположение может оказаться слишком сильным: ЛПР верхнего уровня обычно недостаточно хорошо представляет множество достижимых значений нижнего уровня, и, как подтверждает практика планирования, определение на этом множестве точки, ближайшей к целевой, является для него затруднительным.
В реальных процессах СПР обычно отслеживаются точки А, Ар А2... и целевые точки у0,у0 без нахождения точек В, Вр В2...
С учетом этих обстоятельств схема согласования может быть еще более упрощена. Алгоритм имеет несколько этапов.
0
0
0
1. Пусть (как и в алгоритме I) известна начальная точка А и целевая точка у0. ЛПР верхнего уровня формирует два решения: 1) смещение целевой точки у0 к компромиссу у0 на отрезке Ау ; 2) стимулирующее предложение для нижнего уровня.
2. ЛПР нижнего уровня смещается в точку А1 и информирует об этом решении верхний уровень.
3. ЛПР верхнего уровня находит новую компромиссную точку у0 на отрезке А1 у0, формирует новое стимулирующее предложение для нижнего уровня, и так — до сближения предложений с заданной точностью.
В отличие от алгоритма I схема согласования алгоритма II не требует определения точек Б, Б1, Б2, а скорость сходимости СПР определяется стимулирующим эффектом (коэффициентом й для нижнего уровня) и степенью компромисса (коэффициентом у для верхнего уровня).
Отличительными особенностями представленных алгоритмов являются:
1) возможность учета неформальных аспектов в процессах принятия решения, что делает их более реалистичными;
2) обеспечение процесса СПР на паритетных началах и достижения совпадения предложений сторон на финальной стадии;
3) корректность осуществляемых эвристических процедур, поскольку на каждой из стадий данных алгоритмов ЛПР обоих уровней принимают решения либо с использованием одного критерия (ЭО е Д-1), либо с использованием двух критериев, но на предварительно построенной границе Парето, что также делает эти решения допустимо сложными (ЭО е Д-2).
Слабыми сторонами данных алгоритмов являются, во-первых, недостаточный учет обратных связей, во-вторых — отображение нижнего звена как недостаточно активного элемента. В связи с этим в данной работе предлагается модифицированный вариант ФЭМ.
Модифицированный вариант ФЭМ для двух ЛПР (с учетом эффекта положительной обратной связи). Отличие этого варианта ФЭМ с участием двух ЛПР от рассмотренных ранее состоит в учете дополнительных производственно-экономических возможностей нижнего уровня, которые появились в ходе процесса СПР как результат стимулирующего воздействия верхнего уровня.
Такой эффект может выражаться в снижении бремени по налогам, льготном кредитовании и т.д.
Рисунок 4
Схема СПР в модифицированном варианте ФЭМ
Это означает, что у нижнего звена растет потенциал развития, что позволяет сместить область его производственных возможностей и, соответственно, границу Парето ближе к целевой точке. На рис. 4 изображены две итерации процесса СПР на базе модификации алгоритма I.
Модифицированный вариант ФЭМ более полно учитывает возможности нижнего звена, рассматривая его как более активный элемент процесса СПР. Он также обеспечивает увеличение скорости сходимости по сравнению с аналогами (см. алгоритмы I, II), но требует на каждом шаге построения новой границы Парето (например, с использованием метода обобщенного множества достижимости) [1, 21].
Выводы. Рассмотренные методы могут быть рекомендованы для достаточно широкого класса задач согласования экономических интересов различных управленческих уровней.
Для более достоверного отображения всех условий, влияющих на процесс СПР, методы согласования решений целесообразно совершенствовать с учетом сочетания формальных и эвристических процедур.
Разработанные методы согласования экономических интересов с включением ЛПР различных уровней позволяют учитывать в окончательном решении не только факторы, традиционно отражаемые присутствующими в моделях формальными критериями, но и неформальные аспекты, имеющие достаточно весомую значимость в реальной практике СПР.
Предложенные авторами формально-эвристические процедуры в отличие от ранее известных обладают более высокой скоростью сходимости к согласованному решению и являются корректными (по Ларичеву).
Список литературы
1. Аганбегян А.Г., Багриновский К.А., Гранберг А.Г. Система моделей народнохозяйственного планирования. М.: Мысль, 1972. 352 с.
2. Багриновский К.А. Основы согласования плановых решений. М.: Наука, 1977. 244 с.
3. Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Сулакшин С. С. Применение вычислительных моделей в государственном управлении. М.: Научный эксперт, 2007. 296 с.
4. МесаровичМ., Мако Д., ТакахараИ. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. 344 с.
5. Титова Н.Л. Методы и способы согласования интересов. URL: http://ecsocman.hse.ru/text/19196676.
6. Хрусталев О.Е. Финансовые методы согласования экономических интересов участников инвестиционных проектов. URL: http://www.auditfin.com/fin/2011/3/2011_III_08_08.pdf.
7. МакаровЮ.Н., Хрусталев Е.Ю. Финансово-экономические механизмы согласования корпоративных интересов субъектов интегрированных структур // Экономический анализ: теория и практика. 2010. № 37. С. 15-22.
8. ГераськинМ.И. Согласование экономических интересов в корпоративных структурах. URL: http://libed. ru/knigi-nauka/728521-1-mi-geraskin-soglasovanie-ekonomicheskih-interesov-korporativnih-strukturah-russian-academy-sciences-institute.php.
9. Егорова Н.Е. Вопросы согласования плановых решений с использованием имитационных систем. М.: Наука, 1987. 142 с.
10. Salukvadze M.E. On the Existence of Solutions in Problems of Optimization under Vector-Valued Criteria // Journal of Optimization Theory and Applications. 1974. Vol. 13. Iss. 2. P. 218-255.
11. Wierzbicki A.P. A mathematical basis for satisfying decision making. Laxenburg, IIASA, 1980. URL: http:// dx.org/10.1016/0270-0255(82)90038-0.
12. Wierzbicki A.P. Methodological quide to multiobjective optimization. Laxenburg, IIASA, 1979. doi.10.1007/ BFb0036382.
13. Егорова Н.Е. Применение принципа экономической компенсации в задачах межуровневого согласования плановых решений // Проблемы компьютеризации процессов разработки эффективных плановых решений. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1989. 217 c.
14. БушенковВ.А., ЛотовА.В. Методы построения и использования обобщенных множеств достижимости. URL: http://www.mathnet.ru/links/776d381d43b2a3c4cf1650afee062119/zvmmf5152.pdf.
15. Лотов А.В. Анализ потенциальных возможностей экономических систем // Экономика и математические методы. 1981. Т. 17. Вып. 2.
16. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М.: Советское радио, 1975. 192 с.
17. Поманский Л.Б. О сходимости процессов согласования экономических интересов // Экономика и математические методы. 1983. Т. 19. Вып. 4. С. 598-607.
18. Многокритериальные задачи принятия решений. URL: http://gurov.vs58.net/lablxfxtf/tema3.doc.
19. CharnesA., Cooper W.W. Management models and the industrial applications of linear programming. 1961. New York, Wiley, 1961. Vol. 1, 2.
20. Simon H., Newell A. Heuristic problem soloing; the next advance in operation research // Operatic-research. 1988. № 1. Vol. 6. P. 1-10.
21. Емельянов С.В., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. URL: http://www. raai.org/library/books/larichev/larichev85.pdf.
22. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. М.: Наука, 1987. 143 с.
ISSN 2311-8768 (Online) ISSN 2073-4484 (Print)
Mathematical Analysis and Modeling in Economics
AN ECONOMIC AND MATHEMATICAL ANALYSIS OF ISSUES OF COORDINATING
THE ECONOMIC INTERESTS AT VARIOUS LEVELS OF HIERARCHICAL MANAGEMENT SYSTEM
Natal'ya E. EGOROVA3*, Kirill A. IVANOVb
''Central Economics and Mathematics Institute, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation nyegorova@mail.ru
bOOO ABSOLYUT-SIRIUS, Moscow, Russian Federation o.selyuchenko@mail.ru
"Corresponding author
Article history: Abstract
Received 5 March 2015 Importance The research focuses on the issues of coordinating interests at various levels of
Received in revised form the hierarchical management system. The research examines a certain type of tasks for aligning
1 June 2015 economic interests with ideal points within and out of the attainability domain.
Accepted 4 June 2015 Objectives The research pursues a comparative economic and mathematical analysis, and
identifying strengths of various algorithms for addressing the issues, including formal and heuristic procedure algorithms.
Methods The methods of the research involve the concept of a Pareto optimality that defines a coordinated decision, as well as Larichev's method for analyzing the correctness of heuristic procedures applied to multi-criteria tasks.
Results As a result of the research, we deliver modified and iterative procedures for coordinating economic interests in two-tier systems, using the correct heuristic procedures. Conclusions and Relevance We prove that the methods for coordinating economic interests, Keywords: optimal task, decision including heuristic procedures, allow to consider informal aspects, which are significant for the real maker, ideal point, Pareto set, practice of coordinating economic interests, rather than factors, which are conventionally deemed
hierarchical management level present in models with formal criteria. We develop effective formal and heuristic algorithms for
finding reasonable (in line with a Pareto optimality) economic decisions in two-tier management structures, a wide spectrum of multi-criteria optimization tasks with some social and economic criteria that are hard to formalize.
© Publishing house FINANCE and CREDIT, 2015
References
1. Aganbegyan A.G., Bagrinovskii K.A., Granberg A.G. Sistema modelei narodnokhozyaistvennogo planirovaniya [The system of economic planning models]. Moscow, Mysl' Publ., 1972, 352 p.
2. Bagrinovskii K.A. Osnovy soglasovaniya planovykh reshenii [Fundamentals of coordinating the planned decisions]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 244 p.
3. Makarov V.L., Bakhtizin A.R., Sulakshin S.S. Primenenie vychislitel'nykh modelei v gosudarstvennom upravlenii [Using computational models for purposes of public administration]. Moscow, Nauchnyi ekspert Publ., 2007, 296 p.
4. Mesarovich M., Mako D., Takakhara I. Teoriya ierarkhicheskikh mnogourovnevykh sistem [The theory of hierarchical multilevel systems]. Moscow, Mir Publ., 1973, 344 p.
5. Titova N.L. Metody i sposoby soglasovaniya interesov [Methods and ways for coordinating interests]. Available at: http://ecsocman.hse.ru/text/19196676/. (In Russ.)
6. Khrustalev O.E. Finansovye metody soglasovaniya ekonomicheskikh interesov uchastnikov investitsionnykh proektov [Financial methods for coordinating the economic interests of stakeholders of investment projects]. Available at: http://www.auditfin.com/fin/2011/3/2011_III_08_08.pdf. (In Russ.)
7. Makarov Yu.N., Khrustalev E.Yu. Finansovo-ekonomicheskie mekhanizmy soglasovaniya korporativnykh interesov sub"ektov integrirovannykh struktur [Financial and economic mechanisms for coordinating the
corporate interests of subjects of integrated structures]. Ekonomicheskii analiz: teoriya ipraktika = Economic Analysis: Theory and Practice, 2010, no. 37, pp. 15-22.
8. Geras'kin M.I. Soglasovanie ekonomicheskikh interesov v korporativnykh strukturakh [Coordinating the economic interests in corporate structures]. Available at: http://libed.ru/knigi-nauka/728521-1-mi-geraskin-soglasovanie-ekonomicheskih-interesov-korporativnih-strukturah-russian-academy-sciences-institute.php. (In Russ.)
9. Egorova N.E. Voprosy soglasovaniyaplanovykh reshenii s ispol'zovaniem imitatsionnykh system [Issues of coordinating the planned decisions through simulation systems]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 142 p.
10. Salukvadze M.E. On the Existence of Solutions in Problems of Optimization under Vector-Valued Criteria.
Journal of Optimization Theory and Applications, 1974, vol. 13, iss. 2, pp. 218-255.
11. Wierzbicki A.P. A Mathematical Basis for Satisficing Decision Making. Austria, Laxenburg, IIASA, 1980. Available at: http://dx.org/10.1016/0270-0255(82)90038-0.
12. Wierzbicki A.P. A Methodological Guide to Multiobjective Optimization. Austria, Laxenburg, IIASA, 1979. doi: 10.1007/BFb0036382
13. Egorova N.E. Primenenie printsipa ekonomicheskoi kompensatsii v zadachakh mezhurovnevogo soglasovaniya planovykh reshenii. Vkn.: Problemy komp 'yuterizatsii protsessov razrabotki effektivnykh planovykh reshenii [Applying the principle of economic compensation in solving the tasks of coordinating planned decisions at various levels. In: Issues of computerizing the processes of making effective planning decisions]. Moscow, Central Economics and Mathematics Institute of Academy of Sciences of USSR Publ., 1989, 217 p.
14. Bushenkov V.A., Lotov A.V. Metodypostroeniya i ispol'zovaniya obobshchennykh mnozhestv dostizhimosti [Methods and algorithms for analyzing linear systems, by constructing generalized sets of attainability]. Available at: http://www.mathnet.ru/links/776d381d43b2a3c4cf1650afee062119/zvmmf5152.pdf. (In Russ.)
15. Lotov A.V. Analiz potentsial'nykh vozmozhnostei ekonomicheskikh sistem [Analyzing the potential capabilities of economic systems]. Ekonomika i matematicheskie metody = Economics and Mathematical Methods, 1981, vol. 17, iss. 2.
16. Podinovskii V.V., Gavrilov V.M. Optimizatsiyapoposledovatel 'noprimenyaemym kriteriyam [Optimization by consistently applied criteria]. Moscow, Sovetskoe Radio Publ., 1975, 192 p.
17. Pomanskii L.B. O skhodimosti protsessov soglasovaniya ekonomicheskikh interesov [On convergence of economic interest coordination processes]. Ekonomika i matematicheskie metody = Economics and Mathematical Methods, 1983, vol. 19, iss. 4, pp. 598-607.
18. Mnogokriterial'nye zadachiprinyatiya reshenii [Multi-criteria problems of decision making]. Available at: http://gurov.vs58.net/lablxfxtf/tema3.doc. (In Russ.)
19. Charnes A., Cooper W.W. Management Models and the Industrial Applications of Linear Programming. New York, Wiley, 1961, vol. 1, 2.
20. Simon H., Newell A. Heuristic Problem Solving; the Next Advance in Operation Research. Operations Research, 1958, vol. 6, no. 1, pp. 1-10.
21. Emel'yanov S.V., Larichev O.I. Mnogokriterial'nye metody prinyatiya reshenii [Multi-criteria decision making methods]. Available at: http://www.raai.org/library/books/larichev/larichev85.pdf. (In Russ.)
22. Larichev O.I. Ob "ektivnye modeli i sub "ektivnye resheniya [Unbiased models and biased solutions]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 143 p.
