Экономико-математические методы оценки риска портфеля ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Экономико-математические методы оценки риска портфеля ценных бумаг

Economic and mathematical methods of securities portfolio risk estimation

УДК 336.763

Ю. В. Севрюгин

доцент Ижевского государственного

технического университета,

кандидат экономических наук

4260069, г Ижевск, ул. Студенческая, д. 42

Yu. V. Sevryugin

4260069, Izhevsk, ul. Studencheskaya, 42

В условиях нестабильности общемировой конъюнктуры и высокой волатильности финансовых рынков при оценке портфелей инвестиций ценных бумаг необходимо учитывать величину рисков. В статье приводится практическая реализация методики расчета как Бета-коэффициентов отдельных российских «голубых фишек», так и Бета-коэффициента портфеля ценных бумаг.

He conditions of global market instability and financial markets high volatility, the estimation of securities investment portfolios requires the consideration of risk rate. The article presents a practical realization of calculation methods of Beta-coefficients both for some Russian blue chips and Beta-coefficient for securities portfolio.

Ключевые слова: портфель ценных бумаг, оценка финансовых активов, доходность, риск

Keywords: securities portfolio, financial assets estimation, profitability, risk

Инвестиционный портфель — это совокупность финансовых инструментов, управляемая как единое целое. Главная цель формирования такого портфеля состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности ценных бумаг при минимально допустимом уровне риска и достигается, во-первых, за счет диверсификации портфеля, т. е. распределения средств инвестора между финансовыми инструментами, и, во-вторых, путем тщательного выбора конкретных ценных бумаг

Формируя портфель, инвестор не может точно определить будущую динамику его доходности и риска, поэтому свой выбор строит на ожидаемых значениях. Данные величины оцениваются на основе статистических отчетов за предыдущие периоды. Поскольку будущее не повторит прошлое со стопроцентной вероятностью, полученные оценки инвестор обычно корректирует согласно своим ожиданиям развития конъюнктуры финансовых рынков, опираясь при этом на основные принципы теории портфельного инвестирования Г. Марковица и У. Шарпа [1, с. 76].

Согласно разработанной указанными авторами модели оценки финансовых активов (САРМ), риск ценной бумаги может быть измерен так называемым Бета-коэффициентом, который показывает, насколько риск ценной бумаги больше или меньше риска эталонного рыночного портфеля. Ценные бумаги с Бетой больше единицы классифицируются как более рискованные, а с Бетой меньше единицы — как менее рискованные, чем рыночной портфель в целом. Если Бета-коэффи-

©

С

о

С

циент ценной бумаги равен единице или близок к этому значению, то ее риск равен риску рыночного портфеля. Бета-коэффициент портфеля ценных бумаг рассчитывается как средневзвешенная величина значений Бета-коэффициентов ценных бумаг, составляющих данный портфель.

Обычно при расчете доходности портфеля на практике вопросов не возникает, но расчет Бета-коэффициентов отдельных ценных бумаг порождает трудности из-за сложности применяемых в этой области математических алгоритмов. Для помощи в решении этой проблемы нами разработаны и представлены в данной статье рекомендации по расчету доходности и рисков инвестиционного портфеля, состоящего из акций российских эмитентов. Для придания конкретности теоретическим рассуждениям все расчеты были выполнены на примере конкретного инвестиционного портфеля.

Инвестиционный портфель был сформирован на 11 января 2009 г. на основе рекомендаций специалистов инвестиционных компаний [2]. Риск портфеля на этапе формирования мы постарались уменьшить за счет отраслевой диверсификации: возможный невысокий доход по одним ценным бумагам предполагалось компенсировать высоким доходом по другим. В табл. 1 представлена информация о структуре портфеля, курсовой стоимости бумаг на дату формирования и дату оценки портфеля (7 апреля 2009 г.). Наибольшую долю (65%) в портфеле занимают акции предприятий топливно-энергетического комплекса (ОАО «ОГК-3» — 30%, ОАО «Роснефть» — 20%, ОАО «Газпром» — 15%). Обыкновенные акции ОАО «Сбербанк» включены в портфель как высоконадежные, но низкодоходные. В качестве спекулятивных рисковых финансовых инструментов в портфель включены по 15% акций ОАО «Уралкалий» и ОАО «МТС».

Доходность по отдельным входящим в портфель бумагам за рассматриваемый период была рассчитана по известной формуле простого процента. Оценка эффективности управления портфелем ценных бумаг проводилась путем расчета общего показателя доходности с учетом весовых долей отдельных ценных бумаг. Доходность инвестиционного портфеля за период с 11 января 2009 г. по 7 апреля 2009 г. составила 247% годовых (см. табл. 1).

Сравним доходность полученного портфеля с доходностью эталонного портфеля (benchmark portfolio [3, с. 170]), характеризующего доходность рынка в целом. Поскольку невозможно сформировать портфель, в который входили бы все финансовые инструменты, в качестве него принимается какой-либо индекс с широкой базой, например индекс ММВБ. Доходность рынка, рассчитанная на основе индекса ММВБ, составила 213% (см. табл. 1), что ниже доходности нашего портфеля ценных бумаг. Таким образом, относительно доходности рынка в целом сформированный инвестиционный портфель эффективен.

Далее рассчитаем Бета-коэффициент отдельных ценных бумаг. На первом этапе рассчитаем доход-

< Таблица 1

^ Оценка доходности портфеля акций российских эмитентов в I квартале 2009 г.

Акции Удельный вес актива в портфеле, % Курс на 11 января 2009 г., руб. Курс на 7 апреля 2009 г., руб. Доходность, % годовых

Газпром 15 111,58 135,40 139

Роснефть 20 114,22 168,86 312

Сбербанк 5 22,98 23,55 16

ОГК-3 30 0,36 0,54 312

МТС 15 120,00 153,00 179

Уралкалий 15 56,63 81,14 282

Итого по портфелю 100 247

Индекс ММВБ (справочно) — 635,40 пунктов 843,34 пунктов 213

Таблица 2

Доходность акций и индекса ММВБ (на основе малых периодов расчета)

Доходность за период, % годовых

Период расчета Газпром Роснефть Сбербанк ОГК-3 МТС Уралкалий ММВБ индекс

27.03.09—04.04.09 53,0 251,0 135,0 797,0 112,0 5,0 114,0

12.03.09—27.03.09 214,0 218,0 868,0 485,0 211,0 549,0 291,0

25.02.09—12.03.09 210,0 666,0 433,0 253,0 340,0 1191,0 67,0

10.02.09—25.02.09 -285,0 -299,0 -539,0 339,0 -271,0 285,0 -318,0

26.01.09—10.02.09 356,0 320,0 155,0 -33,0 489,0 26,0 454,0

11.01.09—26.01.09 -4,0 -4,0 -623,0 -483,0 -163,0 -745,0 -84,0

ность ценных бумаг за каждые 15 дней в течение всего рассмотренного периода времени и заполним табл. 2. Источником информации послужила база информационного агентства «Финмаркет» [4].

На втором этапе последовательно определяем среднеарифметическую доходность активов за 55 дней (с 11 января 2009 г по 4 апреля 2009 г).

На третьем этапе определяем дисперсию доходности каждой ценной бумаги:

- га )2

1=1_

п -1

(1)

где ст2а — дисперсия доходности актива а; п — число малых периодов расчета.

Использование дисперсии как меры риска не всегда удобно, поскольку размерность ее равна квадрату единицы измерения случайной величины. На практике результаты анализа более наглядны, если показатель разброса случайной величины выражен в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина. Поэтому на четвертом этапе оцениваем стандартное отклонение доходности, которое определяется как квадратный корень из дисперсии.

На пятом этапе рассчитываем показатель ковари-ации доходности для определения степени взаимосвязи и направления изменения доходностей актива а и рынка в целом:

Соь„

У (г . - г )(г - г )

/ * У аг а;\ тг т /

п-1

(2)

где Соьа т — ковариация доходностей актива А и рынка; ГШ, гт — среднеарифметическая доходность актива а и рынка за п периодов; та1, гт — доходность актива а и доходность рынка в ¿-м периоде.

На основе ковариации может быть рассчитан основной показатель степени взаимосвязи изменения до-ходностей двух активов — коэффициент корреляции. Это шестой этап расчетов, который проводится по формуле:

Согг

Соиа

(3)

где Сотта т — коэффициент корреляции доходностей актива а и рынка; ста, ат — стандартное отклонение доходностей актива а и рынка.

Положительное значение коэффициента говорит о том, что доходность актива изменяется в одном направлении при изменении конъюнктуры рынка, отрицательное значение — в противоположном направлении. При нулевом значении коэффициента корреляции между доходностью актива и доходностью рынка связь отсутствует.

И наконец, на седьмом этапе рассчитываем искомый Бета-коэффициент, который характеризует рыночный риск ценной бумаги:

р. = —ШСогг 1 ст ш

(4)

В результате проведения последовательности расчетов нами была заполнена табл. 3.

Как уже говорилось, Бета-коэффициент портфеля ценных бумаг рассчитывается как средневзвешенная величина значений Бета-коэффициентов составляющих его ценных бумаг (табл. 4). Следует учитывать изменение доли акций в портфеле на 7 апреля 2009 г. из-за изменения их рыночной стоимости.

Расчетный риск сформированного портфеля ценных бумаг равен 0,54, что меньше риска рыночного портфеля. На росте рынка портфель будет отставать от него, но на падении упадет не так сильно: при сни-

Таблица 3 <

Основные показатели доходности и риска акций в I квартале 2009 г.

Акции Среднеарифметическая доходность, % годовых Дисперсия доходности Стандартное отклонение доходности Ковариация доходности Коэффициент корреляции Бета-коэффициент

Газпром 90,7 41 893,2 204,7 47 911 0,94 0,78

Роснефть 192,0 87 452,3 295,7 46 127 0,63 0,75

Сбербанк 71,5 271856,6 512,4 92 271 0,71 1,49

ОГК-3 226,3 162 730,2 403,4 8022 0,08 0,13

МТС 119,7 70 979,2 266,4 59 353 0,90 0,96

Уралкалий 218,5 345 063,3 587,4 18 231 0,12 0,30

Индекс ММВБ 87,3 61 783,2 248,6 61 783 1,00 —

Таблица 4

Оценка риска портфеля из акций крупнейших российских эмитентов на 7 апреля 2009 г.

Акции Доля акций в портфеле на 7 апреля 2009 г., % Бета-коэффициент

Газпром 13 0,78

Роснефть 21 0,75

Сбербанк-АО 4 1,49

ОГК-3 32 0,13

МТС 14 0,96

Уралкалий 16 0,30

Итого по портфелю 100 0,54

жении доходности рынка на 1% доходность портфеля уменьшится только на 0,54%.

Таким образом, опираясь на основные принципы портфельного инвестирования и теории статистики, удалось сформировать ликвидный диверсифицированный высокодоходный инвестиционный портфель, который по доходности оказался эффективнее, чем рынок акций, и риск которого при этом почти в 2 раза ниже среднерыночного.

Показатели доходности и риска представляют собой результаты деятельности менеджера по управлению портфелем. Если сравнивать портфели только на основе их абсолютных значений, то, как правило, сложно получить какую-либо значимую оценку. Например, доходность одного портфеля составила 50% годовых, а второго — 70%. Результаты управления вторым портфелем кажутся более предпочтительными. Однако если его риск был в 2 раза больше риска первого портфеля, то более успешным следует считать первого менеджера. Поэтому для оценки эффективности управления портфелем используются относительные показатели, учитывающие как доходность, так и риск портфеля.

В формуле показателя эффективности управления портфелем (коэффициент Трейнора) в числителе стоит превышение доходности портфеля над ставкой без риска (гр - г,), поскольку именно данная величина должна выступить в качестве премии за риск портфеля, а в знаменателе — показатель риска портфеля, измеряемый величиной Бета-коэффициента:

Кт =

гр - Г

в р

(5)

Определяя эффективность управления портфелем, инвестор, как правило, должен провести два сравнения. Цель первого состоит в определении наилучшего среди нескольких сформированных портфелей. Второе — это сравнение активно управляемого портфеля с результатами рынка, т. е. с аналогичным по степени риска пассивным портфелем. Чем выше его значе-

ние, тем лучше результаты управления. В качестве безрисковой можно взять ставку по трехмесячным депозитам Сбербанка на 11 января 2009 г., равную 10%. Доходность нашего инвестиционного портфеля за рассматриваемый период составила 247%, а доходность рыночного портфеля — 213% годовых. Бета-коэффициент первого портфеля равен 0,54, второго — 1. Тогда коэффициент Трейнора инвестиционного портфеля (Кти) равен 439, а рыночного — 203.

Таким образом, с точки зрения эффективности управления инвестиционный портфель получился в 2,2 раза эффективнее рыночного. На единицу риска инвестиционного портфеля приходится 439 единиц доходности, а на единицу риска рыночного портфеля — 203 единицы.

Согласно модели оценки стоимости активов (САРМ) У. Шарпа, неэффективные портфели или отдельные активы можно оценить с помощью линии рынка актива (БМЬ). Она говорит о том, что в состоянии равновесия доходность актива равна ставке без риска плюс вознаграждение за рыночный риск, который измеряется величиной Бета [5, с. 116]. Таким образом, зная ставку без риска и доходность рыночного портфеля, можно построить линию БМЬ:

гр = г, + р • [гт - ,

(6)

где гр — доходность портфеля, г, — безрисковая ставка, р — Бета-коэффициент портфеля, гт — доходность рыночного портфеля.

Наклон БМЬ определяется отношением инвесторов к риску в различных условиях рыночной конъюнктуры. Для нашего случая фактическая БМЬ имеет следующее уравнение: гр = 10 + 203 р.

Тогда доходность рынка для риска, соответствующего величине Бета, равной 0,54, т. е. доходность портфеля, расположенного на БМЬ, составила:

г; = 10 + 203 • 0,54 = 120%, а коэффициент Трейнора:

Ктр = (120 - 10)/0,54 = 203.

< Таким образом, в рассмотренном случае диверси-^ фикация активов инвестиционного портфеля позволи-о ла получить более высокую доходность по сравнению 5 с доходностью рынка.

н В заключение следует отметить, что длительный за-Е^ падный опыт использования Бета-коэффициентов для £ оценки риска и прогнозирования доходности рисковых ^ активов показал, что фактически складывающиеся на т рынке Бета-коэффициенты отличаются от расчетных, о полученных на основе параметров уравнений регрес-

< сий. Поэтому Бета-коэффициенты, значения которых х отражают прошлые фактические значения доходности е активов и фондового рынка в целом, получили название исторических.

При обосновании будущей доходности рисковых активов стали использовать скорректированные значения Бета-коэффициента. В основе корректировки лежит предположение, что если данная акция достаточно долго котируется на рынке, то ее параметры (ожидаемая доходность и риск) приближаются к параметрам рыночного портфеля. Если акция имеет более высокую доходность, чем в среднем по рынку, то на нее будет повышенный спрос и ее быстро раскупят инвесторы, а если более низкую, то спрос на нее упадет и она уйдет с рынка. Это означает, что чем дольше акция данного вида обращается на фондовом рынке, тем ее Бета-коэффициент будет ближе к единице.

Так, например, У. Шарп предлагает определять скорректированные Бета путем линейной комбинации среднерыночного Бета (равного 1) с коэффициентом

0.34.и расчетного (исторического) Бета с коэффициентом 0,66. Для акций, например, ОАО «Газпром» скорректированное значение Бета составляет 0,85, что больше его исторического значения. Таким образом, для исторических Бета меньше единицы скорректированный Бета приближается к единице снизу. Если исторический Бета больше единицы, то указанная корректировка приближает к ней Бета сверху. Можно предположить, что в целом скорректированные Бета лучше соответствуют будущим фактическим значениям. Хотя, возможно, существуют и другие подходы к корректировке исторических Бета, например с учетом отраслевой принадлежности предприятия и других факторов.

Литература

1. Евсеенко О. С. Инвестиции в вопросах и ответах. М.: ТК «Велби»; Проспект, 2004.

2. Информационное агентство «РосБизнесКонсалтинг» // http://consensus.rbc.ru/shares.

3. Инвестиции / Под ред. Г. П. Подшиваленко. М.: КНОРУС, 2008.

4. Информационное агентство «Финмаркет» // http://www. finmarket.ru.

5. Шапкин А. С., Шапкин В. А. Управление портфелем инвестиций ценных бумаг. М.: Дашков и Ко, 2007.

Издательство Санкт-Петербургской академии управления и экономики

Издательство Санкт-Петербургской академии управления и экономики выпускает книги отечественных и зарубежных авторов по актуальным вопросам экономики как для специалистов в области финансово-кредитных отношений, туризма, бухгалтерского учета и аудита, статистики, информационных технологий, так и для преподавателей и студентов высших учебных заведений, колледжей и лицеев.

Издательство оказывает квалифицированные редакционно-издательские услуги:

• Редактирование

• Корректура

• Верстка

• Подготовка оригинал-макета

• Полиграфические работы

• Художественное и графическое оформление

Редакция предлагает авторам публиковать свои статьи в Российском научном журнале «Экономика и управление» и журнале «Ученые записки», которые выпускаются издательством СПбАУЭ.

Для получения полной информации просьба обращаться в издательство по адресу: 190103, Санк-Петербург, Лермонтовский пр., д. 44, лит. А. Тел.: (812) 313-39-49 и (812) 448-82-50, e-mail: izdat-ime@yandex.ru; izdat@spbame.ru

ЭКОНОГ ЭКОНОГ ЭКОНО 3K0H0N ЭКОНОМГ f®T

иупра иупра и упрг иупра! и управ MVn -

ЭКОНОМГ ЖоипНО! экономика 1, и управ Mvn 3K0Hg иуправление