CC BY
278No2(10) 2008
Деан Фантаццини
Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском
«Финансовая эконометрика» — новый и крайне актуальный в прикладном плане раздел эконометрической науки, практически не представленный еще в русскоязычной специальной литературе. Поэтому мы рады представить в нашем журнале эту статью-консультацию, подготовленную известным в данной области исследований специалистом Деаном Фантаццини1. Предлагаемый материал послужит основой соответствующей главы учебника «Методы эконометрики», готовящегося к изданию в 2009 году авторами С. А. Айвазяном и Д. Фантаццини. В статье рассматриваются вопросы прикладного эконометрического анализа, связанного с задачами управления рисками, их видами, способами измерения; вводится ряд новых для русскоязычного читателя понятий и моделей.
Перевод с английского осуществлен под научной редакцией С. А. Айвазяна А. В. Куд-ровым.
За последние десятилетия объемы торговли на мировых финансовых рынках значительно выросли. В 1970 средний ежедневный объем торговли на Нью-йоркской фондовой бирже составлял 3,5 млн акций. В 2002 он уже составил 1,4 млрд акций. В последние годы мы наблюдаем существенное увеличение объемов торгов и на рынках производных ценных бумаг.
На финансовых рынках имеется огромное число игроков, которые занимают рискованные позиции, и для должной оценки своих позиций им необходимы количественные инструменты.
Джерри Корриган, бывший президент Федерального резервного банка Нью-Йорка, в ходе ежегодной встречи Ассоциации банкиров штата Нью-Йорк, имевшей место в январе 1992 года, сказал: «Вы все можете побиться об заклад, что нужно обратить очень серьезное внимание на забалансовую деятельность. Рост объемов и сложность [этой] деятельности и характер расчетного риска непогашения кредита, который они влекут за собой, должны стать для всех нас поводом для беспокойства.»... «Я надеюсь, чтоэтозвучит как предупреждение, потому что так оно и есть. Забалансовая деятельность очень нужна, но она должна тщательно управляться и контролироваться, и она должна быть понятна как высшему исполнительному руководству, так и трейдерам, и аналитикам»». К сожалению, Джерри Корриган стал настоящей современной «Кассандрой».
1 В настоящее время Д. Фантаццини (Dean Fantazzini, Ph.D., Италия) преподает эконометрику в Московской школе экономики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
1. Что такое управление рисками? Исторический обзор
91
№2(10) 2008 '
Недавняя история демонстрирует ряд примеров, когда большие потери на финансовом рынке происходят, главным образом, из-за отсутствия надлежащего управления рисками:
• Округ Ориндж (1994). 6 декабря 1994 года Округ Ориндж, преуспевающий район в Калифорнии, объявил о банкротстве после того, как понес потери приблизительно в 1,6 млрд долларов из-за ошибочной сделки с процентными ставками, совершенной одним из крупнейших инвестиционных фондов этого округа. Роберт Сайтрон, казначей округа Ориндж и управляющий фондом, размер которого составлял 7,5 млрд долларов, инвестировал средства в портфель (это были, в основном, процентные ценные бумаги), включавший в себя рискованные активы, приобретенные за счетзаемных средств. Его стратегия зависела от краткосрочных процентных ставок, остававшихся на относительно низком уровне по сравнению со среднесрочными процентными ставками. Но с февраля 1994 года Федеральный резервный банк США начал повышать процентные ставки, что вызвало падение цен многих активов в инвестиционном пуле фонда округа Ориндж. В течение почти всего 1994 года Сайтрон игнорировал изменение процентных ставок и увеличивающиеся номинальные убытки в своем портфеле. Однако к концу 1994 года требования на миллиарды долларов по поручительствам от контрагентов Сайтрона сУолл Стрит, а также угроза массового снятия денег с депозитов напуганными инвесторами местного правительства создали ло-s вушку ликвидности, которую он не смог преодолеть.
§ • Банк Barings (1995). Банк Barings имел долгую историю успешной работы и был весьма
Ü уважаемым коммерческим банком, уже длительное время проработавшим в Великобрита-
| нии. Но в феврале 1995 года этот высоконадежный банк с капиталом в 900 млн долларов по-ï
ч терпел банкротство из-за 1 млрд долларов торговых убытков по несанкционированным опе-
Щ
Л. рациям. Как же такое могло произойти? Трейдер Ник Лисон должен был использовать воз-£ можности низко-рисковых арбитражных операций, которые усилили бы различия в ценах ■г сходных производных ценных бумаг на Сингапурской валютной бирже (Simex) и бирже SI в Осаке. Фактически же он занимал намного более рискованные позиции, покупая и продана вая контракты разного типа на различные суммы на двух этих биржах. Из-за халатности со
з стороны высшего руководства, Лисон получил контроль над функциями как торгового под-ï
£ разделения, так и бэк-офиса. Когда потери Лисона увеличивались, он повышал ставки. Одна-
й ко, после того, как произошло землетрясение в Японии и индекс Nikkei резко снизился, его
§ потери быстро выросли и составили более 1 млрд долларов. Это были слишком большие
| убытки для банка, с которыми он не сумел справиться;в марте 1995 года банк Barings был куплен голландским банком ING всего за один английский фунт стерлингов.
g • Банк Daiwa (1995).Трейдер Тосихиде Игучи из банка Daiwa в Нью-Йорке подделывал
§ подтверждения на продажу ценных бумаг, принадлежавших его клиентам. Сокрытие инфор-
« мации этим недобросовестным трейдером о потерях за более чем 11 лет послужило причи-
§ ной убытков в 1,1 млрд долларов, что привело к банкротству банка в 1995 году.
^ • ÁaHKSumimoto (1996). Неучтенные убытки за 3 года, допущенные трейдером ЯсуоХа-
Ц манакой, занимавшимсяторговлей медью, привели кубыткам величиной более чем2,6млрд
I долларов к концу июня 1996 года.
§ • LTCM (1998). В 1994 году был основан хедж-фонд под названием Long-Term Capital
w Management, в нем собралась команда успешных трейдеров и ученых. Инвесторы и инвестиционные банки вложили около 1,3 млрд долларов в этот фонд, и спустя два года ежегод-
92
No2(10) 2008
ная доходность на капитал составила почти 40%. В начале 1998 года номинальная стоимость |
активов достигла 4 млрд долларов, но в конце года фонд потерял существенную долю акцио- |
нерного капитала и находился на грани дефолта. Федеральная Резервная Система США су- S
ï
мела предпринять пакет спасательных мер, расходовав 3,5 млрд долларов, чтобы избежать § угрозы системного кризиса в мировой финансовой системе. ig
• Allied Irish Bank («Элайд Айриш Бэнк», «Объединенный Банк Ирландии») (2002). Ч
Трейдер Джон Раснак накопил убытки на спотовом и форвардном $/Yen рынках, скрывая их путем регистрации поддельных опционов, возмещающих сумму его обязательств (он выписывал опционы, которые «глубоко в деньгах», не регистрируя их). К февралю 2002 потери составили более чем 750 млн долларов.
• Национальный Банк Австралии (2004). Четыре трейдера маскировали свои убытки с октября 2003 на позициях по австралийскому доллару на рынке Forex с помощью фиктивных сделок. Конечные убытки составили более чем 277 млн долларов.
• Société Generale (банк «Сосьете Женераль») (2008). 24 января 2008 года банк объявил, что один трейдер (Jerome Kerviel, Жером Кервель), торговавший фьючерсами, мошенническим путем нанес банку ущерб в размере 4,9 млрд евро (это эквивалентно 7,2 млрд долларов), что стало наибольшим убытком в истории жульничеств подобного типа. Руководители банка сообщали, что трейдер действовал в одиночку, и что он, возможно, не извлек прямую выгоду из своих мошеннических сделок. Помощник президента Франции Раймон Суби (Raymond Soubie) заявил, что Кервель имел отношение ксделкам по фьючерсам общей стоимостью 73,3 млрд долларов (что больше, чем рыночная капитализация банка, составлявшая 52,6 млрд долларов). Расследование, проводимое органами правопорядка, все еще продолжается, и детали пока неизвестны, но предполагаемые масштабы мошенничества намного больше, чем сделки Ника Лисона, который разорил Банк Barings.
Чтобы быть в состоянии покрыть большую часть финансовыхубытков, многие банки и финансовые учреждения откладывают резервный капитал, также называемый регулирующим капиталом. Величина необходимого резервного капитала, конечно, связана с величиной риска, взятой на себя банком или финансовым учреждением, т.е. с распределением доходов и убытков. Эта величина регламентируется законом, а национальные надзорные органы следят за тем, чтобы банки и финансовые учреждения следовали этим правилам. Одновременно с этим прилагаются усилия по разработке международных стандартов и методик для расчета регулирующего капитала. Это основная задача так называемого Базельского Комитета по Банковскому надзору (Basel Committee on Banking Supervision (BCBS)). Базельский Комитет, основанный в 1974 году, не обладает формальными наднациональными надзорными полномочиям, и его заключения не имеет юридической силы.
BCBS состоит из председателей национальных банков стран G-10 плюс Люксембург, Швейцария и является подкомитетом содействия при Банке международных расчетов (Bank for International Settlements (BIS)). Он формулирует (юридически ни к чему не обязывающие) стандарты банковского надзора для:
• содействия безопасности и прочности глобальной финансовой системы;
• создания равных условий для всех международных финансовых организаций;
1.1. Регулирующий капитал
93
§
£
Ия2(10) 2008
• установки минимальных резервов для основных финансовых институтов;
• расчета минимального достаточного капитала для банков, действующих на международном уровне.
ВСВБ формулирует стандарты, основополагающие принципы надзора и дает рекомендации, основанные на передовом опыте, по осуществлению деятельности в банках и других финансовых организациях. Таким образом, Базельский Комитет имеет сильное влияние на национальные надзорные органы. Кратко об истории Базельских соглашений.
• Базель I (1988). Первое Базельское соглашение по банковскому надзору стало важным шагом к созданию международных стандартов по расчету достаточности капитала. Основное внимание в соглашении сосредоточено на определении структуры капитальной базы на основе уровня риска для активов с кредитным риском.
• Поправка к 1-му Базельскому соглашению (1996) предписывает так называемую стандартизированную модель для рыночного риска с возможностью выбора для больших банков использовать внутренние модели, так называемых, «границ потерь уровня а»2. Кроме того, предписываемая модель учитывала риски по Рогех и риски торговых портфелей.
• Базель II (2001 и после). В 2001 году были начаты консультации по новому Базельскому соглашению, основными темами которых было обсуждение передового опыта описания
§ кредитного риска, а также обсуждение подходов расчета достаточности капитала для опе-Ц рационного риска. Последние изменения в документации были сделаны в ноябре 2007 года. § Регуляторы большинства юрисдикций мира планируют разработать и внедрить новое соглашение, где будет учтена разница в часовых поясах, и которое составят более формальные методологии. Европейский Союз уже внедрил подобное соглашение, оно называется Директивой ЕС достаточности капитала. Многие европейские банки сообщают о своих коэффициентах достаточности капитала согласно новой директиве. Планируется, что к 2008 году все кредитные учреждения будут работать в соответствии с вышеупомянутой дина рективой.
| 1.2. Типы рисков
й Рискдля организации, в общих словах, можно определить как любое событие или дейст-
§ вие, которое может неблагоприятно повлиять на эту организацию в достижении обяза-| тельств и следовании ее стратегии. В финансовом риск-менеджменте мы можем разделить большинство рисков на пять категорий.
§ I
<в
>5 £
и <ъ
отслеживания ошибки». I • Кредитный риск. Кредитный риск — это риск того, что надежность контрагента отра-
I
I
• Рыночный риск. Рыночный риск — это риск того, что изменения цен и ставок (курсы акций, обменные курсы, процентные ставки, цены на сырьевыетовары) на финансовом рынке ослабят позиции банка. Рыночный риск капитала часто измеряется относительно эталонного индекса или портфеля ценных бумаг. В этом случае его называют «риском относительно
зится на положении банка (кредитный риск контрагента). Способность контрагента отвечать
В англоязычной версии этот показатель называется «Value at Risk» (VaR).
94
№2(10) 2008
-V
Консультации
! 5.
свои обязательства по контракту. Это экстремальная ситуация.
Кредитный риск возникаеттолькотогда, когда обязательства контрагента являются акти-
по долговым обязательствам определяет надежность контрагента, которая описывается вероятностью невыполнения обязательств и ожидаемой нормой восстановления. Невыполне- Ц ние обязательств происходит тогда, когда контрагент не желает или неспособен выполнить Е
<в в
I
$
I- щ
вом, т. е. они имеют положительную восстановительную стоимость. Если контрагент отказы- Ч вается выполнять обязательства, убыток может составить общую рыночную стоимость этих обязательств или некоторый процент от этой величины (называемый убытком из-за невыполнения обязательств). Процент от общей рыночной стоимости, который должен быть возмещен, называется нормой восстановления.
• Риск потери ликвидности. Мы различаем два связанных друг с другом типа риска потери ликвидности: риск финансовой ликвидности и риск торговой ликвидности. Риск финансовой ликвидности связан со способностью финансовых организаций находить необходимые средства в достаточном объеме для рефинансирования долгов, удовлетворения потребности в наличных средствах, вмарже, дополнительных требований контрагентов, атак-же для осуществления выплаты при изъятии капитала. Другими словами, риск потери ликвидности — это риск недостаточности наличных средств для поддержания нормальной хозяйственной деятельности.
Риск торговой ликвидности — риск того, что организация не сможет осуществлять торговые операции на рынке с преобладающей рыночной ценой, поскольку отсутствует интерес к заключению сделок с этой организацией со стороны участников рынка (неликвидный рынок).
• Операционный риск — риск потерь в результате неадекватной работы, ошибочных внутренних процессов, действий персонала и систем, или внешнего воздействия. В него входят человеческие риски такие, как: некомпетентность и мошенничество;процессные риски, в том числе: риск контроля сделок и риск операционного контроля;а также технологический риск сбоя систем, ошибок программирования и т.д. Операционный риск может повлечь за собой рыночный и кредитный риски.
• Юридический риск. Юридический риск — это риск, являющийся результатом неопределенности из-за судебных исков или неопределенности, связанной с применимостью или трактовкой контрактов, законов и инструкций. Источники юридического риска включают в себя: проблемы кредитоспособности и обеспечения исполнения, также как проблемы законности финансовых инструментов и их подверженность непредвиденным изменениям законов и инструкций. Юридический риск связан с кредитным риском, поскольку контрагенты могут найти юридические основания для того, чтобы лишить сделку законной силы.
Как видно из приведенных определений, описанные категории риска не вписываются в четкие, отделенные друг от друга классы. Операционный риск может создать рыночный и кредитный риск, и наоборот. Вот почему важно рассматривать финансовые риски сточки зрения компании в целом. Управление совокупным риском обеспечивает общую и последовательную картину риска в деятельности компании. Для этого требуется измерять риск во всех подразделениях компании и по всем факторам риска, с использованием согласованных методик, систем и данных. Учитывая значимость всего этого для финансовых учреждений, сосредоточим внимание на управлении рыночным, кредитным и операционным рисками. Для
95
No2(10) 2008
получения более подробной информации о рисках ликвидности, юридических рисках, а также управлении совокупным риском, можно обратиться к работе [Jorion (2007)].
2. Управление рыночным риском
2.1. Меры риска: определения и свойства
Мера риска необходима:
• для определения рискового капитала, т.е. определения капитала, необходимого финансовому учреждению для покрытия неожиданных убытков.
• какинструментуправления — это означает, что мера риска используется менеджментом для того, чтобы оценивать и контролировать уровень риска, взятый тем или иным подразделением компании.
Задача определения подходящей меры риска ¥ всегда была особенно важной как с теоретической точки зрения, так и с практической. Существуют подходы к ее определению, предложенные в статье [Artzner, Delbaen, Eber и Heath (1999)] (далее мы будем ссылаться на эту работу, используя сокращение [ADEH(1999)]), которые в настоящее время приняты ученым сообществом, но еще не всеми специалистами в области финансов. s Для простоты и финансовой целесообразности, будем иметь дело с изменением цены не-§ которого финансового актива за один шаг APt = Pt - Pt_1 (мы предпочитаем использовать APt, Ц а не Pt, поскольку понятие риска ¥ интуитивно ассоциируется с доходами и убытками). Мы § могли бы использовать нетто-доходности (определяемые как APt/Pt-1), но обычно удобнее
•С
ч использовать меру риска, которая измеряет убытки в денежных единицах. Впрочем, также
СО
рассмотрим примеры с использованием нетто-доходностей и лог-доходностей. £ Сформулируем и обсудим свойства, которыми должны обладать меры риска ¥ как функ-■т ции от APt.
Определим ¥(АР,) как меру риска АР,. В статье АЭЕН утверждается, что величина ¥(АР,] должна обладать следующими свойствами:
¥( APf +9 rr) = ¥( APf) -9 r. (1)
I
те
м
03 ¡8
I • Трансляционная инвариантность. Пусть даны случайная величина АР,, безрисковая ¡5 процентная ставка г и некоторая константа 9г е Я, тогда
■а
8 и I
5
• Субаддитивность. Пусть даны изменения цен (или доходностей) двух финансовых ак-« тивов АРГ1, АР,,2, тогда имеет место неравенство
Ц ¥(АР 1 + АРи) <¥(АРг1) +¥(АРи). (2)
те >5
§ • Положительная однородность. Пусть дана случайная величина АР, и неотрицатель-
<ь
| ¥( ХАР<) = А,¥( АР,). (3) щ
¡5 • Монотонность. Пусть даны изменения цен (или доходностей) двух финансовых активе вов АР,,, АР,2 такие, что АР,, < АР,2, тогда о
¥(АРи) <¥(АР,,). (4)
ная константа тогда
96
'— №2(10) 2008
Первое свойство говорит о том, что если мы прибавим детерминированную компоненту | (безрисковый актив) к случайной величине, то мера риска уменьшится на величину, инве- | стируемую в безрисковый актив. S
Второе свойство требует, чтобы мера риска портфеля, состоящего из двух активов, § ¥(ÁPtл + ÁPt,2) была не больше, чем сумма мер риска каждого из составляющих портфель активов. Субаддитивность гарантирует, что объединение позиций уменьшит общий риск. Ч
Третье свойство говорит о том, что если увеличивается сумма, инвестированная в актив Pt, то мера риска также должна увеличиться. В особенности, эта гипотеза требует, чтобы риск увеличивался пропорционально увеличению инвестируемой суммы.
Отметим, что, если выполнены свойства трансляционной инвариантности и положительной однородности, то для любого действительного 9r имеем:
¥( -9 rr) =9 r.
Кроме того, если воспользоваться свойством положительной однородности, взяв X = 2, то получим следующее равенство:
¥( ÁPt +ÁPt) = ¥( ÁPt) + ¥( ÁPt),
которое показывает, что инвестирование равной суммы в другой актив, полностью коррелированный с первым, он удваивает риск портфеля. Из последнего равенства следует, что в данном случае свойство субаддитивности выполнено со знаком равенства.
Наконец, последнее свойство выражается в том, что если актив Л дает всегда более высокий доход, чем актив B, то мера риска должна показать нам, что инвестирование средств в актив Л выгоднее, чем в B. Другими словами, убытки, которым мы можем подвергнуться, инвестируя средства в актив Л, должны быть меньше, чем убытки, которым мы можем подвергнуться, инвестируя средства в B. Конечно, если Л всегда выгоднее, чем B, то мы имеем арбитраж, и хорошая мера риска должна указать на это.
Мера, которая удовлетворяет всем четырем свойствам, перечисленным выше, называется согласованной мерой риска (a coherent risk measure). Любую меру, для которой не выполняется хотя бы одно из этих свойств, нельзя рассматривать как согласованную меру риска.
2.1.1. Ни дисперсия, ни стандартное отклонение не являются согласованными мерами риска
Теперь мы хотим выяснить, является ли дисперсия ¥(ÁPt) = Var(ÁPt), а также стандартное отклонение¥(ÁPt) = д/Var(ÁPt), согласованными мерами риска. Для этого мы должны проверить, удовлетворяют ли эти функции свойствам (1)-(4).
• Трансляционная инвариантность. Следует вычислить
Var( ÁPt +9 r r) и jVar( ÁPt +9 rr).
Поскольку величина 9rr детерминированна, немедленно получаем, что справедливы равенства:
Var(ÁPt +9 r r) = Var(ÁPt) и jVar{ÁPt +9 rr) Var( ÁPt),
97
No2(10) 2008
из которых следует, что свойство трансляционной инвариантности (1) для дисперсии и стандартного отклонения не выполняется. Хотя на этом мы могли бы завершить наш анализ, но, ради интереса, мы проверим оставшиеся три свойства.
• Субаддитивность. Дисперсия суммы изменений цен (или доходностей) двух активов может быть представлена как
Var( APt ,, + APt,2) = Var( APtJ) + Var( APt,2) + 2Cov( APt ,b APt,2),
а ковариация равна
Cov(APt,1,APt,2) =VVar(APt,1) ^Var(APt,2) -p,
где p — коэффициент корреляции.Так как коэффициент корреляции по модулю меньше или равен единице, то верно неравенство
Cov(APt,ьAPt,2) ^Var(APt,0 ^Var(APt,2), воспользовавшись которым, получаем
Var(APt,, + APt,2) < Var(APt,0 + Var(APt,2) + 2^JVar(APt,0 ^Var(APt,2) ^ ^ Var(APt,1 + APt,2) < ^Var(APt,1) + Var(APt,
Pt ,2)) .
§
<5 Последнее неравенство эквивалентно неравенству
* ^jVar(APt,1 +APt,2) Var(APt,1) + VVar(APt,2).
Ü
^ Таким образом, стандартное отклонение — это субаддитивная функция. ^ Дисперсия, тем не менее, не является субаддитивной функцией, так как для нее свойство суббаддитивности выполняется тогда и только тогда, когда p< 0, что неверно в общем слу-? чае.
Л • Положительная однородность. Доказательство того, что стандартное отклонение в удовлетворяет этому свойству, тривиально: й Í ¡S
ч
^ Следовательно, стандартное отклонение обладает свойством положительной однороден ности.
| Однако для дисперсии это свойство не выполняется. Докажем это, предположив противное: пусть даны APt и неотрицательная константа X, тогда в соответствии со свойством (3)
¡ Var(XAPt) = XVar(APt).
s
-jVar(XAPt) =y/X2Var( APt) = X^Var( APt
>s В силу свойств дисперсии,
g
u Var( XAPt) = X2Var( APt),
s поэтому
(b Var( XAPt) = XVar( APt) = X2Var( APt).
Ü
§ Откуда следует, что, с учетом Var(APt) >0, величина X должна удовлетворять квадратному уравнению
X = X2,
98
№2(10) 2008
решениями которого являются X= 0, X2 = 1. Но это противоречит предположению о том, |
что X может быть любым неотрицательным числом. Таким образом, видно, что дисперсия не |
обладает свойством положительной однородности. S
• Монотонность. Рассмотрим случайный доход APt и строго положительную константу §
s. Определим случайную величину AP¡ следующим образом: jg
AP¡ =APt +s.
Заметим, что всегда AP¡ > APt. Если дисперсия удовлетворяет свойству монотонности, то дисперсия случайной величины AP¡ должна быть больше, чем дисперсия случайной величины APt. Вместо этого имеем:
Var( AP¡) = Var{ APt +s) = Var( APt),
а значит свойство монотонности в этом случае не выполняется.
Можно рассмотреть более общий случай, когда sявляется случайной величиной, принимающей только положительные значения. В этом случае, поскольку справедливо следующее равенство:
Var(AP¡) = Var(APt + s) = Var(APt) + Var(s) + 2Co^(APt,s), величина Var(AP¡) меньше, чем Var(AP¡), тогда и только тогда, когда
Var(s) + 2Co^(APt,s) < 0 ^ Co^(APt,s) < --Var(s).
2
Однако, так как свойство монотонности должно выполняться для произвольных положительных случайных величин s, заключаем, что дисперсия не удовлетворяет этому свойству. А значит, и стандартное отклонение также не обладает свойством монотонности.
Если дисперсия (и стандартное отклонение) не является согласованной мерой риска, то чем она (оно) является? Ответ прост: это, в соответствии с определением, мера случайного рассеяния относительно среднего. Желание того, чтобы наши доходы от портфельных инвестиций были несильно рассеяны вокруг среднего, оправданно, однако мы не можем утверждать, что инвестор, минимизирующий дисперсию (или стандартное отклонение), в то же самое время минимизирует и риск!
2.1.2. Теорема o представлении
Так как дисперсия не является согласованной мерой риска, мы можем задаться вопросом: имеют ли согласованные меры некоторую специфическую форму? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема (см.[АйЕН (1999)]).
Теорема 1. Мера ¥( APt) является согласованной мерой риска тогда и только тогда, когда существует семейство вероятностных законов P таких, что3
¥( APt) = —inf \E
APt' 1 + r
P e Pk (5)
3 Под Ер£ понимается среднее значение случайной величины подчиняющейся закону распределения вероятностей Р.
99
№2(10) 2008
Доказательство этой теоремы читатель найдет в [ADEH (1999)].
Отметим некоторые важные аспекты:
• во-первых, усредняется прибыль (или убыток) рискового актива, поделенная на безрисковую процентную ставку;
• во-вторых, возможность выбирать вероятностный закон из семейства P позволяет создавать бесконечно много согласованных мер риска. Этот результат имеет как положительный аспект, так как можно выбирать наиболее подходящую меру риска, так и отрицательный, поскольку выбор меры риска становится субъективным выбором риск-менеджера;
• в третьих, результат теоремы получен для случая одного периода. В работе [Riedel (2004)] он обобщен на многопериодный случай с учетом всех возможных потоков наличности 8(s), которые могут возникнуть между моментами времени t и T. Рассматривая капитализацию в дискретном времени, автор получает следующий, более общий, результат:
(5) = - inf iEP
¿(1 + r)f-5 5(5)
Pe P^
(6)
т. е. вычисляем ожидаемое значение всех потоков наличности, дисконтированных в соответствии с безрисковой ставкой процента г.
Отметим очень простое, но весьма любопытное следствие предыдущей теоремы.
Теорема 2. Любая выпуклая линейная комбинация согласованных мер риска — снова согласованная мера риска.
Пусть мы имеем п мер рискаТ,(ДР{) (где1 е 1,2,...,п), возьмем п положительных констант с, сумма которых равна единице. Тогда результирующая мера
п
Т (ДР )=Е (ДР)
1=1
| будет согласованной мерой риска.
2.1.3. «Средние ожидаемые потери уровня а» (СОПа)
4
как согласованная мера риска
Вводимая в данном разделе характеристика — «средние ожидаемые потери уровня а» (СОПа) — измеряет среднее значение потерь доли а худших результатов, которые можно получить от инвестиций. Очевидно, при ДР = р - Рм эта величина должна принимать отрицательные значения. Однако при определении и интерпретации меры риска как монотонно неубывающей функции потерь удобнее оперировать с потерями как с положительными величинами. Читатель должен принять во внимание это замечание при усвоении последующего материала. Перед тем как будет приведено формальное определение СОПа, рассмотрим следующие характеристики.
Предположим, что случайная величина ДР = ДР/(1 + г) имеет функцию плотности ((ДР), непрерывную на всей действительной оси. Для простоты и без ограничения общности рас-
I
и S
а
I §
<в £
¡з
ü
м
03 й i ig
4
-о
8 и
5
S
■fr §
S
<в
>s §
и <ъ
5
6
<ъ Ü
В англоязычной литературе этот показатель называется «The Expected Shortfall» и обозначается через ESa.
4
100
№2(10) 2008
смотрим случай, когда г - 0, так что Др - ДР. Тогда кумулятивная функция распределения случайной величины ДР имеет вид
х) -
Заметим, что, в силу существования плотности ((Др), функция распределения Г(ДР) непрерывна.
Рассмотрим уравнение
Г( х) - а,
где а — константа, принадлежащая интервалу (0,1). В силу непрерывности функции Г, для любого а е (0,1) будет существовать хотя бы одно решение этого уравнения.
Если функция Г строго возрастает, то она обратима (причем обратная функция будет также непрерывной), а значит решение уравнения единственно и дается формулой
у--Г _1(а).
Если же функция Г не является строго возрастающей, мы можем воспользоваться понятием обобщенного обращения (или обобщенного квантиля), в соответствии с которым
5
1
¡2
те
в
$
<ъ
так что величина
Г ](а) - Бир{х| Г(х) <а}, у - -Бир{х | Г(х) <а}
будет решением уравнения.
На рис. 1 изображен пример функции плотности, а также кумулятивная функция распределения, построенная по этой плотности, и функция, обратная к кумулятивной функции распределения.
Теперь можно определить величину СОПа для а е (0,1].
^ ~1(а)
Рис. 1. Функция плотности, кумулятивная функция распределения и обратная функция
101
х
№2(10) 2008
Определение 1. Средние ожидаемые потери уровня а для случайной величины АР с функцией распределения Г (обозн. СОПа (АР)) — это среднее значение доли а худших потерь, взятое со знаком минус:
л а
СОП а (AP) = - - f F-1( z)dz. (7)
ГУ J
Для СОПа(.) выполнены свойства трансляционной инвариантности, положительной однородности и монотонности, что легко следует из свойств квантилей, выполняется и свойство субаддитивности, однако его доказательство значительно более сложно (см. [Acerbi, Tasche (2002)]). Таким образом, СОПа(.) — согласованная мера риска!
Если в выражении (7) устремить а к нулю, то, используя правило Лопиталя, мы получим:
_5 За
f F-1( z )dz
lim СОПа (APf) = lim-^-= - lim F"'(а) = -F"40) = СОП0(APf),
—а
За
т. е. СОП0 (APt) — наибольший убыток, который можно получить для случайной величины APt. Если функция плотности f непрерывна и положительна на всей отрицательной действи-§ тельной полуоси, как это представлено на рис. (1), то СОП0 (.) = +да. Отметим еще один важный факт, касающийся СОПа(APt):
1
СОП1( APt) = -f F-1 (z) dz = -E[ APt
Последнее равенство легко получить, воспользовавшись заменой переменных
и а
I §
те 6
¡3 у = Г-1« ^ Г(у) = 2 ^ Ду)ёу = ё2,
"I в интеграле
М Г -'(1) +»
* СОП'(АРГ) = - |yf(у)ёу = -[yf(у)ёу = -Е[АРГ ].
Ц Г-1(0) -»
ч В случае, когда а е (0,1), воспользовавшись этой заменой, приходим к
I СОПа (АР) = -- [ Г-1( 2)ё2 = --! (уЛ у )ёу = --!-
| а 0 а Г-'(0) Г(У>-
■а
„ Таким образом, мы определили меру риска СОПа(.)для любогоае [0,1].
I
те Пример 1. СОПа(АР)для случайной величины АР, равномерно распределенной на ин-§ тервале (а, Ь).
Функция плотности случайной величины АР, распределенной равномерно на интервале Ц (а, Ь), как известно, задается соотношением:
щ
ц
I f (у) =
1 y е (a, b),
b - a 0, иначе.
0
102
№2(10) 2008
Соответствующая ей кумулятивная функция распределения равна
F( х) = £/ (у )dy
! |
1, X > Ь, £
х - а Л -, а < х < Ь, в
Ь - а £
23
0, иначе, Ч
и обратная функция для функции Г равна
Г) = а +а(Ь - а),
где а е [0,1]. Тогда для а £ (0,1]
СОП а (ДРГ) = - - Г Гх )с!х = - - Г (а + х( Ь - а ))с!х = - а --а(Ь - а). а10 а;0 2
Если а = 0, тоСОП а (Др) = - а (СОП0 (Др) положительны, если а отрицательно). Крометого СОП1( ДР) = - а + , т. е. СОП1( Др) равно среднему значению ДР, взятому с обратным знаком.
2.1.4. Спектральные меры риска
В предыдущем разделе СОПа(.) было определено как среднее значение потерь доли а худших результатов, которые мы можем получить от инвестиций. Однако вместо того, чтобы вычислять среднее значение, рассмотрим взвешенное среднее значение, тем самым обобщая СОП а (.).
Обозначив весовую функцию через ф(7) (которая определена на отрезке [0,1]), введем понятие спектральной меры.
Определение 2. Мера риска Mф (ДР) называется спектральной, если
Mф (ДР,) = -|0ф(z)F£dz, (8)
где F^ (z), как и прежде, — функция, обратная к функции распределения случайной величины ДР,. '
Величину ф(z) еще называют спектром риска или функцией неприятия риска, («the risk-aversion function»).
Легко видеть, что СОПа(.) при а£ (0,1] — спектральная мера риска, спектр риска которой Ф^)— разрывная функция, принимающая значение 0 для прибылей или небольших убытков и постоянное неотрицательное значение для больших убытков. Если более формально, то для спектра риска меры СОПа(.) мы определяем ф(z) с помощью индикаторной функции:
1
Ф( z) = - 1z<a , (9)
г a
11, z <a,
где 1z <a =
[0, иначе.
Возникает вопрос: всегда ли спектральная мера является согласованной мерой риска? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема (см. [Acerbi (2002)]):
103
№2(10) 2008
Теорема 3. Спектральная мера согласованна тогда и только тогда, когда
• ф(2) неотрицательна;
• ф(2) невозрастающая;
• |0ф( 2 = 1.
Следовательно, если мы хотим доказать, что СОПа(.) для ае (0,1] является согласованной мерой риска, то нам необходимо проверить три условия из теоремы 3. Вместо того, чтобы проверять эти условия алгебраически, дадим более наглядный ответ, используя графическое представление спектра СОПа(.), приведенное на рис. 2.
I
и S
а
I §
<в £
¡з
t
м
03 й i
¡в
4 -о
s§
и £
5
§
I
гс >s
IE
и <ъ
J
5
6
<ъ il
О а 1
Рис. 2. Графическое представление спектра С0П(.)
Можно заметить, что спектр СОПа(.) нигде не принимает отрицательных значений, нигде не возрастает, и его интеграл по отрезку [0,1], графически определяемый как площадь под графиком, равен 1.
Отметим, что первые два условия теоремы 3 отражают несклонность к риску. В соответствии с этими условиями весовые коэффициенты, отвечающие большим убыткам, должны быть не меньше, чем весовые коэффициенты, отвечающие меньшим убыткам.
Из рис. 2 видно, что инвестор, использующий СОПа (.), приписывает одинаковые веса всем убыткам, большим, чем определенный порог, вто время какменьшим потерям и прибылям он приписывает нулевые веса. Однако эта мера не является «идеальной» спектральной мерой, потому что она несовместима с теорией неприятия риска. Если мы имеем «идеальную» функцию неприятия риска, то веса, соответствующие этой функции, должны убывать гладко, и скорость этого убывания связана со степенью неприятия риска следующим образом: чем больше инвестор не расположен к риску, тем быстрее будут убывать веса с ростом аргумента 2.
Таким образом, чтобы получить спектральную меру риска, инвестор должен выбрать подходящую для себя функцию неприятия риска. Этот выбор субъективен, но в нем можно руководствоваться исследованиями по теории функций полезности. Обращаем Ваше внимание на статью [ДсегЫ (2004)] и на ссылки, имеющиеся в ней, для более подробной информации о теории полезности.
2.1.5. Граница потерь уровня а (ГПа )5
ГПа определяется следующим образом:
В англоязычной литературе этот показатель называется «The Value at Risk» и обозначается VaR„
104
№2(10) 2008
Определение 3. Граница потерь уровня а (обозн. ГПа) — это минимальные потери
!
в доле а всех худших результатов. |
¡2
те в
Рис. 3. Графическое представление спектра меры ГП а
105
-\
ф Консультации
Пусть ДР — случайная величина, описывающая доходы/убытки, с функцией распределения Г. При заданном уровне а и при условии, что Г — строго возрастающая и обратимая функция, ГПа — это величина потери у, равная Ч
у = —Г_1(а).
Другими словами, ГПа — это квантиль функции распределения убытков/доходов, взятый со знаком минус (объяснение появления знака «минус» в этом определении см. в начале пункта 2.1.3). Если функция Г не является обратимой, то мы воспользуемся понятием обобщенного обращения (или обобщенного квантиля):
Г _1(а) = Бир{ х | Г( х) <а},
таким образом,
у = —Бир{ х | Г( х) <а}.
ГПа это не величина убытка, который мы можем получить, а это уровень убытков, который будет превышен с определенной вероятностью, установленной априорно. Подобно СОПа, ГПа — спектральная мера с функцией неприятия риска ф(2), имеющей вид невырожденной дельта-функции Дирака, которая придает убытку у (см. рис. 3) бесконечный вес, а всем другим возможным убыткам/доходам — нулевой вес. Напомним, что дельта-функция Дирака определяется как функция, равная нулю на всей действительной оси, кроме 0, где она равна бесконечности, при этом ее интеграл равен 1. Если мы положим
ф( 2) = Э1гас( 2 — а),
то получим:
ГП а =— ]р1гас( 2 — а )Г _1( 2)ё2 = — Г ~\а). (10)
В выражении (10) использовалась функция Дирака, которая аккумулирует всю плотность в точке а (функция не равна нулю только при 2 = а). Спектр ГПа представлен на рис. 3.
Воспользовавшись теоремой 3, получаем, чтоГПа не является согласованной мерой риска, так как, хотя спектр меры неотрицателен и его интеграл по отрезку [0,1] равен единице
фй = Р1гас(г-а)
№2(10) 2008 '
(в соответствии с определением функции Дирака), ее спектр не является невозрастающей функцией: формально, он сначала возрастает, а затем убывает.
Можно спросить: какое именно условие в определении согласованной меры риска не выполняется? Ответом будет: для ГПа не выполняется свойство субаддитивности. Таким образом, можно составить два портфеля так, что
ГПа(APf 1 +ДPf,2) > ГПа(APt,,) + ГПа(APf,2).
Пример 2. Не-субаддитивность ГПа.
Предположим, имеется объединенный портфель, составленный из портфеля Трейдера А и портфеля Трейдера Б. Портфель трейдера А состоит из проданного опциона «PUT» (без денег), а портфель трейдера Б состоит из проданного опциона «CALL» (без денег), причем до истечения срока их действия остается один день6.
Обработка данных предыстории подобных опционов позволила оценить вероятность исполнения «в деньгах» каждого из этих опционов величиной 4% .
Таким образом, каждый из трейдеров, А и B, имеет портфель, который имеет 96%-й шанс вообще не потерять деньги. Например, ГП0,05 = 0 для каждого из них. Однако объединенный портфель имеет лишь 92%-й шанс не потерять деньги, так что для негоГП005 >0.
Подходы к оценке риска с использованием ГПа подвергаются серьезной критике на том s основании, что эта мера не является согласованной (из-за того, чтоГПа не обладает свойстве вом субаддитивности, см. [Artzner и др.(1999)];[АсегЫ(2004)]).
Ü Если не выполняется свойство субаддитивности, то это может привести к странным и не-| желательным последствиям: например, при использовании ГПа для установки размера га-
•С
ч рантийного депозита на фьючерсных рынках не учитываются возможные убытки, превы-
CQ
шающие ГПа, что может подвергнуть оценщиков значительному риску очень больших по-
£ терь, превышающих ГПа. Одно из важных последствий использования такой не-субаддитив-
■т ной меры риска, как ГПа, для установки размера гарантийного депозита состоит в том, что
Л инвесторы могут разбить свои счета на несколько групп так, чтобы уменьшить суммарный
в размер гарантийного депозита и, тем самым, подвергнуть организаторов биржи скрытому
з остаточному риску, против которого они не будут иметь никакого эффективного обеспече-
ig ния со стороны ее инвесторов. Кроме того, банк, открывающий эти счета, могбыоставать-
¡5 ся в неведении относительно взятого на себя риска: подобный метод вкупе с фальшивыми
§ хедж-позициями использовал французский трейдер Жером Кервьель, чтобы скрыть свои ог-
I ромные позиции на рынке Eurex, что впоследствии вызвало более чем 5 миллиардные убыт-
s ки в Societe Generale.
(ч Несмотря на вышеизложенные критические замечания, последнее Базельское соглаше-
ig ние сосредоточено, в значительной степени, на использовании ГПа. Как такое возможно?
« Основное препятствие для перехода к согласованной мере риска (например, к СОПа) —
§ тестирование на историческихданных:тестированиеГПа на историческихданныхдовольно
<ь _
J -
g. 6 Опционы «PUT» и «CALL» дают право их владельцам соответственно продать и купить определенный товар
| по определенной цене. Если в опционе«PUT» оговоренная цена продажи ниже рыночной,то он называется на на-
g стоящий момент опционом «без денег». Соответственно, если в опционе «CALL» оговоренная цена покупки выше
§ рыночной, то он называется на текущий момент опционом «без денег». Владелец опциона реализует свое право
^ покупки (продажи) у продавшего ему опцион трейдера в «безденежной» ситуации. В этом случае трейдер несет убытки.
106
'— N92(10) 2008
просто, и это мы увидим в следующем разделе, тогда как тестирование СОПа (или, в общем | случае, любой спектральной меры риска) на историческихданных — более сложная задача, | предлагаемые решения которой оцениваются неоднозначно. Поэтому везде далее мы со- Е средоточимся, главным образом, на использовании ГПа, даже если использование другой § меры риска кажется более целесообразным.
Ч
Пример 3. ГПа для случайной величины, имеющей нормальное распределение. Пусть случайная величина подчинена (ц,а2)-нормальному распределению (т.е. ДР, ~ М(ц, а2)). Тогда
р ( др, < -у) = р м^Н < -ы} = 1 (-у е ^ = ФГ-Ы), I а а ] ^ла1'-" V а )
где Ф(х) — стандартное нормальное распределение, квантиль уровня а которого обозначим через Ф-1(а). Тогда
-у-Ц =Ф-1(а) ^у = -ц-Ф-1(а)а = -ц + Ф-1(1-а)а. а
Последнее равенство справедливо в силу симметричности стандартного нормального распределения.
На рис. 4 графически представлен квантиль уровня а = 0,05 стандартного нормального распределения (Ф-1(0,05) =-1,645, соответственно ГП0 05 = 1,645).
Рис. 4. Квантиль уровня 0,05 для случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение
(соответственно ГП 0,05 = 1,645)
Пример 4. Нефтяные теплоэнергетические фьючерсы на рынке «ЫУМЕХ». Ниже изображен график функции плотности распределения стоимости портфеля фьючерсов с трехдневным сроком, построенный по историческим данным.
107
№2(10) 2008
Значение позиции (в тыс. доля)
Рис. 5. График функции плотности распределения стоимости портфеля фьючерсов с трехдневным сроком,
построенный по историческим данным
На графике отмечены величина «сегодняшней» стоимости портфеля («текущее значение позиции») и 5%-й уровень границы потерь ГП = ГП0,05(Г,3). Разница между текущим значением позиции и ГП0,05(Г, 3) составляет 5 млн долларов. Таким образом, когда говорится, что позиция имееттрехдневный ГП0 05 в 5 млн долларов, подразумевается, что мы на 95% уверены, что значение позиции не уменьшиться больше, чем на 5 млн долларов за следующие три дня. Однако, есть 5%-я вероятность того, что потери могут превысить уровень в 5 млндолларов, а в экстремальных случаях они могут составить значительно большую сумму.
I
и а
I §
те £
I
те м аз Й ¡8 ¡В
относительно распределения изменений цены за 1 шагов, ДР, = Р{ - Р,-,, делаются некоторые § предположения относительно распределения 1-периодных нетто- или лог-доходностей. Вы-| числим ГПа(,,1)для ДР, = Р, - Р,-1 при условии, что нам дано распределение 1-периодной
! нетто-доходности или распределение 1-периодной лог-доходности. §
I
те
>5 §
§ а = Р[Рг -Р- < -ГПа (,, 1)] = Р < --^^М [ = Р | Г (I) < -^Пт^ \ = Р{, (I) < ^(а)},
5 I Р, -1 Р, -1 ] [ Р, -
2.1.6. Расчет границы потерь по нетто-доходностям и лог-доходностям
Пока что была вычислена ГПа для изменения цены некоторого финансового актива за один шаг ДР, = Р, - Р,-1. Однако во многих финансовых приложениях вместо предположений
• Вычислим ГПа(Г, 1)для ДР, = Р, - Р,_ 1 (ГП,(а, 1)), если задано распределение 1-периодной нетто-доходности г((1) = (Р( - Р,_;)/Р,_;:
&
<ъ ¡1
где г,(1) — 1-периодная нетто-доходность, а 1(а) — квантиль (или обобщенная обратная функция) функции распределения Г (х) нетто-доходности г,(1). Отсюда следует
ГП а (,, 1) =-Р, -1 Г, -V). (11)
108
№2(10) 2008
• Вычислим ГПа(Г, i) для АР( _ Р{ - РГ-г, если задано распределение 1-периодной лог- | доходности~(I) = 1п(Р(/Р,-,): §
""Р[Р-Р'-^Р Р Мр^^^Г Л
. Р (I) Ш^М^ р (~ (,) < ~-■(„)},
Следовательно, ГП0,01 (Г, 30) = $69,922 млн или 13,9
• Пусть а = 1%, I _ 30 дней, РГ-; = $500 млн, цг _ 0,05% и аг = 1,4%, тогда
ГПо.01 (Г, 30) _-500(е2'зМ-0,014+30'0,0005) - 1) = 75,3672319.
Следовательно, ГП0,01 (Г,30) _ $75367 млн или 15,07%.
Р ^ ГП а (Г, I) + Рг1 „[Г Р ГП а (Г, I) + Рг,,_ «
Рг -1
где~(I) — 1-периодная лог-доходность, а~-1(а)— квантиль (или обобщенная обратная функция) функции распределения ~(х) лог-доходности ~(I). Отсюда немедленно получаем, что
ГП а (Г, I) _-Рг-1 • (ехр(~г_1(а)) -1). (11а)
Обычно в литературе по финансам используются лог-доходности. Одно из преимуществ лог-доходностей состоит в том, что можно легко вычислить лог-доходность за К дней, которая равна сумме ежедневных лог-доходностей за каждый из этих К дней. Однако, в рыночной практике обычно используется формула ГПа для нетто-доходностей, в которую вместо нетто-доходностей подставляют лог-доходности: необходимо помнить, что это лишь приближение, справедливое для малых значений лог-доходностей. Для более подробной информации см. [СЬпБШАегзеп (2003), глава 3 и приложение 3.101.
Пример 5. Предположим, что ежедневные лог-доходности портфеля имеют нормальное распределение со средним цг и дисперсией а
• Пусть а _ 1%, I _ 10 дней, РГ-, _ $10 млн, цг _ 0,1% и аг _ 1,5%. Среднее и стандартное отклонение 10-дневной доходности равны
10 -ц г _ 0,01,
710-аг _л/Г0-0,015 _ 0,0474,
соответственно.
1%-квантиль стандартного нормального распределения равен
Ф-1(0,01) _-2,3263.
Следовательно, граница потерь уровня 1%для 10-дневного периода по лог-доходностям равна
ГП001(Г, 10) _ -РГч (е(ф-1(0'01)^аг +1°цг) -1) _ -$10 млн - (0,9044 -1) _ $0,956 млн.
• Пусть а _ 1%, I _ 30 дней, РГ-, _ $500 млн, цг _ 0,05% и аг _ 1,3%, тогда
ГП0,01(Г, 30) _ -500(е2'3263^0'01^30'0,0005) - 1) _ 69,9220848.
109
No2(10) 2008
Заметим, что если изменить ежедневную волатильность лишь на 0,1% (это соответствует изменению годовой волатильности на 1,58%, где идет пересчет на год с 250 операционными днями), абсолютная разница между рассчитанными границами потерь уровня 0,01 30-дневного периода в каждом из этих двух случаев составит 5,445 млн долларов, а относительная разница 1,09%. Этот пример показывает, что даже небольшие ошибки в расчетах существенно влияют на величину границы потерь.
2.1.7. Условная граница потерь уровня а (УГПа )7
Для того чтобы преодолеть недостатки меры ГПа, была предложена другая мера риска:условная ГП а, или УГП а. Основная проблема меры ГП а состоитвтом, что она не учитывает убытки, большие определенного уровня, поэтому было предложено решать эту проблему, беря среднее значение по всем ГП ц от ц = 0 до необходимого уровня (например, до уровня а):
1а
УГПа = -1 ГПцёЦ. а-10
Пусть случайная величина ДР, имеет непрерывную функцию распределения Г. Вспоминая определение ГПц(ДР,) (10), получим:
УГП а (ДР,) = - - Г Гц) ёц, а0
т. е. УГПа(ДР,) совпадает с СОПа(ДР,). Если распределение Г не является непрерывным, то УГП а (ДР,) и СОП а (ДР, )уже не совпадают (см. [Вос1^е!!аг, Uryasev (2002)]). Перед тем как продолжить описание свойств УГПа, введем некоторые обозначения. Пусть:
• случайный вектор у описывает неопределенность. Это может быть, например, вектор 1С доходностей или вектор курсов акций (последнее соответствует вектору, /-я компонента ко-| торого ДР,, где / = 1,...,М);
| • вектор х — вектор весов портфеля, независимый от у (условие независимости весьма важно при описании свойства выпуклости);
• 7 = ((х, у) — доход/убыток портфеля с вектором весов х; далее будем рассматривать | в качестве «дохода/убытков» разность ДР, = Р,-1 - Р{, так что убыточные значения 7 будут положительными, а ГПа будет квантилем функции распределения случайной величины 7 при значениях а, близких к единице;
• ¥(х,•) — функция распределения дохода/убытка 7;
• (х) — ГП а дохода/убытка портфеля с вектором весов х.
м
03
¡8
¡в
4
-о
8
и £
§ I
те
>5 §
и <ъ
$ 1. Верхняя условная граница потерь уровня а (обозн. УГП а) — это среднее значение худ-
<ъ
I
I
Теперь опишем предложенный в статье [Вос1^е!!аг, Uryasev (2002)] подход к определе-ниюУГП а в общем случае, когда функция распределения Г произвольна (не обязательно непрерывна). Прежде введем четыре определения.
ших потерь, строго больших ГПс (в использованных ранее терминах, это СОПс
УГП; = E[f(x,у)|f(x,у) >Сс(X)].
В англоязычной литературе этот показатель называется «The Conditional Value at Risk» и обозначается CVaRс
7
110
№2(10) 2008
2. Нижняя условная граница потерь уровня а (обозн. УГПа) — это среднее значение худших потерь, не меньших ГПа, т. е. потерь, которые больше или равны ГПа:
УГП а _ Е[1( х, у )|1( х, у) >Са (х)].
УГП а также называют «хвостовой границей потерь уровня а».
3. а-«хвостовое» распределение (обозн. ¥а(х, С)), соответствующее функции распределения х, С) случайной величины 7 _ 1(х, у), определяется следующим образом:
Та (х, С) _ 1 ( У ) _
0,
С<Са (х),
[Т(х, С) -а]/[1 -а], С > С а (х).
сш
!
!
¡2
<в
в
$
<ъ
4. Условная граница потерь уровня а (обозн. УГПа), отвечающая случайной величине 7 _ 1 (х,у), — это среднее случайной величины, имеющей а-«хвостовое» распределение, соответствующее функции распределения Т(х, С) случайной величины 7 _ 1 (х, у).
Согласно следующей теореме, УГП а равна взвешенному среднему ГП а и УГП а.
Теорема 4. Пусть X а(х)—значение а-«хвостового» распределения в точке С а(х), а именно,
X а (х) _ х, Са (х)) -а]/[1-а], 0 <Ха< 1.
Еслих, Са(х)) < 1 (т. е. существует ненулевая вероятность того, что потери будут не большеСа(х)), тогда
0 < X а (х) < 1
и УГП а _ X а (х) С а (х) + [1-Ха (х )]УГП+а _Ха (х )ГПа + [1-Ха (х )]УГП+а .
Если жеТ(х, Са(х)) _ 1 (т. е. Са(х)—это наибольшая возможная потеря), тогда
УГП а _ С а (х).
Результаты теоремы не должны удивлять, поскольку они относятся к произвольным функциям распределения, которые могут быть и дискретными.
Более того, в статье [Рос1^е!!аг, Uryasev (2002)] доказывается, что УГП а является согласованной мерой риска и выпукла, последнее имеет значение для линейного программирования и оптимизации портфеля.
Риск
Рис.6. УГП а выпукла, но ГП а, УГП а, УГП а могут быть невыпуклы!
\
111
№2(10) 2008
Пример 6. ГПа и УГПа для случайной величины, имеющей нормальное распределение. Пусть случайная величина 2 имеет нормальное распределение со средним ц и стандартным отклонением а. Тогда получим:
ГПа (2) = Са(2) =Ц + к 1 (а)а, к 1(0,05) = -1,65,
УГП а (2) = Е[ 2 | 2 > С а (2)] = ц + к 2 (а)а, к 2(0,05) = -2,06.
Пример 7. ГПа и УГПа для дискретного распределения.
Предположим, что дискретная случайная величина 2 может принимать шесть равнове-
1 2 4
роятных значений: р1 = р2 =... = р6 = —. Возьмем а = — = —, тогда
6 3 6
X а = (¥( Са) -а)/(1 -а) = (4/6 - 4/6)/(1 - 412) = 0,
угп а = 0 •ГП а+1 угп; = угп; = ^ +
2 2
Следовательно, мы получаем ГП а < УГП а < УГП а = УГП а.
Вероятность СУаН
? и
■
I §
те £
I
те м аз Й £ ¡В
ч
-о
8
и £
§
I
те >5
II
и
<ъ &
<ъ ¡1
Ш СУаРГ СУаРГ
Рис. 7. ГП а, УГП а, УГП а, УГП а для дискретной случайной величины 2
Пример 8. ГПа и УГПа для дискретного распределения.
Предположим, что дискретная случайная величина ^ может принимать шесть равновероятных значений: р, = р2 =... = р6 =1 Возьмем а = т5, тогда
6 12
= (а -¥( Са ))/а = (5/12 - 412)/(5/12) = у5,
УГП а = 1/5 •ГП а + 45 • УГПа = 2 ^ + 3 ' 5 5
Следовательно, мы получаем ГП а < УГП а < УГП а < УГП а.
Вероятность СУаВ
н у/ и уГ Ь Ш СШ'
Рис. 8. ГП а, УГП а, УГП а, УГП а для дискретной случайной величины ^
112
№2(10) 2008
2.2. Обзор стандартных методов управления рыночными рисками Л
До сих пор мы определили основные понятия и инструменты, используемые в управле- 5
нии финансовым риском. Далее проанализируем стандартные методологии управления ры- £
ночными рисками. в
Стандартные методики, связанные с расчетами управлением рыночными рисками, мож- §
но разделить на две группы: 4
• Аналитические методы: текущая стоимость портфеля вычисляется в зависимости от текущих значений факторов риска на основании некоторой параметрической модели, в которой обуславливается воздействие изменений факторов риска на стоимость портфеля.
Стандартная техника этого семейства методов реализована, например, в дисперсионно-ковариационном методе (ДКМ) и в методе дельта-гамма;оба эти метода дают возможность управления риском.
• Имитационные методы: для каждого сценария из некоторого диапазона сценариев изменений факторов риска оценивается стоимость портфеля. В результате получим ряд из стоимостей портфеля, по которому построим эмпирическую функцию распределения. ГПа этого портфеля будем оценивать соответствующим квантилем построенной эмпирической функции распределения.
В зависимости от условий, факторами рыночного риска могут быть курсы акций, индексы, процентные ставки, обменные курсы, цены на драгоценные металлы, цены на сырьевые товары и т.д.
Важные примеры методов этой группы — историческое моделирование (ИМ), моделирование методом Монте-Карло (МММК) и полная оценка (ПО) для управления опционным риском.
Если используются аналитические методы, то необходимо выбрать некоторую функцию распределения, адекватную нашим данным. После чего оцениваем параметры выбранного распределения, например, в случае нормального распределения оцениваем среднее значение и стандартное отклонение. Однако часто бывает, что, выбирая какую-нибудь хорошо известную функцию распределения, мы неадекватно описываем распределение анализируемых данных. Но можно воспользоваться методами имитационного моделирования, с помощью которых иногда получается более точное приближение для функции распределения.
2.2.1. Дисперсионно-ковариационный метод (ДКМ)
Идея, лежащая в основе этого метода, состоит в том, чтобы оценивать распределение до-ходностей (или изменений цен), линеаризуя доходность портфеля и предполагая, что факторы риска имеют нормальное распределение.
Пусть {г,, и1 _ 1,...,п> — совокупность лог-доходностей на день t (факторы риска). Положим грл —лог-доходность портфеля на день t и пусть грх _ w'rt. Поскольку ^:М(ц,Е), получим, что
гр; ~ Ы(wц, w
Вектор средних ц и ковариационная матрица Е оцениваются по наблюдениям г^т ,...,г{ и в результате функция распределения доходности портфеля оценивается нормальным рас-
113
Н92(10) 2008
пределением со средним Д и стандартным отклонением wNw'Д, w')£w), где Д и £ — оценки параметров ц и £, соответственно.
Тогда ГПа оценивается величиной
ГПа = w 'Д + Ф-1(а^ ':cw.
2.2.2. Дельта-гамма аппроксимации для нелинейных портфелей
Если в наш портфель включены нелинейные инструменты, такие как опционы, то предыдущий метод использовать уже нельзя. Один из первых подходов к решению такой задачи состоял втом, чтобы измерять влияние локального изменения факторов риска на стоимость портфеля с помощью среднего для производных, т.е. использовать приближения к нелинейным ценам опциона. Если использовать приближение первого порядка, то мы имеем дельта-подход, а если использовать приближение второго порядка, тогда мы имеем гамма-подход.
Рассмотрим совокупность факторов риска {Х,, Г,, = 1,...,п> и предположим, что стоимость нашего портфеля может быть записана в виде:
Хр,г = 1(ХV ,Хп,Г)
с некоторой функцией I: Яп ^ Я. Например, это может быть линейный портфель, составленный из акций, для которого Хр,Г = ^П^'Х/л, или опцион С на базисный актив 5 с ценой исполнения К и сроком обращения т, где С = I(5); функцию Iможно получить, например, из формулы Блэка-Шоулса.
Предположим, что факторы риска изменяются на Д,,/ = 1,...,п, т. е.X,,= X,,Г + Д,.Тогда,
I
и о.
I
¡^ если I(х1,..., хп) непрерывно дифференцируема по всем х,, / = 1,., п, мы можем получить ап-* проксимацию первого порядка для изменения стоимости портфеля:
ГС п д1
5 Д = + д ......хп; + д п) - КХи.....Хп ,) *у^-(хи.....Хп , )Д,.
« м дх,
1В '-' '
¡8
гс 5 - 5
5 Д . = 5' г 5' =
Отметим, что если Х, — это цена, т. е. Х^ = 5,,Г и Д, = 5/ г+1 - 5/ г, то
5,,
5
§
I
ГС
>5 £
и <ъ
£. дняшнийдень Г: щ
§
^ Значение первой частной производной для I (х1,..., хп) по х в точке (Х1,..., Хп) обозначим че-/ д| Л
"" рез 5/ |8/ =— (Х1Г,...,Хп1) [ его еще называют дельтой относительноХ,Г. Из того, что
I дх/ , , У
п
Д-Х5/Д',
/=1
мы получим приближение для условного математического ожидания и условной дисперсии изменения стоимости портфеля в следующий день Г +1, при условии информации на сего-
| Д) Ед ,
а2(Д) « £5,5¡СОУ(Д/,Д;
<, ]< п
п
114
№2(10) 2008
или, если Х,,г = Б,,,
А) Л.Е^,
I = 1
ст2(А) » у5,5Д^гСМ/?,,
!
I
¡2 те
) в
<',]<п ] ' I
ч
Гауссовское приближение для ГПа(А) дается следующим выражением
ГПа (А) =ц( А) + Ф-1(а)ст( А).
Если ((х,,..., хп) дважды непрерывно дифференцируема по всем х,,I = 1,...,п, мы можем получить аппроксимацию второго порядка для изменения стоимости портфеля:
п Я ( 1 Я 2(
А = f(Xv + А1,...,Хп, + Ап)-((Хч,...,Хп;) *У-Я-(Х1,...,Хп)А, + - У (X,...,Хп)Д,А,,
1~Г я х, п Я х,X]
Следовательно,
п1
А ~ У5, А, + - уГ] А, А], (12)
I=1 2 К',]<п
Я2 f
где Г] = я-(Х!,..., Хп) — величина, которую называют гаммой относительно Хи Х].
ЯХIX ]
Для вычисления ГПа (или УГПа) можно воспользоваться приближением Корниша-Фише-ра (СоггнБЬ^БЬег) вместе с гамма-аппроксимацией или обратиться к так называемой гамма аппроксимации на основе моделирования: при наличии предварительно заданной модели, описывающей многомерное распределение доходностей активов (обычно берется многомерное нормальное распределение), вектор доходностей моделируется N раз из этого распределения. Эти смоделированные значения затем используются в (13) для расчета функции распределения изменения стоимости портфеля, после чего мы можем на основании этого распределения вычислять необходимые нам меры риска (для более подробной информации см. [СЬпБ1^ег$еп (2003)]).
2.2.3. Историческое моделирование
Идея, лежащая в основе этого метода, состоит в том, что распределение доходностей (или изменений цены) портфеля необходимо оценивать с помощью эмпирической функции распределения, без использования каких-либо параметрических моделей. Если доходности представляют собой независимые одинаково распределенные случайные величины или, в более общем случае, стационарны, то сходимость эмпирической функции распределения к истинному распределению следует из закона больших чисел.
Пусть {г,-1,1 = 1,..., п} — это совокупность риск-доходностей надень t (факторы риска). Обозначим черезгрлог-доходность портфеля надень tи предположим, чтогрл = f{г1:t,...,гпл), на
пример, грл = Уп=^'Г1 ,!■, как в случае предположений метода дисперсии-ковариации. Далее, рассмотрим исторические наблюдения за доходностями портфеля, т.е.
Гр!-т = f(Гц-т,...,Гп,t-т), т = 1,.,т. Упорядочимгр,!-т,т = 1,.,т, по возрастанию
Гр!-т1 < Гр!-т2 < . < Гр!-тт.
-V
ф Консультации
115
№2(10) 2008
Тогда оценка границы потерь уровня а для rp,t равняется
m а ,t = rt ,
.. . Г, , k -1 k
где k = min <k = 1,____ m:-<а<—
l mm
2.2.4. Моделирование методом Монте-Карло
Идея, лежащая в основе моделирования методом Монте-Карло, состоит в том, что распределение доходностей (или изменений цен) портфеля необходимо оценивать по некоторой явной параметрической модели. В отличие от метода вариации-ковариации, нам нет необходимости представлять задачу в аналитически удобном виде, например, линеаризуя портфельную доходность rp,t и делая предположение о том, что вектор, составленный из факторов риска, имеет многомерное нормальное распределение. Вместо этого мы делаем выводы относительно rp,t, используя методы Монте-Карло.
Пусть {r(-, t,i = 1,..., п> — это совокупность риск-доходностей надень t (факторы риска), rp, t — этолог-доходность портфеля натотжедень. Какираньше, предположим, что rp, t = f (rlt,...,rnt). Теперь вместо того, чтобы моделировать на основе прошлых наблюдений, построим модель доходностей (факторов риска). Пусть это будет многомерное t-распределение8:
| rt = Zt,Zt ~ t(0,2, v),
u
а где 0 определяет вектор нулевых средних,2 — ковариационную матрицу, а v — число степе-
| ней свободы.
щ
§ Затем по этой модели смоделируем доходности, в результате чего получим прогнозы мо-& дели для доходностей на день t. Например, для того чтобы подсчитать гипотетические до-
^ ходности (факторы риска) на день Г смоделируем N раз случайный вектор 2(, имеющий | Г-распределение
« "к = 7к, к - 1,..., N.
03
Имея множество смоделированных прогнозов факторов риска {?Д к - 1, ..., N1, можно полу-
I
§ 7к = г(Г1к,..., гк;), к - 1,..., N.
8 и I
■с 7 (1) < < 7 N
5 'рл < ... < 'рл
§ Оценка границы потерь уровня а для гр Г равна § .
I гпр (1Г) - "г (к)
>5 £
и
<ъ
6
<ъ §
читьдля каждого такого прогноза доходность портфеля, которая равна Упорядочим их по возрастанию
а для r
гпа (i, t)=~(
k -1 k
§ где k' = min<jk = 1,..., N:-<а< —
N N
§ 8 Многомерное Г(а;е;^-распределение является обобщенем стандартного одномерного распределения § Стьюдента. Оно определяется параметрами трех видов: вектором сдвига (средних значений) а, ковариационной ^ матрицей е и числом степеней свободы v. Подробнее см., например, статью С. А. Айвазяна в разделе «Консультации» журнала «Прикладная эконометрика» № 1 за 2008 год.
116
№2(10) 2008
2.2.5. Модели полной оценки Л
Линейные и квадратичные приближения к нелинейности, возникающей в результате 5 включения в портфель таких инструментов, как опционы, дают в некоторых случаях весьма £ плохие оценки ГП. Это обычно происходит тогда, когда портфель содержит опционы с раз- в личными ценами исполнения. §
В таких сложных портфелях единственно возможный метод, который можно использо- 4 вать для вычисления необходимой меры риска, это, так называемый, метод полной оценки (МПО). Метод полной оценки состоит втом, что много раз моделируются будущие (гипотетические) цены базового актива, и, используя модели ценообразования опционов, для каждой смоделированной цены базового актива расчитываются цены опционов.
Вновь рассмотрим набор факторов риска {Х,,t,1 = 1,...,п} и предположим, что стоимость портфеля равна
Хр,t = f ( Х1{ Хп,t )
для некоторой функции f: Яп ^ Я. В качестве примера можно привести портфель, состоящий из опциона С на базисный актив Б с ценой исполнения К и сроком обращения т, где С = f (Б), функция f получается, например, из формулы Блэка-Шоулса.
При использовании метода полной оценки делаются предположения относительно вида функции распределения доходностей базовых активов, т. е. относительно функции распределения X,, и, применяя для моделирования будущих (гипотетических) доходностей базовых активов на К дней вперед метод Монте-Карло, получим
Хи..., Xn,t+к, ь = I..., ^
На основании этих смоделированных сценариев для доходностей базовых активов на К дней вперед мы определяем стоимости нашего нелинейного портфеля для каждого такого сценария, используя, например, формулу Блэка-Шоулса, после чего по ряду стоимостей (для каждого сценария доходностей) нашего портфеля можно вычислять необходимые нам меры риска.
Метод полной оценки имеет преимущество в том, что он концептуально очень прост и не использует аппроксимаций. Однако он требует намного больших вычислительных усилий, поскольку должны быть вычислены будущие (гипотетические) цены каждого опционного контракта для каждого смоделированного сценария будущих цен на базисный актив. Поэтому критерии скорости вычислений могут диктовать выбор между более точным, но медленным методом полной оценки и методами приближений, которые работают намного быстрее.
2.3. Использование одномерной вАЯСИ модели в анализе границы потерь
До сих пор мы рассматривали модели, с помощью которых изучали рыночные доходности сточки зрения безусловной перспективы. Однако хорошо известно, что для финансовых рынковхарактерны меняющиеся во времени моменты, и, если мы пренебрегаем этим аспектом, мы можем недооценить или переоценить нужную меру риска, например, ГПа. Кроме того, с помощью условных моделей с меняющимися во времени характеристиками можно проще (чем с помощью безусловных моделей) учитывать безусловную ненормальность дан-
-V
ф Консультации
117
No2(10) 2008
ных. Вот почему использование моделей СДВСН9 для управления рыночным риском стало обычной практикой среди специалистов в области финансов.
Предположим, что в момент t мы инвестировали сумму Р, в некоторый актив, и нам необходимо вычислить ГПа в моментt +1.Тогда, если мы используем условную ДВМД-СДВСН модель для нетто-доходностей или лог-доходностей этого актива, то получим:
• для нетто-доходностей ГПа на момент времени t +1 равна
ГП,(а,/ = 1) = Р{ ■ [ехр(г,+1 + Га-1 -Тб^)-1], (13)
• для лог-доходностей ГПа на момент времени t +1 равна
ГП, (а, / = 1) = Р ■ [+1 + Га-1 ■ л/б^], (14)
где применяем соотношение (11) для нетто-доходностей и (11а) для лог-доходностей. Если стандартизованные ошибки СДВСИ модели ^ имеют стандартное нормальное распределение, то
Га-1 =Ф-1(а).
Если же стандартизованные ошибки СДВСИ модели ^ имеют стандартное t распределе-§ ние, т. е. ^/ч/(V - 2)^~ tч, где tч — это одномерное условное t, тогда
0
5 _
1 Га-1 = р-21 Ла). §
те £
6
■г позиции в 10 млн долларов, воспользуемся ДВ-СДВСИ моделью.
Ц Пусть г, имеет стандартное нормальное распределение и подобранная модельдля(г,) 99!90
« такова: й
Ц г, = 0,00066-0,0247г,-1 + б,, б, = 2,Л/ст7,
те Ч Й -о
8 и
Пример 9. Рассмотрим временной ряд, состоящий из 9190 ежедневных лог-доходностей ((г,)9=90). Для того чтобы рассчитать однодневную ГП в момент времени t = 9190 по длинной
а 2 = 0,00000389 + 0,0799s,2-, + 0,9073а f2_,. Поскольку г9189 =-0,00201, г9190 =-0,0128 и а 9,90 = 0,00033455, то, в соответствии с подоб-
1 9190
s ранной моделью AR(2)-GARCH(1,1), одношаговый прогноз таков:
V9190(1) = Е[r9191| Q9190] = 0,00066 - 0,0247 • (-0,00201) = 0,00071,
■-2 /-л — I о т _ п nnnnno on 1 п птпп I nnno ппппйс; , глтлп / nnmiMW2
§ I
| а2190(1) = Var[s9191|Q9190] = 0,00000389 + 0,0799•(-0,0128 -0,00066 + 0,0247•(-0,00201))2
U
| + 0,9073 • 0,00033455 = 0,0003211,
х &
¡1 однодневная граница потерь на уровне 5% равна
0
1-
9 Сведения об ARCH- и GARCH- моделях см., например, в разделе «Консультации»журнала «Прикладная эконометрика» №4 за 2007 год.
118
№2(10) 2008
ГПГ (5%, 1) = -$10 000 000[exp( f9190(1) -1,6449 -^/6 9™(1)) -1] = I
r n t = -$10 000 000[exp(0,00071 -1,6449 ^0,0003211) -1] = $283 556. E
<s в
С вероятностью 95%, возможные потери на следующий день по такой позиции составят i сумму не большую, чем $283 556. Ч
Если мы расчитываем границу потерь на уровне 1%, получим
ГП (5%, 1) = -$10 000 000[exp( 0,00071 - 2,3262 ^0,0003211) -1] = $401 457.
В этом случае граница потерь позиции равна $401 457.
2.4. Методы оценки ГПа, использующие M-GARCH модели'0
Предположим, что портфель составлен из N активов. Пусть в начальный момент в i-й актив инвестируется сумма W¡ = w¡W, где W —общая сумма инвестиций в портфель, w¡ — доля актива i в портфеле.
Пусть w — вектор долей активов в портфеле, Y — вектор доходностей, ц — вектор ожидаемых доходностей и 2 — ковариацонная матрица доходностей. Тогда
Rp = w'Y,
E[Rp ] = w'm, (15)
Var[ Rp ] = 6 2 = w'2w.
Граница потерь уровня а для портфеля стоимостью W в начальный момент времени — это минимальная потеря в доле а всех худших результатов:
ГП(аР' = WX qp (а), (16)
где qp (а) определяется условием
Pr[Rp < qp (а)] = а. (17)
Например, если Rp ~ N(w'^, стp), то
ГП^' = (w'M. + z а 6 p )W = (w'^ + z а-J w'Iw )W, (18)
где zа —этоа%-квантиль N(0,1) распределения.
Предположение отом, что вектор среднихц и коварационная матрица2 не меняются со временем, весьма ограничительно. Одна из возможностей обойти это ограничение — оценивать одномерную модель GARCH для стp,t, но утакого подхода есть недостаток, заключающийся в том, что каждый раз, как мы меняем структуру портфеля w, нам необходимо переоценивать модель. Однако, если мы подгоняем M-GARCH модель к нашим данным (цt и 21 вместо ц и 2), то многомерное распределение доходностей может быть использовано для расчета функции распределения и границ потерь в момент t для любого портфеля, и в этом случае нет необходимости каждый раз при изменении структуры портфеля переоценивать
10 О M-GARCH моделях см., например, в [Bauwens, Laurent, Rombouts(2006)].
119
No2(10) 2008
модель. Следовательно, можно легко определять чувствительность границы потерь (ГП) по отношению к изменениям в структуре портфеля. А значит, можно выбрать вектор весов \ таким образом, что прогнозируемое значение ГП для следующего периода будет равно некоторому заранее определенному значению.
Следует отметить важность учета ковариаций для вычисления ГП. Когда корреляция между доходностями отдельных активов меньше, чем 1, тогда, очевидно, что ГП портфеля меньше, чем сумма ГП активов, составляющих этот портфель.
Пример 10. В данном примере для расчета границы потерь (ГП) портфеля активов используется модель с постоянными условными корреляциями (т.е. ПУК-модель). Ковариационная матрица 2, может быть записана как
2, = 0[Я[0[,
О, = ^ад(ст 12 ...ст N2), (19)
И, = (р ],) с рй = 1.
И, — это матрица условных корреляций размера N х М,ист т определяется одномерной САВСН моделью. Следовательно,
§ р,у,г = р СТ ц, СТц , V I Ф ]. (20) §
■5 Положительная определенность матрицы 2, следует из положительной определенности
§ матрицы И, и положительности всех стй. Постоянство корреляций означает, что £
§ И = И = (р ]), р|| = I (21)
ГС
а
2, т. е. все условные корреляции постоянны (не зависят от А). Следовательно,
¡8 ._
£ ст ¡]л = р ц^ст„л стц , V I ф ]. (22)
3
ГС
м
03
¡8
¡в
^ 2.5. Эмпирические приложения с использованием пакета Eviews
2
Я
§ 2.5.1. Одномерная ГП
гс
| Предположим мы имеем массив данных, составленный из 1250 наблюдений за немецким
Таким образом, динамика ковариации определяется только динамикой двух условных дисперсий. Общее число параметров в И равно N N -1)/2.
фондовым индексом DAX, и хотим использовать первые 1000 наблюдений для построения модели AR(1)-GARCH(1,1) со стандартизованными ошибками, имеющими распределение Стьюдента, тогда как оставшиеся 250 наблюдений использовать для backtesting ГП. В таком случае необходимо набрать следующие команды:
s
§
I
rc
'S §
u <u
¡5 smpl @all &
¡J 'series d_dax=dlog(dax) 'IF WE USE LOGRETURNS
§ series d_dax=@pch(dax) 'IF WE USE NET-RETURNS
I
O matrix(2 5 0,5) v_a_risk if
O for !i = 1000 to 1249 smpl 1 !i
120
№2(10) 2008
equation tarc1.arch(1,1, thrsh=1,tdist,m=10 0) d_dax c d_dax(-1)
smpl !i+1 !i+1
'FORECAST CONDITIONAL MEAN AND VARIANCE
tgarc1.fit(f=na) yhat y_se y_garch
'COLLECT THE TRUE REALIZED RETURNS
v_a_risk(!i-999,1) = @elem(d_dax,@otod(!i+1)) !gradi = tgarc1.@coefs(7)
'COMPUTE THE VAR AT DIFFERENT PROBABILITY LEVELS v_a_risk(!i-999,2) = @elem(yhat, @otod(!i+1)) +
@sqrt((!gradi-2)/!gradi)*@qtdist(0.01, !gradi)*sqr( @elem(y_garch, @otod(!i+1)) ) v_a_risk(!i-999,3) = @elem(yhat, @otod(!i+1)) +
@sqrt((!gradi-2)/!gradi)*@qtdist(0.05, !gradi)*sqr( @elem(y_garch, @otod(!i+1)) ) v_a_risk(!i-999,4) = @elem(yhat, @otod(!i+1)) +
@sqrt((!gradi-2)/!gradi)*@qtdist(0.95, !gradi)*sqr( @elem(y_garch, @otod(!i+1)) ) v_a_risk(!i-999,5) = @elem(yhat, @otod(!i+1)) +
@sqrt((!gradi-2)/!gradi)*@qtdist(0.99, !gradi)*sqr( @elem(y_garch, @otod(!i+1)) )
next
v_a_risk.line
2.5.2. Многомерная ГП для ПУК-модели
Рассмотрим равновзвешенный портфель из трех фондовых индексов (Японского, Европейского и Американского) с ежедневными данными. Тогда программа для расчета ГП на один шаг вперед в Eviews будет выглядеть так:
Уровень 0,10 доходности
0,99
-0,10
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 Дни
Рис. 9. ГП на уровне 1%, 5%, 95% и 99% (Стьюдент t) — индекс DAX
121
'SET THE ESTIMATION SAMPLE smpl 01/01/1990 05/28/2001 series y1 = rseusa series y2 = rsejap series y3 = reuro
'CREATE THE VECTOR OF WEIGHTS vector(3) omega=1/3
'ESTIMATE THE THREE UNIVARIATE GARCH(1,1) MODEL equation eq1.arch(m=10 0,c=1e-5) y1 c y1(-1) equation eq2.arch(m=10 0,c=1e-5) y2 c y2(-1) equation eq3.arch(m=10 0,c=1e-5) y3 c y3(-1)
'SET THE FORECASTING SAMPLE
smpl 05/29/2001 05/29/2001
'FORECAST THE UNIVARIATE CONDITIONAL MEANS AND VARIANCES eq1.forecast y1hat y1se cvar1 eq2.forecast y2hat y2se cvar2 eq3.forecast y3hat y3se cvar3
'INITIALIZE A VECTOR THAT WILL CONTAIN THE FORECASTED MEANS
i
S coef(3) mu
a
H
X 'EXTRACT THE FORECASTED MEANS
<U §
mu(2)=y2hat(@dtoo(" 05/29/2001 "))
mu(1)=y1hat(@dtoo("05/29/2001")) mu(2)=y2hat(@dtoo("05/29/2001")) mu(3)=y3hat(@dtoo("05/29/2001"))
is i
§ 'INITIALIZE A MATRIX THAT WILL CONTAIN THE FORECASTED STANDARD DEVIATIONS TO
W matrix(3,3) dm=0
03 £
■C 'EXTRACT THE FORECASTED VARIANCES I
<B dm(1,1)=@sqrt(cvar1(@dtoo(" 05/29/2 001 ")))
^ dm(2,2)=@sqrt(cvar2(@dtoo("05/2 9/2001")))
g dm(3,3)=@sqrt(cvar3(@dtoo("05/29/2 001")))
u I <s
1 'SET THE ESTIMATION SAMPLE
s
■fr smpl 01/01/1990 05/28/2001
§
5
s 'COMPUTE THE STANDARDIZED RESIDUALS
<S
>S §
O
^ eq3.makeresids(s) stdres3
s
6
'INITIALIZE THE CORRELATION MATRIX
§
O matrix(3,3) rm=1
eq1.makeresids(s) stdres1 eq2.makeresids(s) stdres2
INSERT THE ESTIMATED CORRELATIONS AMONG RESIDUALS IN THE CORRELATION MATRIX rm(1,2)=@cor(stdres1,stdres2)
122
№2(10) 2008
rm(1,3)=@cor(stdres1,stdres3)
rm(2,3)=@cor(stdres2,stdres3)
rm(2,1)=rm(1,2)
rm(3,1)=rm(1,3)
rm(3,2)=rm(2,3)
'GENERATE THE CONDITIONAL COVARIANCES genr ccov12=rm(1,2)*@sqrt(cvar1*cvar2) genr ccov13=rm(1,3)*@sqrt(cvar1*cvar3) genr ccov2 3=rm(2,3)*@sqrt(cvar2*cvar3)
1 S
I
<S
e
I
$
<u 4
'CREATE THE CONDITIONAL VARIANCE/COVARIANCE MATRIX matrix hm=dm*rm*dm
'COMPUTE THE CONDITIONAL FORECASTED VARIANCE OF THE TRIVARIATE 'PORTFOLIO matrix cvarpf=@transpose(omega)*hm*omega
'COMPUTE THE CONDITIONAL FORECASTED MEAN OF THE TRIVARIATE PORTFOLIO matrix cmeanpf=@transpose(omega)*mu 'COMPUTE THE VAR AT THE 5% LEVEL
matrix Var_port = cmeanpf + @qnorm(0.05)*@sqrt(cvarpf)
2.5.3. Многомерная ГП с использованием диагональной BEKK-модели.
Сейчас рассмотрим иной подход к моделированию меняющейся во времени условной ковариационной матрицы 21, а именно, рассмотрим многомерную диагональную BEKK-модель, впервые предложенную в статье [Engle, Kroner (1995)]:
Y = E[Yt | Ft_i] +214, Ef ~ N(0,1n), (23)
212 = QQ' + Ast -1E't-1A + B2t _1B',
где E[Yt |Ft_1] — спецификация условного среднего для векторной ДВ(1)-модели,21/2 — разложение Холецкого для 21, в котором A и B — диагональные матрицы: требование того, чтобы A и B были диагональными, позволяет снизить число оцениваемых параметров.
Отметим, что, хотя в Eviews 6 можно оценивать D-BEKK модель, на данный момент в этом пакете не предусмотрена процедура, которая позволила бы рассчитывать прогноз условной ковариационной матрицы2. Однако вличной беседе представители группы поддержки Eviews заверили, что в ближайшее время эта процедура будет включена в пакет. Следовательно, для простоты, будем рассматривать21 как если бы это был прогноз на один шаг вперед к моменту времени t +1.
Рассмотрим портфель из акций четырех российских эмитентов: Газпрома, Лукойла, РБК, Сбербанка. Процедура расчета ГП портфеля на один шаг вперед в Eviews выглядит следующим образом:
!n=4
matrix(!n) omega=1/!n matrix(2 5 0,5) Var_port_final
123
'ESTIMATE THE MODEL smpl 1 !i system sys01
sys01.append @pch(gazprom)=c(1)+c(11)*@pch(gazprom(-1)) sys01.append @pch(lukoil)=c(2)+c(12)*@pch(lukoil(-1)) sys01.append @pch(rbk)=c(3)+c(13)*@pch(rbk(-1)) sys01.append @pch(sberbank)=c(4)+c(14)*@pch(sberbank(-1))
'sys01.arch @diagvech c(fullrank) arch(1,diag) garch(1,diag) sys01.arch(m=7 0) @diagbekk c(indef) arch(1,diag) garch(1,diag)
'DO THE FORECASTING AT TIME T+1 FOR THE VECTOR OF RETURNS AND SIGMA smpl !i+1 !i+1
series fore1 = c(1)+c(11)*@pch(gazprom(-1))
series fore2 = c(2)+c(12)*@pch(lukoil(-1)) series fore3 = c(3)+c(13)*@pch(rbk(-1)) series fore4 = c(4)+c(14)*@pch(sberbank(-1))
series true_return= (@pch(gazprom)+@pch(lukoil)+@pch(rbk)+@pch(sberbank))/!n
?
vector(4) mu
vector(1) true_ret=true_return
§ mu(1)= @elem(fore1, @otod(!i + 1))
S mu(2)= @elem(fore2, @otod(!i+1))
a
^ mu(3)= @elem(fore3, @otod(!i+1)) S
ï mu(4)= @elem(fore4, @otod(!i+1))
Es
<s i
^ 'WE CONSIDER THE LAST CONDITIONAL SIGMA AS THE FORECASTED ONE AT TIME t+1.
S
sys01.makegarch(mat, cov, date=!i, name=cov_mat)
t^ matrix cvarpf = @transpose(omega)*cov_mat*omega
^ matrix cmeanpf=@transpose(omega)*mu
03
s
i 'INSERT THE TRUE REALIZED RETURN I
Πmatplace(Var_port_final, true_ret, !i-700,1)
S -o
g 'COMPUTE THE LONG-POSITION VALUE AT RISK (1% AND 5 %)
«¡2 matrix Var_port = cmeanpf + @qnorm(0.01)*@sqrt(cvarpf)
<s
I matplace(Var_port_final, Var_port, !i-700,2) S
■fr matrix Var_port = cmeanpf + @qnorm(0.05)*@sqrt(cvarpf)
m
5 matplace(Var_port_final, Var_port, !i-700,3)
S _
<s >S
ÎI
o
^ matplace(Var_port_final, Var_port, !i-700,4)
5 matrix Var_port = cmeanpf + @qnorm(0.9 9)*@sqrt(cvarpf) p
^ matplace(Var_port_final, Var_port, !i-700,5) §
ï
S 'SAVE THE WORKFILE
£
''COMPUTE THE SHORT-POSITION VALUE AT RISK (95% AND 99 %) matrix Var_port = cmeanpf + @qnorm(0.95)*@sqrt(cvarpf)
wfsave azioni_russe_sol
next
124
№2(10) 2008
Уровень 0,06 доходности
¡2 х <в
е
X
<в
Рис. 10. ГП на уровне 1%, 5%, 95% и 99% (Нормальная диагональная ВЕКК(1,1,1)-модель, равновзвешенный портфель: Газпром, Лукойл, РБК, Сбербанк)
2.6. Продвинутые методы управления рыночным риском: Copula-GARCH модели11
Несмотря на то, что оценка одномерной ГП достаточно хорошо изучена, многомерным случаем занимались только в немногих недавних работах о прогнозе корреляций между активами. Эмпирические результаты, посвященные этой проблеме, см., например, в работах [Engle, Sheppard (2001)], [Giot, Laurent (2003)], [Bauwens, Laurent (2005)] и [Rosenberg, Schuermann (2006)]. Когда мы используем параметрические методы, оценивание ГП для портфеля активов может оказаться очень затруднительным из-за сложности совместного многомерного моделирования.
Кроме того, с ростом количества активов в портфеле возникают вычислительные трудности12. По-видимому, вследствие этой сложности на данный момент практики и исследователи уделили большое внимание двум моделям:
• «Постоянная условная корреляция» (ПУК-модель), впервые предложенная в [Bollerslev (1990)];
• «Динамическая условная корреляция» (ДУК-модель), впервые предложенная в [Engle (2002)]13.
Можно показать, что модели ПУК и ДУК могут быть представлены как частные случаи более общей сори/а-структуры (см., например, [Ра^оп (2006а)], [Ра^оп (2006Ь)], [Ра^аииШ (2008а)] и [РатаиЫ (2008Ь)].
11 Информацию о Copula-моделях см., например, в [Nelsen (1999)].
12 Для более подробной информации см. обзор многомерных GARCH моделей в [Bauwens и др. (2006)].
13 В англоязычной литературе эти модели называют, соответственно, «ССС-model» («Constant Conditional Correlation model») и «DCC-model» («Dynamic Conditional Correlation model»).
\
125
No2(10) 2008
В частности, функция правдоподобия многомерного нормального распределения может быть представлена как произведение нормальной copula c корреляционной матрицей 2 = Rt и маргинальных нормальных распределений:
n
fNorma! (x,,..., xn) = cNormal (F}Norma! (xFnNorma! (xn); Rt) x^fNorma! (x,), (24)
i =1
где fiNorma! — плотность маргинального (частного) нормального распределения. Если рассматривается общая модель для условных средних значений и дисперсий, две модели могут быть переформулированы следующим образом:
X = E[Xt | Ft_i] + Dt , (25)
цг ~ Н(Л1,...,Л n) - CNorma! (FiNorma! (Л1),..., FNNorma! (л n); Rt),
где Dt = diag(h^t...ЬЩХ), h„ ,t определяется одномерной GARCH-моделью.
Кроме того, двухшаговая процедура оценки ДУК-модели, описанная в [Engle,Sheppard (2001)], соответствует методу Inference for Margins (IFM), впервые предложенному в статье [Joe,Xu (1996)] для оценки copufa-функции. Согласно методу IFM, на первом шаге оцениваются параметры маргинальных (частных) распределений, вто время как на втором шаге оцениваются отдельно параметры copufa-функции. Как и оценки метода максимума правдоподо-¡5 бия, оценки, полученные по методу IFM, обладают свойством асимптотической нормально* сти (см. [Joe,Xu (1996)] и [Joe (1997)]):
VT(9ifm -9о) ^N(0,1/(9о)),
где 90 — вектор параметров маргинальной функции распределения и copufa-функции, V (9 0) = D 1M(D 1 )T — так называемая информационная матрица «Godambe», где D = E[5g(9)T/59], M = E[g(9)g(9)T] и g(9)— некоторая так называемая «score» функция.
Свойство асимптотической нормальности выполняется и для двухшаговой ДУК-оценки (см. [Engle, Sheppard (2001)]). ■с Поэтому, если мы рассматриваем модель ПУК, это подразумевает оценку n одномерных GARCH моделей любоготипа с нормальным распределением на первой стадии. Нормальные функции распределения нормированных остатков u,t = Ф(л,-,t) используются как аргументы нормальной copu!a-плотности с постоянной матрицей корреляции Rt = R. Однако, так как Лt = (Ф-1 (u1,t),...,Ф-1(un,t))', оцениваемая постоянная матрица корреляции равна оцени-.¡I ваемой матрице корреляции стандартизированных остатков в ПУК-модели. § Аналогичным образом, если рассматривается ДУК-модель, нормальная кумулятивная § функция распределения и ее обратная функция нейтрализуют друг друга, и логарифмиче->s ское правдоподобие copuh-плотности максимизируется в предположении, что справедли-g ва следующая динамическая структура для корреляционной матрицы Rt:
<ъ
I Rt = (diagQt )-1/2Qt (diagQt )-V2, (26)
<u
¡| где симметричная положительно определенная матрица Qt размера n xn равна:
§
u s о.
I §
те
i
¡3
J
Ü те
M 03
-o
Qt -h-Za'-ZP. Q -1 л'-. л - <27'
5
5
I=1
I =1
s =1
126
№2(10) 2008
здесьQ — безусловная дисперсия случайной величины nt, al (> 0) и рs (> 0) — скалярные па- |
раметры, удовлетворяющие неравенству ^^ai + Рs < 1- Эти условия необходимы для Ц
того, чтобы Qt >0 и Rt >0. Qt — ковариационная матрица для nt, так как, по построению, q„,t | не равно 1. Значит, выражением (27) Qt преобразуется в корреляционную матрицу. Если ^
__I
91 =92 = 0 и q„ = 1, то получим ПУК-модель. Для более подробной информации о ДУК-моде- <8 лировании см. [Engle (2002)].
2.6.1. Некоторые обобщения: маргинальные функции распределения, имеющие асимметричные f-распределения, и динамические copula-функции
Как видно из предыдущего раздела, подход c помощью copula-функций позволяет нам рассмотреть намного более общие случаи, чем нормальные ПУК- и ДУК-модели.
Два хорошо известных отклонения от нормального распределения — «толстые хвосты» и асимметрия. Например, t-распределение Стьюдента имеет эксцесс больший, чем у стандартного нормального распределения, и это распределение было обобщено так, чтобы получившееся обобщенное распределение имело асимметрию, отличную от асимметрии нормального распределения (см. [Hansen (1994)]). Хотя были предложены и другие обобщения, мы выбрали именно это в связи с его простотой и возможностью использовать в моделировании экономических переменных (см. [Jondeau,Rockinger (2003)], [Patton (2004)], [Patton (2006a)] и [Patton (2006b)]).
Следовательно, многомерная модель, позволяющая маргинальным функциям распределения иметь асимметрию и эксцесс, отличные от асимметрии и эксцесса стандартного нормального распределения, а также иметь нормальную зависимость, может быть выражена следующим образом:
X = E{Xt | Ft_1} + Dtn,
f 1 fl t u t I" (28)
n ~ H(n1, ...,nn) - CNormal (F1Skewed_t (n1),..., FnSkewed_t (nn); R,),
где FjSkewed_t — функция распределения асимметричного t-распределения, а Rt может быть как константой, так и меняться во времени, как это происходит в ПУК- и ДУК-моделях.
Если финансовые активы демонстрируют симметричную хвостовую зависимость, то можно использовать copula-функцию Стьюдента
Xt = E{Xt | Ft_1} + Dt n, (29)
nt ~ H(n1, ...,nn) - CStudent'st (F1Skewed_t (n1),...,Fskewed_t (nn); Rt, v),
где v — число степеней свободы copula-функции Стьюдента. Если же финансовые активы могут быть распределены по m различным группам, то мы можем использовать сгруппированную t-copula функцию:
Xt = E{Xt | Ft_1} + Dtп, ,
П,~ H(m,...,nn) -CGroupedt(F1Skewed_t(m),...,FnSkewed_t(nn);Rt,V1,...,vm).
Наконец, если финансовые активы демонстрируют только «нижнюю хвостовую зависимость», можно использовать copula-функцию Клейтона,
127
No2(10) 2008
Xt = E[Xt | F-_,} + Dtn, (3i)
П ~ И{ць ...,nn) = CClayton (Ffkewed_t (пД..., FnSkewed_t (nn); af), где a — параметр зависимости Клейтона, который может, вообще говоря, меняться во времени.
Подобные подходы предложены в [Patton (2004)], [Jondeau,Rockinger (2006)] и [Granger и др. (2006)]. Однако, в этих работах авторы сосредотачиваются только на двумерных приложениях и не рассчитывают ГП.
2.6.2. Оценка границы потерь c помощью Copula-GARCH моделей
Общий алгоритм для оценки границы потерь уровней 0,25%, 0,5%, 1%, 5%, 95%, 99%, 99,5% и 99,75% на один день вперед для портфеля P составленного из n активов с инвестиционными позициями, равными M,, i = 1, ...,n, строится следующим образом.
1. Пусть дано множество значений оцененных параметров для момента времени t _ 1, смоделируем j = 100 000 сценариев для лог-доходностей каждого актива, [y,,t,..., yn,t}, за период времени [t _ 1, t], используя общее мета распределение, с помощью следующей процедуры:
1а). Сначала сгенерируем п-мерную случайную величину^,,,...,ип,,) из спрогнозированной в момент времени t сори/о-функции С,, которая может быть нормальной сори/о-функ-цией, t-сори/о функцией, сори/о-функцией Клейтона и др.
1б). На втором шаге получим вектор О, размера п х 1, стандартизированных лог-доходностей активов р,,,, используя обратные функции спрогнозированных в момент времени t маргинальных функций распределения, которь асимметричными t-распределениями и др.:
Qt = (Ри, ...,п пл) = (^(и 1,г; <х 1),..., Fn;1(un,t; а п)).
?
и 5 О.
I §
гс
Ц гинальных функций распределения, которые могут быть нормальными распределениями, ¡3
I
ГС
м 00
й 1в). На третьем шаге изменяем масштаб стандартизированных лог-доходностей активов, ¡8 ¡В
4
-о
8
и £
5
§
§
■с есть:
>| Р/ = Ми-ехр(уи) +... + МпЛ-ехр(Уп,),} = 1,..., 100 000.
и <ъ
5
.
используя прогнозы для средних и дисперсий, оцененных с помощью ДР-СДРСН моделей:
(Уи,..., Упл) = (V1,Г + Ри ..., Дп, пл
1г). Наконец, повторяем эту процедуру ] = 100 000 раз.
2. Используя эти 100 000 сценариев, в момент времени г портфель Р переоценивается, то
3. Для каждого сценария j расчитывается убыток портфеля:
Lossj = P' _Pt_1, j = 1,..., 100 000.
4. Граница потерь уровня a — это (1_a)• 100000 порядковый сценарий, где
щ
il X
^ a = [0,25%, 0,5%, 1%,95%, 5%, 1%, 0,5%, 0,25%}. Например, ГП уровня 0,25% равна 99 750-му
порядковому сценарию.
128
№2(10) 2008
2.7. Эмпирические приложения с использованием статистического пакета R Л
ц
2.7.1. Оценка COPULA-GARCH модели для доходностей з-
Рассмотрим ежедневные показатели доходностей индексов SP500 и DAX за периоде 1994 ¡§ по 2000 год (данные файла sp_dax.txt). Процедура оценки Copula-GARCH модели в статисти- ¡с
5
ческом пакете R:
# Read the data
dat <- read.table("C:/sp_dax.txt", header = TRUE)
# Generate the returns in % y1=10 0*diff(log(dat[,1])) y2=10 0*diff(log(dat[,2]))
# Estimate the GARCH models with a Student's t distribution fit1 = garchFit( garch(1, 1), cond.dist = "dstd", data=y1) fit2 = garchFit( garch(1, 1), cond.dist = "dstd", data=y2)
#Have a look at what there is inside the output of the GARCH estimation #(which is an S4 object, see p.9 of the manual by Grant Farnsworth fit1@fit
<ъ 4
#Get the standardized residuals
sp_res=fit1@fit$series$z
dax_res=fit2@fit$series$z
#Get the Cumulative Distribution Functions:
#Remember that the standardized residuals are (0,1), while when computing
#the cdf of a central standard Student's t, the variance is nu/(nu-2).
cdf_sp= pt(sqrt(fit1@fit$coef[5]/(fit1@fit$coef[5]-2))*sp_res,fit1@fit$coef[5])
cdf_dax=pt(sqrt(fit2@fit$coef[5]/(fit2@fit$coef[5]-2))*dax_res, fit2@fit$coef[5])
#Estimate a bivariate T copula
ellipticalCopulaFit(cdf_sp,cdf_dax, type = "t")
#Estimate a bivariate Gumbel archmCopulaFit(cdf_sp,cdf_dax,type="4")
Для f-copula функции Стьюдента должно получиться:
$par [1] 0.2781346 10.2533838 $objective [1] -0.06653569
а для copula-функции Гумбеля — такие результаты:
$par [1] 1.200167 $objective [1] -0.05549976
129
No2(10) 2008
Вы можете попробовать использовать другие двумерные copula-функции, включенные в пакет fcopulae, начиная с эллиптических copula-функций и кончая copula-функциями экстремальных значений.
2.7.2. Оценка границы потерь с помощью Copula-GARCH модели
Рассмотрим те же данные, как в предыдущем разделе, и рассчитаем границу потерь уровня 1% для равновзвешенного портфеля. Для описания совместного распределения доходностей мы воспользуемся 7-copula функцией c маргинальными (частными) функциями распределения, имеющими f-распределение. Программа в R выглядит следующим образом:
#I load the packages needed for my following work
library(fGarch)
library(fCopulae)
#Read the data dat <-
read.table("C:/Lezioni/Moscow_master_2_anno/COPULA/sp_dax.txt", header = TRUE) #Generate the returns in % REMARK: If you don't multiply for 100, the resulting
Л #cdfs are not precisely estimated and the elliptical copula cannot be estimated
<5 y1_all = 100*diff(log(dat[,1])) S
a y2_all=100*diff(log(dat[,2])) ! _
5 #Inizialize the vectors which will contain the realized returns §
<s
6
С # and the VaRs estimates
S,
^ var_final=
1 true ret=
s
¡f for (i in 1000:1249) П
oq y1=y1_all[1:i]
S y2=y2_all[1:i]
^ #Estimate the GARCH models
2 fit1 = garchFit( garch(1, 1), cond.dist = "dstd", data=y1, trace=FALSE) to
0 fit2 = garchFit( garch(1, 1), cond.dist = "dstd", data=y2, trace=FALSE)
1
S
5 #1-step ahead Forecast
fore_1=predict(fit1, n.ahead = 1) fore_2=predict(fit2, n.ahead = 1)
§ s
#Example mean forecast (DAX return)
I fore 2[,1]
U -
<u
§ #Example variance forecast (DAX variance)
Er
^ fore 2[,3]
§ _
I
§ #Have a look at what there is inside the output of the GARCH estimation
O
#(which is an S4 object, see p. 9 of the manual by Grant Farnsworth fit1@fit
130
No2(10) 2008
#Get the standardized residuals sp_res=fit1@fit z dax_res=fit2@fit z
#Get the Cumulative Distribution Functions:
#Remember that the standardized residuals are (0,1), while when computing the cdf
#of a central standard Student's t, the variance is nu/(nu-2).
#REMARK: IF you add ARMA terms, then coef[5] is no more correct!
cdf_sp= pt(sqrt(fit1fit$coef[5]/(fit1fit$coef[5]-2))*sp_res/ fit1fit$coef[5])
cdf_dax=pt(sqrt(fit2fit$coef[5]/(fit2fit$coef[5]-2))*dax_res, fit2fit$coef[5])
#Estimate a bivariate T copula
t_est=ellipticalCopulaFit(cdf_sp,cdf_dax, type = "t") t_est #Estimate a bivariate Gumbel
a_est=archmCopulaFit(cdf_sp,cdf_dax, type = "4") a_est #Simulate the estimated elliptical copula
e_sim=ellipticalCopulaSim(10 0 0 0, rho = t_est par[2], type = c("t"))
#REMARK: we use only 10000 simulations for the elliptical and 1000 for the archimedean
# since the R procedures are very slow compared to Gauss and Matlab. However,
# remember that to have a good approximation of the quantile you need at 100.000
# MC simulations!
#Simulate the estimated archimedean copula
#a_sim=archmCopulaSim(10 0 0, alpha = a_est$par[1], type = "4") #Simulate the standardized residuals [F_1-1(u_1),F_2-1(u_2)]
sim_std1=sqrt((fit1fit$coef[5]-2)/fit1fit$coef[5])*qt(e_sim[,1],fit1fit$coef[5]) sim_std2=sqrt((fit2fit$coef[5]-2)/fit2fit$coef[5])*qt(e_sim[,2],fit2fit$coef[5])
#Simulated returns
sim_ret1=fore_1[,1]+sqrt(fore_1[,3])*sim_std1 sim_ret2=fore_2[,1]+sqrt(fore_2[,3])*sim_std2
#Portfolio simulated returns sim_port=sim_ret1+sim_ret2
#Sort the simulated returns sort_sim=sort(sim_port)
#Value at Risk at 1% quantile = [0.01*(ROWS OF THE VECTOR)] sorted #returns
var=sort_sim[0.01*NROW(sort_sim)]
131
No2(10) 2008
#I save the estimated VaR and the realized return var_final=rbind(var_final,var) ret=y1_all[i+1]+y2_all[i+1] true_ret=rbind(true_ret,ret)
#Create the hit series for the Var at 1% level and compute the sum
#for the basel test
hit01=1*(true_ret<var_final)
basel_test=sum(hit01)
#plot the true returns and the VaR
plot(true_ret/type="l"/col=2/xlab="Date"/ylab="True realized return and VaR at 1% level" main="VaR at 1% level of a bivariate portfolio - T marg./Norm c.") lines(var_final,col=3)
Уровень 10 доходности
§ §
0 s a
1
(b §
то
!
is ^
TO
CO
CO £
I
TO £
£ о
0
1
ii
! £
TO
i
(b ^
s &
(b §
§ §
о
100 125 150 175 200 225 250 Дни Рис. 11. ГП на уровне 1% (Copula-GARCH модель, равновзвешенный портфель: Газпром, Лукойл, РБК, Сбербанк)
2.8. Тестирование ГП на исторических данных
Определим последовательность «успехов» (11):
It+] = 1,если Yt+] <-ГПа (t;1), It+] = 0, если Yt +i >-ГПа (t;1).
Если используется идеальная модель для получения оценки границы потерь ГП, то превышения -ГПа(t;1) следует ожидать в доле 1-а случаев ежедневно. При справедливости нулевой гипотезы о правильной спецификации последовательность «успехов» — последовательность независимых одинаково распределенных бернуллиевских случайных величин с вероятностью «успеха» а:
H0:11+1 ~ Bernoulli(а), f (11, а) = (1 -а )1-11+1 а11+1.
132
№2(10) 2008
2.8.1. Тестирование на безусловный охват Л
Пусть мы хотим протестировать, отличается ли от а статистически значимо доля наблю- 5 дений л, меньших-ГПа, некоторой модели риска. Функция правдоподобия для последова- £
те
тельности Бернулли равна: в
Т00 + Т01
ЦЛ) =П(1-л)1-+1 Л'•+1 = (1-л)То ЛТ,
г
где Т0 и Т1 — число нулей и единиц в нашей выборке (а Т = Т0 + Т). Тогда оценка максимума правдоподобия для л равна
л = —Т—.
То + Т1
Интересующая нас гипотеза о том, что истинная доля потерь, больших границы потерь, равна а, можетбыть проверена (в предположении независимости' ь' 2,...) с помощьюметода отношения правдоподобия
1Нис = -2 !п[Ц(а)/!пЦ(Л)] = -21п[(1 -а)То а71 /(1 -Т/Т)То (Т/Т)Т ] ~ %2(1).
В соответствии с теорией, статистика 1Нис должна подчиняться %2(1) распределению при больших выборках. При малых Траспределение критическихзначений статистики 1Нисможет быть получено с помощью статистического моделирования.
2.8.2. Тест на независимость
Возможны ситуации, когда модель проходит тест на безусловный охват, но при этом все наблюдения г, для которых'г = 1, сконцентрированы в малой окрестности некоторого момента времени. В этом случае, возможно, нарушена независимость наблюдений, и необходим тест, с помощью которого можно было бы проверить нашу гипотезу и при наличии таких сгущений г. С этой целью предположим, что последовательность попаданий зависима по времени и что она может быть описана как марковская последовательность первого порядка с матрицей вероятностей переходов
П = р-Л01, Л01 1 1^1-Л 11, Л11
где л 01 — вероятность того, что завтра'г+1 = 1, при условии, что сегодня'г+1 = 0. Вероятность события {'I = 0,'г+1 = 0} равна 1-л01, а вероятность события {'г = 0,'г+1 = 1} равна 1-л,,.
Для выборки Т наблюдений из марковского процесса первого порядка функция правдоподобия равна
ЦЦ) = (1 -л01)Т°° Л0011(1-Л11^0 л 1;,
где Т — число наблюдений, для которых'г = / и 'г+1 = ¡. Беря первую производную по л 01, л п и приравнивая эти производные нулю, получим оценки максимума правдоподобия:
Т01
л 01 = -
<ъ
Л11 = ■
Тю + ТЦ
133
и £
5
Н92(10) 2008
Используя тот факт, что вероятности должны давать в сумме единицу, мы получим
Я 00 = 1 - Я 01, Я10 = 1-7111.
Допущение о зависимости «последовательности попаданий» соответствует допущению, что я01 должно отличаться отяп: в нашем случае типичной будет ситуация, при которой Я 11 >Я 01.
Если, с другой стороны, попадания независимы, то мы имеем я 01 =я 11 =я. При условии независимости, матрица перехода равна
С1 - Я, ЯЗ П = 1 Я Я
- Я, Я^
Мы можем тестировать независимость, используя тест отношения правдоподобия:
1Н ы =-2!п[цП)/ЦЦ)]~ Х 2(1). В случае, если оказалось, что Т11 = 0, функция правдоподобия примет вид
ЦП,) = (1-Я01 Г00 Я00.
| 2.8.3. Тестирование на условный охват
$ Наконец, если нам необходимо протестировать одновременно гипотезу отом, что 11,12,...
I §
гс воспользоваться тестом «на условный охват»: ¡8
который соответствует тестированию гипотезы я01 =я 11 = а. Необходимо помнить, что
® LP.cc = 1Я„с + 1Я,
образуют последовательность независимых случайных величин и что доля нулей этой последовательности согласуется с предположением нашей модели (т. е. равна 1-а), то можно
ловный охват»:
LPcc =-2!п^(а)/L(П1)]~ %2 (2),
£
¡пд '
2.8.4. Базельский тест для моделей ГП
ч
■з Этот тест основан на числе потерь, больших, чем оценка 1-дневной границы потерь 8 1%-го уровня. Длина периода тестирования равна 250 дням.
Масштабный множитель, на который должна быть умножена оценка ГП0,01(Г, 1) при расчете требуемого банку объема капитала, определяется нормативно в зависимоти от резуль-§ татов теста (см. табл. 1). Отметим, что это односторонний тест, направленный на то, чтобы определять уровни очень малого риска.
Базельский тест: количество случаев, в которых потери превышали ГП0 01 (Г, 1) (рассчитан-
I
ГС >5
* ные по 250 наблюдениям)
щ &
<ъ
I
I
Уровень рыночного рискового капитала, который банк должен иметь в момент Г, равен максимуму из ГП001 (Г -1,1) и среднего ГП0,01(Г, 1) за шестьдесят последних периодов, умноженного на так называемый масштабный параметр БР, а именно:
С 1 60
МРС = Мах I ГП001(1, Г -1), БР • — -УГП001(1, Г - 1-Г
I ' 60 % ■
134
Таблица для определения масштабного множителя
Nb2(10) 2008
Таблица 1 | 1
те в
<ъ
Зоны Число наблюдений, меньших ГПо,с,(( ,1) Масштабный множитель
Зеленая зона 0-4 3
Желтая зона 5 3,4
Желтая зона 6 3,5
Желтая зона 7 3,65
Желтая зона 8 3,75
Желтая зона 9 3,85
Красная зона > 10 4
Список литературы
Acerbi C. Spectral Measures of Risk: A Coherent Representation of Subjective Risk Aversion // Journal of Banking and Finance. 2002. № 26. P. 1505-1518.
Acerbi C. Coherent Representations of Subjective Risk-Aversion / in G. Szego (Ed). Risk Measures for the 21st Century. Wiley, New York, 2004.
Acerbi C., Tasche D. On the Coherence of Expected Shortfall // Journal of Banking and Finance. 2002. №26(7). P. 1487-1503.
Artzner P., Delbaen F., EberJ. M., Heath D. Coherent Measures of Risk// Mathematical Finance. 1999. № 9. P. 203-228.
BaltagiB. H., Bresson G., PirotteA. Panel Unit Root Tests and Spatial Dependence// Journal of Applied Econometrics. 2007. № 22. P. 339—360.
BanerjeeA. Panel Data Unit Roots and Cointegration: An Overview// Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 1999. Vol. 61(0).
BanerjeeA., MarcellinoM., OsbatC. Some Cautions on the Use of Panel Methods for Integrated Series of Ma-croeconomic Data // Econometrics Journal. 2004. № 7. P. 322-340.
BanerjeeA., MarcellinoM., OsbatC. Testing for PPP: Should we Use Panel Methods?// Empirical Economics.
2005. №30. P. 77-91.
Bauwens L, Laurent S. A New Class of Multivariate Skew Densities, with Application to GARCH Models// Journal of Business and Economic Statistics. 2005. № 23(3). P. 346-354.
Bauwens L, Laurent S., RomboutsJ. Multivariate GARCH Models: a Survey// Journal of Applied Econometrics.
2006. №21(1). P. 79-109.
BollerslevT. Modelling the Coherence in Short-Run Nominal Exchange Rates: a Multivariate Generalized ARCH Model // The Review of Economics and Statistics. 1990. № 72(3). P. 498-505.
BreitungJ. A Parametric Approach to the Estimation of Cointegration Vectors in Panel Data// Econometric Reviews. 2005. P. 151-174.
BreitungJ., PesaranM. H. Unit Roots and Cointegration in Panels/Forthcoming in MatyasL., SevestreP. The Econometrics of Panel Data (Third Edition). Kluwer Academic Publishers, 2007.
Choi I. Unit Root Tests for Panel Data// Journal ofInternational Money and Finance. 2001.№ 20. P. 249-272. Christoffersen P. Elements Of Financial Risk Management, Acedemic Press. 2003. EngleR. F., SheppardK. Theoretical and Empirical Properties of Dynamic Conditional Correlation Multivariate GARCH // NBER Working Papers. 2001. № 8554.
135
No2(10) 2008
EngleR. F. Dynamic Conditional Correlation — a Simple Class of Multivariate GARCH Models// Journal of Business and Economic Statistics. 2002. № 20. P. 339-350.
Fantazzini D. Dynamic Copula Modelling for Value at Risk, Frontiers in Finance and Economics. 2008a. Forthcoming.
Fantazzini D. The Effects of Misspecified Marginals and Copulas on Computing the Value at Risk: A Monte Carlo Study, Computational Statistics and Data Analysis. 2008b. Forthcoming.
Gengenbach C, Palm F. C, UrbainJ. P. Panel Unit Root Tests in the Presence of Cross-Sectional Dependencies: Comparison and Implications for Modelling. Universiteit Maastricht, 2006. Unpublished.
GiotP., Laurent S. Value-at-Riskfor Long and Short Positions// Journal of Applied Econometrics. 2003. № 18. P. 641-664.
GrangerC., PattonA, Terasvirta T. Common Factors in Conditional Distributions for BivariateTime Series// Journal of Econometrics. 2006. № 132. P. 43-57.
GroeJ.J, Kleibergen F. Likelihood-Based Cointegration Analysis in Panels of Vector Error-Correction Models// Journal of Business and Economic Statistics. 2003. № 21. P. 295-318.
Gutierrez L. Panel Unit Roots Tests for Cross-Sectionally Correlated Panels: A Monte Carlo Comparison // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 2006. № 68. P. 519-540.
Hadri K.Testing for Stationarity in Heterogeneous Panel Data // Econometric Journal. 2000. № 3. P. 148161.
§ Hansen B. Autoregressive Conditional Density Estimation // International Economic Review. 1994. № 35(3).
§ P. 705-730. u
H Hlouskova J., Wagner M. The Performance of Panel Unit Root and Stationarity Tests: Results from a Large
§ Scale Simulation Study// Econometric Reviews. 2006. № 25. P. 85-116. i
iK Hlouskova J., Wagner M. The Performance of Panel Cointegration Methods: Results From a Large Scale
CQ
^ Simulation Study // Econometric Reviews. Forthcoming, 2007.
^ Im K. S., Pesaran M. H., Shin KTesting for Unit Roots in Heterogeneous Panels // Journal of Econometrics.
? 2003. №115. P. 53-74. <s
H Kao C. Spurious Regression and Residual-Based Tests for Cointegration in Panel Data // Journal of Econo-
« metrics. 1999. № 90. P. 1-44.
3 KaoC, Chiang M. H. On the Estimation and Inference of a Cointegrated Regression in Panel Data// Advan-
§ ces in Econometrics. 2000. № 15. P. 179-222.
q
x Joe H, Xu J. The Estimation Method of Inference Functions for Margins for Multivariate Models. Depart-
§ ment of Statistics, University of British Columbia, Technical Report no. 166.1996.
■c Joe H. Multivariate Models and Dependence Concepts. London: Chapman Hall, 1997.
s Jondeau E, RockingerM. Conditional Volatility, Skewness, and Kurtosis: Existence, Persistence, and Como-
w vements // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. № 27. P. 1699-1737. s
§ Jondeau E, Rockinger M. The Copula-GARCH Model of Conditional Dependencies: An International
is Stock-Market Application // Journal of International Money and Finance. 2006. № 25. P. 827-853.
§ Jorion P. Financial Risk Manager Handbook. 4th edition. Wiley, 2007. ij
J Larsson R., LyhagenJ., Lothgren M. Likelihood-Based Cointegration Tests in Heterogenous Panels// Econo-! metrics Journal. 2001. №4. P. 109-142.
| Levin A., Lin C. F, ChuC. Unit Root Tests in Panel Data: Asymptotic and Finite-Sample Properties// Journal
§ of Econometrics. 2002. № 108. P. 124.
o Maddala G. S., Wu S. A Comparative Study of Unit Root Tests with Panel Data and A New Simple Test // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 1999. № 61. P. 631-652.
136
No2(10) 2008
MarkN. C.,SulD. Cointegration Vector Estimation by Panel DOLS and Long-run Money Demand//Oxford | Bulletin of Economics and Statistics. 2003. № 65. P. 655-680. I
Nelsen R. B. An Introduction to Copulas, Springer Series in Statistics. 1999. ¡2
O'Connell G.J. The overvaluation of purchasing power parity// Journal of International Economics. 1998. ^ №44(1). P. 1-19. *
PattonA. On the Out-of-Sample Importance of Skewness and Asymmetric Dependence for Asset Alloca- ^ tion // Journal of Financial Econometrics. 2004. №2(1). P. 130-168.
Patton A. Estimation of Copula Models for Time Series of Possibly Different Lengths// Journal of Applied Econometrics. 2006a. №21. P. 147-173.
Patton A. Modelling Asymmetric Exchange Rate Dependence // International Economic Review. 2006b. №47(2). P. 527-556.
Pedroni P. Critical Values for Cointegration Tests in Heterogeneous Panels with Multiple Regressors // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 1999. № 61. P. 653-670.
Pedroni P. Panel Cointegration: Asymptotic and Finite Sample Properties of Pooled Time Series Tests With an Application to the PPP Hypothesis // Econometric Theory. 2004. № 20. P. 97-625.
Pesaran M. H. A Simple Panel Unit Root Test in the Presence of Cross Section Dependence // Journal of Applied Econometrics. 2007. № 22. P. 265-312.
Pesaran M. H, Shin Y, Smith R. P. Pooled Mean Group Estimation of Dynamic Heterogeneous Panels // Journal of the American Statistical Association. 1999. № 94. P. 621-624.
Phillips P. C. B., Moon H. R. Linear Regression Limit Theory for Nonstationary Panel Data // Econometrica. 1999. №67. P. 1057-1111.
Rosenberg J. V., Schuermann T. A General Approach to Integrated Risk Management with Skewed, Fat-Tailed Risks // Journal of Financial Economics. 2006. № 79. P. 569-614.
White H. Estimation, Inference and Specification Analysis. Cambridge University Press, 1994.
137
