CC BY
48
УДК 574.2 + 51.001.572
ЭФФЕКТЫ НАПРАВЛЕННОЙ ПЕРКОЛЯЦИИ В ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ СО СЛУЧАЙНЫМ РАЗМНОЖЕНИЕМ И РАСПАДОМ
© 2005 Д.И. Иудин
Нижегородский государственный университет
Рассматривается математическое описание направленной перколяции (фильтрования) в процессе заселения территории.
Вписанные в природную среду объекты техногенеза, а таковыми, в частности, являются и промышленно-транспортные комплексы, с физической точки зрения, представляют собой сильно неравновесные открытые системы потокового типа. Потоки энергии и вещества, проходящие через эти системы, обеспечивают возникновение в них эффектов самоорганизации - образования макроскопических дисси-пативных структур [1]. В последнее время в области интересов физики оказывается все большее число нелинейных распределенных сред, структурообразование в которых демонстрирует в широком диапазоне параметров и масштабов пространственно-временной скей-линг - один из фундаментальных видов симметрии физического мира, играющих формообразующую роль во Вселенной [2]. Пространственно-временной скейлинг характеризуется сильными, спадающими по степенному закону, корреляциями, которые типичны для критических явлений. Критический режим в процессах самоорганизации оказывается самосогласованным и самонастраивающимся, причем динамика критических флуктуации непосредственно связана с появлением фракталов в конфигурационном пространстве нелинейных распределенных систем при кинетических переходах. Исследования явлений такого рода были объединены недавно общим направлением названным самоорганизованной критичностью (self-organized criticality) [3] и позиционирующим скейлинговый аспект самоорганизации как ярчайшую интригу современной физической парадигмы, вызывающую колоссальный интерес [4].
Яркими примерами критической динамики в потоковых системах являются взрывная неус-
тойчивость и кинетический переход типа "заселения среды" в неравновесных системах с размножением, распадом и диффузией. Порог взрывной неустойчивости определяется конкуренцией между процессами размножения и распада.
Если скорости размножения или распада флуктуируют, а размножающееся вещество способно к диффузии, расчет порога взрывной неустойчивости становится сложной проблемой, близкой к кругу вопросов теории неупорядоченных сред и перколяционной теории. Анализ перколирующих систем как геометрического образа самосогласованной критической динамики представляется здесь особенно актуальным. Дело в том, во-первых, что подобно диссипатив-ным структурам, перколяционные структуры также оказываются результатом фазовых превращений. Во-вторых, геометрические параметры перколяционных кластеров вблизи порога слабо зависят от деталей мелкомасштабного устройства, что делает перколяцию чрезвычайно привлекательной в прикладном аспекте.
Итак, сосредоточенная система со случайным размножением и распадом описывается стохастическим дифференциальным уравнением
п= -ап + Д)п, (1)
в котором а - постоянная скорость распада, а Д) - случайно меняющаяся во времени скорость размножения с заданными статистическими характеристиками. Говорят, что для системы (1) превышен порог взрывной неустойчивости если средняя по ансамблю реализаций плотность вещества (п(^) неограниченно возрастает со временем [5-12].
Добавление в уравнение (1) диффузионного члена обобщает модель на случай распределенных систем, в которых возможны процессы распада, размножения и диффузии
некоторого вещества. Предполагается, что скорость распада однородна в пространстве и во времени, а размножение происходит лишь внутри определенных центров размножения, которые случайно возникают во времени в случайных точках среды, но имеют одинаковую форму, интенсивность и продолжительность жизни. Соответствующей математической моделью является уравнение [5]: п= -саг + /(г, г)п + БАп, (2)
где п - плотность вещества, Б - коэффициент его диффузии. Флуктуирующее поле /(г,г) задается суммой расположенных в случайных точках (г г) одинаковых импульсов 0(г,г):
/(г, г) = Е©(г - г.; г - г.) . (3) 1
Среднее число импульсов, приходящихся в единицу времени на единицу объема, постоянно и равно §. Функция 0(г, г) имеет вид ©(г,г) = УО(гЩг), (4)
где J- характеризует интенсивность центра размножения, О(г) = 1 при г < г0 и О(г) = 0 при г > г0 и ¥(г) = 1 при 0 < г < т0 и ¥(г) = о при г < о и г > т0 так что г0 и т0 дают, соответственно, характерный пространственный размер отдельного центра и время его жизни.
Существенным параметром задачи является безразмерная пространственно-временная концентрация центров размножения £,
определяемая как
J = § ^ , (5)
где d- размерность среды. Когда параметр £ мал, £ << 1, различные центры размножения действуют независимо друг от друга и расчет порога взрывной неустойчивости осуществляется в рамках стандартного анализа в приближении среднего поля [5]. По мере роста £ различные центры размножения начинают перекрываться в пространственно-временном континууме и их взаимное влияние становиться существенным: последующие центры начинают действовать на фоне пятен населенности оставленных предыдущими центрами. Появляются пространственно-временные цепочки центров размножения - кластеры размножающегося вещества эволюционирующие на фоне практически нулевой населенности. Пространственно-временные масштабы этих кластеров расходятся при стремлении параметра £ к некоторому критическому значению, соответству-
ющему порогу направленной перколяции. Характерная критическая динамика модельной системы в одномерном случае представлена на рис. 1, где ось времени направлена вертикально вверх. При численном моделировании уравнения (2) в одномерном случае оно было дополнено слабой постоянной накачкой, поддерживающей населенность на уровне шума и нелинейным диссипатив-ным членом, обеспечивающим механизм запоро-гового ограничения роста населенности:
п = е - сп + /(г, г)п + БАп - ¡Зп2. (6) При численном исследовании уравнения (2) в двумерном случае рассматривалась ситуация, когда центры размножения являются ко-роткоживущими, т.е. т0 << т02/Б. В этом случае центры размножения можно считать слабыми при выполнении условия J << где ^ = т0"-1 для d = 1, 2, 3 [9-12]. При расчете порога взрывной неустойчивости в случае центров слабой интенсивности можно воспользоваться, в качестве первого приближения, условием равенства средней по объему скорости размножения / и скорости распада а. Поскольку средняя скорость размножения есть
/ = § / ©(г,г)^г = £/, (7)
где в двумерном случае £ = § к г02 т0 , этот способ дает следующее значение безразмерной критической концентрации центров размножения:
£г(0) = с/ J . (8)
Выражение (8) не учитывает корреляционных эффектов и, поэтому, далеко не всегда может служить разумным первым приближением
20 40 60 90 100 123 140 1вО 180 200
Рис. 1. Одномерная динамика, ось времени направлена вертикально вверх, цвет отображает уровень населенности
к истинном величине порога взрывной неустойчивости. Корреляционные статистические эффекты понижают порог взрыва, причем это понижение может оказаться весьма существенным.
Компьютерное моделирование позволяет найти истинную величину порога £ при фиксированной амплитуде импульса размножения J и сравнить ее со среднеполевым значением (8). На рис. 2 представлена зависимость эффективности флуктуационного понижения порога взрывной неустойчивости £ (и) / £ = Г<х(Л / £ от самой истинной
сг сг -1 сг
величины порога £ . При этом обращает на себя внимание хорошо воспроизводимый максимум эффективности при значении £сг ~ 0,474, соответствующем порогу направленной перколяции. С ростом амплитуды J эффективность флуктуационного понижения порога взрывной неустойчивости растет.
Рис. 3 воспроизводит эволюцию средней населенности для дискретного аналога уравнения (6) на квадратной решетке. Соответствующая динамика населенности в одной отдельно взятой ячейке решетки показана на рис. 4.
Характерный вид пространственного распределения населенности в некоторый фиксированный момент времени представлен на рис. 5. Заметим, что среднее по пространству и времени значение параметра активности составляет величину <Дг, ф « 0,08, которая значительно уступает коэффициенту линейной диссипации.
Динамика системы со случайным раз-
Рис. 2. Зависимость эффективности флуктуационного понижения порога взрывной неустойчивости £ (0) / £ = [а/Л] / £ от истинной
3 сг сг 1 1 сг
величины порога £сг при фиксированной амплитуде импульса размножения Л
множением и распадом, эволюционирующей вблизи порога направленной перколяции, обнаружила очень интересную зависимость от размеров системы. ~
Введем параметр и, характеризующий пространственную локализацию размножающегося вещества и равный отношению максимальной на решетке и усредненной по времени населенности к населенности усредненной и по времени и по узлам решетки и = тах(п)/{п} . Рис. 6 демонстрирует зависимость введенного параметра локализации и от скорости распада а при различных значениях линейного масштаба модельной решетки L. Очевидный эффект роста простран-
Рис. 3. Эволюция средней населенности
на квадратной решетке 70 х 70 при г0 = 9; т0 = 5; Л = а = 0,3; Р = 5 • 10-2 е = 3 • 10-3
Рис. 4. Динамика населенности в одной отдельно взятой ячейке решетки
а = 0,3; р--и О = 10-2
10 20 30 40 SO СО ТО
Рис. 5. Пространственное распределение населенности в фиксированный момент времени
A 1 r.o -0- L= 100 ■V L - 150 - a- L = 200
...
Ц / v о ' жай iiA""
о.« 0.1 о.« 0.2 . з од о.аз
Рис. 6. Зависимость параметра локализации U от скорости распада б при различных- значениях линейного масштаба модельной решетки L
ственной локализации обусловлен фракталь-
ностью пространственно-временных цепочек
из пятен размножающегося вещества.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васипьев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987.
2. ШредерМ. Фракталы, хаос, степенные законы. М.: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.
3. Bak P. How Nature Works (The Science of Self-organized Criticality). Oxford: Univ. Press, 1997.
4. Jensen H.J. Self-Organized Criticality. Cambridge: Univ. Press, 1998.
5. МихайловА.С., УпоровИ.В. Критические явления в средах с размножением, распадом и диффузией // УФН. 1984. Т. 144(1).
6. Лоскутов А.Ю., МихайловА.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.
7. Трубецков Д.И. След вдохновений и тру-
дов упорных. Саратов: Изд-во Гос. УНЦ "Колледж", 2001.
8. Трахтенгерц В.Ю., Иудин Д.И., Григорьев А.Н. О фрактальной динамике активных сред // Нелинейные волны, 2002 / Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2003.
9. Иудин Д.И., Трахтенгерц В.Ю. Динамическая перколяция в активных средах // Нелинейные волны, 2004 / Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2005.
10. Иудин Д.И. Динамическая перколяция в системах со случайным ростом // Труды научной конференции по радиофизике. Нижний Новгород: ННГУ, 2004.
11. Иудин Д.И. Эффекты направленной пер-коляции в сети клеточных автоматов // Труды научной конференции по радиофизике. Нижний Новгород: ННГУ, 2004.
12.Iudin D.I., Trakhtengerts V.Y. Percolation dynamics in active systems // Proceeding of the International Conference "Frontiers of Nonlinear Physics 2004". Nizhny Novgorod; St. Peterburg, 2004.
EFFECTS OF DIRECTIONAL PERCOLATION IN ECOLOGICAL SYSTEMS WITH CASUAL REPRODUCTION AND DISSOCIATION
© 2005 D.I. Iudin
Nizhniy Novgorod State University The mathematical modeling of directional percolation in process of colonization of area are considered.
