Эффекты и явления в теории интегральных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Эффекты и явления в теории интегральных уравнений Кененбаева Г. М.

Кененбаева Гулай Мекишовна /Kenenbaeva Gulai Mekishovna - кандидат физико-математических наук, доцент,

кафедра прикладной математики и информатики, факультет математики, информатики и кибернетики,

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: с применением полученных результатов [1]-[10] выявлен эффект «аналитичности» и впервые обнаружено явление корректности интегральных уравнений первого рода; для интегрального уравнения третьего рода построен пример, показывающий, что вырожденное уравнение имеет явление частичного поворота решения.

Ключевые слова: явление, эффект, теория интегральных уравнений.

Введение

Известно, что развитие математики, как и других наук, происходило через обнаружение новых, неожиданных фактов, примеров и в дальнейшем - создание теории для них или с их учетом.

Поэтому цель исследования следующая:

• выявить наиболее ранние упоминания в литературе, систематизировать и обобщить важные для математики понятия эффектов и явлений;

• выявить необходимые условия для их возникновения, разработать методы их поиска и найти новые эффекты и явления, соответствующие определениям, приведенным в работах [4], [5], [8], [10] в теории интегральных уравнений.

В работах [4], [5], [8], [10] предложены рамочные определения понятия «эффекта» и «явления» для математики, с целью их более систематического поиска.

В работе [7] показано, что некоторые задачи для дифференциальных уравнений, являющиеся некорректными даже с заданными бесконечно дифференцируемыми функциями, в том числе начальная задача для уравнения эллиптического типа, становятся корректными с аналитическими функциями.

Пусть дано интегральное представление решения начальной задачи для уравнения теплопроводности на числовой оси. Если считать значение решения как функцию, определенную на числовой оси, в фиксированный момент времени - заданным, а начальную функцию - неизвестной, то возникает линейное интегральное уравнение с разностным ядром.

В работе [3] показано, что оно является корректным в пространстве целых аналитических функций экспоненциального типа с соответствующей нормой, и его решение представляется в виде сходящегося ряда по четным производным заданной функции в правой части. С использованием [5] полученные расчеты на компьютере подтвердили правильность полученных результатов.

В работе [9] для интегрального уравнения третьего рода построен пример, демонстрирующий, что вырожденное уравнение имеет явление частичного поворота решения.

Основные определения

Определение 1 [2], [10]. Будем называть «явлением» P свойство некоторого обособленного класса объектов из X, для которых не выполняется свойство B.

Понятию «обособленный» можно придать более точный смысл: если класс Х представляет собой множество и в нем можно ввести меру, то «явление» - это такое свойство, которое выполняется на множестве меры нуль, то есть «почти никогда».

Определение 2 [2], [10]. Воздействием «эффекта» E будем называть свойство (или ряд свойств) P некоторых объектов х еХ, имеющих свойство Е, но такое, что логическое доказательство (ЕлС) P (где С -

некоторое дополнительное условие) очень сложно и свойство P было первоначально обнаружено не путем логического вывода, а столкновением с парадоксами, путем эксперимента.

Из этих определений возникает следующая методика:

Если объекты, в которых возникают места различные, но однотипные неожиданные явления, имеют общее свойство E, то можно считать это свойство эффектом.

Далее, накладывая, кроме условия Е, другие дополнительные условия, можно находить другие явления для такого класса объектов.

В качестве класса X принимаем в основном дифференциальные уравнения, в качестве свойства B -решения х уравнений с дополнительными условиями: локально существует, единственно, продолжимо на всю область определения, непрерывно зависит от параметра; в качестве свойства P - противоположное: имеет разрыв, неединственно, непродолжимо и т. д.

Определение 3 [2]. Пусть существуют такие замкнутое множество Sc 9, S # 9, и непустое открытое множество P, чтоуЕ(t0) = y0 0Sиу0еР. Если на множестве S= 9+ \Pвыполняется соотношение

lim (\\уе (t)\ \ \е^0} = \ \уо (t)\\, (1)

то говорится, что имеет место явление поворота решения вырожденного уравнения.

Пример. Рассмотрим начальную задачу ?y’(t)=ty(t), te[-1, 1], y(-i)= -1■

Она имеет гладкое решение:

yo(t)=t.

Рассмотрим возмущенное уравнение

(e+?)y’(t)=ty(t), te[-1, 1].

Решение начальной задачи для возмущенного уравнения:

y(t)= - ((s+t2)/(s+1))1/2,

его предел lims^0y/t) = \t\^y0(t), но lim s^0ys(t) = \ y0(t)\ - явление поворота решения.

Сведения по некорректным задачам и задачам с аналитическими функциями, с дополнением.

Многие математические задачи приводятся к определению неизвестного элемента z из операторного уравнения вида

Az=u, (2)

где A - непрерывный оператор, действующий из топологического пространства Z в топологическое пространство U, u - известный элемент.

В начале двадцатого века Ж. Адамар сформулировал условия корректности для уравнения (2) (он использовал понятие метрического пространства): Решение z уравнения (2) существует и единственно для любого u eU и непрерывно зависит от u в топологии этих пространств.

Если нарушается одно из этих условий, то задача называется некорректной по Адамару. Ж. Адамар показал на примере, что начальная задача для уравнения эллиптического типа является некорректной.

Если A - интегральный оператор, то (2) называется интегральным уравнением первого рода. Если Z и U -линейные пространства, то в зависимости от свойства оператора A уравнения вида (2) условно можно поделить на линейные и нелинейные.

В начале сороковых годов 20-го века на важность некорректно поставленных задач обратил внимание А. Н. Тихонов. Он привел реальные физические задачи, которые сводятся к некорректно поставленным задачам. Введя условие, которое сейчас называется условием корректности по Тихонову: известно, что решение (1) существует и принадлежит известному компактному множеству. Доказан следующий результат:

Теорема 1: Если Z - компактное пространство и оператор A - инъективный, то обратное отображение A-1: A(Z) Z также непрерывно.

А. Н. Тихонов разработал методы приближенного вычисления z при приближенно известном u в линейном случае. Он предложил общий прием - рассмотрение вместо уравнения (2) другого уравнения с участием параметра а, переходящего при а=0 в уравнение (2) - метод регуляризации.

Известно, что интегральные уравнения первого рода являются некорректными. В Кыргызстане были получены следующие результаты.

Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа

ut’(t,x)= auxx"(t,x). (3)

При a>0 оно является уравнением теплопроводности.

Теорема 2 [7]. Если y/(t) - целая аналитическая функция экспоненциального типа, то существует бесконечно дифференцируемое решение уравнения (2) с условием на временной прямой

u(t,0) = y(t) (tem + ), (4)

которое выражается формулой

где w(t) = y(t),

ад

u(t’x) = ^¥k (t) x 2k,

к=0

(5)

¥к+i(t)

w[ (t)

a(2k + 2)(2k +1)’

к e N

(6)

Это решение устойчиво по yy(t).

Теорема 3 [7]. Если функция cp(x) - целая аналитическая функция экспоненциального типа, то существует бесконечно дифференцируемое решение уравнения (2) с условием на пространственной прямой

u (x,0) = p(x) (xeffi), (7)

которое выражается формулой

где u0(x) =p(x),

ад

u( xt) uk(x)tk ’

к=0

(8)

акф{2к)( x )

к e N.

uk (x)

к!

(9)

Получены аналогичные результаты и для других типов уравнений, в том числе для уравнения эллиптического типа

utt (t,x)+uxx"(t,x)=0. (10)

Отметим, что решение задачи (3)-(7) при a<0 эквивалентно (при соответствующих переобозначениях) решению уравнения относительно функции у (x) при а> 0:

u(t, x) = (2ajnt) 1 Jexp(-(x - s)2 /(4a2t))p(s)ds

-ад

Отсюда следует:

Теорема 4 [7]. Если f(x) - целая аналитическая функция экспоненциального типа, b>0, то интегральное уравнение первого рода

ад

J exp(—b(x — s)2) y(s)ds = f (x)

—ад

имеет решение.

Это решение выражается формулой

У( х) = ^ Z ^f f>(x) n k\

1

(4b)k

И оно устойчиво относительно изменения начальной функции.

В работе [9] построен следующий пример по нашему методу [2]:

(s + (t-1)2)ys (t)J 3(s - l)ys (s)ds = -1, t е [- l,l\

0

для вырожденного уравнения

(t -1)2)Уо(t) J 3(s -1)Уо(s)ds = -1

о

Имеет место явление частичного поворота решения.

В [6] установлено, что решения линейных сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений вида

syE ’(t) =a(t)y(t) +g(t), te C, a(t)*0, (11)

c аналитическими функциями a(t) и g(t), вдоль некоторых линий являются ограниченными, и не близкими к тождественному нулю, а в окрестностях этих линий возникают пограничные слои, названные авторами «простирающимися».

Заключение

Таким образом, можно сделать вывод о наличии «эффекта аналитичности», который обеспечивает возникновение новых явлений без дополнительных предположений.

На основе анализа работ математиков Кыргызстана и других работ выявлен эффект «аналитичности», и впервые обнаружено явление корректности интегральных уравнений первого рода.

Полученные результаты могут найти применение как в развитии общей теории динамических систем, так и для конкретных прикладных задач теории управляемых систем и математической физики.

Литература

1. Кененбаева Г. М. О новых «эффектах» и «явлениях» в математике // Проблемы оптимизации сложных систем: Труды V Международной азиатской школы-семинара, - Новосибирск: Ин-т вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 2009. - С. 64-69.

2. Кененбаева Г. М. Теория и методика поиска новых эффектов и явлений в теории возмущенных дифференциальных и разностных уравнений. - Бишкек: Илим, 2012. - 204 с.

3. Кененбаева Г. М., Аскар к. Л. Класс интегральных уравнений первого рода, имеющих решение при любой правой части // Труды Международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики-2015», посвященной 90-летию со дня рождения академика Г. И. Марчука. Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук. Новосибирск. 19-23 окт. 2015 г. [электрон. ресурс]. - С. 321-324. - Новосибирск: Абвей, 2015.1 электрон. опт. диск. 916 с.

4. Кененбаева Г. М., Касымова Т. Дж. Поиск особых положений в теории механизмов // Наука, техника и образование, (РФ), 12 (18), (2015). - С. 11-14.

5. Кененбаева Г. М., Касымова Т. Дж., Аскар к. Л.Классификации применения компьютеров в математических исследованиях // Проблемы современной науки и образования, (РФ), 1 (2016).

6. Панков П. С., Алыбаев К. С., Тампагаров К. Б., Нарбаев М. Р. Явление погранслойных линий и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями // Вестник ОшГУ, 2013. - № 1 (специальный выпуск). - C. 227231.

7. Панков П. С., Сабирова Х. С. Применение метода сеток к обратной начальной задаче для уравнения теплопроводности с аналитическим начальным условием // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына:

Естественно-технические науки. Серия З. - Вып. 3. Математические науки. Информатика и информационные технологии. - 2005. - С. 103-106.

8. Kenenbaeva G. M. Framework Definitions of Effects and Phenomena and Examples in Differential and Difference Equations // Journal of Mathematics and System Science, 4(2014). - Pp. 766-768.

9. Kenenbaeva G. M., Tagaeva S. Survey of effects and phenomena in some branches of mathematics // Proceedings of V Congress of the Turkic World Mathematicians (Kyrgyzstan, Bulan-Sogottu, 5-7 June, 2014) / Ed. by acad. A. Borubaev. - Bishkek: Kyrgyz Mathematical Society, 2014 - Pp. 107-111.

10. Kenenbaeva G. M., Kasymova T. J. Computer Modeling of Phenomena in Dynamical Systems // Наука, техника и образование, (РФ), 12 (18), (2015). - Pp. 7-10.