Эффективный алгоритм генерации случайных величин с кусочно-линейными плотностями распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оригинальная статья / Original article УДК 004.421.5

DOI: http://dx.d0i.0rg/l0.21285/1814-3520-2018-3-79-83

ЭФФЕКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ГЕНЕРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ПЛОТНОСТЯМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

© Л.Г. Гагарина1, В.Д. Колдаев2, В.Г. Дорогов3, Е.Г. Дорогова4, В.В. Слюсарь5

Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники», 124498, Российская Федерация, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Повышение эффективности имитационного моделирования в различных предметных областях за счет применения кусочно-линейных функций, позволяющих с высокой точностью определять произвольные случайные величины. МЕТОДЫ. Предложено использование кусочно-линейных функций для задания плотности случайных величин в ходе преобразования стандартной случайной величины для построения имитационных моделей. РЕЗУЛЬТАТЫ. В зависимости от вида плотности случайных величин, задаваемой кусочно-линейной функцией, предложены три алгоритма в виде последовательности действий для генерации смеси компонентов, на множестве которых задано некоторое дискретное распределение вероятностей. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Применение кусочно-линейных функций благодаря их универсальности позволяет с достаточно высокой точностью генерировать произвольные случайные величины. Высокая эффективность моделирования кусочно-линейных функций позволит повысить точность и адекватность имитационных моделей в различных предметных областях. Ключевые слова: кусочно-линейная функция, генерация случайных величин, имитационное моделирование, плотность распределения.

Информация о статье. Дата поступления 17 января 2018 г.; дата принятия к печати 28 февраля 2018 г.; дата онлайн-размещения 31 марта 2018 г.

Формат цитирования. Гагарина Л.Г., Колдаев В.Д., Дорогов В.Г., Дорогова Е.Г., Слюсарь В.В. Эффективный алгоритм генерации случайных величин с кусочно-линейными плотностями распределения // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 3. С. 79-83. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-3-79-83

AN EFFECTIVE GENERATION ALGORITHM OF RANDOM VARIABLES WITH PIECEWISE LINEAR DISTRIBUTION DENSITIES

L.G. Gagarina, V.D. Koldaev, V.G. Dorogov, E.G. Dorogova, V.V. Sliusar

National Research University of Electronic Technology «MIET», 1 Shokin sq., Zelenograd, Moscow 124498, Russian Federation

1

Гагарина Лариса Геннадьевна, доктор технических наук, профессор, заведующая кафедрой информатики и программного обеспечения вычислительных систем, e-mail: vslyusar@mail.ru

Larisa G. Gagarina, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Information Science and Computer Software, e-mail: vslyusar@mail.ru

2Колдаев Виктор Дмитриевич, доктор технических наук, профессор кафедры информатики и программного обеспечения вычислительных систем, e-mail: vslyusar@mail.ru

Viktor D. Koldaev, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Information Sciences and Computer Software, e-mail: vslyusar@mail.ru

3Дорогов Виктор Георгиевич, кандидат технических наук, доцент кафедры информатики и программного обеспечения вычислительных систем, e-mail: vslyusar@mail.ru

Viktor G. Dorogov, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Information Science and Computer Software, e-mail: vslyusar@mail.ru

4Дорогова Екатерина Георгиевна, кандидат технических наук, доцент кафедры информатики и программного обеспечения вычислительных систем, e-mail: vslyusar@mail.ru

Ekaterina G. Dorogova, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Information Science and Computer Software, e-mail: vslyusar@mail.ru

5Слюсарь Валентин Викторович, кандидат технических наук, доцент кафедры информатики и программного обеспечения вычислительных систем, e-mail: vslyusar@mail.ru

Valentin V. Sliusar, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Information Science and Computer Software, e-mail: vslyusar@mail.ru

ABSTRACT. The PURPOSE of the article is to improve the efficiency of simulation modeling in various subject domains through the use of piecewise linear functions that allow high accuracy in the determination of arbitrary random variables. METHODS. It is proposed to use piecewise linear functions to specify the density of random variables under the transformation of a standard random variable to build simulation models. RESULTS. Based on the type of the random variable density specified by a piecewise linear function three algorithms of action sequence have been proposed for generating the mixture of the components that must have a defined discrete probability distribution. CONCLUSION. Due to their versatility the piecewise linear functions when applied provide sufficiently high generation accuracy of arbitrary random variables. A high simulation efficiency of piecewise-linear functions can improve the accuracy and adequacy of simulation models in different subject domains.

Keywords: piecewise linear function, generation of random variables, simulation modeling, density distribution

Information about the article. Received January 17, 2018; accepted for publication February 26, 2018; available online March 31, 2018.

For citation. Gagarina L.G., Koldaev V.D., Dorogov V.G., Dorogova E.G., Sliusar V.V. An effective generation algorithm of random variables with piecewise linear distribution densities. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 3, pp. 79-83. (In Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2018-3-79-83

Введение

Генерация случайных величин (СВ) является важной научно-технической задачей, так как при имитационном моделировании существенная часть временных затрат приходится на получение СВ с заданным распределением. Предлагаемый ме-

тод позволяет, после некоторой предварительной обработки, получать значения СВ определенной кусочно-линейной плотности за время, не зависящее от сложности задания функции плотности.

Принципы построения множеств случайных величин при имитационном моделировании

При имитационном моделировании различных процессов возникает необходимость получения (как принято говорить «разыгрывания») значений различных СВ. Эти значения получаются с помощью преобразований стандартной СВ, равномерно распределенной на отрезке [0,1], значения которой в свою очередь получаются с помощью тщательно разработанных датчиков псевдослучайных чисел.

Для некоторых часто встречающихся законов распределения разработаны специальные методы преобразования. Для других приходится использовать универсальные способы вроде метода обратных функций или метода Неймана. При этом объем необходимых вычислений может оказаться значительным, что негативно влияет на эффективность моделирования.

Одним из эффективных способов разыгрывания СВ является смешивание. В состав смеси входят несколько СВ, называемых компонентами смеси, каждой из

которых приписана некоторая вероятность. То есть на множестве компонент задано некоторое дискретное распределение вероятностей. Компоненты и соответствующие вероятности будем обозначать через 6Ь Р(, а смесь этих компонент - через в.

При разыгрывании значения в выбирается одна из компонент в соответствии с распределением вероятности и разыгрывается значение этой компоненты. Полученное значение является результатом разыгрывания в.

Смесь случайных величин имеет плотность распределения, которая является линейной комбинацией их плотностей с коэффициентами, равными соответствующим вероятностям [1].

Если плотность СВ задается кусочно-линейной функцией, то такую плотность можно представить как смесь компонент с треугольными плотностями распределения, то есть такими, график которых представляет собой двухзвенную ломаную линию с

концами, лежащими на оси абсцисс. В дальнейшем такие распределения будем называть треугольниками.

Особенно просто такое представление получается, если кусочно-линейная плотность непрерывна, проекции ее линейных участков на ось Х равны и на концах области определения плотность обращается в ноль. В этом случае кусочно-линейная функция равна сумме равнобедренных треугольников, вершины которых лежат в вершинах ломаной, а основания равны удвоенной проекции линейного участка (рис. 1). При этом площадь треугольника пропорциональна вероятности, с которой соответствующая компонента входит в смесь.

Получить значение случайной величины с равнобедренно-треугольной плотностью распределения можно с помощью простых преобразований из двух стандартных СВ [2]. Например, если (1 и ^независимы и равномерно распределены на отрезке [0,1], то СВ а((1 - (2) + Ь имеет равнобедренно-треугольную плотность на отрезке [Ь - а,Ь + а], а СВ а((1 + (2) + Ь имеет равнобедренно-треугольную плотность на отрезке [Ь,Ь + 2 а].

Пусть [в(х) - кусочно-линейная плотность, сосредоточенная на отрезке [х0,хи+1] и удовлетворяющая вышеуказан-

ным требованиям, т.е.

fe (xo О = О, fe ( xn+i ) = О, fe ( x ) = p,

где x = x0 + A- i(i = 1,..., n), A =

Xn+1 X0

n +1

Для разыгрывания в нужно выполнить следующие действия:

- разыграть / в соответствии с распределением {р};

- разыграть стандартные £ и £;

- вычислить в = х + ) -А.

На первом шаге требуется определить такое /, чтобы выполнялось отношение

Р1 + ••• + Р,- <%<Рх+ ••• + р • р.

Зачастую для этой цели осуществляется последовательный перебор значений / начиная с 1. Но разыгрывание СВ с дискретным распределением можно осуществить более эффективно.

Предположим, что вероятности р; кратны величине р, то есть р=кр, где к - целые числа. Тогда распределение {р} можно задать массивом, в котором значение / записано к раз. Для этого потребуется

массив М [0,..,к-1] из к = ^кг элементов.

Разыгрывание / можно осуществить с помощью простого расчета по формуле

Y

X

Рис. 1. Пример графика непрерывной кусочно-линейной функции с нулевыми значениями границ области определения (задается внутри «многоугольника») Fig. 1. Example of the graph of the continuous piecewise linear function with zero values of definition domain boundaries (specified inside the "polygon")

I = М[тХ(к%)~\,

где % - стандартная СВ; Щх) - целая часть x.

Значение k обычно бывает небольшим. Так, при задании вероятностей с точностью до двух десятичных знаков k будет не более 100. Если же задание распределения с помощью массива нежелательно, то можно применить какой-либо другой способ повышения эффективности.

Например, пусть

г = шт(рг), г = р - г. Тогда СВ с распределением {р} можно считать смесью СВ с равновероятными значениями от 1 до п и СВ с распределением {/г}, 1

где/ = =т- - нормирующий множитель.

X г

Вероятности компонентов смеси равны пг и (1-пг).

Если вероятности p¡ не сильно различаются, с высокой вероятностью будет требоваться тривиальное разыгрывание равномерно распределенной СВ, и эффективность процедуры будет высокой. При необходимости к распределению {/г}

можно применить тот же прием. Для удобства вычислений нумерацию значений СВ следует выбирать так, чтобы минимальное значение вероятности оказалось последним.

Для представления произвольной кусочно-линейной плотности, т.е. не имеющей указанных выше ограничений, можно применить способ, для которого требуется по две треугольные компоненты на каждый линейный участок [3]. График линейного участка представляет собой трапецию с основаниями а и Ь, концы которых соединены наклонной боковой стороной. Высота трапеции - Д. СВ с такой плотностью распределения представляется смесью двух прямоугольных треугольников: один - с катетами а и Д, другой - с катетами Д и Ь. Вероятности компонент пропорциональны площадям этих треугольников (рис. 2).

Для каждой компоненты нужно запомнить координату прямого угла х{ и длину катета Д;. При этом, если прямой угол треугольника лежит на правом конце катета Д[, то длина должна быть со знаком минус. Нумерация компонент совершенно произвольная.

Y

X

Рис. 2. Пример представления произвольной кусочно-линейной плотности Fig. 2. Example of arbitrary piecewise linear density representation

Разыграть СВ, распределенную на отрезке [0..1] и имеющую прямоугольно-треугольную плотность с прямым углом в точке 0, можно по формуле

в = .

Для разыгрывания в, имеющей кусочно-линейную плотность, состоящую из N кусков, нужно вычислить параметры 2N компонент р,х,Аг(г = 1,...2Ы) и выполнить

следующие действия:

- разыграть ¡ в соответствии с распределением {р};

- разыграть стандартные % и ;

- вычислить в = х + аЬ) • Аг..

Другой способ представления про-

извольной кусочно-линейной плотности требует одну компоненту на каждый линейный участок, графиком плотности которой является упомянутая выше трапеция с вероятностью компоненты, равной площади трапеции. Если случайная точка будет равномерно распределена в этой трапеции, то абсцисса точки будет иметь требуемое распределение вероятностей. Таким образом, для разыгрывания СВ необходимо выполнить следующие действия (без потери общности, считаем а+Ь=1):

- разыграть ¡ в соответствии с распределением {р};

- разыграть стандартные % и ;

- вычислить в = х А, если

> Ь& + а(1-%), или в = х + (1 -%) • Аг.

Выводы

Таким образом, благодаря универсальности кусочно-линейных функций их применение позволяет с достаточно высокой точностью приближать произвольные случайные величины. Высокая эффектив-

ность моделирования кусочно-линейных функций позволит повысить точность и адекватность имитационных моделей в различных предметных областях.

Библиографический список

1. Лоу A.M., Кельтон В.Д. Имитационное моделирование. 3-е изд. СПб.: Питер, 2004. 848 с.

2. Дорогов В.Г., Гагарина Л.Г. Некоторые аспекты оптимизации прикладных задач при имитационном моделировании процесса производства интегральных схем // Оборонный комплекс - научно-

техническому прогрессу России. 1999. № 1-2. С. 40-46.

3. Хлопков Ю.И., Горелов С.Л. Приложение методов статистического моделирования (Монте-Карло) (учебное пособие) // Международный журнал экспериментального образования. 2015. № 2-2. С. 242-243.

References

1. Lou A.M., Kel'ton V.D. Imitatsionnoe modelirovanie [Simulation Modeling]. Sankt-Peterburg: Piter Publ., 2004, 848 p.

2. Dorogov V.G., Gagarina L.G. Some aspects of applied tasks optimization under simulation modeling of integrated circuits production// Oboronnyi kompleks -nauchno-tekhnicheskomu progressu Rossii [Defense

Критерии авторства

Авторы заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

industry achievements - Russian scientific and technical progress]. 1999, no. 1-2, pp. 40-46. (In Russian) 3. Khlopkov Yu.I., Gorelov S.L. Application of statistical modeling techniques (Monte Carlo method) (Learning aids) // Mezhdunarodnyi zhurnal eksperimental'nogo obrazovaniya [International Journal of Experimental Education]. 2015, no. 2-2, pp. 242-243. (In Russian)

Authorship criteria

The authors declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.