Эффективные криволинейные структуры армирования термоупругих плоских конструкций Текст научной статьи по специальности «Физика»

Решетневскуе чтения. 2014

УДК 539.3 + 539.4

ЭФФЕКТИВНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТРУКТУРЫ АРМИРОВАНИЯ ТЕРМОУПРУГИХ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ*

Н. А. Федорова

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26 E-mail: ran@akadem.ru

С целью описания поведения волокнистого композита, армированного волокнами по криволинейным траекториям, получена разрешающая система дифференциальных уравнений. Формулировка задачи выполнена на основе структурной модели в рамках плоской неоднородной линейной задачи упругости. Получены частные решения соответствующих краевых задач. Приведены рекомендации по эффективному армированию плоских конструкций.

Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории.

EFFECTIVE CURVILINEAR STRUCTURES FOR REINFORCEMENT OF PLANAR THERMOELASTIC CONSTRUCTIONS

N. A. Feodorova

Siberian Federal University 26, Kirenskiy str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation E-mail: ran@akadem.ru

To describe the behaviour of a fibrous composite material reinforced by fibers along curvilinear trajectories a resolving system of differential equations has been obtained. The problem is stated on the basis of a structural model in the framework of the two-dimensional non-uniform linear elasticity problem. Partial solutions of the corresponding boundary problems have been obtained. Recommendations for the effective reinforcement ofplanar constructions have been presented.

Keywords: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories.

В работах [1-2] сформулирована плоская задача волокон. Связь напряжений и деформаций для неод-армированной среды в криволинейных ортогональ- нородного армированного материала запишем в виде ных координатах (Е,, п ), которая включает уравнения к

равновесия, обобщенный закон Дюамеля-Неймана CTj = aa'J + , где напряжения в связую

t m=1

в условиях термоупругого ортотропного деформиро- c

вания, соотношения для напряжений в волокне на щем сту определяем по формулам основе структурной модели [3]. Пусть армирование E

выполнено к семействами волокон, <m - углы армирования m -м семейством волокон (m = 1,...,к) явля-

= ^ГТ) ( + v8¿ -1a(1+v)T)

E

ются непрерывными функциями координат, ет - де- сту = ( + у)8у ' ^ = 3 -' =1,2, (2)

формация в волокне, ют - интенсивность армирования т -м семейством волокон. Деформации в волокне

определим по сгрукгурной модели [3]: ент Пуассона связующего материала; а = 1 - ^

2 2 0 т=1

811^т1 +е22^т2 +е12^т1 1т2 = 8т, С1)

где E, v - соответственно модуль Юнга и коэффици-

k

Ю™ -

удельная интенсивность прослоек связующего между

е0 = + = аaj армирующими слоями. При наложении дополнитель-

т т т> т т ных условий постоянства сечений волокон, что соот-

где lm1 = cosфт,lm2 = sinфт, aam - коэффициент ли- ветствует условиям технологического процессa, ин-

нейного расширения т -го семейства волокон, T - за- тенсивность армирования Ют удовлетворяет сле-

данная постоянная температура. Напряжение в волок- дующим с°°тношениям:

не находим по формуле СТт = Ет^т + Ет^т , — (Н2Ют COSфт) +— (Ирт sinфт) = 0. (3)

где Ет - модуль Юнга материала т -го семейства

»»» III '

dq on

*Работа выполнена при частичной поддержке грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 14-01-90400 Укр_а.

Прикладная математика и механика

Интенсивность ют найдем по (3) после вычисления углов армирования при задании уравнений конкретных траекторий армирования и начальных условий выхода арматуры. В работе построены изогональные траектории к данным семействам плоских кривых, что расширяет многообразие непрерывных криволинейных траекторий.

В рамках прямой задачи (задана структура армирования) замкнутая разрешающая система формулируется относительно компонент тензора деформации и имеет вид

з2„ я2„ 5

C

д2вп д2в

_1 + c _:

2 C2

+C

+C

дв^ дп

дв

- + C

дп

дв

д еЕп + с_

2 + сз

- + C

д^дп двп

+ C

дХ

дп

-+с

дв

Хп

дХ

Хп

дп

+ С108Х+ С11вп + с12в5п = О,

дв^ '"дХ

двп

- + ar

дв^ дп

дв

■ + av

+ab

- + a,.

Хп

дв^

дХ

дв

+ ai,

Хп

дп д дп

+H2'ю1> Ф1>Ф2>Фи'Ф1,п 'Ф2,5'Ф2,п)+ (4) +hh 2Ф1 = О,

дв двп

- + a2

дв

дп

дв

- + a2

+a2.

- + a2

Хп

дв^

' дХ дв

+ a2

Хп

дп дс, дп

+(( Н^ (2, Фl, Ф2, Ф^ Ф1,п , Ф2,с, Ф2,п) + +H1H2Ф2 = 0_ _ _ где коэффициенты Cl, aij (l = 1,12; i = 1,2; ] = 1,6) и F2 получены в [1] и содержат все структурные характеристики композита (заданные углы армирования, интенсивность армирования, механические характеристики материалов связующего и арматуры).

Граничная задача для системы (4) в криволинейной системе координат имеет вид

г

^ 1 u

"п г„

1 дм1 ду1 1 дН1

H1 ду1 дХ H1H2 дп

1 ди2 ду2

1 дН

2

Н2 дУ 2 дп Н1Н2 дХ

1

"Хп г„

Н1Н 2

H

дм° ду 2 ду 2 дп дН1 0 дН2

+ Н

ди° ду1 ду1 дХ

(5)

дп

LMi --

д

где м°,м° - заданные кинематические условия на граничном контуре Ги; у1, у2 - функции, обратные к функциям, определяющим контур Ги; Н1, Н2 - дифференциальные коэффициенты Ламе; ф1, ф2 - компоненты массовых сил.

Детерминантным методом установлено, что задача (4), (5) имеет эллиптический тип. На основе системы (4) решена задача об армировании эксцентрического кольца в биполярных координатах вдоль ортогональных траекторий, являющихся координатными линиями биполярной системы. Решение разыскивается на основе конечно-элементного анализа неоднородной среды. В случае осесимметрической задачи (концентрическое кольцо) армирование проводится вдоль спиралевидных траекторий. Разрешающая система формулируется в перемещениях и приводит к обобщенной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно радиального и окружного перемещений. Такой подход позволяет, например, решать задачи о криволинейно армированных вращающихся дисках, являющихся элементами конструкций ответственного назначения [4].

Сформулированная плоская задача армированной среды в криволинейных ортогональных координатах позволяет решать и обратную задачу по определению эффективной рациональной структуры, если к ней добавить требования равнодефомируемости волокон и равнотрещиностойкости в связующем по критерию Баландина [2; 4]. Полученные численные результаты показывают, что за счет выбора вида структуры, геометрии армирования (углы армирования, интенсивность армирования), комбинаций материалов связующего и арматуры возможно управление технологическими параметрами и создание конструкции с заранее заданными прочностными характеристиками.

Библиографические ссылки

1. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов : монография / Сиб. федер. ун-т. Красноярск, 2010. 136 с.

2. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат // Вестн. Са-мар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. наук. Самара, 2013. № 1(30). С. 233-244.

3. Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. 1970. Vol. 12. P. 898-903.

4. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Предельное деформирование дисков газовых и гидротурбин при различных структурах армирования // Известия высших учебных заведений. Физика. 2013. Т. 56, № 7-3. С. 191-196.

References

1. Nemirovsiy Yu. V., Feodorova N. A.

Matematicheskoe modelirovanie ploskikh konstruktsii iz armirovann^ykh voloknisfykh materialov. Krasnoyarsk: Sib. Fed. Univ., 2010. 136 p.

2. Nemirovsiy Yu. V, Feodorova N. A Vestn. Samar. Gos. Techn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2013, no 1 (30), pp. 233-244.

3. Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. Vol. 12. 1970.

4. Nemirovsiy Yu. V, Feodorova N. A. Izvestia vuzov. Phisics, 2013. Vol. 56. No 7-3. P. 191-196.

© Федорова Н. А., 2014