Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с эллипсоидальными включениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

УДК 539.3

ЭФФЕКТИВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА С ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин

Московский государственый технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва (e-mail: [email protected])

Разработана математическая модель переноса теплоты в композите с включениями эллипсоидальной формы, имеющими одинаковую ориентацию главных осей эллипсоидов. Получены оценки эффективных коэффициентов теплопроводности композита, в том числе с применением двойственной формулировки вариационной задачи стационарной теплопроводности, которые могут быть использованы для прогноза эффективных коэффициентов теплопроводности композита, модифицированного наноструктурными элементами, включая нанотрубки.

Ключевые слова: композит, эффективный коэффициент теплопроводности, на-ноструктурные элементы.

EFFECTIVE COEFFICIENTS OF THERMAL CONDUCTIVITY OF A COMPOSITE WITH ELLIPSOIDAL INCLUSIONS

V. S. Zarubin, G. N. Kuvyrkin

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia (e-mail: [email protected])

A mathematical model of heat transfer in a composite with inclusions of ellipsoidal shape, which have the identical orientation ofprimary axes of ellipsoids, is developed. The estimates of effective coefficients of composite's thermal conductivity are obtained; among them are those derived by using the dual formulation of variational problem ofstationary heat conduction, which can be utilized for prediction of effective coefficients of thermal conductivity of the composite modified by nanostructural elements including nanotubes.

Keywords: composite, effective coefficient of thermal conductivity, nanostructural elements.

Перспектива модификации композитов наноструктурными элементами (в том числе углеродными нанотрубками [1]), имеющими высокие механические характеристики, связана с повышением макроскопических характеристик композитов в целом как конструкционных материалов. Для конструкций, подверженных как механическим, так и тепловым воздействиям, помимо информации о механических характеристиках композита важно располагать данными и о его тепло-физических свойствах, в частности о коэффициенте теплопроводности. Эффективное значение коэффициента теплопроводности композита, модифицированного наноструктурными элементами, зависит от

их объемной концентрации Су и от соотношения между коэффициентами теплопроводности матрицы и применяемых при модификации элементов. В данной работе рассмотрен композит, модифицированный элементами в виде эллипсоидов, которые можно считать приемлемым приближением к геометрической форме включений различной природы в матричную среду материала (в том числе образующихся и в поликристаллических материалах при их термической обработке [2, 3]).

Математическую модель переноса тепловой энергии в композите построим в предположении, что эллипсоидальные включения не контактируют между собой, т.е. отделены друг от друга слоем материала матрицы. Это предположение соответствует условию Су ^ 1, что, видимо, отвечает возможной объемной концентрации нанотрубок при модификации композитов или включений, возникающих при термической обработке поликристаллических материалов. Композит считаем состоящим из множества изотропных эллипсоидальных частиц с коэффициентом теплопроводности Ао, каждая из которых окружена слоем изотропного материала матрицы с коэффициентом теплопроводности Ат. Значения А0 и Ат считаем известными.

Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятого эллипсоидального включения с неограниченным объемом окружающей его матрицы. Начало прямоугольной декартовой системы координат О^С2С3 выберем в центре эллипсоида, а направления координатных осей совместим с главными осями эллипсоида, уравнение поверхности которого имеет вид С\/Ь\ + /Щ, + Сз/Ъ2 = 1, где Ък, к =1, 2, 3, — полуоси эллипсоида.

Примем, что на большом удалении от центра включения составляющие градиента установившегося распределения температуры равны Т°к (запятая с последующим нижним индексом к у обозначения Т температуры означает производную по направлению оси ОСк). Тогда во включении возникнет установившееся распределение температуры с составляющими градиента [4]

грО

1 ,k

T,k =---, а = k, (1)

'k 1 - D°a(1 - Л), , ()

где Л = Ao/Am и

no bib2b3 f du

Da = ,u> , „w/„Л , а = k, (2)

o

(ьа+u)f (u)'

причем /(и) = /(Ъ\ + и)(Ъ| + и)(Ъ3 + и) и + Б^ + Б3 = 1 (в частности, для шара Ба = 1/3). Интегралы в формуле (2) можно выразить

через эллиптические интегралы [5]. Например, при Ь1 > b2 > Ь3

По_ Ь2Ьз(F(в, K) - E(в, K)) ^ _Ь2Ьэ (Ъ2 E(в, K)

(1 - 62) ' 3 62 -62У ьз ,

где 62 = 62/61 и 63 = 63/61, а ^(0, К) и Е(9, К) — эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода с амплитудой и модулем

9 = агев1п у/Г—62, К = ^(1 - б2)/(1 - 62).

Выражение для температуры вне включения в точке М с координатами Рк примет вид

- П Т° Р

т(М) = Т°кРк - (А - 1)1 + Во(^_ Г), а = к, (3)

где

_ = 616263 Г <и (4)

П = 2 .1(61 + и)/(и). (4)

в

В формулах (3) и (4) в — положительный корень уравнения Р2/(62 + + в) + Рг/(62 + в) + Рз/(6| + в) = 1 — характеризует положение точки М с координатами рк; в формуле (3) и далее использовано правило суммирования по повторяющемуся латинскому индексу.

Из формулы (3) следует, что наличие включения создает в матрице возмущение температурного поля относительно линейного распределения на большом удалении от этого включения, описываемое соотношением

П т° Р

дт° = -(А - 1) Па0;крк Л, а = к. ( )1 + Па(А - 1),

Далее рассмотрим случай, когда Т°2 = Т°3 = 0; для возмущения температурного поля получим

П Т° Р

дт° = -(А - 1) П Т,1Р1 ,. (5)

^ ;1 + (А - 1) ^ ;

Предположим, что все эллипсоидальные включения имеют одинаковые форму и размеры и одинаково ориентированы относительно выбранной системы координат. Это приведет к различию эффективных

коэффициентов теплопроводности в направлениях различных координатных осей, т.е. к анизотропии свойств композита по отношению к теплопроводности. Пусть n таких включений находятся в объеме, ограниченном поверхностью эллипсоида с уравнением P2/B2 + Р2/В + + pf/Bf = 1 и равном 4nB^2B3/3, где Вк = С0Ьк, С0 = const > 1. Поскольку объем каждого включения равен /3, объемную кон-

центрацию включений можно определить величиной CV = n/Co3. Для точки с координатами рк, удаленной на весьма большое расстояние от каждого из включений, в силу (ba/pa)2 ^ 1 (a = k) можно принять в = РкРк. Тогда, согласно формуле (5), в этой точке n весьма удаленных включений, расположенных в объеме большого эллипсоида с полуосями Вк, вызовут возмущение температуры, равное

D T° Р

AT = nAT° = —n(A - 1)-1 ;ip i N. (6)

v ;1 + D°(A — 1) v ;

Если считать большой эллипсоид представительным элементом композита с рассматриваемыми включениями, то этот элемент с искомым значением А1 эффективного коэффициента теплопроводности в направлении оси Ор1 создаст в той же весьма удаленной точке с координатами рк с учетом формулы (5) такое же возмущение температуры

~ D*T° Р

AT = —(Ai — 1)-D| -, (7)

V ;1 + D°(Ai — 1) W

где Ai = Ai/Am и

сю

_ BiB2B3 Г du

D = J (B2 + u)F(u)' (8)

в

причем F(u) = ^(B2 + u)(B2 + u)(B| + u). Приравняв правые части формул (6) и (7), запишем

А = 1 + (A — 1)(D ° + (1 — D °)D i Cv ) (g)

i 1 + (A — 1)D °(1 — D i Cv ) ' ()

где D i равно отношению интеграла при a = 1 в формуле (4) к интегралу в формуле (8). Для весьма удаленной точки |pi | ^ то, что равносильно в ^ то и стремлению к нулю каждого из этих интегралов. Для раскрытия неопределенности типа 0/0 используем правило Лопиталя, продифференцировав каждый из интегралов по переменному пределу в. В итоге получим

D = lim (B2 + в)F(в) = 1 Di = ^ (bi + в)f(в) =1.

Таким образом, формула (9) принимает вид

А = 1 + (А - 1)(П1 + (1 - )Су) 1 1 + (А - 1)£>? (1 - СУ) . ( )

Отметим, что в частном случае шаровых включений при = 1/3 композит будет изотропным, а формула (10) совпадет с известной формулой Максвелла [4].

Аналогичным путем можно найти формулы для Л2 = А2/Ат и Л3 = А3/Ат, где А2 и А3 — эффективные коэффициенты теплопроводности композита в направлении осей ОР2 и ОР3 соответственно. В итоге при а = 1, 2, 3 имеем

А = 1 + (А - 1)(П + (1 - т )Су) а 1 + (А - 1)П°(1 - СУ) . ( )

В случае абсолютно нетеплопроводных включений (Ао = 0) из формулы (11) следует

Ла = (I - П)(! - СУ), (12)

1 - т (1 - Су)

Формула (12) применима к материалу с коэффициентом теплопроводности Ат, содержащему поры с объемной концентрацией Су. При абсолютно теплопроводных включениях (А0 ^ то) формула (11) примет вид

л т + (1 - д° )Су ,,3,

Ла = в; (1 - Су-) • (13)

Применим двойственную вариационную формулировку задачи стационарной теплопроводности [ 6,7 ] для получения двусторонних оценок эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого композита. Воспользуемся трехфазной моделью композита в виде цилиндрической области V, имеющей в направлении координатной оси ОР1 высоту Н и ограниченной параллельными основаниями, каждое из которых имеет достаточно большую площадь £0. Эта область содержит половину эллипсоидального включения с полуосями 61, 62 и 63, покрытого слоем матрицы, ограниченным половиной поверхности эллипсоида с полуосями 6* = С36ь 62 = С362 и 6* = С363, С* > 1, центр которого совпадает с началом выбранной выше системы координат ОР1Р2Р3 (рис. 1). Плоскости симметрии половины включения и слоя матрицы совпадают с основанием цилиндра, лежащим в координатной плоскости Р2ОР3. Остальная часть области содержит однородный материал с искомыми свойствами композита.

Боковую поверхность цилиндра примем идеально теплоизолированной, температуру основания при р1 = 0 положим равной нулю, а на втором основании при р 1 = Н зададим температуру Н. Таким образом, в неоднородной цилиндрической области объемом Ро = НБ0, ограниченной поверхностью Б, распределение температуры Т(М) и коэффициент теплопроводности Л(М) являются функциями координат точки М € V, причем функция Л(М) кусочно постоянна в каждой из подобластей области V (см. рис. 1).

Примем в качестве допустимого для минимизируемого функционала [ 7 ]

1 .......................... (14)

Рис. 1. Модель композита с эллипсоидальными включениями

J[T] = 1JЛ(М)(VT(M))2dV(M), M £ V,

V

где V — дифференциальный оператор Гамильтона, линейное по высоте цилиндра распределение температуры с постоянной составляющей градиента . Тогда из формулы (14) получим

Л[Т] = А1НБо - ™А1 +

2

3

2

|2_ь; b-b- - ь^Ьз ^ га2 + ^ га2

3 2 3

Для максимизируемого функционала [ 7 ]

2

(15)

1 [q] = - Ц

1 f (q(M))

2 У Л(М)

V

dV (M )-

- T(P)q(P) • n(P) dS(P), P £ S,

(16)

(п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Б) в качестве допустимого распределения вектора плотности теплового потока я примем постоянное значение д = —А1Т^)1 единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. В этом случае формула (16) примет вид

(А1Т°1)У Н^о - 2п616263/^ 6*6263 - 61626^ 616263 V

Ай =--о- -л-+2п-л-+2п^— +

2 V А1 Ат А0 /

+А1(Т°1)2Н^о. (17)

Принятые допустимые распределения температуры и плотности теплового потока для неоднородной области отличаются от действительных, и поэтому значения 71[Т] и /1 [д] не будут совпадать, причем 71[Т] > /1[д]. В промежутке между этими значениями должно быть расположено и значение 70 = (А1/2)(Т°1)2Н£0 минимизируемого функционала (14) для однородной области с коэффициентом теплопроводности А1. Тогда при 616263/(616363) = С33 = Су с учетом формулы (15) из условия 71[Т] > 70 получим верхнюю оценку

Л1 < 1 - Су + АСу = Л+, (18)

а с учетом формулы (17) из условия /1 [д] < 70 найдем нижнюю оценку

Л1 > 1/(1 - Су + Су/ А)= Л-. (19)

Использованные достаточно простые допустимые распределения температуры и плотности теплового потока учитывают лишь объемное содержание каждой из трех изотропных фаз в принятой трехфазной модели композита. Поэтому для всех трех направлений координатных осей представленные в формулах (18) и (19) оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита будут идентичными.

На рис. 2 и 3 при различных значениях А приведены построенные по формулам (18) и (19) графики зависимостей от Су оценок Л+ (штрихпунктирные линии) и Л- (штриховые линии). Для эллипсоидального включения со значениями 62 = \/3/2 и 63 = 1/2 получим амплитуду 9 = п/3 и модуль К = эллиптических интегралов

со значениями ^(9, К) = 1,1049 и Е(9, К) = 0,9945 [8]. По этим значениям вычислены П = 0,221, = 0, 274 и П3 = 0, 506 и затем по формуле (13) на рис.2 и 3 для тех жезначений А построены сплошными кривыми графики зависимостей^^ от Су, причем гладким кривым соответствуют зависимости для Л1, кривым, помеченным квадратами, — для А 2 и кривым, помеченным точками, — для Л3. Видно, что для фиксированного значения А все сплошные кривые расположены между штрихпунктирными и штриховыми линиями, причем в случае малого отклонения значения А от единицы для выбранной формы включения различие между значениями Ла невелико, т.е. анизотропия композита оказывается сравнительно слабой. По мере отклонения А от единицы несмотря на совпадение оценок и значений Ла при Су = 0 и Су = 1 разность Л+ - Л- для для промежуточных

Рис. 3. Графики зависимостей верхней А+ (штрихпунктир-ные линии) и нижней А _ (штриховые линии) оценок безразмерных эффективных коэффициентов теплопроводности: Ах (сплошные линии), Л2 и А3 (сплошные линии с квадратами и с точками соответственно) от объемной концентрации Су при различных значениях параметра

А > 1

0.6

Рис. 2. Графики зависимостей верхней А+ (штрихпунктнр-ные линии) и нижней А (штриховые линии) оценок безразмерных эффективных коэффициентов теплопроводности: Ах (сплошные линии), А2 и Аз (сплошные линии с квадратами и с точками соответственно) от объемной концентрации Су при 034 различных значениях параметра А < 1

0,2

! * \ ч М

%2

V \ у.

\ \ Л.. -

\ X л

\ \

0,2 0,4 0,6 0,8 Су

D°,D° ¿з=0301 ¿3=0,02

é3=Q,01 é3=0502 è3=0305

Рис. 4. Графики зависимостей коэффициентов и (соответственно ниже и выше сплошной линии с треугольниками) от параметра Ъ2 при различных значениях параметра Ъ3

значений CV становится значительной и одновременно увеличивается различие между значениями Аа, что приводит к более существенной анизотропии композита.

Отмеченная тенденция сохраняется и для других сочетаний полуосей эллипсоидального включения, причем необходимые для применения формулы (13) значения коэффициентов D^ могут быть определены при помощи графиков зависимостей D1 и D3 от Ь2 при различных значениях Ь3 (рис.4). В случае Ь3 = 1 и Ь2 G (0; 1) включение имеет форму сплющенного эллипсоида вращения (сфероида) и D\ = D%, что соответствует на рис. 4 сплошной кривой, помеченной треугольниками. Для Ь3 < 1 ординаты кривых ниже этой кривой равны значениям D£, а выше этой кривой — значениям D£, по которым затем можно вычислить D^ = 1 - D\ - D%.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. К а ц Е. А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры. Родословная форм и идей. - М.: Изд-во ЛКИ, 2008. - 296 с.

2. Научные основы материаловедения / Б.Н. Арзамасов, А.И. Крашенинников, Ж.П. Пастухова, А.Г. Рахштадт. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994. -366 с.

3.Ван Флек Л. Теоретическое и прикладное материаловедение: Пер. с англ. -М.: Атомиздат, 1975. - 472 с.

4. К а р с л о у Г., Е г е р Д. Теплопроводность твердых тел: Пер. с англ. - М.: Наука, 1964.-488 с.

5. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций: Пер. с англ. - М.: Изд-во иностр. лит., 1963. -248 с.

6. З а р у б и н В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 328 с.

7. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. -512 с.

8. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган: Пер. с англ. -М.: Наука, 1979. - 832 с.

Статья поступила в редакцию 26.03.2012