Эффективность работы методов решения задачи проектирования работоспособных ХТС Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК бб.01

Т. В. Лаптева, Н. Н. Зиятдинов, Д. Д. Первухин

ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАБОТЫ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

РАБОТОСПОСОБНЫХ ХТС

Ключевые слова: оптимальное проектирование, двухэтапная задача, работоспособность, функция гибкости.

Проектирование химико-технологических систем (ХТС) обычно выполняется при частичной неопределенности исходной физико-химической, технологической и экономической информации. Вследствие этого возникает необходимость учета условия гибкости проектируемой ХТС. Особенностью этого условия является наличие тахтттах процедуры, которая делает задачу оптимального проектирования задачей недифференцируемой многоэкстремальной оптимизации. Для решения таких задач авторами были разработаны два подхода к решению задачи, основанные на методах «разбиений и границ» и «внешней аппроксимации». Сравнение эффективности работы методов проведено для решения задачи проектирования оптимальной системы реактор-теплообменник

Keywords: optimal design, two-stage problem, flexibility, flexibility test.

Designing of chemical process is usually taking place in case of partial uncertainty in source physical-chemical, technological and economical information. Therefore the need of taking account for flexibility condition of the system being designed arises. The presence of maxminmax procedure, which transforms the optimization problem into nondifferentiable multiextremal problem, is the feature of the flexibility condition. We developed two approachs to solve this problem based on the "outer approximation" and "partition and bounds" methods. The methods efficiency is demonstrated using the "reactor-heat exchanger" system optimal design.

Введение

Задачу проектирования работоспособной ХТС приходится решать в условиях неполной физикохимической и технологической информации. Источниками такой неполноты, называемой еще неопределенностью, являются: неточность

коэффициентов в математических моделях, связанная с неточностью эксперимента; неточность химических и физических закономерностей, положенных в основу математических моделей; изменение части коэффициентов в математических моделях во время эксплуатации ХТС; изменение внешних условий функционирования ХТС [1] и др.

Учёт неопределённости при

проектировании ХТС может иметь различную форму. Например, неопределённым переменным на основе опыта и интуиции присваиваются некоторые «номинальные» (обычно - средние) значения.

Решается задача оптимизации с этими значениями в традиционной постановке, в результате чего определяются номинальные оптимальные величины параметров оборудования (длины и диаметра реактора, поверхностей теплообмена в теплообменниках, числа тарелок в

ректификационных колоннах и т.п.). После этого с учётом знаний о процессе, опираясь на имеющийся опыт, вводят так называемые «коэффициенты запаса» и принимают для проектирования величины параметров оборудования, полученные как произведение номинальных оптимальных величин и запасов. С примером такого подхода можно ознакомиться в [2]. Другой вариант - учитывать неопределённость в математической постановке задачи оптимального проектирования. В [12] показано, что, в зависимости от возможности подстройки управлений ХТС под меняющиеся

условия функционирования, задача может принимать вид одноэтапной или двухэтапной задач оптимизации. Также, в [З] показано, что учет неопределенности в двухэтапной задаче при наличии безусловных проектных ограничений приводит к появлению требования на работоспособность проектируемой ХТС в постановке задачи. Поскольку это требование выражается в условии на неположительность функции гибкости, задача проектирования усложняется наличием ограничения, имеющего вид maxminmax процедуры, которая приводит задачу к виду многоэкстремальной недифференцируемой оптимизации.

Формализация задачи

Проведя преобразования выражения для функции гибкости и модифицировав двухэтапную задачу проектирования, как предложено в [З], двухэтапную задачу проектирования оптимальных химикотехнологических систем (ХТС) с учетом неопределённости исходной информации можно представить в виде [3]:

min f(d, z, х,в), (1)

d,z,x

(pj (d, z, х,в) = 0, i = 1,..., n, Уве T, (2)

// (d, z, х,в) < 0, j = 1,..., m, Уве T, (3)

где уравнения (2) - математическая модель ХТС, ограничения (3) - математическая формулировка проектных требований, x есть n -вектор

переменных состояния, d е D - вектор конструктивных переменных, D - область допустимых значений переменных d , z - вектор технологических управляющих переменных, в -вектор неопределённых параметров математической модели: обычно неполнота наших знаний о системе

сводится к тому, что о параметрах в на этапе проектирования известно лишь то, что они принадлежат некоторой области неопределённости

T = (в: в < в < в), f - критерий оптимальности,

характеризующий поведение ХТС на всей области неопределённости, например, можно использовать математическое ожидание приведенных затрат.

Выразив переменные x из (2), задачу (1) можно свести к виду:

тт 1 (б, z,в), (4)

/у (d, z,в) < 0, у = 1,..., т, Уве Т. (5)

Для решения задач (1) и (4) используются различные подходы как детерминированного, так и стохастического программирования. Нами было предложено использовать метод разбиения и границ (РГ) [3], [4] или модификацию метода внешней аппроксимации (ВА) [5], [6] для решения задач (4) или (1). Оба метода предусматривают в процессе работы разбиение области неопределённости на подобласти, а также накопление критических точек по подобластям. При этом метод может начинать работу как с задания предварительного разбиения области неопределённости, так и с неразбитой области. Очевидно, что предварительное удачное разбиение области неопределенности позволило бы сократить время решения задачи. Однако заранее сложно задать такое разбиение.

В [6], [7] было показано, что

предварительное разбиение можно получить, решив предварительно задачу оценки существования допустимой ХТС на заданной области неопределённости. Задача имеет вид

Е = тттахтттах/,-(б, z,в). (6)

бей веТ z ]еи

Для решения задачи (6) в [3] было предложено использовать метод РГ. Полученное решение б , итоговое разбиение Т, I = 1,...,£, может быть использовано в качестве исходного для методов РГ и ВА при решении задачи (1) или (4).

Пример

Проведём сравнение эффективности работы методов РГ и ВА для решения задачи (1), учитывая возможность сведения задачи к виду (4), а также использования предразбиения области

неопределённости, полученного решением задачи (6), на примере технологической системы реактор-теплообменник [8].

В реакторе идеального смешения объемом V происходит экзотермическая реакция первого

порядка вида А ———> В . Теплообменник служит для поддержания температуры внутри реактора ниже заданной (см. рис. 1).

В качестве критерия оптимальности 1 в задаче использовались приведенные затраты. Поисковыми переменными задачи выступали конструктивные параметры - объём реактора V (м3) и поверхность теплообмена в теплообменнике Ат (м2), а также режимные переменные -

температура в реакторе и температура охлаждающей воды на выходе из теплообменника. Область неопределённости задачи представлена пятимерным гиперкубом по пяти неопределенным параметрам, (Р0 - расход потока сырья в

реактор(м3/ч), Т0, Тш 1 - температура сырья и охлаждающей воды (К), соответственно, кк -константа скорости реакции (м3/(кмоль-ч)), и -полный коэффициент теплопередачи

(кДж/(м2-ч-К))), относительно которых мы

предполагаем, что они независимы и имеют нормальное распределение.

Область неопределённости задана в виде

Т = {в,- : вN (1 - Г8в1) < в,- < вN (1 + Г8в1)}, / = 1.5,

параметр 8 определяет исходный размер интервала неопределённости для неопределённого параметра в, вм - номинальное значение неопределённого параметра, параметр у служит для задания размера области неопределённости относительно исходного размера. Так у = 1 соответствует исходному размеру области, у = 1,25 - области, размер

которой на 25% превышает размер исходной.

Результаты решения задачи проектирования приведены в таблице 1.

В таблице МВА и РГ обозначают использование методов внешней аппроксимации и метода разбиения и границ, соответственно.

Обозначения МВАП и РГП означают использование предварительного решения задачи (6) для получения предразбиения, позволяющего при решении задач (1) или (4) задать лучшую начальную точку для методов МВА и РГ, соответственно. Символ t обозначает совокупное время решения задачи

проектирования оптимальной ХТС.

Рассмотрим эффективность метода РГ. Как видно из таблицы 1, при решении задачи оптимального проектирования без задания предварительного разбиения области

неопределённости решение не было получено для у больше 1,25. Таким образом, использование

предварительного разбиения начальной области даёт возможность решения задачи оптимального проектирования гибкой ТС для больших размеров области неопределённости.

Следует заметить, что использование предварительного решения задачи (6) не увеличивает времени решения задачи, а даже может

его уменьшить. Также из табл. 1 видно, что метод ВА может решить задачу (1) без предразбиения области неопределённости, затратив при этом на решение задачи время, меньшее, чем РГ при использовании предразбиения.

Таблица 1 - Результаты решения задачи

оптимального проектирования системы реактор-теплообменник

Г Подход V Ат О Ч—

Решение задачи с учетом переменных состояния, задача (1)

1,00 МВА 10938 6,74 8,87 209,61

РГ 10938 6,74 8,87 210,47

РГП 10938 6,74 8,87 210,34

1,25 МВА 11324 7,09 9,63 212,14

РГ 11324 7,09 9,63 221,16

РГП 11338 7,12 9,52 212,91

1,5 МВА 11767 7,48 10,39 1284,59

РГ - - - -

РГП 11830 7,64 10,41 1442,03

1,75 МВА 12261 7,85 11,42 1961,0

РГ - - - -

РГП 12401 8,20 11,35 2734,72

Решение задачи без учета переменных состояния, задача (4)

1,00 МВА 10938 6,74 8,87 2,19

МВАП 10938 6,74 8,87 1,80

РГ 10938 6,74 8,87 2,12

РГП 10938 6,74 8,87 1,55

1,25 МВА 11324 7,09 9,63 7,53

МВАП 11324 7,09 9,63 7,01

РГ 11338 7,12 9,52 7,14

РГП 11338 7,12 9,52 3,73

1,5 МВА 11767 7,48 10,39 28,52

МВАП 11767 7,48 10,39 29,52

РГ 11830 7,64 10,41 27,19

РГП 11830 7,64 10,41 16,17

1,75 МВА 12293 7,93 11,30 16,17

МВАП 12293 7,93 11,30 15,08

РГ 12401 8,20 11,35 16,14

РГП 12401 8,20 11,35 16,36

Кроме перечисленных, в табл. 1 показаны результаты решения задачи оптимального проектирования системы «реактор-теплообменник» после исключения переменных состояния, т.е. сведения задачи (1) к виду (4). Видно, что помимо уменьшения времени решения задачи проектирования, исключение переменных состояния позволяет решать задачу оптимального проектирования без задания предварительного разбиения для областей неопределённости даже большего размера, чем при учёте переменных состояния.

Разница в значениях критерия f, полученных при решении задачи проектирования методом РГ и МВА объясняется тем, что в качестве решения двухэтапной задачи метод РГ принимает верхнюю оценку критерия, полученную на последней итерации, а метод ВА всегда работает с

нижней оценкой критерия оптимальности. Относительная точность решения задачи позволяла получить отклонение верхней и нижней оценок в

0,13 %.

Проанализируем по таблице 2 результаты решения задачи (4) по итерациям для размера области неопределённости, соответствующего у = 1,25. Алгоритмы РГ и РГП используют сравнение верхней и нижней оценок задачи (4), а также задачи (6).

В таблице 2 приняты следующие обозначения: и, ^ - верхняя и нижняя оценки критерия, соответственно, N - номер итерации

работы метода, N^1, ^ - число управляющих переменных при решении задачи поиска верхней и нижней оценок, соответственно, на текущей итерации метода, Nt - число подобластей, на которые была разбита область неопределённости Т на текущей итерации метода, N0 - число

критических точек, которые были найдены на текущей итерации метода.

Таблица 2 - Результаты решения задачи (4) для у = 1,25

Подход Оценки критерия Количество

и к Ыи2 N

РГ 1 1727 1 1132 4 12 20 5 1

2 1133 8 1132 4 14 22 6 2

Задача (6) 1 -0,02 0,038 2 10 5 1

2 -0,04 0,038 4 22 11 2

РГП 1 1133 8 1132 4 14 32 11 2

МВА 1 — 1132 4 — 20 5 1

Анализируя данные, представленные в таблице 2, заметим, что методу РГ без предразбиения области понадобилось две итерации.

В случае использования предразбиения, было набрано 11 критических точек, которые были переданы методу РГ. В результате метод РГ не нашел более ни одной критической точки и получил за одну итерацию то же значение критерия, что и этот же метод без предразбиения. Если сравнить задачи, которые решал метод на последней итерации при обоих подходах, то нужно отметить, что в обоих случаях задача решения верхней оценки критерия имела одинаковое количество управляющих переменных. Однако при

использовании предразбиения новые критические точки найдены не были, и задача поиска верхней оценки критерия была решена за одну итерацию. Без использования предразбиения при вычислении

верхней оценки критерия было затрачено дополнительное время на поиск критических точек.

Отметим также, что результаты,

представленные в таблице 2, показывают, что метод ВА и метод РГ дают одинаковое значение нижней оценки критерия.

Выводы

Анализируя результаты, приведенные в таблицах 1 и 2 можно заметить, что использование предварительного разбиения:

- сокращает время решения задачи оптимального проектирования независимо от использования метода РГ или ВА;

- расширяет возможности метода РГ при работе на больших размерах области неопределенности.

Также нужно заметить, что эффект от предварительного разбиения области

неопределённости в случае решения задачи проектирования методом ВА, в целом, меньше, чем в случае решения задачи проектирования методом РГ. Поэтому рекомендовать построение предразбиения решением задачи (6) стоит только для метода РГ.

Отметим, что при решения задачи оптимального проектирования системы «реактор-теплообменник» с исключением переменных состояния оба подхода получают результат за примерно одинаковое время, тогда как в случае учёта переменных состояния метод ВА решает задачу за меньшее время.

В целом следует отметить, что метод МВА показал большую эффективность в сравнении с методом РГ. Однако при спользовании метода следует учитывать, что он дает нижнюю оценку критерия оптимальности задачи проектирования, в

то время как метод разбиения и границ работает с

верхней и нижней оценками критерия

оптимальности задачи проектирования.

Литература

1. Г.М. Островский, Ю.М. Волин, Технические системы

в условиях неопределенности: анализ гибкости и

оптимизация. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. 319 с.

2. Н.Н. Зиятдинов, Д.А. Рыжов, Т.В. Лаптева,

В.А. Курбатов, Поиск энергосберегающих режимов работы установки разделения изоамилен-изопреновой фракции производства изопрена, Вестник КТУ, 6, 249258 (2009).

3. Г.М. Островский, Н.Н. Зиятдинов, Т.В. Лаптева,

И.Д. Первухин, Оценка гибкости химико-

технологических систем, ТОХТ, 41, 3, 249-261 (2007).

4. И. Д. Первухин, Т. В. Лаптева, Г. М. Островский,

Н.Н. Зиятдинов, Учет неопределенности при

проектировании химико-технологических систем XXI Международная научная конференция

«Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, Россия, июнь, 2008). Саратов. 2008. Т. 2. С. 58.

5. P.Q. Maine, E. Polak, R. Traham An Outer Approximation Algorithm for Computer-Aided Design Problem, J. Optim. Theory Applies, 28, 3 (1979).

6. Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В.,

Первухин И. Д., Учет неопределенности при

проектировании оптимальных химико-технологических систем, Вестник КТУ, 6, 199-206 (2011).

7. Г.М. Островский, Н.Н. Зиятдинов, Т.В. Лаптева, И.Д. Первухин, О некоторых подходах к проектированию

технических систем с учетом неопределенности

исходной информации, Системы управления и

информационные технологии, 2 (36), 83-87 (2009).

8. K.P. Halemane, I.E. Grossmann, Optimal Process Design under Uncertainty, AIChE Journal, 29, 425-433 (1983).

© Т. В. Лаптева - канд. техн. наук, доц. каф. системотехники КНИТУ, tanlapteva@yandex.ru; Н. Н. Зиятдинов - д-р техн. наук, проф., зав. каф. системотехники КНИТУ, nnziat@yandex.ru; Д. Д. Первухин - асп. той же кафедры, avylon@kstu.ru.