CC BY
38
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2008 Математические основы надежности вычислительных и управляющих систем № 2(2)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЕЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
УДК 681.3.012+681.3-192
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЛОКАЛЬНОГО САМОДИАГНОСТИРОВАНИЯ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ЦИРКУЛЯНТНОЙ ДИАГНОСТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ1
Ю.К. Димитриев
Институт физики полупроводников СО РАН, г. Новосибирск E-mail: dimi@isp.nsc.ru
Рассматривается системное диагностирование в присутствии неисправностей с кратностью не более t. Анализируются условия, при которых состояние каждого модуля системы определяется только по исходам тестирования модулей, имеющих с ним физические связи (локальная диагностируемость). Показана эффективность локальной t-диагностируемости системы при использовании избыточности по числу исходов тестирования, участвующих в сопоставительном анализе.
Ключевые слова: мультипроцессорные вычислительные системы, системная локальная диагностика, теоретико-графовая модель.
В данной работе продолжается начатое работами [1, 2] исследование возможности диагностирования мультипроцессорных вычислительных систем (ВС) при отказах кратности не более t. Используется теоретико-графовая модель системы, предложенная в работе [3], Препараты - Метца - Чжена (ПМЧ-модель). Диагностическая структура ВС представлена циркулянтным графом, имеющим вершинную степень t и число вершин N. Такой граф обеспечивает определение состояния ВС при неисправностях, кратность которых не превышает значения t (t-диагностируемая ВС), при N > 2t + 1 по результатам сопоставительного анализа исходов тестирования всех модулей системы (глобальное диагностирование).
В работе [1] предложены правила, с помощью которых определение технического состояния каждого модуля осуществляется по результатам тестирования только тех модулей, которые имеют с ним физические связи. Эти правила названы правилами самоопределения, а базирующаяся на их использовании диагностика - локальной. Использование локальных правил самоопределения позволяет разрабатывать распределенные методы диагностирования.
Показано, что для заданного t существуют границы по числу модулей в системе, представленной цирку-лянтным графом, вне которых локальные правила обеспечивают самоопределение не для всех модулей системы. Подобные состояния ВС называем тупиковыми, а диагностирование - частичным.
В работе [1] показано, что локальная t-диагностируемость в случае тупиковых состояний достигается введением избыточности в числе тестов, выполняемых над системой. Однако тестирование занимает основную часть времени диагностирования, так что применение дополнительных тестов уменьшает время использования ВС по назначению и реактивность ВС на возникшую неисправность. Для уменьшения времени диагностирования в работе [2] предложено использовать избыточность в числе исходов тестирования, участвующих в сопоставительном анализе с целью достичь самоопределения состояния модулей. Для этого используются исходы тестирования, соотнесенные со структурными единицами циркулянтного графа, так называемыми треугольниками тестирования.
В данной работе изучена эффективность самоопределения модулей при использовании таких треугольников тестирования.
1. Обозначения и определения
Диагностической моделью вычислительной системы, в которой допустимы множественные отказы и ненадежные тесты, является ориентированный граф D = (V, E). Вершины i е V графа сопоставлены модулям, а дуги (i, j) е E - тестовым связям между ними; (i, j) е E, если модуль, сопоставленный с вершиной i, может проверить и оценить состояние модуля, сопоставленного с вершиной j. Вес a(i, j) дуги (i, j) диагностического графа отображает оценку состояния проверяемого модуля j, полученную проверяющим модулем i после
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 05-08-01301-а).
выполнения им соответствующего теста. Вес a(i, j) = 0, если модуль i считает исправным модуль j, иначе a(i, j) = 1. Согласно используемой ПМЧ-модели, исход теста, выполняемого неисправным модулем, не зависит от фактического состояния тестируемого модуля.
Множество Fk, Fk С V, неисправных модулей, одновременно присутствующих в системе, называем образом неисправностей. Для всякого Fk справедливо |Fk| < t, где |X| обозначает мощность множестваX. Множество допустимых неисправностей системы составляют все возможные сочетания из N модулей по п, где п пробегает значения от 1 до t. Таким образом, множество {Fk} допустимых состояний ВС зависит от значений t и N и обозначается F(t, N).
Упорядоченную совокупность оценок, получаемую при выполнении всех возможных тестов над системой в присутствии Fk, называем синдромом, порождаемым Fk, и обозначаем a(Fk); a(Fk) = {a(i, j): (i, j) е E}.
Диагностическая структура ВС представлена t-диагностируемым циркулянтным графом (Du (Nl-граф) с параметрическим описанием (N; 1, 2, ..., п, ..., t), где N = | V|, а п = 1, 2, ..., t - прыжки. В циркулянте Du (N) вершины перенумерованы и каждая i-я вершина (0 < i < N - 1) смежна с вершинами (i ± 1) mod N, (i ± 2)
mod N, ., (i ± t) mod N, а дуга (i, (i + n)) имеет метку соответствующего прыжка sn = n.
Пусть в диагностическом графе множества X(i), Y(i) и H(i) представляют соответственно модули тестирующие, тестируемые и смежные для модуля, сопоставленного вершине i; X(i) = {j е V: (j, i) е E}, Y(i) = {j е V: (i, j) е E}, H(i) = X(i) u Y(i) иX(i) n Y(i) = 0. Согласно весу дуг, инцидентных вершине i, имеем X(i) = X0(i) u X1(i), Y(i) = Y0(i) u Yj(i). При этом X0(i) n Xl(i) = 0, Y0(i) n Yj(i) = 0.
Для упрощения изложения распространим терминологию ВС на представляющий ее граф и в дальнейшем используем выражения «состояние графа» вместо «состояние системы», «исправная (неисправная) вершина» вместо «исправный (неисправный) модуль», «исход теста (i, j)» вместо «вес дуги (i, j)» и т.п.
2. Условия самоопределения вершины
Пусть заданы D1t (Nl-граф, Fk и a(Fk). Каждой вершине i графа сопоставим метку m(i) е {а, 0, 1}. Если по результатам анализа o(Fk) состояние вершины i не идентифицировано, то m(i) = а, если вершина i признана исправной или неисправной, то m(i) = 0 или m(i) = 1 соответственно (такие состояния называем финальными, а сами вершины - самоопределимыми). Совокупность меток вершин, равно как и процесс их определения, называем разметкой графа.
Разметка графа осуществляется по шагам. Если на очередном шаге идентифицировано финальное состояние вершины i, то в дальнейшем возможность самоопределения для вершин j е H(i) рассматривается на остаточном множестве R(j), образованном исключением из H(j) вершины i (равно как и других смежных вершин в финальном состоянии).
Динамика изменения состояния графа в процессе диагностирования характеризуется остаточным образом неисправностей Fk - f где f = uieVf(i) и f(i) - множество смежных с i неисправных вершин, идентифицированных на предшествующих шагах. Каждой вершине i графа сопоставлены значение |Fk -f7)| порога самоопределения и x(i) величины корректировки этого порога.
Начальное значение порога самоопределения для всех вершин равно величине кратности неисправностей t, поскольку априорная информация о мощности образа неисправностей отсутствует. Порог меняется по мере установления финального состояния для новых вершин.
Состояние системы вычисляется в результате проверки правил самоопределения, рекурсивно выполняемой для каждой вершины графа:
[l(Xi(i)) u (Yi(i))l > (t - T(i))] ^ m(i):= 1; (1)
[|(X0(i)| > (t - x(i))] ^ m(i):= 0; (2)
m(i):= 0 ^ [Vj е Y0(i){m(j) := 0}] & [Vj е (Xi(i) u Yi(i)){m(j) := 1}]; (3)
m(i):= 1 ^ Vj е X0(i){m(j) := 1}. (4)
Здесь m(i):= c обозначает операцию присвоения вершине i метки финального состояния: с е {0, 1}. Выражения (1) - (2) указывают признаки финального состояния вершины i, исходя из значений синдрома, относя-
щихся только к ней самой. Выражения (3) - (4) представляют условия установки финального состояния смежных с i вершин, являющейся следствием идентификации финального состояния вершины i согласно (1) и (2). Установка финального состояния вершин согласно выражениям (3) - (4) следует из правил определения исходов тестирования для ПМЧ-модели, в соответствии с которыми [Y0(i) с (V - Fk) &[X1(i) u Y1(i)] с Fk], если вершина i исправна, и X0(i) с Fk, если вершина i неисправна.
Пусть для вершины i диагностического циркулянта {j, k} с H(i). Рассмотрим ориентированный полный граф К3 из вершин {i, j, k}. Назовем треугольником тестирования ориентированный подграф графа К3, не содержащий взаимно обратных дуг. Для вершины i диагностического циркулянта множество треугольников тестирования на множестве {i, j, k} задается выбором дуг К3. В работе [2] выделены два базовых треугольника тестирования, описываемых наборами дуг: A1 = {(i, j), (i, k), (j, k)} и A2 = {(i, j), (j, k), (k, i)}. Показано, что все остальные треугольники тестирования эквивалентны базовым с точностью до обозначения вершин. В дальнейшем описанные треугольники тестирования обозначаем перечислением вершин (i, j, k), имея в виду указанную выше последовательность его ребер.
В работе [2] показано, что для треугольника тестирования А1 синдромы {a(i, j), a(i, k), a(j, k)} = 001 или
{a(i, j), a(i, k), a(j, k)} = 010 соответствуют неисправной вершине i при любом состоянии вершин j и k. В тре-
угольнике тестирования вида А2 синдром {a(i, j), a(j, k), a(k, i)} = 001 соответствует неисправной вершине i, синдром {a(i, j), a(j', k), a(k, i)} = 010 - неисправной вершине j, а синдром {a(i, j), a(j, k), a(k, i)} = 100 - неисправной вершине k. Вершину, для которой по синдрому, сопоставленному треугольнику тестирования, можно указать финальное состояние, называем самоопределимой, а сам треугольник тестирования - определяющим.
Из всего множества треугольников тестирования, которые можно построить на множестве V(i) = i u H(i), для нас представляют интерес те, которые обеспечивают самоопределение вершины i. Множество этих треугольников соответствует случаю, когда диагностирование обеспечивается при минимуме анализируемой информации для каждой вершины. Для вершины j е H(i) идентификация финального состояния обеспечивается из аналогичных треугольников тестирования, построенных на множестве j u H(j). Поэтому сказанное выше резюмируем в виде следующих формальных отношений:
{a(i, j), a(i, k), a(j, k)} = {001, 010} ^ m(i):= 1; (5)
{a(i, j), a(i, k), a(j, k)} = {100} ^ m(i):= 1. (6)
Треугольник тестирования вида А1 строится на вершинах из i u Y(i) и может использоваться для самоопределения вершин при любых значениях N. Область использования треугольника вида А2 ограничена значениями 21 +1 < N < 31, поскольку он образуется на множестве i u X(i) u Y(i).
Определение 1. Остаточный образ неисправностей Fk - f называем самоопределимым, если и только если при любом совместном с ним синдроме хотя бы для одной вершины из V - f выполняются условия самоопределения (1) - (6). В противном случае образ называется тупиковым.
Определение 2. Граф называем локально t-диагностируемым, если и только если для каждого Fk е F(t) любой из его остаточных образов неисправностей при Fk - f Ф 0 самоопределим при всяком a(Fk).
При заданной кратности неисправностей t область значений N, в которой возможно возникновение тупиковых состояний, ограничена значениями N = 2t + 1 и некоторым эмпирически определяемым значением Nb > N. Nb представляет собой наибольшее число вершин циркулянта, при котором еще существуют такие образы неисправностей мощности t, что для всякой исправной вершины найдется хотя бы одна тестирующая ее неисправная вершина. Описанное свойство называем свойством топологического покрытия графа.
Будем говорить, что неисправная вершина j 1-покрывает (0-покрывает) вершину i, если a(j,i) = 1 (a(j,i) = 0). Образы неисправностей, топологически покрывающие граф, могут порождать синдромы, при которых для каждой исправной вершины i найдется 1-покрывающая неисправная вершина j (условие тупикового состояния для исправной вершины), а для каждой неисправной вершины число инцидентных дуг с весом 1 не превышает текущего порогового значения (условие тупикового состояния для неисправной вершины). В работе [1] значение Nb характеризуется как такое наибольшее число вершин циркулянта степени t, при котором
maxFk еF(Nb, t) Е jeFk A(J)} ^ Nb - t . ()
Здесь A(j) - число неисправных вершин, тестирующих j, а Nb - t - число исправных вершин графа.
При выполнении неравенства (7) найдутся такие образ неисправностей и совместный с ним синдром, что каждая исправная вершина является 1-покрытой.
3. Условия тупикового состояния вершины
При анализе условий тупикового состояния неисправной вершины используются лемма 1 и следствие 1, которые дают некоторые общие свойства образа неисправностей, топологически покрывающего граф.
Лемма 1. При N > 2t + 1 для каждой вершины j е Fk число тестируемых исправных вершин в Y(j) больше значения A(j).
Доказательство. Согласно конструкции циркулянта, |Y(k)| = |X(k)| = t для каждого k е V. Число неисправных вершин в Y(j) составляет 8(j) < t - (A(j) + 1) по условию о кратности неисправностей (равенство имеет место при N = 2t + 1 и нечетном N). Следовательно, число исправных вершин в Y(j) будет t - 5(j) > > t - (t - (A(j) +1)) = A(j') +1, что и завершает доказательство.
Следствие 1. Для каждой вершины у е Гк найдется хотя бы одна 0-покрытая исправная вершина.
Основываясь на отношениях (5) - (6), в самом общем виде признаки тупикового состояния неисправной вершины можно сформулировать в следующем виде.
Свойство 1. Вершина / е Гк имеет тупиковое состояние, когда для каждого треугольника тестирования (/, к, т) вида А1 выполняется хотя бы одно из условий а) а(/, к) = 1, б) а(к, т) = а(/, т) при том дополнительном условии, что |?1 (/)| < Л(/).
Выразим свойство 1 в виде совокупности признаков, учитывающих взаимное расположение исправных и неисправных вершин множества У(/).
Свойство 2. Чтобы для неисправной вершины у достигалось тупиковое состояние, необходимо:
а) все 1-покрытые из у исправные вершины г е (V - Гк) п У(/) предшествуют 0-покрытым исправным вершинам;
б) все неисправные вершины /1 е У(/), для которых а(/, /1) = 0, предшествуют 0-покрытым исправным вершинам;
в) все неисправные вершины /1 е У(/), которые следуют за 0-покрытыми исправными вершинами, имеют а(/\/1) = 1;
г) для каждой 0-покрытой неисправной вершины/1 е У(/) значение а(/1, к) совпадает со значением а(у, к), где к е У(у) П У(/1), при произвольном (исправное/неисправное) состоянии вершины к.
Пусть для заданных образа неисправностей Гк и совместного с ним синдрома для каждой вершины графа условия (1) - (4) самоопределения не выполняются. Это означает, что для каждой исправной вершины г множество Х1(г) Ф 0, а для каждой неисправной вершины у выполняется условие \Х1(/) и У1(/)| < г. Рассмотрим условия тупикового состояния неисправной вершины, вытекающие из невыполнения для нее соотношений (5) - (6) самоопределения с помощью треугольников тестирования вида А1.
Лемма 2. Чтобы неисправная вершина у не имела определяющих ее треугольников тестирования, необходимо выполнение условия 3у е У(у) п Гк {а(/,у) = 1}.
Доказательство. Допустим обратное: V/ е У(у) п Гк {а(/, у1) = 0}, но у не имеет определяющих треугольников. Из свойства 2, следует, что все 1-покрытые из у исправные вершины г1 должны предшествовать неисправной вершине у1, наиболее удаленной от вершины у по связям я1. Из леммы 1 следует, что существует 0-покрытая из у исправная вершина >у1, и = (у + г) шоё N. Из свойства 2-г вытекает, что V/ е У(/) п Гк {а(/1, (/ +г)) = 0}, так как а(/, (/ + г)) = 0 по условию. Но вершина (/ + г) может быть 1-покрыта только из вершин множества {у и (У(/) п Гк)}. Следовательно, при введенных условиях нарушается условие 1-покрытия графа. Значит, при отсутствии 1-покрытых из у неисправных вершин тупиковое состояние вершины / не достигается. Конец доказательства.
Следствие 2. Если неисправная вершина у имеет тупиковое состояние, то Х0(/) Ф 0.
Доказательство. Пусть неисправная вершина / 1-покрыта всеми у е Х(/) п Гк, тогда Х0(/) = 0, т.е. 1X^)1 = г, и при |У1(/)| > г (что имеет место при 1-покрытии из / неисправных вершин) вершина/ самоопределима по условию (1).
Нетрудно получить также следующий результат.
Следствие 3. Если для неисправной вершины / при тупиковом состоянии графа выполняется Л(/) = 1, то вершина у имеет определяющий ее треугольник тестирования.
4. Анализ состояния графа
Для анализа локальной г-диагностируемости графа при заданном образе неисправностей Гк используем свойства треугольников тестирования, построенных на вершинах {/, к, (/ + г)}, где (/ + г) > к > / и у е Гк.
Согласно следствию 1, существует к е V - Гк, для которого а(/, к) = 0. Если а) (/ + г) е V - Гк и
а(/, (у + г)) = 1 или б) (у + г) е V - Гк и а(/, (у + г)) = 1, то в соответствии с (5) треугольник тестирования
(/, к, (/ + г)) определяет/. Отсюда необходимое условие, что для у е Гк нет определяющих треугольников тестирования, имеет следующий вид:
если (/ + г) е V- Гк, то а(/, (/ + г)) = 0; (8)
если (/ + г) е Гк, то а(/, (/ + г)) = 1. (9)
В случае (8) условие 1-покрытия графа требует, чтобы существовала такая неисправная вершина в У(/), которая 1-покрывает исправную вершину (/ + г). Без нарушения условия, что/ имеет тупиковое состояние, такой вершиной может быть только неисправная вершина/1, 1-покрытая из /. Это означает, что достижение тупикового состояния для / уменьшает по крайней мере на две единицы общую сумму М(Гк) = ^Л( j) - g . Величина М(Гк) равна наибольшему числу единичных исходов тестирования в синдроме, совместном с заданным образом неисправностей, которая может быть использована на покрытие не-
исправных вершин графа без нарушения условия об отсутствии самоопределимых неисправных вершин. Здесь g - число исправных вершин в графе: g = N - |Гк|.
Для случая (9) условие тупикового состояния вершины у означает, что каждая неисправная вершина/1 из У(/) должна быть 1-покрыта из вершины / или сама должна 1-покрывать вершину (/ + г). Таким образом, в случае (9) достижение тупикового состояния для / уменьшает по крайней мере на 28(/) единиц значение М(Гк).
Предложен алгоритм, который использует описанные условия для определения таких совокупностей /кс Гк неисправных вершин, тупиковое состояние которых не нарушает условия £Д(у) - g >£ ^ д(у),
что существенно уменьшает трудоемкость анализа локальной диагностируемости при заданном образе неисправностей Гк. Здесь д(/) — число единичных исходов тестирования, используемых для 1-покрытия смежных вершин при тупиковом состоянии вершины у.
5. Локальная ^-диагностируемое^ оптимального циркулянтного графа
Из определения 1-покрытия графа вытекает следующее
Следствие 4. Если § = ^Д( j), то все неисправные вершины у е Гк имеют определяющие их треугольники тестирования вида А1.
Более того, можно доказать следующее.
Лемма 3. Если для заданного образа неисправностей Гк е Г(г) выполняется £Д(у) < g + 4, то образ
неисправностей локально г-диагностируем.
Лемма 3 позволяет установить новую нижнюю границу числа вершин локально г-диагностируемого графа. Обозначим Гкт образ неисправностей, для которого достигается максимальное значение суммы М(Гк) на множестве Г(1^, г).
Утверждение 1. Если для заданных N и г при максимальном образе неисправностей Гкт выполняется 27-еры ]) < g + 4, то граф локально г-диагностируем.
Утверждение 1 имеет скорее теоретическое, нежели практическое значение, поскольку для оптимальных графов уже при г > 6 имеет место д< >) > g + 4.
Вместе с тем утверждение 1 позволяет уменьшить число образов неисправностей, требующих исследования на возможность тупикового состояния графа при 2^/^ А(}) > g + 4. Тем самым уменьшается трудоемкость решения задачи анализа локальной г-диагностируемости заданного графа.
Принципиальную возможность эффективного использования треугольников тестирования показывает следующее.
Лемма 4. В оптимальном циркулянтном графе для каждой неисправной имеется треугольник тестирования вида А2.
Доказательство. По построению, в циркулянте при N = 2г + 1 для всяких к, к1 е V, таких что к1 е У(к), имеет место У(к1) п Х(к) Ф 0. Если к1 = к + а, то |У(к1) п Х(к)| = а. Рассмотрим теперь/ е Гк и примем, что для нее нет ни одного определяющего треугольника тестирования вида А1. Обозначим г исправную вершину в У(/), г = у + к, которая является 0-покрытой исправной вершиной, наиболее удаленной от у по связям с меткой я1.
Если вершина / имеет тупиковое состояние, то для любых г'ь г2 е [У(/) п (V - Гк)], таких, что г1 > г2, имеет место {а(/, 11) > а(/, г2)}. Следовательно, если г - наиболее удаленная от у 0-покрытая исправная вершина, то ни один треугольник тестирования с участием вершины г не будет определяющим для у, если и только если {(г + 1), (г + 2), . „., (/ + г)} с Гк. С учетом аксиомы о кратности неисправностей отсюда вытекает существование г1 е У(г) п Х(/) п (V - Гк); треугольник тестирования (/, г, г\) является определяющим для вершины/.
Если в оптимальном циркулянте N = 2г + 2, то для каждой вершины к е V вершина с номером (к + г +1) не входит в У(к) и Х(к). Рассматриваем вершину у е Гк, для которой отсутствуют определяющие треугольники тестирования вида А1, и вершину г е У(/) п (V - Гк), являющуюся наиболее удаленной от/ по связям с меткой ^ 0-покрытой исправной вершиной. Примем, что г = у +к. Из аксиомы кратности неисправностей следует, что общее число неисправных вершин в У(г) не превышает величины (г - 1). По определению, все вершины, следующие за г, неисправны, так что в У(г) - У(г) п У(/) содержится не более (г - к - 1) неисправных вершин. Предположим, что имеет место худший случай, т.е. |[У(г) - У(г) п У(/)] п Гк| = г - к - 1, т.е.
[Х(/) -Х(/) п У(г)] п Гк = 0.
Имеют место два случая.
1. Если исправная вершина в рассматриваемом множестве У(г) - У(г) п У(/) имеет номер > / + г + 1, то существует треугольник тестирования (/, г, г\), определяющий вершину у.
2. Пусть теперь i1 = j + t + 1. Необходимое условие тупикового состояния вершины j - наличие Y1(i) Ф 0; следовательно, имеется хотя бы одна вершина j1 е Fk n Y(i) n X(j), такая, что a(j1, j) = 0, в таком случае треугольник тестирования (j, i, j1,) определяет j.
Следствие 5. Оптимальный циркулянтный граф локально t-диагностируем при использовании треугольников тестирования.
Заключение
Рассмотрен системный уровень диагностирования ВС при множественных отказах и исходах тестирования, соответствующих ПМЧ-модели. В качестве диагностической структуры использован циркулянтный граф с вершинной степенью, равной кратности допустимых отказов t. Выявлены и проанализированы условия, когда локальное диагностирование является неполным. Выведены условия достоверной идентификации состояния модуля ВС, производимой только по результатам тестирования из модулей, имеющих с ним непосредственную связь - условия локального t-диагностирования, с помощью сопоставительного анализа фрагментов синдрома, соотнесенных со структурной единицей диагностического циркулянта, названной треугольником тестирования.
Анализ показал, что для перехода вершины в тупиковое состояние вследствие отсутствия определяющих ее треугольников тестирования необходимо одновременное выполнение многочисленных условий, связанных как с взаимным расположением и числом смежных неисправных вершин, так и со значением фрагмента синдрома, соотнесенного с рассматриваемой вершиной. Одно это свидетельствует о том, что доля образов неисправностей, которые могут приводить к тупиковому состоянию графа, при использовании треугольников тестирования значительно сокращается. При этом условия достижения тупикового состояния одними неисправными вершинами могут служить условиями самоопределения для других вершин, в том числе исправных, что в конечном счете приводит к определению состояния всех вершин графа. Многочисленные примеры показали, что использование треугольников тестирования во всех рассмотренных случаях обеспечивает локальную t-диагностируемость графа без использования дополнительного тестирования. Это и доказанная эффективность треугольников тестирования для локальной диагностируемости оптимального циркулянта позволяют выдвинуть гипотезу, что отношения (1) - (6) составляют достаточное условие для достижения локальной t-диагностируемости графа при любых значениях N и t.
Вместе с тем анализ показал, что совместное рассмотрение треугольников тестирования, построенных на множестве j u H(j), не дает дополнительной информации об определимости вершин, кроме той, что может быть получена из соотношений (4). Это свидетельствует о том, что для получения новых условий определимости вершины необходимо расширять ее анализируемую окрестность.
ЛИТЕРАТУРА
1. Димитриев Ю.К. Локальная самодиагностика вычислительных систем при множественных отказах // Вестник ТГУ.
Приложение. 2006. № 17. С. 198 - 202.
2. Димитриев Ю.К., Задорожный А.Ф. Условия локального самодиагностирования в вычислительных системах с цир-
кулянтной структурой // Вестник ТГУ. Приложение. 2007. № 23. С. 216 - 220
3. Preparata F.P., Metze G., Chien R.T. On the connection assignment problem of diagnosable systems // IEEE Trans. Electr.
Comput. 1967. V. EC-16. P. 848 - 854.
