CC BY
19
УДК 539.3; 539.4; 624.04
СЕМЕНОВ А. А. ПАНИН А. Н.
Эффективность использования безразмерных параметров при расчете прочности и устойчивости подкрепленных пологих оболочек1
Семенов Алексей Александрович
кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры прикладной математики и информатики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (СПбГАСУ)
e-mail:
Панин
Александр
Николаевич
кандидат технических наук, доцент кафедры архитектурно-строительных конструкций Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (СПбГАСУ)
e-mail: [email protected]
Показано, что расчеты устойчивости изотропных пологих оболочек в безразмерных параметрах позволяют одним расчетом получить информацию для серии подобных оболочек из различных материалов. Таким образом можно подбирать оптимальные параметры конструкции и ее материала, что подтверждает эффективность использования безразмерных параметров. Используется алгоритм расчета, основанный на методе Ритца и итерационных процессах. Прочность анализируется по критериям Мизеса и Кулона — Мора. Рассматриваются пологие, квадратные в плане оболочки двоякой кривизны из стали, оргстекла, бетона B40 и B55. Приводятся значения нагрузок потери устойчивости и нагрузок потери прочности для некоторых вариантов конструкций.
Ключевые слова: пологие оболочки, подкрепленные оболочки, устойчивость, прочность, безразмерные параметры.
SEMENOV A. A, PANIN A. N.
EFFICIENCY OF DIMENSIONLESS PARAMETERS IN CALCULATING OF STRENGTH AND STABILITY OF REINFORCED SHALLOW SHELLS
It is shown that the calculation of the stability of isotropic shallow shells in the dimensionless parameters allows one to obtain information for the calculation of a series of similar shells of different materials. Thus it is possible to select optimum design parameters and its material, which proves the effectiveness of using dimensionless parameters.We used the algorithm for calculating, based on the Ritz method and iterative processes. Durability was analyzed according to the criteria of Mises and Coulomb — Mohr. We considered the shallow square in terms of double curvature shell of steel, Plexiglas, concrete B40 and B55. Outlines the values of buckling loads and loads of loss of strength for some constructions.
Keywords: shallow shell, reinforced shell, stability, strength, dimensionless parameters.
Введение
В исследованиях прочности и устойчивости оболочечных конструкций достаточно часто применяются безразмерные параметры [1, 2]. Применение безразмерных параметров позволяет одним расчетом получить данные о напряженно-деформированном состоянии целой серии подобных оболочек, что дает возможность рационально выбирать размерные параметры конструкций, а для изотропных оболочек — еще и материал, из которого они сделаны [3].
1 Работа выполнена в рамках государственного задания Мин-обрнауки России, проект № 3801.
Постановка задачи
Цель данной работы — показать эффективность использования безразмерных параметров при расчете прочности и устойчивости подкрепленных пологих оболочечных конструкций.
Описание исследования
Рассматриваются пологие, квадратные в плане оболочки двоякой кривизны, подкрепленные ортогональной сеткой ребер со стороны вогнутости. Общий вид такой конструкции показан на Иллюстрации 1.
Для рассматриваемого класса конструкций можно использовать следующие безразмерные параметры [3]:
е = ^
a
kn =
, п = y b' a x = -, k a2kx h '
b2ky U = = aUr, V = = W
h h2 h2
Ф xa h ' Ф y ФуЬ _ = ~h 'Qx 2 = °xa Eh2 '
2 üya Txy Txyal 4 p a q P h4E'
Eh2 ' Guh2'
(1)
где кх = -1, ky = -1 — главные кривизны оболочки
вдоль осей х и у; Я2 — главные радиусы кривизны вдоль осей х и у; и = и (х, у), V = V (х, у), W = W (х, у) — перемещения точек срединной поверхности оболочки вдоль осей х, у, г; Фх = Фх (х, у), Фу = Фу (х, у) — углы поворота нормали в плоскостях XOZ и YOZ соответственно; Е — модуль упругости материала конструкции; а, Ь, к — линейные размеры оболочки вдоль осей х, у, г; стх, сту, стг — нормальные напряжения в направлении осей х, у, г; гху, т^, туг — касательные напряжения в плоскостях ХОТ, Х07 , YOZ; ^ — внешняя равномерно распределенная поперечная нагрузка.
Если рассматривается подкрепленная оболочка, то дополнительно необходимо использовать следующие безразмерные параметры:
Fx Fx h ' Fy h h2'
Sy Sy Jx Jx h3' Jy Jy , h3 , (2)
Fx = n h'r Ehr + i=i b m E j=1 { hrj ä n ttjrr. E ' j <=1 äb rj; ä
Fy = m foj r T, -a- + j=i a n -E i=1 -iri T m -ijrr E i j E=1 ab , ri; i>;
Sx = n S'r ^ + i=i b m Y, j=1 а Y siirirj «=1 ab ri; а
Sy = m S-ir ri n Sn i=1 S'r, b S S äb ri; b;
Jx = n Pf J+ i=i b m E j=1 Jjj а n fjrr EJ rirj i=1 ab rj; а
Jy = m J i r S - n i=1 Jiri b m J Игг SJ i S äb ri b'
где
S' = h (h + h i' h (h + h) SiJ
2 2
J' = 0,25h2 h' + 0,5h (h )2+3 ()•
h (h + 2
Иллюстрация 1. Общий вид подкрепленной пологой оболочеч-ной конструкции. Авторы: А. А. Семенов, А. Н. Панин
Ji = 0,25h2 h' + 0,5h (h
J1 = 0,25h2h + 0,5h(h) +-(h1
+1 (
2 Ь-,Л3
Здесь r — ширина ребра; h — высота; индексы i и j указывают номер ребра, расположенного параллельно оси х и y соответственно; n, m — количество ребер; h = min{h,; переменные ä, b позволяют ребрам жесткости повторять геометрию оболочки и определяются как ä = aA, b = bB (xk).
Функционал полной потенциальной энергии деформации пологой оболочки прямоугольного плана, с учетом (1), будет иметь вид [3]: 1 1
E =
и
s2 +Х4 е2 + 2цХ2 sv + G X2 y2 +
,4-2
2— ■
v2-2
77 \2
+ Gk(Фx + GkX2 ( -e2) + h2
+12 (x2 + x4x2 + 2^X2XIX2 + 4G X2x2^ -
-2P (1 ) W
d ^d n .
(3)
где ¥х, ¥у, Sx, Sy, Jx, Jy — площадь поперечного или продольного сечения ребра, приходящаяся на единицу длины сечения; статический момент и момент инерции этого сечения:
Здесь ех, еу — деформации удлинения вдоль безразмерных координат X, т| срединной поверхности; ~{ху — деформации сдвига в плоскости; « — коэффициент Пуассона; О — модуль сдвига; С, С2, С12 — функции изменения кривизн и кручения;
G (1V
01 = -
dW di
+ ku
02 = -
dW + dn n
* = 5.
6
Рассматриваемые варианты конструкций
Будем рассматривать следующие варианты изотропных пологих оболочек, размерные и безразмерные параметры которых представлены в Таблице 1, параметры материалов — в Таблице 2.
Здесь стт — предел текучести для изотропного материала; ¥+, ¥- — пределы прочности при растяжении и сжатии соответственно.
Алгоритм расчета
Расчеты проводились по алгоритму, основанному на методе Ритца и итерационных процессах [4]. Нами выбран метод Ритца, так как он позволяет свести вариационную задачу нахождения минимума функционала к задаче решения системы нелинейных алгебраических уравнений. Полученную систему уравнений можно решать различными методами. Для этой цели выбран метод итераций, так как он требует существенно меньше вычислительной мощности (по сравнению с другими метода-
Ф =
^ x
У
0 0
Таблица 1. Размерные и безразмерные параметры оболочек разных вариантов
Размерные параметры, м Безразмерные параметры Стрела
Вариант К = = К2 к подъема
а = Ь а = Ь К = К = К2 К = К
I 54 135,9 0,09 600 1510 238 29,75
36 90,6 0,06
27 67,95 0,045
18 45,3 0,03
II 36 90,6 0,18 200 503 79,5 10
27 67,95 0,135
18 45,3 0,09
III 27 67,95 0,27 100 251,5 39,76 5
18 45,3 0,18
13,5 34 0,135
Таблица 2. Механические характеристики материалов рассматриваемых конструкций
Характеристика Пластичные Хрупкие
Сталь Оргстекло Бетон B40 Бетон B55
Е, МПа 2,1 ■ 105 0,03 ■ 105 0,36 ■ 105 0,395 ■ 105
0,3 0,35 0,254 0,254
0, МПа 0,807 ■ 105 0,012 ■ 105 0,144 ■ 105 0,157 ■ 105
Г+, МПа - - 1,4 1,6
ГМПа - - -22 -30
стт, МПа 1 720 75 - —
Примечание: ат — предел текучести для изотропного материала; Г+, Г — пределы прочности при растяжении и сжатии соответственно.
ми) и позволяет достаточно быстро определить нагрузку потери устойчивости.
Для минимизации функционала полной потенциальной энергии деформации используем метод Ритца. При решении задачи в безразмерных параметрах искомые функции можно представить в виде
и ((, п) = ¿й(1 )71(Т); V 0, п) = ¿7(7
1=1 1=1
&(п) = ЕЩ/3(1); Фх (е,п) = )24(1);
I=1
N
фу ( п)=Е PN(I^5(1), I=1
(4)
Fл(X)-ср■ Р = (X),
(5)
гДе _ _ _ _ ,т
X = (и(I),V(I(I),PS(I),РЫ(I)) , I = 1..Ы;
РЛ(Х) — ср ■ Р — левая линейная часть системы; (х) вектор нелинейных членов; Р — вектор нагрузки; ср коэффициент.
Полученную систему уравнений решаем с помощью итерационного процесса. _
При заданной нагрузке Рх вначале решается геометрически линейная задача
Fл(X)- ср • Р = 0. (6)
Найденное значение решения X подставляется в FN (X) и методом итераций
Fл(Xi)- ср ■ Р = ((¡А
(7)
решается геометрически нелинейная задача. Процесс итераций заканчивается, когда
X - X
i-1
Х;
< е.
где и (I), V (I)(I), PS (I), РЫ (/) — неизвестные безразмерные числовые коэффициенты; Z 1(1) — Z 5 (I) — известные аппроксимирующие функции аргументов X и т|, удовлетворяющие заданным краевым условиям на контуре оболочки; N — количество членов разложения.
Подставив разложения искомых функций (4) в функционал (3) и проведя процедуру метода Ритца, получим систему нелинейных алгебраических уравнений, которую кратко можно представить в виде
Прочность конструкций из бетона оценивалась по критерию Кулона —Мора:
-И. < 1, Г+ Г-
-±
0;
И 1 > Стт > Из.
Для конструкций из стали и оргстекла применялся критерий Мизеса:
ai < ат,
где и,- — интенсивность напряжений, ее можно представить в виде
7> = <[а
-V2« + 3 (( + + т'
2 )
yz
I=1
а
Таблица 3. Результаты расчетов
Вариант Число ребер Pkr qkr, МПа (qpr, МПа)
Сталь Оргстекло Бетон B40 Бетон B55
I 600 0 68 424,68 0,1109 0,0017 0,0190 (0,0136) 0,0208 (0,0171)
18 121020 0,1961 0,0031 0,0336 (0,0179) 0,0369 (0,0234)
II 200 0 5 053,53 0,6633 0,0104 0,1137 (0,0301) 0,1248 (0,0385)
18 19 958,90 2,6196 0,0412 0,4491 (0,0556) 0,4927 (0,0784)
III 100 0 1 119,18 2,3503 0,0369 0,4029 (0,0575) 0,4421 (0,0753)
18 4 268,44 8,9637 (8,4452) 0,1409 1,5366 (0,1261) 1,6860 (0,1748)
Результаты
В Таблице 3 представлены значения полученных безразмерных критических нагрузок потери устойчивости Ркг для рассматриваемых оболочек. Показаны соответствующие им размерные значения нагрузок в зависимости от выбранного материала конструкции. Для сравнения также приводятся данные для оболочек, подкрепленных ортогональной сеткой ребер 9x9 высотой ЗА и шириной 2А.
Алгоритм расчетов, основанный на методе Ритца и итерационных процессах, позволяет получить данные о напряженно-деформированном состоянии оболочки только до момента достижения первой критической нагрузки, т. е. до момента потери устойчивости. В связи с этим для конструкций, у которых необратимые деформации в материале наступали после потери устойчивости, определить нагрузку потери прочности не удалось.
В Таблице 3 значения нагрузок потери устойчивости для оболочек из разных материалов получены переходом
от безразмерных параметров к размерным
q
h4EP
a
.4
Список использованной литературы
1 Ghorbanpour Arani A., Loghman A., Mosallaie Barzoki A. A., Kolahchi R. Elastic Buckling Analysis of Ring and Stringer-stiffened Cylindrical Shells under General Pressure and Axial Compression via the Ritz Method // Journal of Solid Mechanics. 2010. Vol. 2, No. 4. P. 332-347.
2 Wu C.-P., Wang Y.-M., Hung Y.-C. Asymptotic finite strip analysis of doubly curved laminated shells // Computational Mechanics. 2001. Vol. 27. P. 107-118. URL: doi: 10.1007/s004660000218.
3 Карпов В. В. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. М., 2002.
4 Панин А. Н. Алгоритмы исследования прочности пологих железобетонных ребристых оболочек при учете физической нелинейности // Вестник гражданских инженеров. 2009. № 1. С. 114-116.
т. е. было достаточно провести расчеты только 6 задач.
К сожалению, аналогичным образом получить нагрузки потери прочности невозможно, так как все материалы имеют разные пределы текучести, предельные значения напряжений на растяжение и сжатие и т. д. А именно из этих условий определяется предельная нагрузка потери прочности. Однако безразмерные напряжения для по-
И2Е а
добных оболочек будут одинаковыми а = —2
Заключение
Использование безразмерных параметров при расчете устойчивости подкрепленных пологих оболочек является достаточно эффективным, так как позволяет одним расчетом получить данные о напряженно-деформированном состоянии целой серии подобных оболочек и подобрать материал конструкции в зависимости от заданной нагрузки.
Однако для анализа прочности конкретной оболочки необходимо проводить отдельное исследование и учитывать особенности деформирования конкретного материала.
Алгоритм, основанный на методе Ритца и итерационных процессах, достаточно прост в реализации и позволяет достаточно быстро определить нагрузку потери устойчивости, а в некоторых случаях — еще и нагрузку потери прочности.
a
