CC BY
41
раздел ФИЗИКА
ББК 24.6+22.313 УДК 532.135+538.569
ЭФФЕКТИВНАЯ ВЯЗКОСТЬ СУСПЕНЗИЙ В ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Галимбеков А.Д.*
На основе методов статистической механики в статье рассмотрена теория, которая описывает поведение разбавленной суспензии, находящейся под воздействием высокочастотных электромагнитных полей. В работе получено выражение для эффективной вязкости разбавленной суспензии состоящей из сферических частиц обладающих постоянным дипольным моментом.
Поведению суспензий в квазистационарных электромагнитных полях посвящено большое количество работ [1-6]. Однако, данные исследования охватывают лишь малую часть спектра электромагнитного излучения. Представляет интерес изучение поведения суспензий в
электромагнитных полях высокочастотного диапазона (106 -109 Гц) [7, 8 ], которые в отличие от квазистационарных полей обладают рядом характерных особенностей. Так, необходимо иметь в виду, что такие термо- и гидродинамические величины как скорость потока жидкости, плотность жидкости, температура, давление и т. д. являются более медленно изменяющимися величинами, чем изменения векторов напряженностей электрического и магнитного полей. Это означает, что период колебаний высокочастотного электромагнитного поля (ВЧ ЭМП) гораздо меньше не только характерного времени задачи t0 = L/u , где L, и - соответственно характерный размер и характерная скорость задачи, но и
меньше времени, характерного для изменения механизма таких явлений как вязкость и теплопроводность. Следовательно, термогидродинамическое состояние малого элемента среды не может измениться существенно за период ВЧ ЭМП, поэтому очевидно, целесообразно характеризовать состояние среды усредненными за период ВЧ ЭМП значениями термодинамических и гидродинамических величин.
Основные допущения.
1) Будем считать, что ВЧ ЭМП является однородным. Это означает, что длина волны в среде должна быть больше характерных размеров задачи: X >> L, длина волны X = c*js'"/v , где с -скорость света в вакууме; v -частота ВЧ ЭМП; s'-вещественная диэлектрическая проницаемость среды. Таким образом, имеем следующее ограничение на частоту ВЧ ЭМП: v << c4S/l , так при размерах канала
порядка 0,1 метра, v << 109 Гц и v я 106 -108 Гц .
2) Течение будем считать изотермическим, то есть мы пренебрегаем тепловыми источниками, возникающими при ВЧ ЭМ воздействии на разбавленную суспензию.
Представим однородное ВЧ ЭМП в виде [9, 10]: да да
Е = Е0 h, (1)
где Е-вектор напряженности электрического поля; Е0 - амплитуда вектора напряженности электрического поля; h -вектор в направлении поля:
h = h0 exp^wt) ;
г -мнимая единица; ю -круговая частота; t-время; h0-единичный вектор, направленный вдоль оси,
относительно которой колеблется вектор напряженности Е, в сферической системе координат, компоненты вектора h0 запишутся в виде:
h01 = cosy sinq , h02 = siny sinq , h03 = eos q , (2)
* Галимбеков Айрат Дамирович - к. ф.-м. н., до кто рант кафедры ПФ, БашГУ
где у , 0 - соответственно широта и долгота.
Коэффициент эффективной сдвиговой вязкости ^ связан с тензором напряжений выражением:
0 ,к = —Р5 гк + 1к,
до.
где р -давление; 5 к -символ Кронекера: 5 гк =1, если г = к и 5 гк =0 в остальных случаях; V .. = —-
дх}
тензор градиентов скорости. Выражение для тензора напряжений имеет вид [9]:
5 . 1
0 гк = -Р5 гк + 2Ло С1 + -Ф )У гк + “ПЦ (< ег >Ек —< ек >Ег ], (3)
где ^о-коэффициент сдвиговой вязкости жидкости, в которой взвешены частицы; ф -объемная концентрация твердой фазы;
1
диг дик
V дхк дх, )
симметризованныи тензор градиентов скорости; о -скорость жидкости; п-
число частиц; < е ■ > - момент функции распределения первого порядка (¡=1, 2, 3); Е1 -компоненты
вектора Е (I =1,2, 3); черта сверху означает усреднение по периоду ВЧ ЭМП.
В рассматриваемом случае дипольных сферических частиц моменты функции распределения определяются уравнениями [9]:
d < ек > 1
= — < е* > +ю к>< ез > +Бк (кк - < еке3 > кз); (4
аг х 1
а < е і е к > 1 1
------- -------=----------(< еіек > --5 ік) + Ю і, < е] ек > +Ю к < е і еі > +
аі х 2 з
+ Б к (< е і > к к + < е к > Ь і - 2 < еі е к е у > И ^); и тд- (^)
Здесь ха =--------1----- - времена релаксации ориентации частицы суспензии, а = 1,2,...; В -
а (а +1) В
1
коэффициент вращательной диффузии; ю ік =
дик
дхк дх, )
тензор градиентов скорости;
к = ц Ео /кБТ, кБ - универсальная постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура суспензии;
< е^к > и < еiеkеJ > - моменты функции распределения второго и третьего порядка соответственно.
Для решения системы уравнений (1), (3), (4) и (5) воспользуемся тем обстоятельством, что времена релаксации уменьшаются с увеличением номера момента: х 1 >х2 >х3 >..., поэтому можно найти
такой номер, при котором значение соответствующего момента можно принять равным его
равновесному значению в заданном поле, тогда значения моментов низких порядков могут быть вычислены. Самое простое приближение может быть получено, если значение момента второго порядка положить равным его равновесному значению в ВЧ ЭМП. При этом учтем, что выражения для равновесных значений моментов имеет вид [9]:
< ег > о = , < е^к > о = — (1 — Ц2 )5 гк + — (3Ц2 — 1)^г^к , (^)
где < ег >о и < егек >о - равновесные значения момента функции распределения соответственно
первого и второго порядка; Ц = к —к —1 - функция Ланжевена; Ь2 = 1 — 2к—1Ц; к -
гиперболический котангенс к .
Тогда: < еке1 > =< еке1 >о = кк — 2к—1 < ек >о. Подставляя это выражение в (4), находим
релаксационное уравнение в первом приближении:
d < ек > 1 ,
----= - — (< ек > — < ек >о ) + ® к < ез > . (7
Таким образом, для вычисления тензора напряжений (3) нужно знать момент первого порядка, который определяется уравнением (7).
Для ВЧ ЭМП вида (1) с учетом выражения (6) решение следует искать в виде: < ек >~ ехр(/'ю?), поэтому уравнение (7) запишется в виде:
1 / ч
Ш < ек >=------------(< ек > - < ек > 0) + ю.. < е, > .
(8)
Точное аналитическое решение уравнения (8) имеет вид (индекс у т] опускается):
< ек >= ■
< ек >0
Ю кХ < е! > 0
(1 + ІЮ Х )
1
2 2 ЮкХ
(1 + ІЮХ )2
(1 + ІЮХ )2
1
22 Ю кХ
(1 + ІЮ Х )2
Подставляя данное решение в выражение для тензора напряжений (3), произведем усреднение по периоду ВЧ ЭМП, при этом воспользуемся методом усреднения, предложенным в работе [10]:
< еІ > Ек = < Єі > + < еі > *' 2 V / 1 т г К А, { Е к + Е * 2 V У Е о = 4 ^ Єі > * Е к + < Єі > Е * )= ь, к е о
4 14 (1 - ІЮ Х ) к нк + Ю „Х ( (1 - ІЮХ ) где звездочка означает операцию компл В результате, усредненное по периоду ( 2 2 ^ Ю Vх 1 + Г (1 - ІЮ Х ) ) Е о + Ю ,2Х 2 (1 + 1 ексного сопряже ВЧ ЭМП выраж (1 + ІЮ Х ) к і к* Е о* ЮХ ) 2 + Ю і2х ;ния. сение для те ( 2 2 ^ Ю ИХ 1 + г (1 + ІЮ Х ) ) г )Х нзора напряжен ий запишется
виде:
I 5 ) 1
° /к = -р5 /к + 2л о 1+ -ф у /к + -тк(-
V 2 ) о
(1 - ІЮХ )
1
22
ЮХ
(1 - ІЮ Х )2
Ні К Ео
к К Ео
(1 + ІЮХ )
1
22
ЮХ
(1 + ІЮ Х )2
(1 - ІЮХ )
1
22 Ю кХ
(1 - ІЮ Х )2
к К Ео
кк Ео
(1 + ІЮХ )
- Ю кХ(
1
22 Ю кХ
(1 + ІЮ Х )2
Ні Ео
\ г < з К о і 3 к о \
+ ю і х (----------------- --------- —— +------------------- --------- ——) -
(1 - ІЮХ ) + ЮІ;Х (1 + ІЮХ ) + ЮІ;Х
hJ Ьі Ео
(1 - ІЮХ )2 + Ю(1 + ІЮХ )2 + Ю2 ^
Для ВЧ ЭМП вида (1) (со свойствами ко. = ^. и для которого положим Ео = Е*0), а также,
учитывая, что для сферических частиц х = Зфіо /пкБТ, реальная часть выражения для тензора напряжений запишется в виде:
° ,к = -Р5 ,к + 2Л<
У , з ( Юі>'КАк(1 -Ю2Х 2 + Ю^Х 2)
У Ік + л фКк1 ( ^ 2 2\2 2 2 \ 2 2 4 <
4 (1 + ю 2 х 2)2 + 2(1 - ю 2 х 2 Эю^х + ю4х
ю ц ко і кок(1 - Ю 2 Х 2 + ю2х 2)
(1 + ю 2 х 2)2 + 2(1 - ю 2 х 2 )ю кх 2 + ю 4х 4'
<9о.
Рассмотрим простое сдвиговое движение (V12 =—L Ф 0) с произвольным направлением
дх^
колебаний ВЧ ЭМП (1). Тогда выражение для эффективного коэффициента сдвиговой вязкости запишется в виде:
где ю12 =-
Ц = Ц о + Ц оф
1 düj
5 3
—I— kL
(1 - ю2 х 2 + w12x2)
2 8 1 (1 + ю2x2)2 + 2(1 -ю2x2)ю2х 2 + ю4х4
(¿01 + ¿02 )
2 дхп
Вводя углы согласно выражениям (2), определяющие направление колебаний ВЧ
ЭМП, получим окончательное выражение для коэффициента сдвиговой вязкости:
Ц = Ц о + Ц оФ
53
—I— K¿1
(1 - ю2 х2 + ю122х 2)
-sin 0
(9)
2 8 ‘(1 + ю2х2 У + 2(1 - ю2х2 )ю2х2 + ю^х
Для ВЧ ЭМП период колебаний Т0 >> £/и или юх >> ю12х , тогда в случаях ют < 1 и ют > 1 выражение (9) запишется в виде в виде:
Ц = Ц о + Ц оФ
5 3 (1 - ю2 х 2) . 2
~+ó kL1—---------Sin 0
2 8 1 (1 + ю2х2 У
Анализ полученного выражения показывает, что в зависимости от частоты ВЧ ЭМП эффективный коэффициент сдвиговой вязкости суспензии может быть как больше, так и меньше значения вязкости без электромагнитного воздействия. Так, в случаях
а) юх < 1, эффективный коэффициент сдвиговой вязкости при увеличении интенсивности ВЧ ЭМП увеличивается. Это объясняется тем, что при таких частотах электромагнитное поле затормаживает вращение частиц суспензии, а это всегда приводит к увеличению коэффициента вязкости (рис. 1 кривые
1 и 2).
Рис. 1. Зависимость изменения вязкости
Дц = (Ц -Цо(1 + 5р/2))
от безразмерной напряженности
ФЦо ФЦо
к = ц Ео / кБТ, при различных частотах. Кривые 1, 2, 3 - соответствуют случаям, когда частота ЭМП соответственно удовлетворяет условиям: юх = о,5 , юх = о,75, юх = 1,5. Рассмотрен случай 0 = ^2 и
sin 0 = 1.
b) юх > 1, коэффициент сдвиговой вязкости при увеличении интенсивности ВЧ ЭМП уменьшается (рис. 1, кривая 3), причем имеется критическая частота при которой эффективный коэффициент
вязкости является минимальным: ю, = х-1л/з . При этих частотах монохроматическое электромагнитное поле ускоряет вращение частиц суспензии, что и приводит к уменьшению коэффициента вязкости.
c) В случае юх = 1, выражение (9) запишется в виде:
Л = Л 0 + Л 0ф
/ 5 Ъ г ®2т2 . 2
— + —kL,-----—л—- sin а
v 2 8 1 4 + ю4т 4
и, таким образом, с увеличением ю12х часть сдвиговой вязкости, обусловленная электромагнитным
воздействием, увеличивается прямо пропорционально ю122х 2.
Оценка времени релаксации для магнитных суспензий, приведена в работах [5, 6], где рассматривалось воздействие на магнитные суспензии в килогерцовом диапазоне. В устойчивых
магнитных суспензиях характерные размеры частиц я 10-7 -10-8м. Частицы с размерами порядка
< 10-8 м оказываются однодоменными и под влиянием тепловых флуктуаций возможно самопроизвольное изменение направления намагниченности. Подвижность вектора магнитного момента ферромагнитной частицы характеризуется временем релаксации хы, определяемым выражением
— = / ехр(-—),
х N
где К - константа анизотропии; V -объем частицы, / -частотный множитель порядка 10 9 сек -1. Другой механизм реориентации магнитного момента частицы, взвешанной в жидкости, связан с поворотом самой частицы и характеризуется броуновским временем вращательной диффузии
х в = З^о I кБТ •
Время релаксации магнитной суспензии х определяется, очевидно, наименьшим из времен хм,
_^ _ 21
хв. Для обычных жидкостей "П0 я 10 Па■ с при температурах кБТ = 4• 10_ Дж и радиусах частиц:
00 /5 7
а я 30 А-100 А , условие юх = 1, выполняется при частотах: V = ю/2тс « 10 _ 10 Гц , что соответствует диапазону ВЧ ЭМП.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шлиомис М.И. Эффективная вязкость магнитных суспензий //ЖЭТФ. - 1971, т..61, вып. 61(12), С. 2411-2418.
2. Мозговой Е.Н., Блум Э.Я., Цеберс А.О. Течение ферромагнитной жидкости в магнитном поле //
Магнитная гидродинамика. - 1973, №1. - С. 61-.67.
3. Цеберс А.О. Течение дипольных жидкостей во внешних полях // Магнитная гидродинамика.-1974.-№4.-С. 3-18.
4. Суязов В.М. О несимметричной модели вязкой электромагнитной жидкости // ПМТФ, -1970.-№2.-С. 12-20.
5. Shliomis M.I., Morozov K.I., Phys. Fluids, 1994, v.6, 18, p. 2855-2861.
6. Bacri J.-C., Perzynski R., Shliomis M.I., Burde G.I. «Negative-Viscosity» effect in a magnetic fluid //
Phisical review letters, 1995, v.75, 111, p. 2128-2131.
7. Саяхов Ф.Л., Галимбеков А.Д. Вязкость разбавленной суспензии в высокочастотном
электромагнитном поле. ПМТФ, 2002, Т.43, 16, с. 156-159.
8. Sayakhov F.L., Galimbekov A.D. Effective viscosity of suspensions in a high-frequency electromagnetic
field. Maghetohydrodynamics, vol. 37 (2001), No. 4, 389-393.
9. Покровский В.Н. Статическая механика разбавленных суспензий.. - М.: Высшая школа, 1978 - 136 с.
10. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.-М.: ГИФ, 1959.-532 с.
Поступила в редакцию 28.05.04 г.
