Эффект подвижки поверхности пузырька при его росте в газированном растворе Текст научной статьи по специальности «Математика»

2004 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 4• Вып. 3

ФИЗИКА

УДК 536.423.4+531.528

И. А. Жувикина, Ф.М. Куни,~Е. А. Гринина

ЭФФЕКТ ПОДВИЖКИ ПОВЕРХНОСТИ ПУЗЫРЬКА ПРИ ЕГО РОСТЕ В ГАЗИРОВАННОМ РАСТВОРЕ

Исследование роста возникшей в среде частицы является важной составной частью кинетики фазовых превращений. Происходящее при этом движение поверхности частицы существенно усложняет учет граничного условия на ней. I

Эффект движения границы частицы рассматривался ранее [1, 2] при изучении роста капли в парогазовой среде, применительно к пузырьку в газированном растворе будет изучен в настоящей работе.

Несмотря на родственность проблем роста капли в парогазовой среде и пузырька в газированном растворе, между ними имеется существенное различие. Оно состоит в том, что движение поверхности пузырька газа при его материальном обмене с газированным раствором вызывает макроскопическое движение жидкого растворителя. Будучи увлекаемыми этим движением, молекулы растворенного газа совершают также диффузию в растворителе. Указанное усложнение отсутствует в задаче о росте капли в парогазовой среде, поскольку макроскопическое движение пассивного газа отсутствует вследствие большой сжимаемости пассивного газа. Соответственно изменение во времени концентрации молекул пара в парогазовой среде определяется чисто диффузионным уравнением. Совместный учет конвективного и диффузионного механизмов изменения во времени концентрации молекул растворенного в жидкости газа принципиально необходим для правильной постановки граничных условий на поверхности пузырька для задач диффузии и теплопроводности.

Главная цель работы - аналитическое описание роста пузырька, при котором зависимость от времени концентрации растворенного газа вокруг пузырька не связана с начальной концентрацией газа, а определяется зависимостью от времени радиуса пузырька. Будет найдена скорость изменения радиуса пузырька во времени. Увеличение пузырька или, наоборот, его уменьшение во времени определяется тем, будет ли раствор пересыщенным или недосыщенным.

Уравнение переноса молекул растворенного газа. Рассмотрим газированный раствор и находящийся в нем пузырек газа. Растворенный газ способен переходить в раствор. Возникающее в результате материального обмена пузырька с раствором движение его поверхности вследствие малой сжимаемости жидкого растворителя вызывает его макроскопическое движение. Участвующие в этом движении молекулы растворенного газа, кроме того, совершают диффузию в растворителе. В итоге уравнение переноса молекул растворенного газа имеет, при предполагаемой их малой концентрации по сравнению с концентрацией молекул растворителя, вид [3, с. 320, 325]

©И. А. Жувикина, Ф.М. Куни, Е. А. Гринина, 2004

'Qc

— = —div(cw - D grade). (1)

at

Здесь с - концентрация (плотность числа молекул) растворенного газа, t - время, w -скорость макроскопического движения растворителя, D - коэффициент диффузии молекул растворенного газа в растворителе. Величины с и w зависят от времени t и точки пространства г.

В силу сферической симметрии системы относительно центра пузырька и несжимаемости растворителя получаем '

w

= аа2/г\ (2)

где V) - радиальная составляющая скорости а - радиус пузырька; а - производная от этого радиуса по времени: г - расстояние до центра пузырька (г ^ в). С учетом,выражения (2) уравнение (1) принимает вид

дс _ 1 д 2

dt ~ "И Ъ~тТ

Выполняя дифференцирование по переменной г, получим уравнение переноса молекул растворенного газа

дс _ в д2с (2Р , аа2\ дс дt дг2 \ г , г2. / дг

Выделим мысленно в растворе некоторый объем V, такой, что окружающая его поверхность 5 перемещается в каждой своей точке со скоростью, равной скорости мг. По правилу дифференцирования интегралов с переменными пределами интегрирования

имеем

± 1<1тс = ¡<180С'Ш13. (4)

V. V 5

Здесь индекс ¡3 характеризует декартовы составляющие векторов. Соответственно юр -декартова составляющая вектора ту и йэц - декартова составляющая элемента поверхности, рассматриваемого как вектор в направлении внешней нормали к поверхности. По дважды повторяющемуся индексу /3 подразумевается суммирование.

Преобразуя в (4) с помощью теоремы Гаусса-Остроградского поверхностный интеграл в объемный и используя затем вытекающее из (1) уравнение

дс _ д(сю/з) д2с дЬ ~ ~ дг0 + Щ:

находим

= ' га

V V

Возвращаясь к правой части (5) по тебреме Гаусса-Остроградского от объемного интеграла к поверхностному, имеем

А dt

Выбирая в (6) в качестве поверхности интегрирования 5 поверхность пузырька и вычисляя интеграл с учетом сферической симметрии, для потока молекул растворенного газа на пузырек 3 получим выражение , '

л П 2 дс 47Г Па

(7)

дг

в которое скорость лу не входит явно.

Рассмотрим только случай, когда пузырек имеет столь большие размеры что давление Лапласа в нем много меньше внешнего давления раствора П. Тогда приходящийся на одну молекулу газа в пузырьке объем у не зависит от размера пузырька и дается формулой идеального газа

^ ' у = кТ/П,

где к - постоянная Больцмана; Т - температура раствора. Скорость изменения во времени радиуса пузырька а связана при этом с потоком J молекул растворенного газа на пузырек уравнением

11

(8)

А ж а2

Соотношение (8) запишем с помощью (7) как

• п дс а = Иу —

от

(9)

В случае больших размеров пузырька можно считать равновесную концентрацию растворенного газа на поверхности пузырька равной концентрации насыщенного раствора со над плоской границей соприкосновения фаз. Это и есть режим самосогласованного изменения радиуса.

Далее нам потребуется введенное в [1, 2] понятие о сфере поглощения частицей вещества. В рассматриваемом случае эта сфера окружает пузырек, причем радиус ее внешней поверхности и концентрация растворенного газа на ней считаются заданными параметрами теории. К уравнению переноса (3) ставятся, таким образом, граничные условия

с|г = а=со, с|г = ь = Си ' (10)

в которых Ь (Ь > а) - радиус внешней поверхности сферы поглощения растворенного газа пузырьком, а сл - концентрация растворенного газа на этой поверхности. Заметим, что в случае несжимаемости жидкого растворителя радиус Ь связан с радиусом о очевидным соотношением

= < (11)

где 1- полный объем жидкого раствора в сфере поглощения растворенного газа пузырьком. В пределе Ь/а ос радиус Ь определяется по (11) уже только объемом Ц.

Уравнение переноса (3), соотношение (9) и граничные условия (10) ставят замкнутую математическую задачу определения концентрации растворенного газа с вокруг пузырька. Ограничения на относительные значения концентраций С: и со при этом не требуются. Допускается как случай с\ > со пересыщенного газом раствора, так и

случай с\ < со недосыщенного газом раствора. Очевидно, что а > 0 при с\ > сои а < 0 при с\ < со •

Самосогласованный квазистационарный режим роста пузырька. Обращаясь к решению задачи, формулируемой уравнением переноса (3), соотношением (9) и граничными условиями (10), предположим, что

дс

дг

«Л

д2с

дг2

(12)

Выполнение условия (12) означает квазистационарность диффузионного роста пузырька и позволяет в последующем изложении положить производные по времени равными нулю. Соблюдение этого предположения обсудим ниже. Из (3) и (12) следует

2Г> а а - + —

г г

дс дг

- 0.

(13)

Уравнение (13) совместно с (9) и (10) соответствует квазистационарному самосогласо-' ванному режиму роста пузырька, не связанному с начальной концентрацией растворенного газа. В таком режиме концентрация растворенного газа зависит от времени в силу зависимости от времени радиуса пузырька а. Условием применимости уравнения (13) является условие квазистационарности роста пузырька газа (12).

Легко убедиться, что решением уравнения (13) при граничных условиях (10) является

Из (14) имеем

с = (сг - со)

дс дг

~ ехР (~ тг) ехр(-^) -ехр(-^)

+• Со

(С1 - со) а Р

(14)

(15)

> ехр[^ (1 -!)]-1' • г

Используя (15) в (9), приходим к уравнению, определяющему скорость изменения ра-

диуса пузырька а:

* (1 - I)

1п [1 + v (С1 - Со)] .

(16)

Согласно уравнению (16), имеем а > 0 при с\ > со, а < 0 при С1 < с0.

Для простоты ограничимся ниже случаем, в котором й/Ь 1. В этом случае уравнение (16) представим следующим образом:

Р А а

(17)

где

А.= 1п[1 + V (сг - со)] а выражение (14) принимает вид

С = (сх - Со)

ехр(-^) -ехр(-Л)

+ Со .

(19)

ехр (- Л)

Из (17) следует, что величина ¿а2 /<й не зависит от времени.

Обсудим соблюдение неравенства (12), позволившего заменить уравнение (3) на (13). Зависимость выражения (19) от времени, согласно вышесказанному, осуществляется посредством зависимости от времени радиуса пузырька а. Имеем тогда

дс . дс ^

я7 = ая~- •

си оа

Раскрывая неравенство (12) с помощью (17), (19) и (20),4 приходим к ограничению

I

2 а2

|А| «

1 -

Аа 27

(21)

Существенной из всей области г ^ а является лишь окрестность г ~ а пузырька газа, в которой формируется поток молекул растворенного газа на пузырек. Для соблюдения неравенства (21) в этой окрестности практически достаточно соблюдения приближенного неравенства ,

|А| ^ 1/2,

которое, ввиду (18), можно представить следующим образом:

(22)

и |сх - со| ^ 1/2 . (23)

При соблюдении неравенств (22) (или (23)) осуществляется самосогласованный режим роста пузырька газа, описываемый соотношениями (17) и (19). Вне учтенной в условии (22) окрестности пузырька г ~ а - там, где а/г <С 1, решение (19) отклоняется при соблюдении условия (22) от своего верхнего граничного значения с = с\ уже на относительно малую величину порядка (с! — со) а/г, так что применимость режима (19) может считаться обоснованной.

Из (17) и (18) имеем

а = — 1п[1 + V (с! - с0)] .

(24)

При соблюдении условия (23) выражение (24) с хорошей точностью можно заменить на •

1 _ у (С1 _ с0)

А = (<*)*

где,(а) - определяемая, согласно

(о). = (С1 ~ со)'

(25)

(26)

скорость роста радиуса пузырька, которая была бы при квазистационарном поле концентрации растворенного газа. Согласно (25), справедливо

N < |(а)л! (С1 > с0), |о| > |(а)в| (с2 < со).

(27) 7

о а г о а г

Концентрация растворенного газа в случаях с\ > со (а) и С] < со (б) при самосогласованном (сплошные линии) и квазистационарном (пунктирные линии) режимах роста пузырька газа.

Из (8), (24) следует

17=4тгДа +г) "

v ■

При соблюдении условия (23) выражение (28) аппроксимируется равенством

3 = 3.

^ v (сг - Со)

(29)

где З3 - определяемый, согласно За = 4п Б а (с\ - со), квазистационарный поток молекул растворенного газа на пузырек. Поведение концентрации растворенного газа в случаях с\ > со и с\ < со изображено на рисунке.

Оценка времени установления самосогласованного режима роста пузырька газа. В [2, с. 79-80] было показано, что при постоянном радиусе капли а установление квазистационарного потока молекул пара на каплю из окружающей каплю парогазовой среды происходит за характерное время , оцениваемое как

■ — (30)

7Г и

где Б - коэффициент диффузии молекул пара в пассивном газе. Оценка (30) применима и к интересующей нас ситуации пузырька газа в окружающем пузырек газированном растворе. Она дает характерное время ts установления квазистационарного потока З3 молекул растворенного газа на пузырек при постоянстве радиуса пузырька о. Параметр £> в этом случае имеет смысл коэффициента диффузии молекул растворенного газа в жидком растворителе.

Покажем, что время ts в (30) как раз и определяет по порядку величины искомое время установления самосогласованного режима роста пузырька газа. Для этого достаточно убедиться, что происходящее за время %а относительное изменение радиуса пузырька а при учете подвижки его поверхности удовлетворяет неравенству

.. \а]а\ << 1 . (31)

Действительно, если условие (31) соблюдается, то сделанное в оценке (30) предположение о практическом постоянстве радиуса пузырька а справедливо. Тогда, согласно [2], время будет определять время установления как стационарного потока З3 молекул

растворенного газа на пузырек, так и квазистационарной скорости (а)8 роста пузырька при учете подвижки его поверхности. Поскольку, в силу (23) и (25), имеет место приближенное равенство а ~ (а)8, то установление самосогласованного режима роста пузырька газа можно при оценочных рассуждениях отождествить с установлением квазистационарного режима роста пузырька газа. Но тогда (31) гарантирует установление самосогласованного режима роста пузырька газа за оцениваемое по (30) время . Убедимся в соблюдении неравенства^ (31). Используя (17) и (30), имеем

U

(32)

7Г

Из (32) видно, что условие (22) обеспечивает соблюдение неравенства (31).

Обсуждение результатов. При всех типичных, не слишком больших, раствори-мостях газа в жидкости справедливо

vcq ^ 1/2. , (33)

Обычно имеет место

Ici - Со! ~ Со ■ (34)

Из (33) и (34) видно, что условие (23) практически всегда соблюдается.

Проведем сравнение с теорией, развитой в [1] применительно к росту (испарению) капли в парогазовой среде. Для концентрации пара с в парогазовой среде в [1] использовалось обычное уравнение диффузии

ее р ■

ot огг г от которое отличается от примененного ранее уравнения переноса (3) отсутствием скорости à. Согласно [1], имеем

1 - TZ v (Cl - со)

Здесь à - скорость роста радиуса капли; (à)s - квазистационарная скорость его роста (даваемая выражением, совпадающим с (26)); Ъ - радиус внешней сферы поглощения пара каплей; С\ - заданная концентрация пара на этой сфере; с0 - равновесная концентрация пара на поверхности капли, предполагаемая равной равновесной концентрации пара в парогазовой среде на плоской границе ее соприкосновения с жидкостью, конденсирующейся в капле из пара; v - занимаемый одной молекулой в капле объем, который определяется равенством v = M/р, где M - масса молекулы жидкости, р - плотность жидкости. Одинаковые по физическому смыслу величины обозначены так же, как и в случае пузырька газа в газированном растворе, однако, имеют существенно другие численные значения.

Для воды и ее насыщенного пара при температуре 20 °С, согласно данным в [1], справедливо

t-co ~ Ю-5 . (37)

Для применимости формулы (36) практически достаточно соблюдения приближенного неравенства

■^-v\ci - col ^ \, (38)

oa о

обеспечивающего справедливость использованного в [1] допущения о малости отклонения скорости à от скорости (à)s. Можно было бы показать (это не делалось в [1]), что условие (38) означает также и условие осуществления самого описываемого формулой (36) самосогласованного режима роста капли, в котором зависимость от времени концентрации пара вокруг капли не связана с начальной концентрацией пара, а определяется целиком зависимостью от времени радиуса капли.

Согласно (36), справедливо

|о[ > |(à)J (d > со), |à| < |(a)e| (Cl < со). (39)

Из сопоставления результатов, полученных в настоящей работе для роста пузырька газа в газированном растворе с приведенными в [1] для роста капли в парогазовой среде, вытекают следующие выводы:

1. Степень соблюдения условий (23) и (38) осуществления самосогласованного режима роста пузырька и капли характеризует, согласно формулам (25) и (36), также и степень отклонения скорости роста радиуса пузырька и радиуса капли в самосогласованном режиме от скорости роста радиуса пузырька и радиуса капли в квазистационарном режиме.

2. Согласно (27), учет подвижки поверхности пузырька приводит к уменьшению абсолютной величины |à| при ci > со и к ее увеличению при с\ < со; согласно (39), - наоборот. Отмеченное различие объясняется весьма малой сжимаемостью жидкого растворителя по сравнению со сжимаемостью пассивного газа, благодаря которой подвижка поверхности пузырька газа вызывает макроскопическое движение в жидком растворителе, отсутствующее в пассивном газе. Оно привело к отличию уравнения переноса (4) от уравнения диффузии (35), а в итоге - к качественному различию их решений.

3. Условие (23) в пределе Ь/а оо не зависит от величины отношения Ь/а. Это условие, как показывают оценки (33) и (34), соблюдается при всех типичных, не слишком больших растворимостях газа в жидкости. "Условие (38) зависит от отношения Ь/а: оно ужесточается по мере его увеличения. Согласно оценкам (34) и (37), условие (38) перестает соблюдаться при b/a ^ 105.

Summary

Zhuvikina I. A., Kuni F. M., Grinina E. A. Diffusion growth of a bubble in gaseous solution taking account of hydrodynamical motion of its surface.

The equation of the transfer of molecules of the soluted gas in a gaseous solution in the vicinity of the bubble is considered talcing account of the macroscopic motion of the liquid solvent. The quasistationaxy selfconsistent regime of the bubble growth is described, the condition of its realization is formulated and the time of its establishment is estimated. The velosity of the bubble radius growth is obtained. ,

Литература

1. Luchak G., Langstoth G. 0.Ц Can. J. Res. 1950. Vol. 28, sec. A. P. 574-586. 2. Фукс H. A. Испарение и рост капель в газообразной среде. М.. 1958. 3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М., 1988.

Статья поступила в редакцию 19 ноября 2003г.