Единственность решения задачи Неймана на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.954

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА НА ГРАФЕ

© Е.В. Петрова

Ключевые слова: задача Неймана на графе; обобщенное решение; теорема единственности.

Осуществлено расширение понятия классического решения на пути перехода к обобщенному решению, принадлежащему к классу функций, интегрируемых с квадратом. Получены условия на функции, определяющие краевые условия, гарантирующие единственность обобщенного решения задачи Неймана для волнового уравнения на графе-звезде. Эти же условия гарантируют единственность обобщенного решения более общих краевых задач.

В настоящей работе расширяется понятие классического решения задачи Неймана для волнового уравнения на геометрическом графе с сохранением теоремы единственности. В конце 1990-х годов открылась возможность более широкого взгляда на понятие обобщенных решений краевых задач - решения, являющиеся функциями класса і2 и не имеющие обобщенных производных. Класс функций L2(Q) введен Л.Н. Знаменской [1] для краевых задач, заданных на классическом прямоугольнике Q = {[0 < х < 1] х [0 < t < Г]}, и он несколько уже обычного класса L2, поскольку на функции класса L2 накладываются дополнительные условия: их сужения при фиксированном х или t также принадлежат классу Ь2. Результаты данной работы связаны с пространством ^■2(Qг,т), Qr,T — {(*<0 :х Є Г\дГ, te0,r, Г-граф-звезда (определение введено ниже). Получены условия на функции краевых условий, гарантирующие единственность обобщенного решения класса задачи Неймана для волново-

го уравнения на графе-звезде.

Пусть Г - граф-звезда, состоящий из m одинаковых ребер Yk и одного внутреннего узла (. При этом ребра Ук (k = l,m - 1) параметризованы отрезком [0,7г/2] (ориентация на ребрах «к узлу £»), ребро ут - отрезком [jt/2,7t] (ориентация на ребре - «от узла £»). И пусть Я (Г) - несвязное формальное объединение ребер графа - замкнутых отрезков (здесь и ниже используются понятия и обозначения монографий [1] и [2]).

Обозначим через С(Г) множество непрерывных на Г функций, С[Г] - множество кусочно'-непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле по разным ребрам могут быть различными), С2 [Г] - множество функций, все производные которых до второго порядка включительно принадлежат С [Г]. Сужение функции f(x) на ребро у графа обозначим через f(x)y.

Введем следующие пространства функций:

Я[0,Г] = {МО є С2[0,Г]: h(T) = h'(T) = 0,Т < оо}, F(D = [fix) е С2 [Г]: П0\к = f(n)Ym = 0 ,к =

=1,m—Ї;

пространства, сопряженные к Н[0,Т], Р(Г), обозначим соответственно Я'[0,Г], Р' (Г). Для обобщенных функций из Я'[0, Г] и Г(Г) введем понятие первообразной.

Определение 1. Функция д*({) Е Ь2[0,Т] такая, что ^*(0 непрерывна в нуле и #*(0) = 0, называется первообразной обобщенной функции д($) е Я'[0,Г], если выполняется равенство:

(д*,Ь.') = -(д,к),Чк(ОеН[0,Т]

т

(здесь (д*, Л') = | 5*(0Л'(£)Л; символ (д,Ь) обо-

0

значает действие функционала д на пробных функциях к указанного класса).

Совокупность элементов д пространства Я'[0,Г], для которых существуют первообразные д*, обозначим через (Я')*[0,Г].

Определение 2. Функция д"(х) е £2(Г) такая, что 0*(х) непрерывна в каждой точке п/2 е ук {к = 1, т) и д*(п/Т) = 0, называется первообразной обобщенной функции д £ Р'(Г), если выполняется равенство:

(5*,/') = -<0,/>^/(х) <Е Г)

(здесь

(5*-/') = | д*(х)Г0$<1х =

Г

т-1

^ I д*(.х)ук/'{х\кЛх +

к=\ о

п ; символ {д,/), как и выше,

обозначает действие функционала д на пробных функциях /).

Совокупность элементов д пространства Р'(Г), для которых существуют первообразные д*, обозначим через

Колебания на каждом из ребер графа Г при произвольном значении времени і описываются уравнениям

^П(х,ЯГк = а2£-2й(х,і)

Гк

(1)

внутри каждого ребра ук (к = 1, т), Ь е (0, Г) и соотношениями в узле £ (условия непрерывности и гладкости)

= £п(|д) Д = 1,ш-1ДЄ(0,Г).

Утл

(2)

К соотношениям (1), (2) добавляются начальные условия при х Є Г, і = 0:

(3)

и граничные условия в граничных узлах графа (условия Неймана):

(4)

дХ ^Ук ~ к — ^->т дх ^(Д> Оут —

= у(Оде [0,Г];

(рОО.'ФОс),^ (0, у(0 - заданные функции. Обозначим через @г г и фй(г),г области вида

<2гх = {(^О:хЄГ\ЗГДЄ(0,Г)},

<2й(г),гК*, іУ.хе К(Г), t Є [0, Г]}.

Совокупность функций Т)(х, 0, два раза непрерывно дифференцируемых вплоть до границ области (г)Т,

обозначим через С2(@й(г),г), С|(Ск(г)т) - множество функций т)(х,^ ё С2(0Д(Г)1Г), удовлетворяющих соотношениям (2) в узле £ графа.

Пусть £2 (0г,г) - пространство измеримых на 12г,т функций, суммируемых с квадратом. Все дальнейшие рассуждения проводятся для функций из пространства £г(0г,г): функция г}(х,Ь) принадлежит пространству £2(<Зг,г), если она принадлежит пространству £2( Ог/г), а также пространству Ь2(Г) при любом Ь е [0,Г] и пространству ^[О.Г] при любом х £ Г.

Обозначим через множество функций

е £2((?г,г), удовлетворяющих соотношениям (2) в узле ( графа Г, причем первое соотношение (2) выполняется в смысле равенства элементов Ь2[0,Т], второе соотношение (2) - в смысле равенства элементов (Я')*[0,г]. Очевидно, £2^(<2г,г) с £г((?г,г).

Если й(х, с) е с|((2я(П,т) - решение краевой задачи (1)-(4), то для любой функции СО(хД) е С|(0д(Т),г) справедливо равенство

/4гт(£п(х,0_а2^п(хд)) =

■ ш(х,і)с1х(іі

Вычислим интеграл в этом соотношении два раза по частям:

ГГ (д2 , д2 \

II П(х, і) І -^ш(х, (:) — а2 -^—^ш(х, (:) І сіхМ +

<3г.т ' '

+1 ш а^х’ т^а^х’ Т^~ ^х’ ^ тиах~

г

_ I {ша^х’ 0^х’ а(х'^ 0^) *** “

1

-а2|

/ |^П(7Г, 0Ут^(7Г, 0Ут- \

V

к=1

сіґ +

■/

/ П(7Г, 0ут 0ут — \

Л = 0 (5)

к=1

/

» т

(здесь I р(х)с1х = 3 I р(.х)укйх). Потребуем

г к=1 Гк

от функции й)(х, 0 выполнения следующих равенств

ш(х,Т) = 0, —ы(х,Т) = 0, їЄГ,

^<и(0,£)Уь = 0 (Л = 1,т- 1), £ы(?г,0ут = о,

(6)

Э* ‘'-'У*

ІЄ [0,п.

(7)

Интегральное соотношение (5) будем использовать для определения обобщенного решения краевой задачи (1)-(4). Пусть выполняются следующие предположения, определяющие начальные и граничные условия (3), (4) краевой задачи:

У(х)е^(г), ^(ж) е ^')*(г), йк. V е (Я')*[0,П & = 1,т — 1.

Определение 3. Обобщенным решением (решением из класса 12(фг,т)) краевой задачи (1)-(4) называется функция й(х, 0 £ 12^(Сг1Т), для которой равенство

Л П(х, 4) (-Ц-^ш(х, 4) - а2-^ш(х, 4) | с1х<И +

<3г,т ^ '

Г 9

Г

(т-1 а \

^(•)й)(тг,0Гт> - £ ^(0^и(о,оГк)\ = о.

верно для всех функций й)(х,0 е С|(Сн(Г)(Г) с условиями (6), (7) и для которой первое начальное условие

0

1

0

и

(3) выполняется в смысле равенства элементов Ь2 (Г), второе начальное условие (3) и граничные условия (4) - в смысле равенства элементов (Г)*(Г) и (Я')*[0,Г], соответственно.

Ниже представлено утверждение теоремы единственности обобщенного решения П(х, 4) ё краевой задачи (1)-(4). Единственность обобщенного решения краевой задачи (1)-(4) будем понимать в следующем смысле: если существуют два обобщенных решения краевой задачи (1)-(4), то их разность есть нулевой элемент пространства 12 (<2г,г).

Теорема. Обобщенное решение П(х, 4) ё £г,?(Сг,г) краевой задачи (1)—(4) единственно.

Доказательство теоремы аналогично рассуждениям, изложенным в работе В.А. Ильина [3] (см. также [1, гл. 3, § 2]), и основано на описании спектральных характеристик задачи Штурма-Лиувилля [4], соответствующей краевой задаче (1)-(4).

ЛИТЕРАТУРА

1. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. М.: Физмат-лит, 2004. а 176.

2. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Покорный Ю.В. [и др.]. М.: Физматлит, 2004. С. 227.

3. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. Вып. 2 (92). С. 97-154.

4. Провоторов В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде // Математический сборник. 2008. Т. 199. № 10. С. 105-126.

Поступила в редакцию 29 декабря 2011 г.

Petrova E.V. UNIQUENESS OF DECISION OF NEUMANN PROBLEM ON GRAPH

Expansion of concept of the classical decision on a transition way to the generalized decision belonging to a class of functions, integrated with a quadrate is carried out. Conditions on the functions of the regional conditions guaranteeing uniqueness of the generalized decision of a problem of Neumann for the wave equation on the graph-star are received. The same conditions guarantee uniqueness of the generalized decision more the general regional problems.

Key words: Neumann’s problem on graph; generalized decision; uniqueness theorem.