CC BY
82
УДК 517.95
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
© 2008 М.Г.Волынская1
В этой работе доказана единственность классического решения нелокальной краевой задачи для вырождающегося гиперболического уравнения в прямоугольной области. Нелокальное условие является интегральным. Доказательство проведено спектральным методом.
Введение
В настоящее время теория нелокальных задач интенсивно развивается и представляет собой важный раздел теории дифференциальных уравнений с частными производными. Большой интерес в этой области представляют задачи с нелокальными интегральными условиями. Такие задачи служат удобным способом описания условий на искомое решение в тех случаях, когда, например, невозможно непосредственное измерение каких-либо физических величин на границе, но известно их среднее значение внутри области. Последние несколько десятилетий появилось немало работ, в которых исследованы задачи с интегральными условиями, однако неклассические задачи для вырождающихся уравнений остаются, пожалуй, наименее изученными. Вырождающиеся гиперболические уравнения возникают при решении многих важных задач прикладного характера в газовой динамике, теории бесконечно малых колебаний поверхности вращения, безмоментной теории оболочек, что более подробно изложено, например, в [5,6].
Некоторые нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с интегральными условиями изучены Л.С.Пулькиной в [7,8]. Доказательство единственности в этих работах базируется на полученной априорной оценке.
Одним из эффективных методов исследования разрешимости нелокальных задач для уравнений смешанного типа является спектральный метод, разработанный Е.И.Моисеевым и изложенный им в монографии [2].
Метод доказательства единственности решения в предложенной работе существенно опирается на статью Е.И. Моисеева [1], в которой доказана разрешимость нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения.
1 Волынская Мария Геннадьевна (volyn79@mail.ru), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
1. Постановка задачи
Рассмотрим вырождающееся гиперболическое уравнение:
утихх - Ыуу = 0 (1.1)
и поставим для него в области Q = {(х, у) :0 < х < 1,0 < у < а} задачу с граничными условиями:
ы(0, у) = 0, (1.2)
ы(х, 0) = У(х), (1.3)
ы(х, а) = ф(х), (1.4)
и нелокальным интегральным условием:
1
I
ы(х, у)йх = 0. (1.5)
Под решением задачи (1.1)—(1.5) будем понимать такую функцию ы(х, у) € С1((9)П ПС2^), которая удовлетворяет в области Q уравнению (1.1) и условиям
(1.2)-(1.5).
Условие (1.5) является нелокальным интегральным условием первого рода, то есть не содержит значений искомого решения в точках границы. Сведем его к нелокальному условию другого вида.
Лемма. Если функция ы(х, у) удовлетворяет уравнению (1.1) и выполняются условия согласования
1 1
^ ^(х)йх = 0, ^ у(х)йх = 0,
то условие (1.5) эквивалентно условию
Ых(1, у) = Ых(0, у). (1.6)
Доказательство. Пусть ы(х, у) — решение задачи (1.1)—(1.5). Проинтегрируем уравнение (1.1), учитывая условие (1.5), мы получаем:
1 1
^ Ыуу(х, у)йх = ут ^ Ыхх(х, у)йх = Ых(1, у) - Ых(0, у) = 0. (1.7)
0 0
Таким образом, если функция ы(х, у) удовлетворяет уравнению (1.1) и условию (1.5), то эта функция удовлетворяет и условию такого вида:
Ых(1, у) - Ых(0, у) = 0. (1.8)
Пусть теперь функция ы(х, у) — решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию (1.8). Проинтегрируем уравнение (1.1) по х, и, учитывая условие (1.8), получим:
1
д2
ду7 0
^ ы(х, у)йх = 0.
Тогда, в силу условий согласования, мы приходим к краевой задаче относительно
1
неизвестной функции = / «(*, уМх:
о
<(У) = 0,
v„(0) = 0, (1.9)
Vn(a) = 0.
Так как задача (1.9) имеет только тривиальное р_, т° / И(х, у>Ъ=0. Таким
о
образом, если функция и(х, у) удовлетворяет уравнению (1.1) и условию (1.8), то эта функция удовлетворяет и условию (1.5). Лемма доказана.
2. Основной результат
Теорема. Существует не более одного решения задачи (1.1)—(1.5). Доказательство.
Как известно [1], системы функций
{со8 2япх)^=1, 1, {х 8т2япх)^=1 (2.1)
и
{4(1 - х)со8 2япх)~=1, 2(1 - х), 4{8т2яих}~=1 (2.2)
являются биортонормированными. Кроме того, системы функций (2.1) и (2.2) замкнуты в пространстве ¿2(0,1), минимальны в нем и образуют базис Рисса [3]. Пусть и(х, у) — решение задачи (1.1)—(1.5). Рассмотрим системы функций:
1
ип(у) = и(х, у)х ът2пихйх, п = 1,2...; (2.3)
0
1
U0(y) =
J~u(x, y)dx; (2.4)
0 1
vn(y) = J" u(x, y)cos2nnxdx, n = 1,2,.... (2.5)
0
Дифференцируя vn(y) дважды и учитывая уравнение (1.1), получим:
1 1 v"(y) = J" uyy(x, y) cos 2nnxdx = ym J" uxx(x, y) cos 2nnxdx. 00 Проинтегрировав дважды по частям последний интеграл и приняв во внимание условие (1.8), будем иметь:
1 1 ym J" uxx(x, y) cos 2nnxdx = -(2nn)2ym J" u(x, y) cos 2nnxdx = -(2nn)2ymvn(y).
Таким образом, функция vn(y) удовлетворяет уравнению:
v':(y) + (2nn)2ymVn(y) = 0 (2.6)
и краевым условиям:
1
vn(0) = J" y(x)cos2nnxdx, (2.7)
о
1
vn(a) = J" ф(х) cos 2nnxdx. (2.8)
о
Общее решение уравнения (2.6) имеет вид [9. С. 401]:
/ 2jt nyq \ ( 2жпуд
vnKy> = cnyyj±
m + 2
Vn(y) = cn^Ji.\—^ + (2.9)
гДе Ч =
Применив условия (2.7) и (2.8), найдем из (2.9) постоянные сп и йп. Для этого удобно использовать представление степенным рядом функций Бесселя [10. С. 240] и записать (2.9) виде:
vn(y)=c„Y-' q '-— + d„y-' q '-—. (2.10)
"him+mk+i + j-) ь? щ + 1)щ
k=0 ^ 1 ^ 1 * 1 2q' k=0 1 1 * 2q>
Применим условие (2.7) к последнему равенству и заметим, что при y = 0 в правой части (2.10) остается единственное ненулевое слагаемое. Получаем, что
1 1 121 Г v„(0) = а„ - —;-г = I \|/(х) cos 2лпхах,
Ы ГН) »
следовательно
1 1
l2q - 1 \ 12кп\2" Г
dn = Г - • - I \|/(х) cos 2imxdx. (2-11)
\ 2q I \ q I J
о
Далее, из условия (2.8) имеем
2q-\\ i _ / 2jt naq \
Г —- (2л;и)2« л/aJ-i - i
12л mfi\ \ 2 q j" Jy*\q Г vn(a) = cn yaJ± - н--;- I \|/(x) cos 2nnxdx,
2П 9 J
- , -- (2jtn)л/aJ-i -
/2лпач\ \ 2q j 2Л 4 j
Л 4 J q
следовательно
1
1
cn =
1
1 Г
- I ф(х) cos 2imxdx-
'2nnaq\ J
2«\ q
л/а J |-J
■ I \|/(x) cos 2jtnxdx.
i. / 2jt naq \
(q)2«J i. - о
2П 4 }
Итак, решение задачи (2.6)—(2.8) существует, единственно и имеет вид:
i
Vn(у) = (- Г <P(X)cos2jtnxdx-
J \ п 2жпаЛ J *
vaJ± - о
2Л ч } г(— ___________
- — q
^ J' \|/(x)cos2jt nxdx\y]yJ j+ (2-13)
i т /2жпаЛ J / М q
2а — 1 i
Г(4-— )(2лл)5 1
2д I , \ ^ j п I ЖПУ \
Г <
J 2П <? /
Далее получим краевую задачу для функции un(y). Так как в силу уравнения (1.1)
i i
и"(y) = J" uyy(x, y)x sin 2nnxdx = ym J" uxx(x, y)x sin 2nnxdx,
0 0
то
un'(y) = 4nnymVn(y) - (2nn)2ymUn(y). Учитывая (2.3), (1.3) и (1.4), получим следующую краевую задачу относительно un(y):
u'n'(y) + (2nn)2ymUn(y) = 4nnymVn(y), (2.14)
i
un (0) = J* y(x)x sin2nnxdx, (2.15)
0
i
un(a) = J" ф(x)x sin2nnxdx. (2.16)
0
Так как представление функции vn(y) известно, можно записать (2.14) в виде:
<'(y) + (2nn)2ymun(y) =
или:
un'(y) + (2nn)2ymun(y) =
4 unc^-h^^ + 4 und^-h^^j
(2.17)
так как т = 2д — 2 в силу обозначений, сделанных выше.
Исходя из вида правой части уравнения (2.17), будем искать частное решение этого уравнения в виде:
ипо(у) = ип(у) + Ш(у),
где ип(у) — частное решение уравнения:
<00 + (2лп)2утип(у) = 4л пСпу^-Ьх^^, (2.18)
ип(у) — частное решение уравнения:
<00 + (2лп)2упип(у) = 4зт пс1пу2<1-Ь_±\^^-\ (2.19)
Будем искать частное решение уравнения (2.18) в виде
1
где А — неизвестная константа.
Непосредственной подстановкой функции ип(у) в уравнение (2.18) находим, что —Сп
А = -, где коэффициент с„ определен по формуле (2.12).
Ч
Будем искать частное решение уравнения (2.19) в виде
1
где В — неизвестная константа.
Непосредственной подстановкой функции ип{у) в уравнение (2.19), находим, что
В= —, где коэффициент ¿п определен по формуле (2.11). Ч
Так как уже найдено общее решение уравнения (2.6), которое имеет вид (2.9), то аналогично запишем общее решение соответствующего (2.14) однородного уравнения:
12жпу<1\ и ГТ ¡2жпу<1\
т,\
Общее решение уравнения (2.14) имеет вид:
= (2.20)
ип(у) = ип(у) + им(у),
т.е.:
Г1 (2жпуЛ _ (2жпуЛ ип(у) = апЩ—} + Ьф^—у
ч ч I ч ч I
Для нахождения неизвестных констант ап и Ьп вновь будем использовать представление степенным рядом функций Бесселя [10. С. 240) и запишем (2.21) в виде:
ип(у) = ап^
к=° Г(к + 1)Г (к + 1 + — \ 2Ч
+Ъп --,-Г-Г + и„о(у).
к=° Г(к+ 1)П£ + 1 - — |
(2.22)
+
Применим условие (2.15) к последнему равенству и заметим, что при у = 0 в правой части (2.22) остается единственное ненулевое слагаемое. Получаем
i i (2жп\ 2* 1 Г и„(0) = Ьп - —--- = I \if(x)x sin 2imxdx,
1 9 ' r^-tí Jo
следовательно
i i
(2a - 1 \ I 2%n \2« Г bn=T\—-—)-l-1 J \|/(x)xsin2jtnxdx. (2.23)
2q
Далее, из условия (2.16) получаем:
г (2imaq \ _ 12imaq \ ип(а) = ап yaJ± - + bn vaJ± - + ипо(а) =
2*\ Ч I 2Л Ч }
о
следовательно
1
= J" ф (x)x sin 2nnxdx,
1
Cln —
J~ хф(х) sin 2jt nxdx+ —
12nnaq \
d„ „, i / 2jtnaq \ , _ / 2.T/W \
—-íz«+ 2 7. _ j. - - va-zj. -
q q I 2A 4 j
В силу отмеченных свойств систем функций (2.1) и (2.2) решение задачи (1.1)—(1.5), если оно существует, можно записать в виде биортогонального ряда:
то то
u(x, y) = 4 ^ vn(y)(1 - x) cos 2nnx + 4 ^ un(y) sin 2nnx + 2u0(y)(1 - x),
n=1 n=1
u(x, y) = 4 2 c„ JyJ± 1( i - x) cos 2jtnx+
n= 1 2 q\ q I
+4 i 1(1 -x)cos23twx+
n= 1 2?\ q J
+4 Ц an л fyJ± hSOÍL1 sin 2жпх+
n= 1 2«\ ? '
+4 2
n=l 2?\ ? /
(2.25)
-4 2 Sin2jt/w+
+4 2 y^i-il^lsinto,
У 2 q \ 4 '
n=
где коэффециенты сп, ап и Ьп находятся по формулам (2.12), (2.11), (2.24) и (2.23) соответственно.
Пусть и1(х, у) и и2(х, у) — два различных решения задачи (1.1)—(1.5), тогда функция и(х, у)=и1(х, у) — и2(х, у) будет решением поставленной задачи при у(х)=0 и ф(х)=0.
т.е.:
Из формулы (2.25) сразу следует единственность задачи (1.1)-(1.5), так как
если y(x) = 0 и ф(х) = 0 на отрезке [0,1], то un(y) = 0 для n = 1,2... и vn(y) =
= 0 для n = 0,1,2... на отрезке [0, а]. Таким образом, в силу полноты системы
(2.1) функция u(x, y) = 0 в области Q. Следовательно, единственность решения
поставленной задачи доказана.
Литература
[1] Моисеев, Е.И., О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев. // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - №8. -С. 1094-1100.
[2] Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И.Моисеев. - М.: Издательство Московского Университета, 1988. - 152 с.
[3] Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов / В.А.Ильин // Докл. АН СССР. - 1976. -Т. 227. - №4. - C. 796-798.
[5] Нахушев, А.М. Уравнения математической биологии / А.М.Нахушев. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.
[6] Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.В.Смирнов. - М.: Наука, 1970. - 156 с.
[7] Пулькина, Л.С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Матем. заметки. - 1992. - Т. 51. -№3. - C. 91-96.
[8] Евдокимова, Н.Н. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / Н.Н.Евдокимова, Л.С.Пулькина // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. - 1999. - №2(12). - C. 67-70.
[9] Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М.: Наука, 1976. - 576 с.
[10] Толстов, А.Н. Ряды Фурье / А.Н. Толстов. - М.: Наука, 1972. - 425 с
Поступила в редакцию 13/IX/2007; в окончательном варианте — 13/IX/2007.
TOE UNIQUENESS OF SOLUTION OF A NONLOCAL PROBLEM FOR A DEGENERATE HYPERBOLIC
EQUATION
© 2008 M.G. Volynskaya2
The uniqueness of the solution to the nonlocal problem with integral condition for a degenerate hyperbolic equation is proved. The proof is based on a spectral approach.
Paper received 13/IX/2007. Paper accepted 13/IX/2007.
2Volynskaya Mariya Gennadievna (volyn79amail.ru), Dept. of Partial Differential Equations, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
