Единственность решения обратной задачи для уравнения параболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

№2, S.103-121.

2. Куваев М.Р., Куфарев П.П. Об уравнении типа Левнера для многосвязных областей.// Ученые записки Томского ун-та, Т. 25, 1955. Томск: ТГУ, С. 19-34.

3. Куфарев П.П. Труды П.П. Куфарева. К 100-летию со дня рождения. Томск: ТГУ, 2009. 366 с.

4. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. -М. : 1952. 540 с.

5. АлександровИ.А. Методы геометрической теории аналитических функций. -Томск: ТГУ, 2001, 219 с.

6. Сорокин А.С. Задача М.В.Келдыша-Л.И.Седова для многосвязных круговых областей.// Доклады Академии Наук СССР, Т.293, №1, 1987.С. 41-44.

7. Сорокин А.С. Задача М.В.Келдыша-Л.И.Седова для многосвязных круговых областей.// Доклады Академии Наук СССР, Т.296, №4, 1987. С. 801-804.

8. Сорокин А.С Вариационный метод Г.М. Голузина - П.П. Куфарева и формула М.В.Келдыша-Л.И.Седова.// Доклады Академии Наук СССР, Т.308, №2, 1989.С. 273-277.

9. Сорокин А.С. Параметрическое представление функций в конечносвязных областях.// Сиб.матем.журн., Т.38, №5, 1997.С. 1163-1178.

10. Сорокин А.С. Краевые задачи в многосвязных областях и их приложения. - Новокузнецк: СибГИУ, 1998. 415 с.

11. Сорокин А.С. Уравнение Левнера-Голузина-Комацу для конечносвязной области.// Дифференциальные уравнения и топология. Москва: МГУ, 2008. С. 198.

12. Александров А.И.Применение уравнений Лёвнера, Лёвнера-Куфарева для нахождения конформных отображений.// Вестник ТГУ, математика и механика. №1(5), 2009. С.5-10.

13. Куфарев П.П. Одно замечание об уравнении Лёвнера.// Доклады Академии Наук СССР, Т.57, № 5, 1947. С . 655-656.

14. Куфарев П.П. Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной полярной особенностью правой части. //Ученые Записки Томского ун-та. 1946, С.35-48.

15. Садритдинова Г.Д. Об одном случае интегрирования уравнения Лёвнера с симметрией вращения. // Доклады РАН , Т.368, № 3, 1999. С. 462-463.

□ Автор статьи:

Сорокин Андрей Семенович,

- канд. физ.-мат.наук, доцент, ст.н.с. (филиал КузГТУ, г. Новокузнецк), тел.: 8(3843) 772459

УДК 517.946

В. М. Волков, Е. А. Волкова

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Рассмотрим в области

удовлетворяют условиям

для уравнения

(1)

вторую краевую задачу

и\ о = 0, х0 — х <

(2)

и

(3)

и пусть относительно ограниченного решения этой задачи известна в точке X = Хд функция

где у - достаточно большое положительное число.

Пусть выполнено условие согласования

(4)

Теперь предположим, что Хд изменяется от нуля до бесконечности, тогда наша задача состоит в определении функции по известной функции щ(^,Хд ).

Тогда решение обратной задачи и,Х) единственно в классе функций

по известной

и удовлетворяющих условиям

116

В. М. Волков, Е. А. Волкова

- д(о, х) — / (х, г ) < И (г, х0) - д(и(г, X) х) д - )(И(г, хо \ хо) =

х е [0, да), t е [0, Т] и для произвольных двух функций из данного класса *1 (и,х) и *2 (и,х) их разность

*(и, х) = *1 (и, х) — д2 (и, х) удовлетворяет неравенству

\д(и,х Л

<

< 4К", х)!„([*,,*.],[„.„))’

при некотором а е (д,1).

Доказательство. В предположениях теоремы справедливо утверждение.

Принцип максимума. Если выполнены условия теоремы, то

и(х, t) е С 21 ([0, да]х [0, Т]) о С([0,да)х [0,Т])о ((0,да)х (0,Т])

и решение задачи (1), (2), (4) удовлетворяет усло-

вию

д < и(х, х) < у (х, хд), х е [д, да), х е [д, т].

Для дальнейшего доказательства теоремы предположим, что существуют два решения задачи (1)-(4):

{и7(х,х),д7{и1,х)} и {и2(х,х),д2(и2,х)}. Тогда полагая в (1) х = хд , получим равенство

ч{¥(і,х0)х0) = И (І,х0)-/(х0’І)-и

хх1х=х0

(5)

из которого следует (41 - 42 х0 ) х0 ) = - (и1хх и2хх ) х

іх=х0 (6)

Перепишем задачу (1)-(3), сделав замену переменной у = х - х0:

иг = иуу + g(u, у + хо )+ /(У + Xо, г)

(у, г ММ (7)

= 0,0 — у < да, = 0,0 < і < т.

и=0

ди

ду

(8)

(9)

у=0

Решение второй краевой задачи (7)-(9) можно представить в интегральном виде:

(у—£)2 (у+£)2

/ ч Г , Г ,

и

і(у, * ) = | йт\—

о о 2л/'

^(г - т)

е 4(г-т) (е 4(г-т)

{д(и, £ + хо) + / (£ + хо,т)\і£

. Используя данное представление, уравнение (6) можно переписать следующим образом

-2\ат\-,

1

4{г-т)

0 0 27^^)

^ (и, , £ + х0 ) — ^ (и2 , £ + х0 № Или после замены переменной интегрирования £ + хд = ^ , получим

г

(ді - д2 Хи(г, хо), хо) = -21 ^т

д

1

{Л-хо )2

:одг 2у/я(г -т) Обозначим

С(у,£,і,т) =

е 4(г-т) д(и1,^)-д2(и2,#і

2у]я(ї -т)

. (10)

_________ (у +£)2 -т) (е 4(І-т)

(у-£)2

д

тогда — 10(у,£ ,ґ,т)іу = 0 . Следовательно, ду0

уравнение (10) можно переписать в виде

(д1- д2 )(и(* , хо)> хо ) =

д

1

(1-хо)2

е 4(г-т) X

ГйГ Г ^

о ходг 2л/ж(г -т)

(д1- д2 Х^и1, - (д1- д2)

х { (у (^ х0 \ х0 )+(д,(и,, ^)—^ (и2, лЬI .

(11)

Из полученного уравнения с помощью введения нормы

11и11адх,д)) =^ /—[>(х,х)

Ру у’ ” (х,х)ед(х,д)

и соответствующего выбора числа [ можно доказать, что оценка для ЦиЦ^ю №,д)) имеет вид:

||и1 — u2ІLда(D(t,0)) < 4*1 — ^Ц^д)) •

Представив ||и 1 — и2\цт а, 2«^^)) в интегральном виде, после несложных преобразований получим оценку:

|и1 — и^|WlдаУ2 (В(Г,0))< Ф1 — *2\Ьда{0{Х,()))

. Для дальнейшей оценки правой части равенства (11) сформулируем лемму.

Лемма. Если обозначить

Ыи1 (р,т) =

1

{і- х0У

2

£

о

1

е

то

\Ш1 М < 4УМ!^(Д(х,д)).

С учетом сформулированной леммы из равенства (11) получим оценку:

|(4, — 42 ,х0)х0)

М LjD(t, 0) )

<

г dr г

0 (t - r)32 Х0

fa-xo)2“| q -4i\

(fa-xo)2

e 4(t-r ) X

l + (fa-xo) qi - 02 ||

W“'2“(D(r, 0)) L„(D(r,0) )

+

dfa

Чтобы получить окончательную оценку, из которой будет следовать единственность решения обратной задачи, осталось оценить

\*1 — *2| цга,2а д^. Выбирая произвольным

образом значения переменных X, хд, и используя равенство (11), получим следующую оценку:

1^1 ^2 lw“'2“(D(t,0) )

< c(qi- Ч2 \f

<

(D(^(t. x0)0) )

0)) + 1^1 - 4 2 IL„(D(t,0)))

При условии, наложенном в условии теоремы на функцию у/(х,хд), а именно, у (х,хд )<у

справедлива оценка:

qi- q2|

>

W“'2“(D(t, 0))

>/“ qi- q2\

W°;-la(D(W(t , X0), 0))

<

С её помощью получим

I41 — 42\К,2а(о(у(1,х0 ),0))

< (уХ — с ) I 41 — 42\ 1да№, 0))

При достаточно большом у

I41 42 1ж„а'2а(о(у(^х0 ),0)) <

< Ф, — 42 I^(,0))

И окончательно имеем оценку

qi - q2

L„(D(t, 0))

<

t

<c [rrr1 qi

q2\ LjD(r, 0))dr

Таким образом, мы получили неравенство Вольтерровского типа, из которого следует единственность решения обратной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Волков, В. М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Исследование корректности обратных задач и некоторых операторных уравнений. - Новосибирск, 1981. - С. 27-36.

2. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В. А. Солонников, М. Н. Уральцев. - М.: Наука, 1967. - 736 с.

3. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М.: Наука, 1966. - 735 с.

Авторы статьи:

Волков

Владимир Матвеевич, к.ф.-м.н., доцент каф. математики КузГТУ, тел. 37-43-16, e-mail: [email protected]

Волкова Екатерина Анатольевна, к.ф.-м.н., доцент каф. математики КузГТУ, тел. 37-43-16

О

X