ЕДИНОЕ ПОЛЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЛЯ РАЗНОРОДНЫХ СРЕДСТВ НАБЛЮДЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

2020

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Управление, вычислительная техника и информатика

№ 53

УДК 519.234:621.391 DOI: 10.17223/19988605/53/9

И.М. Рудько

ЕДИНОЕ ПОЛЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЛЯ РАЗНОРОДНЫХ

СРЕДСТВ НАБЛЮДЕНИЯ

Рассмотрена задача вычисления единого поля вероятности обнаружения для стационарных и подвижных наблюдателей, контролирующих заданный район и работающих в пассивном режиме в различных частотных диапазонах. В работе рассматриваются расположенные на плоскости, снабженной декартовой системой координат, стационарные гидроакустические средства, координаты которых известны, и рассчитывается единое поле вероятностей обнаружения объекта для всех стационарных гидроакустических средств по всему району Робн(х, у). Это поле используется как основа для интеграции систем подводного наблюдения и объединения всех имеющихся позиционных и маневрирующих гидроакустических систем в единый комплекс подводного наблюдения, в том числе и при условии работы в анизотропной среде.

Ключевые слова: траектория движения объекта; интеграция систем подводного наблюдения; вероятность обнаружения объекта; поле вероятностей обнаружения объекта.

Рассматривается задача обнаружения морского подводного объекта (МПО) средствами пассивной гидролокации в районе, контролируемом несколькими стационарными гидроакустическими станциями (СГАС) и маневренными средствами (МС).

В настоящее время реализация идей «сетецентризма» применительно к решению задач поиска МПО приводит к интеграции систем подводного наблюдения [1] и объединению всех имеющихся позиционных и маневрирующих гидроакустических систем в единый комплекс подводного наблюдения.

При решении рассматриваемой задачи применительно к обработке гидроакустической информации необходимо учитывать также сложную структуру поля, по которому происходит распространение сигнала. Зона потенциально возможного обнаружения цели является анизотропной (слоисто-неоднородной), т.е. обладает контрастной структурой с чередованием зон акустической освещенности и зон акустической тени. Контрастная структура зоны наблюдения может выражаться в любой мере -либо как давление или интенсивность полезного сигнала [2], либо как вероятность обнаружения полезного сигнала [3], лишь бы они представляли собой корректную свертку всех основных влияющих факторов и были доступны для оценки.

Удобство использования вероятностной формы определяется тем, что она позволяет получать не только текущие локальные, но и интегральные оценки потенциальной возможности обнаружения объекта поиска по траектории, т.е. по маршруту (в горизонтальной плоскости) и трассе (по глубине) следования МПО относительно наблюдателя

Непосредственно такую возможность характеризует вероятностный критерий, представляющий собой вероятность такого события, при котором за время прохождения МПО маршрута его ни разу не обнаружит ни один из Ь (Ь > 1) наблюдателей, расположенных в районе и работающих в пассивном режиме. Обозначим эту вероятность Робн и будем называть ее вероятностью обнаружения объекта на траектории движения.

В случае независимых наблюдателей (вероятность наступления события обнаружения хотя бы одним наблюдателем) оценки производятся по формуле интегральной (кумулятивной, накопленной) вероятности [4]:

Ь

Робн = 1 -П (1 - Робн, ), (1)

1=1

где Ь - число наблюдателей, Робн г -. вероятность обнаружения 7-м наблюдателем.

Удобство использования вероятностной формы определяется тем, что она позволяет получать не только текущие локальные, но и интегральные оценки потенциальной возможности обнаружения объекта поиска по траектории следования относительно наблюдателей.

В данной работе рассматриваются расположенные на плоскости, снабженной декартовой системой координат ХОУ, стационарные гидроакустические средства, координаты которых известны, и рассчитывается единое поле вероятностей обнаружения объекта для всех СГАС по всему району Робн(х, у). Это поле используется как основа для интеграции систем подводного наблюдения и объединения всех имеющихся позиционных и маневрирующих гидроакустических систем в единый комплекс подводного наблюдения.

1. Расчет единого поля вероятности обнаружения для нескольких наблюдателей в изотропном поле

При обработке гидроакустической информации в пассивном режиме обнаружение осуществляется по результатам обработки излученного объектом и принятого наблюдателем сигнала при наличии помех. Решение о наличии или отсутствии сигнала от объекта принимается наблюдателем периодически, после предварительной обработки поступившей на интервале наблюдения (накопления) длительностью То реализации гауссовского случайного процесса Х(0 с нулевым математическим ожиданием. Обозначим символом От2 дисперсию помех на входе наблюдателя, символом о2с = о2с (V, О) - дисперсию сигнала, излученного движущемся объектом и поступившего на вход наблюдателя, зависящую от текущей скорости движения объекта V и текущего расстояния О между ним и наблюдателем. При отсутствии сигнала от объекта случайный процесс Х(1) имеет дисперсию От2, при наличии сигнала от объекта - дисперсию Ос2 + Ош2.

Используя основное уравнение гидроакустики (ОУГ) [5], определим дисперсию сигнала на входе приемника. Полагая, что зависимость уровня интенсивности излученного МПО сигнала от его скорости носит степенной характер, а закон распространения гидроакустического сигнала в среде -сферический, имеем для интенсивности сигнала на входе наблюдателя [6]

О

О2'

/ (V,О) = / (V,)

С

V

V V, У

где 1о^о) - интенсивность излучения МПО на эталонной скорости vо, V - текущая скорость движения МПО, В - текущее расстояние между ним и наблюдателем, Во - эталонное расстояние.

Интенсивность помехи на входе приемной системы наблюдателя рассчитывается по формуле 1ш = !Ц( I )/А( I), где 10( I) - суммарная интенсивность помех в районе расположения наблюдателя, Л(/) - коэффициент концентрации антенной системы наблюдателя в полосе приема. Выражение для текущего отношения сигнал / помеха может быть записано в следующем виде:

Р = -

о^,О) !с (^О)

Iс V)

(

V

V ^ У

о

1°п(/)/

УЛ(/)

Вероятность обнаружения МПО наблюдателем по результатам обработки информации на одном интервале наблюдения длительностью То вычисляется по следующей формуле [6]:

( \

Робн (V, О) = 1 - К

К

1с (V, О)

+1

(

= 1 - К

к

л

Р(^ О) +1

где Ем - функция ^-распределения с N степенями свободы, Н? - квантиль уровня (1 - а), N = 2То АР, АР - полоса частот, а = Рлт - вероятность ложной тревоги.

ш

Расстояние, на котором вероятность правильного обнаружения сигнала Робн равна установленному значению при соблюдении требований к вероятности ложных тревог Рлт, называется дальностью действия ГАС [7]. Данное определение в общем виде относится к однократному (мгновенному) наблюдению при установленных зависимостях между временем накопления То, отношением сигнал / помеха р, Робн и Рлт.

Хотя эффективность обнаружения цели по акустическому полю принято оценивать вероятностью правильного обнаружения, она зависит от величины энергии принимаемого сигнала. При заданной мощности энергия сигнала определяется длительностью его приема, а мощность зависит от акустической силы цели и от расстояния до цели. Для заданной вероятности ложной тревоги Рлт = а вероятность правильного обнаружения Робн возрастает с увеличением р, а р монотонно убывает с ростом расстояния r до цели.

Как правило, приемная система наблюдателя работает периодически, каждый раз накапливая и обрабатывая сигнал в течение фиксированного времени T (времени разового наблюдения), за которое положение обнаруживаемого объекта и его скорость практически не изменяются. По истечении этого времени принимается решение об отсутствии или наличии МПО. Будем называть такую процедуру «взглядом», а время T - длительностью взгляда.

Учитывая, что каждая СГАС может работать в нескольких частотных диапазонах со своим временем накопления в каждом, формулу вычисления интегральной вероятности (1) применить невозможно, так как длительности их взглядов различны. Если бы удалось привести времена накопления (взгляда) для всех СГАС и их частотных диапазонов к единому времени Т = const, то можно было бы построить единую карту вероятности - Робн(х, у) в координатах XOY для всех СГАС, находящихся в заданном районе.

Пусть имеются два наблюдателя два частотных диапазона одной СГАС) с шириной полосы частот AF1 и AF2 и со временами накопления Т1 и Т2 (Т1 Ф Т2) соответственно, в которых решение об обнаружении принимаются независимо. Для расчета вероятности правильного обнаружения хотя бы одним из двух наблюдателей, чтобы иметь возможность использовать формулу интегральной (кумулятивной) вероятности (1), нужно одинаковое время накопления, но Т1 Ф Т2. Поэтому приведем время накопления к «общему знаменателю». Определим наименьшее общее кратное - НОК(Т1, Т2) = То. Тогда за То - L1 = T0/T1 - число взглядов для 1-го наблюдателя, L2 = T0/T2 - число взглядов для 2-го наблюдателя.

Для 1-го наблюдателя, считая, что цель неподвижна, согласно (1) за время То получаем

l h

Рнеобн1 (Т0 ) = ^^ Рнеобн1 (Т1 ) = [Рнеобн1 (Т1 )] , (2)

а для 2-го наблюдателя за время То

Рнеобн2 (Т0 ) = ^^ Рнеобн2 (Т2 ) = [Рнеобн2 (Т2 )] г =1

Допустим, что у нас есть 3-й наблюдатель, который имеет время наблюдения Т2 и за время То обеспечивает по формуле (2) такую же вероятность необнаружения Рнеобн, как и 1-й наблюдатель, т.е.

[Рнеобн3 (Т2 )]' 2 =[Рнеобн1 (Т )]'1 и

4/ ту

Рнеобн3 (Т2 ) _ [Рнеобн1 (Т1 )] ~ [Рнеобн1 (Т1)] 2 /

Таким образом, 3-й наблюдатель эквивалентен 1-му наблюдателю в том смысле, что рассчитанные для них по формуле (2) за время То вероятности необнаружения Рнеобн равны между собой. Так как время наблюдения Т2 для 3-го наблюдателя равно времени наблюдения для 2-го наблюдателя, то для определения суммарной (интегральной, кумулятивной) вероятности для независимых наблюдателей можно применить формулу (1):

у

Рнеобн£ _ Рнеобн2 (Т2 )Рнеобн3 (Т2 ) _ Рнеобн2 (Т2 ) [Рнеобн1 (Т1 )] 1 •

1=1

Следовательно, вероятности необнаружения для двух диапазонов с различными временами взглядов можно объединить, используя формулу (3), в вероятность необнаружения с единым временем взгляда.

Пусть СГАС, расположенная в районе, имеет координаты (хк, ук). Тогда, используя формулу для вычисления Ро6н (d¡) , приведенную в [6], можно рассчитать вероятность необнаружения для всех точек района (х, у), т.е. сформировать поле (матрицу) вероятностей необнаружения Рнеобн(х, у). Для СГАС, расположенной в точке с координатами (хк, ук), и имеющей М частотных диапазонов, используя формулы (1) и (3), можно рассчитать суммарную вероятность необнаружения для всех диапазонов за время Тт:

м тт/

Рнеобнк (X, У) =П Рнеобн; (*, у)Л, (4)

]=1

где Т - длительность взгляда для'-го частотного диапазона, Тт - тах[Т].

Рассчитав по (4) приведенные вероятности необнаружения для каждого наблюдателя, можно рассчитать единое (суммарное) поле для всех наблюдателей:

К Т"А

Рнеобн (X У) = П Рнеобн к (Хк, ук ) ,

к=1

где К - число наблюдателей, Тк - длительность взгляда для к-го частотного диапазона, Тм - тах[Тк], Тк - приведенная длительность взгляда для к-го наблюдателя, (хк, ук) - координаты к-го наблюдателя, Рнеобн - приведенные вероятности необнаружения для к-го наблюдателя.

Кроме задания единого времени наблюдения для всех наблюдателей для расчета единого поля вероятности обнаружения требуется выполнение еще одного очевидного условия - равенства вероятности ложных тревог для всех наблюдателей: Рш = а.

Рис. 1. Пример расчета единого поля вероятности обнаружения для трех наблюдателей Fig. 1. Example of calculating a single detection probability field for three observers

На рис. 1 представлен пример расчета единого поля вероятности обнаружения для трех наблюдателей с различными параметрами наблюдения в случае изотропного акустического поля.

2. Расчет единого поля вероятности обнаружения для нескольких наблюдателей

в анизотропном поле

В неоднородной морской среде (анизотропном поле) вероятность обнаружения зависит не только от расстояния между МПО и наблюдателем, но также от глубины и профиля дна, акустических свойств грунта, от гидрологических, определяемых видом вертикального распределения скорости звука, и метеорологических условий наблюдения, глубины погружения МПО, характеристик СГАС и глубины установки ее антенны и ряда других факторов [8]. В результате круговая диаграмма,

присущая изотропному полю, сильно деформируется и зависит уже от четырех параметров: расстояния между МПО и наблюдателем (d), глубины погружения МПО her), азимута на МПО и глубины установки антенны СГАС (h^). Тем не менее для фиксированной глубины погружения МПО (^ст) также можно рассчитать вероятность обнаружения для всех точек района РобнС^, y), т.е. построить карту вероятности обнаружения для ^ст = const. Такой набор карт вероятности можно описывать трехмерной матрицей в координатах (x, y, h^x) для ряда фиксированных глубин hmT j (1 < j < J) при фиксированных глубинах каждого наблюдателя h^ k (1 < k < K).

Рассчитав по (4) приведенные вероятности необнаружения для всех наблюдателей и их диапазонов, можно рассчитать общее (суммарное) поле для всех наблюдателей.

На рис. 2-4 приведен пример расчета суммарного поля вероятности обнаружения для двух наблюдателей по формуле

Рнеобн (У) = П Рнеобн k (xk, yk )

(5)

где K - число наблюдателей, Тk - длительность взгляда для ^го частотного диапазона, Тм - тахТ], Тk - приведенная длительность взгляда для ^го наблюдателя, yk) - координаты ^го наблюдателя, Рнеобн k - приведенные вероятности необнаружения для k-го наблюдателя.

Рис. 2. Поле вероятности обнаружения для 1-го наблюдателя за время Т1 Fig. 2. Detection probability field for the 1st observer during Т1

a b

Рис. 3. Поле вероятности обнаружения для 2-го наблюдателя: а - за время Г2; b - за время Т1 (Т1 > Т2) - по формуле (5) Fig. 3. Field of probability of detection for the 2nd observer: а - during Г2; b - during the time T1 (T1> T2) - according to the formula (5)

К

k=1

Рис. 4. Суммарное поле вероятности обнаружения для 1-го и 2-го наблюдателя по формуле (5) Fig. 4. The total detection probability field for the 1st and 2nd observer according to the formula (5)

Такое поле вероятности обнаружения может быть построено для набора возможных глубин МПО. Таким образом, формируется трехмерная матрица Робн(х, у, Лист).

Вычисление единого поля вероятности Робн(х, у, Лист) для всего района позволяет наложить это поле на географическую карту. Тогда оператор может визуально (как известно, глаз человека очень хорошо справляется с такой задачей) определять «слабые» места, т.е. районы, в которых Робн мала, и отправлять туда, например, дополнительные маневренные средства.

3. Расчет вероятности обнаружения маневренными средствами

Наличие единого поля вероятности Робн(х, у, Лист) для СГАС всего района позволяет использовать его и как основу для комплексирования вероятностей обнаружения от различных маневренных средств.

Учитывая, что для СГАС Робн(х, у, Лист) вычисляется за единое время наблюдения То, при расчете Робн(МС) необходимо вычислять эту вероятность за то же время То, иначе формулу (1) применять некорректно (основное условие расчета единого поля вероятностей обнаружения).

Поиск в районе МС, к которым относятся, например, подвижные наблюдатели (ПН) и неподвижные пассивные буи, контролируемые авиационными носителями, основывается на модели, основной характеристикой которой является интенсивность поиска y(t) - среднее число обнаружений МПО в районе поиска в единицу времени [4]. Интенсивность поиска в предположении о времени поиска tn и малости величины y(t) может быть пересчитана в вероятности обнаружения

Рмс (tn ) =1" exp

U ' vu

J Y(t)dt

где ¿о - время начала поиска, ¿п - продолжительность поиска.

Если положить ¿п = То, то основное условие выполнено и можно использовать формулу (1). Для буев интенсивность поиска рассчитывается по формуле [9]

у(Г) = 2яБеяБ (V)У/5р,

где V - скорость движения МПО, Рб(Р) - дальность обнаружения МПО пассивным буем, зависящая от V; пб - число буев в подрайоне, через который проходит МПО; 0 - доля одновременно контролируемых буев; Зр - площадь подрайона.

Для ПН интенсивность поиска рассчитывается по формуле [4]

у (Г) = 2^ (V, и)у0н/Б р,

где (V, и) - дальность обнаружения МПО для ПН, и - скорость ПН; Уотн - средняя скорость движения МПО относительно ПН.

Поиск на рубеже осуществляется, когда есть достаточные основания предполагать, что проход МПО будет совершен через данный рубеж. При этом ПН имеют задачу не допустить прохода объекта поиска через данный рубеж необнаруженным. Поиск на рубеже ведется, когда известен вероятный курс или сектор вероятных курсов противника, и осуществляется при маневрировании ПН курсами, перпендикулярными вероятному курсу объекта поиска. Вероятность обнаружения цели в этом случае определяется по формуле [10]

2й Р I V2

Р = 2Ы лРк 1 + КПН (6)

РобнР , А1 ^у 2 , (6)

где Рк - вероятность получения контакта с целью в пределах дальности обнаружения, / - длина участка (прямолинейного отрезка от одной точки поворота до другой точки поворота), обследуемого ПН, - дальность действия средств наблюдения ПН, Упн и Умпо - скорости ПН и МПО.

В формуле (6) время в явном виде отсутствует. Поэтому по известным длине участка I и скорости ПН Упн можно определить время прохождения участка ^ = /уч/Упн. По формуле, аналогичной (2), определяем вероятность необнаружения за время То, заданное при построении карты вероятностей:

Рнеобн (Т0 ) _ РобнР ) '

Рис. 5. Суммарное поле вероятности обнаружения для 1-й и 2-й СГАС и МС (поиск в районе (зона вверху карты) и поиск на рубеже (между СГАС)) Fig. 5. The total field of the probability of detection for the 1st and 2nd SSS and MS (search in the area (zone at the top of the map) and search at the boundary (between SSS))

На рис. 5 приведен пример расчета единого поля вероятности обнаружения с учетом применения поиска на рубеже и поиска МС.

Заключение

уч

Единое поле вероятности обнаружения для всех наблюдателей, контролирующих заданный район, Робн(х, у, Лист):

- может быть обобщено на случай анизотропного (слоисто-неоднородного) гидроакустического поля путем добавления еще одной координаты Лист;

- может быть использовано для визуализации, т.е. представления оператору.

Наличие единого поля вероятности Робн(х, у, Лист) для СГАС всего района позволяет использовать его как основу для комплексирования вероятностей обнаружения от различных физических полей (11). МПО имеет собственные физические поля, к которым относятся: акустическое, магнитное, гидрофизическое, электрическое, низкочастотное электромагнитное, тепловое, оптическое. Включе-

ние этих полей в единое поле вероятности обнаружения Робн^, y, h^i) возможно при условии наличия моделей для расчетов вероятностей обнаружения объекта этими средствами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пичугин С. Состояние и перспективы развития систем гидроакустического наблюдения ВМС США. Ч. 1 // Зарубежное

военное обозрение. 2010. № 6. С. 61-70.

2. Ольшевский В.В. Статистические методы в гидролокации. Л. : Судостроение,1983. 280 с.

3. Какалов В.А., Поленин В.И., Дымент А.Б., Сергеев В.А. Метод оптимизации боевого маневрирования подводной лодки

по вероятностному критерию скрытности // Морская радиоэлектроника. 2003. № 3 (6). С.44-47

4. Абчук В.А., Суздаль В.Г. Поиск объектов. М. : Сов. радио, 1977. 336 с.

5. Urick R.J. Principles of underwater sound. McGraw-Hill Book Company, 1975. 445 p.

6. Абрамянц Т.Г., Маслов Е.П., Рудько И.М., Яхно В.П. Уклонение подвижного объекта от обнаружения группой наблюда-

телей при малых отношениях сигнал / помеха // Информационно-управляющие системы. 2011. № 2. С. 2-7.

7. Евтютов А.П., Колесников А.Е., Ляликов А.П. Справочник по гидроакустике. Л. : Судостроение, 1988. 552 с.

8. Burdic W.S. Acoustic system analysis. Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, Inc., 1984. 392 p.

9. Forrest R.N. Estimating search effectiveness with limited information. Monterey, CA : Naval Postgraduate School, 1993.

10. Хвощ В.А. Тактика подводных лодок М. : Воениздат, 1988. 266 с.

11. Якушенко Е.И., Эйдук В.И., Дружинина О.В., Лебедев В.Г., Кулида Е.Л. Применение математических методов оптимизации при управлении скрытностью морских подводных объектов // Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах : материалы конф., СПб., 9-11 окт. 2012. СПб., 2012. С. 843-846.

Поступила в редакцию 17 июня 2020 г.

Rudko I.M. (2020) UNIFIED FIELD OF DETECTION PROBABILITIES FOR HETEROGENEOUS MEANS OF OBSERVATIONS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science] 53. pp. 93-101

DOI: 10.17223/19988605/53/9

The problem of calculating a single detection probability field for stationary and moving observers controlling a given region and working in a passive mode in different frequency ranges is considered. Currently, the implementation of the ideas of "network-centrism" in relation to solving the problems of searching for a marine underwater object leads to the integration of underwater surveillance systems and to the integration of all available positional and maneuvering sonar systems into a single complex of underwater observation, in which the results of the work of heterogeneous means of observations could be combined.

In this work we consider stationary sonar station located on a plane equipped with the Cartesian coordinate system XOY, whose coordinates are known, and calculate a single object detection probability field for all stationary sonar station throughout the region Fdet(x, y). This field is used as the basis for the integration of underwater observation systems and for combining all available positional and maneuvering sonar systems into a single underwater observation complex, including when operating in an anisotropic environment.

All the examples cited were calculated using the MATLAB computing environment. The presence of a single field of probability of detection for a given area:

- firstly, it greatly facilitates the work of the operator;

- secondly, it allows you to quickly make adjustments to the work of maneuvering means;

- thirdly, take into account data from non-acoustic physical fields in this single field of probability.

Keywords: the trajectory of the object; the integration of underwater surveillance systems; the probability of detecting an object; the probability field of detecting an object.

RUDKO Igor Mikhailovich (Candidate of Technical Sciences, Senior Researcher, V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation). E-mail: igor-rudko@mail.ru

REFERENCES

1. Pichugin, S. (2010) Sostoyanie i perspektivy razvitiya sistem gidroakusticheskogo nablyudeniya VMS SShA. Ch. 1 [The state and

development prospects of sonar surveillance systems of the US Navy. Part 1]. Zarubezhnoe voennoe obozrenie. 6. pp. 61-70.

2. Olshevsky, V.V. (1983) Statisticheskie metody v gidrolokatsii [Statistical methods in sonar]. Leningrad: Sudostroenie.

3. Kakalov, V.A., Polenin, V.I., Dyment, A.B. & Sergeev, V.A. (2003) Metod optimizatsii boevogo manevrirovaniya podvodnoy

lodki po veroyatnostnomu kriteriyu skrytnosti [A method for optimizing the combat maneuvering of a submarine by the probabilistic stealth criterion]. Morskaya radioelektronika. 3(6). pp. 44-47.

4. Abchuk, V.A. & Suzdal, V.G. (1977) Poisk ob"ektov [Search for objects]. Moscow: Sovetskoe radio.

5. Urick, R.J. (1975) Principles of underwater sound. McGraw- Hill Book Company.

6. Abramyants, T.G., Maslov, E.P., Rudko, I.M. & Yahno, V.P. (2011) Avoidance of a moving object from detection by a group

of observers subject to small signal/noise ratios. Informatsionno-upravlyayushchie sistemy - Information and Control Systems. 2. pp. 2-7.

7. Evtyutov, A.P., Kolesnikov, A.E. & Lyalikov, A.P. (1988) Spravochnikpo gidroakustike [Handbook of Hydroacoustics]. Lenin-

grad: Sudostroenie.

8. Burdic, W.S. (1984) Acoustic System Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc.

9. Forrest, R.N. (1993) Estimating search effectiveness with limited information. Monterey, CA: Naval Postgraduate School.

10. Khvoshch, V.A. (1988) Taktikapodvodnykh lodok [Tactics of Submarines]. Moscow: Voenizdat.

11. Yakushenko, E.I., Eiduk, V.I., Druzhinina, O.V., Lebedev, V.G. & Kulida, E.L. (2012) [Application of mathematical optimization methods for managing the stealth of marine underwater objects]. Upravlenie v tekhnicheskikh, ergaticheskikh, organiza-tsionnykh i setevykh sistemakh [Management in technical, ergatic, organizational and network systems]. Proc. of the Conference. St. Peteresburg, October 9-11, 2012. St. Petersburg. pp. 843-846.