CC BY
83
УДК 621.01
ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ СТРУКТУРЫ, СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И НАПРАВЛЕННЫЙ СИНТЕЗ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ (САМОУСТАНАВЛИВАЮЩИХСЯ) МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В.И. Пожбелко
Статья содержит единую теорию структуры, общие закономерности строения, универсальные структурные формулы и математические модели для анализа числа степеней свободы (DOF) и направленного структурного синтеза на основе целочисленных решений разнообразных семейств плоских и пространственных, однородных и неоднородных самоустанавливающихся многозвенных механических систем оптимальной структуры для разных областей машиностроения (одно- и многоподвижные механизмы, фермы, незамкнутые кинематические цепи), содержащих заданное число независимых замкнутых контуров, заданный набор многократных шарниров, а также заданное наиболее сложное звено, общее число и требуемую номенклатуру (assortments) звеньев в проектируемой механической системе. Структурный синтез и анализ статически определимых механических систем выполняется без применения групп Ассура и не требует традиционного подсчёта всего множества кинематических пар.
Ключевые слова: структурный синтез и анализ, число степеней свободы (DOF), шарнирные механические системы, фермы, структурная математическая модель, коды правильного строения, плоские и пространственные механизмы.
1. Постановка задачи и предлагаемый путь её решения
Из многолетней практики конструирования [1] установлено, что наиболее перспективными в современном машиностроении и различных областях техники являются статически определимые механические системы, которые обладают свойством самоустанавливаемости звеньев (что снижает их нагруженность при температурных и силовых деформациях, а также при погрешностях изготовления и сборки), отличаются уменьшенным трением и износом, более равномерным распределением нагрузок и увеличенным в несколько раз сроком службы. Именно статически определимые механизмы и фермы являются оптимальными структурами [11, 12], так как имеют правильное строение [3, 21-23] с «нормальным» [24] соотношением между числом звеньев, числом связей и числом степеней подвижности, а их создание и представляет (согласно [3]) оптимальный структурный синтез.
Структурный синтез и анализ являются [1-24] первичными и наиболее ответственными этапами создания надёжно работающих механических систем различного назначения (приводы машин, фермы, роботы, манипуляторы) для разных областей техники - по критерию отсутствия в них избыточных связей (получаются статически определимые системы). Основной исходной отличительной характеристикой различных механических систем является число их степеней свободы W (DOF [15]) после сборки, которое равно: W = 0 - фермы; W = 1, W = 2,W = 3 - соответственно одно- , двух- и трёхподвижные механизмы. Аналитическая зависимость между W и структурными параметрами проектируемой системы - в виде «структурной формулы подвижности» является обязательным компонентом любого структурного анализа и синтеза [1-24], а степень охвата ею всего возможного многообразия строения многозвенных систем с заданным W и определяет результативность данной процедуры.
В теории механизмов и механике машин при структурном анализе и синтезе многозвенных механизмов для определения числа их степеней свободы (DOF [15]) с 1869 года применяются структурная формула одноподвижных механизмов П.Л. Чебышева [3, 22-24] и тождественные ей критерии А. Клейна [14] и М. Грюблера [15], которые имеют следующие органические недостатки:
а) не отражают всех структурных особенностей плоских и пространственных многозвенных статически определимых кинематических цепей;
б) требуют трудоёмкого подсчёта всего множества кинематических пар и звеньев и дают ошибочный результат при анализе не только сложных неоднородных механизмов, но и при исследовании конструктивно более простых четырёхзвенных шарнирных пространственных механизмов Беннета и Брикарда [1];
в) являются неинформативными о требуемом выполнении отдельных звеньев статически определимых систем, из-за чего структурный синтез перспективных самоустанавливающихся механизмов становится вообще неопределённым и кажется бесконечным (непредсказуемым).
Рассмотрим возможности устранения указанных недостатков (препятствующих разработке рациональных алгоритмов структурного анализа и структурного синтеза различных механических систем) - за счёт применения в современной теории механизмов и машин предложенной автором в разных равнозначных вариантах [5, 6, 10] новой структурной формулы подвижности, применяемой ниже для решения различных прикладных задач механики.
В связи с этим на основе структурных математических моделей [5, 10-12] предлагается перейти к более наглядному геометрическому представлению механической системы в виде расчётного требуемого конечного набора (assortments) одно- и многовершинных (многошарнирных) звеньев и многократных шарниров, гарантированно образующих (после их сборки между собой) статически определимую многозвенную систему заданной подвижности (DOF), содержащую: заданное число независимых замкнутых контуров K и требуемый набор многократных шарниров с заданным ограничением наибольшей сложности используемых звеньев (например, в пределах числа (K +1) осей шарниров на каждом из них) [11].
2. Общие структурные формулы и математические модели строения
статически определимых механических систем
Представленные на основе общей структурной теории [6-12] универсальные аналитические зависимости отражают особенности возможного строения открытых (K = 0) и замкнутых (K > 1) статически определимых механических систем разного уровня сложности (Y = K -1 > -1) - неоднородных (h = var ) и однородных (h = 1...6 = const); одно- и многоподвижных, плоских и пространственных механизмов и ферм. Выполненная формализация структуры и методика направленного структурного синтеза и анализа строения многозвенных механических систем заключается в их топологическом представлении - в виде заданной совокупности K замкнутых контуров, составленных из строго определённых расчётных наборов взаимосвязанных одно- и многошарнирных звеньев (п_,щ,Щ,п^,...,Пк+1), замыкаемых между собой посредством однократных и многократных шарниров и различных геометрических, гибких и динамических связей.
1. Классификация замкнутых контуров и семейств механических систем. В качестве первоочередной оценочной количественной характеристики строения замкнутых контуров многозвенных механических систем примем безразмерное целое число h , изменяющееся в интервале значений:
h >(H + 1)-(g + d ) = 1...6,
и равное количеству элементарных (вращательных, поступательных) перемещений звеньев, требуемых для полного замыкания в процессе сборки данного открытого контура в его последней кинематической паре. Слагаемые в зависимости учитывают: H = 1...5 - возможную подвижность кинематических пар (геометрических связей); (g + d) = 1 - возможное замыкание данного контура гибкими (g Ф 0) или динамическими связями( d ф 0) [6, 17].
С физической точки зрения величина 1 < h < 6 - это число степеней свободы того пространства, в пределах которого могут происходить перемещения звеньев данной механической системы (т. е. пространства движений, в котором существует и работает данный механизм, или пространства, в котором происходят деформации звеньев данной фермы).
По величине безразмерного целого числа h = 1...6 разные замкнутые контуры разделим на шесть классов: I (h = 1), II (h = 2), III (h = 3), IV (h = 4), V (h = 5) и VI (h = 6), а однородные механические системы I типа (содержащие замкнутые контуры одного класса) - разделим соответственно на шесть семейств (номер семейства равен величине h ). Неоднородные механические системы II типа (содержащие замкнутые контуры разных классов - объединим в особое седьмое семейство (и условно его обозначим ho = 7).
В данной работе в диапазоне 2 < к < 6 существование различных механических систем рассматривается (см. пп. 4-6) в предлагаемой новой области - многократном подвижном пространстве, где вдоль хотя бы одной из осей координат х, у, 7 в процессе сборки и работы происходит два и более повторяющихся элементарных перемещений звеньев, реализующих заданное безразмерное число к = 2...6 (в отличие от традиционно рассматриваемого пространства неповторяющихся движений [3, 15, 20].
2. Универсальная структурная формула (уравнение подвижности БОЕ) статически определимых неоднородных (случай «а») и однородных (случай «б») механических систем с любыми видами связей [6] примет вид:
к=6
а) ж = (п _ 1)-£(й - 1)К + / ;
(1)
к=1
б) Ж = (п- 1)-(к -1)* + /, (2)
и устанавливает следующую общую зависимость подвижности Ж от величины к (пространства, в котором существует данная механическая система) и применяемых в структуре наборов многошарнирных звеньев и многократных шарниров:
Ж =
к +1
п1 + п2 - <
Ґ к - 3
пз +(к _ 2)
к - 1
(К +1)_ к
К+1
- + (/-V-к).
Зависимость (А ) в виде суммы имеет более краткую форму записи:
К
Ж НЕ
К =0
к-| — |(К +1)
ч+1 !•+(/_у_к).
(3)
(4)
Универсальная структурная формула подвижности (3) для отдельных семейств статически определимых механических систем после подстановки в зависимость (3) целых значений к во всём диапазоне 1 < к < 6 примет следующий вид:
( к+1 Л
1) к = 1: Ж =
2) к = 2 : Ж = -2
Е п +/1);
V /=1 1 К
К+1
К=0
3) к = 3: Ж =
К
К+1
К=0
К
4) к = 4: Ж = -2
К+1
+ (/-V-2); + ((-V-3);
+ (/ -V- 4);
к=0
5) к = 5: Ж =Е (3 - 2К)пк+1 + (/-V-5);
К=0
6) к = 6: Ж = -2
К
К+1
К=0
+ (/ _V_ 6).
В структурных формулах (1)-(3) величина / - это число дополнительных степеней свободы механической системы от применения в ней вместо низших пар высших - двухподвижных (числом Р2 ), трёхподвижных (числом Рз), четырёхподвижных (числом Р4) и пятиподвижных (числом Р5) кинематических пар (при расчёте величины / учитываются только независимые относительные движения контактирующих звеньев, возможные в данном подвижном соединении после сборки замкнутых контуров данной механической системы):
Н=5
/ < Р2 + 2Рз + 3Р4 + 4Р5 = Е(Н - 1)РН .
Н=2
Применительно к наиболее распространенным плоским и пространственным механическим системам третьего семейства (к = 3) из универсальной формулы Ж (3) получаем следующую новую структурную формулу подвижности (в расширенной форме записи):
Ж = [2я1 + (п2 - 3)) - [п4 + 2п5 + 3п6 +... + (К - 2)пК+1 ] - V + /, (5)
более информативную для направленного синтеза и анализа на основе структурных математических моделей (примеры синтеза и анализа оптимальных структур представлены ниже).
Принятые обозначения: п - число одновершинных (одношарнирных) звеньев; п2- число двухвершинных (двухшарнирных) звеньев; «3 - число трёхвершинных (трехшарнирных) звеньев (в формулу (5) не входит); п4 - число четырёхвершинных (четырехшарнирных) звеньев; п5 -число пятишарнирных звеньев; п - число шестишарнирных звеньев; п*+1 - число наиболее сложных (К +1 )-вершинных (многошарнирных) звеньев (поступательные кинематические пары также учитываются, как одноподвижные шарниры - с бесконечным радиусом); К - число образуемых звеньями данной системы взаимно независимых замкнутых контуров; V - приведенное число многократных шарниров, учитывающее число всех двойных шарниров (V 2 ), тройных (Vз) и т. д. ] - кратных шарниров [8]:
v = v2 + 2v3 +3v4 + 4v5 +... + (К-1^К <2(К-1), (6)
В ы в о д ы. Из анализа слагаемых структурной формулы подвижности (5) следует, что в наиболее распространённых на практике плоских и пространственных механических системах третьего семейства (к = 3) влияние на величину Ж применяемых различных многовершинных (многошарнирных) звеньев существенно зависит от их строения следующим образом:
а) число применяемых в системе трехшарнирных звеньев ( п3 ) вообще не влияет на величину её подвижности Ж ;
б) добавление одно- и двухшарнирных звеньев приводит к увеличению Ж ;
в) добавление более сложных звеньев (четырехшарнирных, пятишарнирных и т. д.) и многократных шарниров (v = 1, v = 2, ... и т. д.), наоборот, приводит к снижению Ж .
3. Общее число звеньев любой механической системы (п ) и общее число соединяющих их кинематических пар ( Р ) (геометрических связей с любым числом накладываемых ими ограничений) можно представить [10] в виде следующих универсальных зависимостей взаимосвязанных между собой одношарнирных и многошарнирных звеньев, образующих с учётом многократных шарниров (6) следующие конечные арифметические ряды:
п = п1 + п2 + п3 + п4 + п5 + п6 +... + пК+1;
Р = 0,5 [ п1 + 2п2 + 3п3 + 4п4 + 5п5 + 6п6 +... + (К + 1)пК+х + v]
однозначно ограниченные заданным числом замкнутых контуров К (т. е. задаваемым уровнем сложности У = К -1 синтезируемой механической системы).
4. Определитель Б целевой функции структурного синтеза статически определимых механических систем получается преобразованием новой универсальной структурной формулы подвижности (1) к общему виду (8) - для синтеза неоднородных систем, или аналогичной формулы (2) к общему виду (9) - для синтеза однородных систем:
а) Б = (п -1)-§ (к - 1)Кк - Ж + / = 0; (8)
к=1
б) Б = (п -1)-( к -1) К - Ж + / = 0, (9)
где / < Р2 + 2Р3 + 3Р4 + 4Р5 - учитывает дополнительное число степеней свободы механической системы от применения в ней многоподвижных кинематических пар (Н > 1).
Аналогичным преобразованием (переносом всех слагаемых в левую часть уравнения новой структурной формулы подвижности (3) - получаем аналитическую зависимость определителя целевой функции структурного синтеза оптимальных структур Б = 0:
а) в общем виде для любого из семейств однородных статически определимых механических систем (к = 1...6):
Б =
к +1
п1 + п2
к - 3
к -1
(К +1)-к
К+1
• - (Ж + V + к) + / = 0;
(10)
б) для плоских и пространственных механизмов и ферм третьего семейства (к = 3):
Б = (2п1 + п2 )-[ п4 + 2п5 + 3п6 +... + (К - 2) пК+1 ]-(Ж + у + 3) + / = 0.
П о я с н е н и е. При анализе правильности строения данной механической системы целевая функция Б = 0 указывает на отсутствие дефектов структуры исследуемого механизма (Ж > 1) или фермы (Ж = 0), а величина Б ф 0 указывает на наличие и точно определяет число избыточных связей (случай Б < 0) или лишних неуправляемых подвижностей (случай Б > 0).
5. Структурная математическая «УІР-модель» в общем виде для любого из семейств статически определимых механических систем представляет совместную систему линейных алгебраических уравнений (3), (6), (7), (10) вида:
Б =
V = V
!- 1
(К +1)-/
К+1
■-(Ж + V + к) + f = 0;
'г -’чт1^т-"б ^••
к = п1 + п2 + п3 + п4 + п5 + п6 +... -
(К-1)к <п + 2(К-1);
= (Ж +1) + (к - 1)К - f
К+1
(11)
В частном случае - для механических систем третьего семейства (к = 3) совместная система уравнений (11) примет (более простой и удобный для нахождения всех целочисленных решений направленного синтеза) вид:
Б — (2пх +1 «2 ■ 2v
V = v^
3v
+ 2п5 + 3п6 +... + (К -2)пК+1 ]-(Ж + V + 3) + f = 0;
4^ А.И5Т ЛІ6
4v5 + 5v1
п = п1 + п2 + п3 + п4 + п5 + п6 +..
(12)
-(К-1)к <п + 2(К-1);
пК+1 =(Ж +1) + 2К - /
всё конечное множество целочисленных решений которых при заданных значениях Ж = 1, к = 3, Н = 1, / = 0 (К = 1, К = 2, К = 3, К = 4, К = 5) представляет все различные возможные типы строения в виде наборов конкретных значений v , п2, щ , п^, щ, ^ . Данные наборы систематизированы в виде сводной табл. 1.
Представленные в табл. 1 целочисленные структурные решения охватывают как механические системы, не имеющие многократных шарниров (v = 0 ), так и механические системы с многократными шарнирами (v ф 0) - это позволяет утверждать, что в области решений Б = 0 (и независимо от величины Ж - согласно представленным в работе [11] аналогичным универсальным структурным табл. 3-5 для статически определимых многоподвижных механизмов с Ж = 2, Ж = 3 и ферм с Ж = 0) существует только:
а) 1 вариант кода строения (один тип структуры) одноконтурных 4-звенных механизмов;
б) 3 варианта кодов строения (типов структуры) двухконтурных 6-звенных механизмов;
в) 9 вариантов кодов строения трехконтурных 8-звенных механизмов;
г) 23 варианта кодов строения четырехконтурных 10-звенных механизмов;
д) 53 варианта кодов строения пятиконтурных 12-звенных механизмов. Все плоские и пространственные структуры в табл. 1 содержат только одноподвижные соединения звеньев Н = 1.
У т в е р ж д е н и е. Из анализа третьего уравнения структурной математической «У1Р-модели» (12) следует необходимое условие синтеза плоских и пространственных (к = 3) статически определимых (самоустанавливающихся) механических систем с одноподвижными кинематическими парами (шарнирно-рычажных и клиновых): при заданном нечётном значении Ж - общее число звеньев системы должно быть чётным, а при заданном нулевом или чётном значении Ж - общее число звеньев системы должно быть нечётным.
6. Предлагаемый цифровой код строения механической системы в виде конкретного набора структурных параметров:
п2п3п4 п5п6 ...пК+1 п2 щп4п5п6 ...пК+1
(13)
V
Таблица 1
Универсальная структурная таблица расчётных стандартных кодов правильного строения одноподвижных механизмов
w— 1, fi - 3, H'- ■!
К *= 1 к 2 K 3
(« = 4) 0 t=6) (9 кодов строени я н=8)
V 0 0 1 2 0 0 0 \ І 2 2 3 4
Hi 4 4 5 6 4 5 6 5 6 6 1 7 8
- 2 I 0 4 2 0 3 1 2 0 ! 0
*4 - - - - 0 1 2 0 1 0 \ 0 0
К = 4 (23 кодов строения n - to)
V 0 0 0 0 0 0 0 1 ! і 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6
Иї 4 5 6 6 7 7 8 5 6 7 7 S 6 7 S Я 7 8 9 8 9 9 10
6 4 2 3 0 1 0 5 3 1 2 0 4 2 0 1 3 I 0 2 0 1 0
ttx 0 ! 2 0 3 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 ! 0 0 1 0 0
>н 0 0 0 1 с 1 2 0 0 0 1 \ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
w -1 = ,tf = ]
К- 5(53 кодов строения її = 12)
V 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 і 1 і 1 1 1 t ! : I 1
>h 4 5 6 6 7 7 7 3 z S S 9 9 9 10 s 6 7 7 8 к s 9 9 9 10
Яз 8 6 4 5 2 3 4 0 1 2 2 0 0 1 0 7 5 3 4 ! 2 3 0 1 1 0
"4 0 1 2 0 3 1 0 4 2 0 ! I 2 0 0 0 1 2 0 3 1 0 2 0 0
Vis 0 0 0 1 0 I 0 0 I 2 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1
Пь 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 I 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
К = 5 (n эодолжение
V 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 8
Пг 6 7 S 8 9 9 9 10 10 7 8 9 9 10 10 8 9 10 10 1! 9 10 11 10 11 11 12
»і 6 4 2 3 0 1 2 0 0 5 3 ! 2 0 1 4 2 0 ! 0 3 1 0 2 0 1 0
It J 0 1 2 0 3 t 0 0 ! 0 t 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 I 0 0
'h 0 0 0 1 0 I 0 2 0 0 0 0 I 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
>h 0 0 0 o 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ! 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0
Примечания:
1. K - число взаимно независимых изменяемых замкнутых контуров; v - приведённое число многократных шарниров; n - общее число звеньев механизма (включая стойку); n2 - число двухшарнирных звеньев; n3 - число трёхшарнирных звеньев; n4 -число четырёхшарнирных звеньев; n5 - число пятишарнирных звеньев; n6 - число шестишарнирных звеньев.
2. Поступательные кинематические пары также учитываются, как одноподвижные шарниры.
3. Полная номенклатура (assortments) многократных шарниров дана в табл. 2.
4. Универсальные структурные таблицы расчётных стандартных кодов правильного строения двухподвижных механизмов W = 2 (табл. 3), трёхподвижных механизмов W = 3 (табл. 4) и статически определимых ферм W = 0 (табл. 5) даны в работе [11].
однозначно определяет (см. табл. 1) не только общее число звеньев системы согласно зависимости (7), но и число образуемых звеньями системы (после их сборки между собой) взаимно независимых изменяемых замкнутых контуров K (величина K будет равна количеству цифр в числителе дроби кода строения).
7. Общее число K замкнутых взаимно независимых контуров, в общем случае замыкаемых кинематическими парами любой подвижности (числом p), гибкими связями (числом g ) и динамическими связями (числом d ) - для n -звенных механических систем любой структуры определяется общей зависимостью [6]:
К = [(р + g + й) +1]- п = У + 1; У = ( р + g + й)- п = К -1, (14)
где расчётное число гибких и динамических связей равно числу замкнутых контуров, замыкаемых этими связями в данной механической системе.
Величина К отвечает новому понятию [6] - «уровень сложности механической системы У », равный разности суммы всех видов связей - кинематических, гибких, динамических (р + g + й) и общего числа звеньев (п ) данной системы (У = К -1 = —1; 0;1; 2;3; 4; 5;...). Уровень сложности У является первичной точной количественной характеристикой сложности строения любых многозвенных систем, как с незамкнутыми, т. е. открытыми (У = —1 ^ К = 0), так и с замкнутыми кинематическими цепями (У > 0 ^ К > 1).
Примечание. Единая теория динамической структуры механизмов с инерционными динамическими связями и основы их создания с заданными свойствами даны в научной монографии [17].
Таблица 2
Полный состав стандартных наборов многократных шарниров замкнутых многоконтурных кинематических цепей
у = у2 + 2у3 + Зу4 + 4у5 + . .. + У- уу+|<2У^пм;,= У+1=К; УК<2
У У=0, К=1 У=1,К=2(утм=2) У-2,К = 3(ут„=4;]тз1=3)
V у = 0 V ~ 0 V- 1 v = 2 у-0 у= 1 V-2 у=3 v=4
Уг 0 1 2 0 1 0 2 ! 3 0 2 4
- - 0 0 1 0 1 0 2 ! 0
У У - 3, К. - 4 (у1пах 6; 4 >
V 1 у-2 ГЛ 11 > у = 4 < II С*
VI 0 1 0 | 2 0 1 3 0 1 2 4 0 1 2 3 5 0 0 1 2 3 4 6
VI 0 0 1 !о 0 1 0 2 0 1 0 1 2 0 1 0 0 3 I 2 0 ! 0
Уа 0 0 0 1° 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0
У У = 4,К = 5(ута<=8; ^,= 5)
V у = 0 V = 1 у = 2 у=3 V ~ 4 у = 5
У2 0 1 0 2 0 1 3 0 0 1 2 4 0 I 1 2 3 5
V* 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0
V.) 0 0 0 с 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 9 0
V; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
У У = 4, К = 5 (продолжение)
V I! > У = 6
VI 0 0 0 ! 2 2 3 4 6 0 0 1. 1 1 2 3 3 4 5 7
V! 0 1 3 1 0 2 0 ! 0 0 2 0 ! 3 1 0 2 0 ! 0
V* 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 1 а 0 о 0
V) 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ] 0 0 I 0 0
У У = 4, К = 5 (продолжение)
V V = К
V; 0 0 0 0 1 1 2 2 2 3 4 4 5 6 8
V* 1 2 А 0 0 2 ] 0 3 ] 0 2 0 1 0
V* 2 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0
У? 0 1 0 2 1 а 1 0 0 0 1 0 0 о 0
Примечание. У - уровень сложности механической системы; К - число образуемых звеньями кинематической цепи взаимно независимых замкнутых контуров; V - приведённое число многократных шарниров; ] - кратность шарниров; v2, v3, V4, v5 - соответственно число двойных (двухкратных), тройных (трёхкратных), четырёхкратных и пятикратных шарниров.
8. Общий критерий строения статически определимых неоднородных (а) и однородных (б) механических систем имеет вид:
а) п-Е (И - 1)А - Ж + / = 1; б) п-(И -1) К - Ж + / = 1, (15)
И=1
где замкнутые контуры I класса, замыкаемые гибкими или динамическими связями, образуют однородные механические системы первого семейства (где И = 1), а замкнутые контуры II, III, IV,
V и VI класса, замыкаемые только геометрическими связями кинематических пар, образуют однородные механические системы соответственно второго (И = 2), третьего (И = 3), четвертого (И = 4), пятого (И = 5) и шестого (И = 6 ) семейства. Сочетание замкнутых контуров с различной величиной И образует неоднородные механические системы особого седьмого семейства (его условное обозначение И0 = 7). Согласно критерию строения (вида (15)) общее число звеньев п любой однородной статически определимой механической системы с К = Кт;п = 1 должно быть не менее птП и не более птах :
птт = Ж + И - / ; п = птах = Ж + [(И - 1) К + 1] . (16)
П о я с н е н и е. Критерии вида (15) и (16) представляют собой необходимое и достаточное условие статической определимости данной механической системы и являются показателем правильности (бездефектности) её структуры. Выполнение этих критериев достигается за счёт реализации целевой функции структурного синтеза В = 0 и означает, что данная механическая система со структурными параметрами И, К, п, Ж - в пространстве только данных значений этих параметров является статически определимой и не содержит вредных избыточных связей.
3. Теоремы о строении и общие свойства
замкнутых статически определимых механических систем (В = 0)
Доказательство теорем следует из структурных формул (1)-(16) (см. п. 2) и подтверждается всеми (без исключения) 89 цифровыми стандартными кодами правильного строения из универсальной структурной табл. 1 (для всех 89 кодов структуры выполняется целевая функция структурного синтеза оптимальных структур В = 0).
Теорема I. Замкнутая механическая система должна обязательно содержать двухвершинные (двухшарнирные) звенья, минимальное количество которых зависит от величины И = 1...6 семейства данной системы, от задаваемой её подвижности Ж и числа применяемых многократных шарниров, максимальное количество которых равно общему числу звеньев системы п :
п > п2 > И + Ж + v ; п2тш = И + Ж + V ; п2тах = п .
Теорема II. Число шарниров на одном звене /, посредством которых собирается замкнутая одноподвижная механическая система, а также общее число звеньев системы п должно быть ограничено в зависимости от числа К изменяемых замкнутых контуров механической системы в пределах, равных (К +1):
п-(Ж +1) (п - Ж) + (И -2)
7 < К +1; К =-----1; /тах = К +1 = ^--------^; п -
' = п2 + п3 + п4 +... + пК+1.
Теорема III. Число наиболее сложных многовершинных (многошарнирных) звеньев должно быть не более одного - в структуре механических систем с простыми и многократными шарнирами (V ф 0) и не более двух - в структуре механических систем только с простыми (однократными) шарнирами (V = 0): пК+1 = 0;1, (V ф 0); пК+1 = 0; 1;2, (v = 0).
Доказательство теоремы представлено в работе [11] и подтверждается всеми кодами правильного строения в сводных расчётных табл. 1-5 [11].
Теорема IV. Общее приведённое число многократных шарниров V должно быть ограничено в зависимости от числа возникающих в механической системе взаимно независимых замкнутых контуров К :
V = V2 + 2v3 + 3v4 + 4v5 +... + (у -1) Vу < 2(К -1) ,
а наибольшая кратность у шарниров равна числу К : jmax = К.
Теорема V. Общее число звеньев п замкнутой статически определимой механической системы с одноподвижными кинематическими парами должно выбираться из разных арифметических рядов чётных или нечётных чисел:
а) число звеньев статически определимых плоских ферм (Ж = 0, И = 3) должно быть нечётным - независимо от количества замкнутых контуров К ;
б) число звеньев плоских и пространственных механизмов, существующих в пространствах движений И = 1,И = 3,И = 5 - при задаваемых нечётных значениях Ж (Ж = 1,Ж = 3,Ж = 5,...) значение п должно быть чётным (п = 4, п = 6, п = 8, ...); а при задаваемых чётных значениях Ж (Ж = 2, Ж = 4,.) - значение п должно быть нечётным;
в) число звеньев плоских и пространственных механизмов, существующих в пространствах движений И = 2, И = 4, И = 6 - должно быть нечётным (при [Ж + (И -1)К] ^ чётное) или чётным (при [Ж + (И - 1)К] ^ нечётное).
Теорема VI. Во всём возможном диапазоне семейств плоских и пространственных механических систем (И = 1, И = 2, И = 3, И = 4, И = 5, И = 6) только в двух семействах (И = 2 и И = 3) возникает необычное свойство независимости подвижности системы от количества определённого вида звеньев:
а) от числа п трёхвершинных (трёхшарнирных) звеньев в составе систем третьего семейства (И = 3) - эта независимость Ж возникает только в системах с увеличенным числом взаимно независимых замкнутых контуров К > 2 ;
б) от числа И4 четырёхвершинных (четырёхшарнирных) звеньев в составе систем второго семейства (И = 2) - эта независимость Ж возникает только в системах с увеличенным числом взаимно независимых замкнутых контуров К > 3 .
Доказательство теоремы - следует из анализа общей формулы подвижности (3) во всём диапазоне возможных значений И = 1...6.
Литература
1. Крайнев, А.Ф. Механика машин: справ. / А.Ф. Крайнев. - М.: Машиностроение, 2000. -904 с.
2. Пейсах, Э.Е. Система проектирования плоских рычажных механизмов / Э.Е. Пейсах,
B. А. Нестеров. - М. : Машиностроение, 1988. - 232 с.
3. Кожевников, С.Н. Основания структурного синтеза механизмов / С.Н. Кожевников. -Киев: Наука, 1979. - 232 с.
4. Смелягин, А.И. Структура механизмов и машин / А.И. Смелягин. - Новосибирск: НГТУ, 2001. - 286 с.
5. Пожбелко, В.И. Теория структуры механических систем / В.И. Пожбелко //Методы решения задач синтеза механизмов. - Челябинск: Изд-во ЧГТУ, 1993. - С. 19-56.
6. Пожбелко, В.И. Универсальная структурная формула подвижности и классификация механических систем любой структуры / В.И. Пожбелко // Известия вузов. Машиностроение. -2000. - № 1-2. - С. 3-10.
7. Пожбелко, В. И. Структурный синтез и анализ механических систем произвольной структуры заданного уровня сложности / В.И. Пожбелко // Известия вузов. Машиностроение. -2000. - № 5-6. - С. 13-25.
8. Пожбелко, В.И. Формализация структурного анализа и синтеза механизмов с кинематическими, гибкими и динамическими связями / В.И. Пожбелко // Известия вузов. Машиностроение. - 2006. - № 11. - С. 3-15.
9. Пожбелко, В.И. Возникновение переменной (изменяемой) структуры и расчёт размеров области особых (неуправляемых) положений механизма с учётом зазоров и вырождения кинематических пар / В.И. Пожбелко // Теория механизмов и машин. - 2010. - № 2, т. 8. -
C. 71-80.
10. Пожбелко, В.И. Структурный анализ и синтез плоских механизмов заданного уровня сложности по универсальной структурной таблице стандартных кодов строения / В.И. Пожбелко // Теория механизмов и машин. - 2012. - № 1(19), т. 10. - С. 24-45.
11. Пожбелко, В.И. Направленный синтез оптимальных структур плоских механических систем с совмещёнными шарнирами (механизмы, фермы, группы А^ура, роботы). Ч. 1 / В.И. Пожбелко // Теория механизмов и машин. - 2012. - № 2 (20), т. 10. - С. 77-Я8.
12. Пожбелко, В.И. Направленный синтез оптимальных структур плоских механических систем с многократными шарнирами / В.И. Пожбелко // Теория механизмов и машин. - 2013. -№ 1 (21), т. 11. - С. 10-22.
13. Пожбелко, В.И. Алгоритм быстрого структурного анализа и направленного синтеза са-моустанавливающихся механизмов современного машиностроения на основе новой формулы подвижности /В.И. Пожбелко // Современное машиностроение. Наука и образование: материалы 3-й Междунар. науч.-практ. конф., 20-21 июня 2013 г. / под ред. М.М. Радкевича и А.Н. Евграфова. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2013. - С. 20-34.
14. Ballaney, P.L. Theory of Machines /P.L. Ballaney. - Delhi: Khanna Publishers, 1ЯЯ2. - 484 p.
15. Erdman, A.G. Mechanism Design: Analysis and Synthesis. Vol. 1 /A.G. Erdman, G.N. Sandor. -Prentice Hall (USA); Englewood Cliffs (New Jersey), 1Я84. - 530p.
16. Решетов, Л.Н. Самоустанавливающиеся механизмы / Л.Н. Решетов. - М. : Машиностроение, 1Я7Я. - 334 с.
17. Пожбелко, В.И. Инерционно-импульсные приводы машин с динамическими связями (единая теория и методы создания с заданными динамическими свойствами) / В.И. Пожбелко. - М. : Машиностроение, 1Я8Я. - 136 с.
18. Галиуллин, И. А. О применении механизма Брикарда и его модификаций / И. А. Галиуллин // Проблемы механики современных машин: материалы V междунар. конф., 25-30 июня 2012 г. -Улан-Удэ: Изд-во ВСГУТУ, 2012. - С. 11-14.
1Я. Глинка, Н.Л. Общая химия. Кристаллическое строение тела /Н.Л. Глинка. - Л.: Химия, 1Я86. - 704 с.
20. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М. : Совет. энцикл., 1Я88. - 847 с.
21. Пожбелко, В.И. Теория механизмов и машин в вопросах и ответах / В.И. Пожбелко, В.А. Лившиц. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. - 43Я с.
22. Механика машин / И.И. Вульфсон, М.З. Коловский, Ю.В. Семёнов, А.В. Слоущ. - М.:
Высш. шк., 1ЯЯ6. - 511 с.
23. Теория механизмов и механика машин /К.В. Фролов, С.А. Попов, Г.А. Тимофеев, А.К. Мусатов. - М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 664 с.
24. Теория механизмов и машин /М.З. Коловский, А.Н. Евграфов, Ю.А. Семёнов, А.В. Слоущ. -М.: Издат. центр «Академия», 2006. - 560 с.
Пожбелко Владимир Иванович. Доктор технических наук, профессор, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск), pozhbelkovi@susu.ac.ru.
Bulletin of the South Ural State University Series “Mechanical Engineering Industry” ____________2013, vol. 13, no. 2, pp. 47-57
A COMPLETE THEORY OF STRUCTURE, STRUCTURAL ANALYSIS AND SINTHESIS OF STATIC-DEFINITE (SELF-ALIGNING) MECHANICAL SYSTEMS
V.I. Pozhbelko, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, pozhbelkovi@susu.ac.ru
The paper presents offered the original structural theory defining number of degrees of freedom 1-DOF and many-DOF mechanisms and synthesis of the complicated planar and spatial multi-link mechanical systems with simple and complex frequent
pin-joints, which consist in its geometrical representation as a finite multitude various many-hinge levers (link and pin-joints assortments). Then made calculating by a new author’s mobility equation and next its combining in the close static-definite kinematic chain by simple directed design algorithm on base of all whole-numeration solutions of structural mathematical modeling various mechanical systems without redundant constrain (includes generalized kinematic chains for mechanisms and rigid chains for frameworks and clamping devices).
Keywords: structural synthesis and analysis, degrees of freedom (DOF), hinge mechanical systems, frameworks, planar and simple spatial mechanisms, structural mathematical model, universal table of standard codes.
Поступила в редакцию 21 июня 2013 г.
