Научная статья на тему 'Единая теория структуры, структурный анализ и направленный синтез статически определимых (самоустанавливающихся) механических систем'

Единая теория структуры, структурный анализ и направленный синтез статически определимых (самоустанавливающихся) механических систем Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
297
84
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ И АНАЛИЗ / ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ (DOF) / ШАРНИРНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ / ФЕРМЫ / СТРУКТУРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ / КОДЫ ПРАВИЛЬНОГО СТРОЕНИЯ / ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МЕХАНИЗМЫ / DEGREES OF FREEDOM (DOF) / STRUCTURAL SYNTHESIS AND ANALYSIS / HINGE MECHANICAL SYSTEMS / FRAMEWORKS / PLANAR AND SIMPLE SPATIAL MECHANISMS / STRUCTURAL MATHEMATICAL MODEL / UNIVERSAL TABLE OF STANDARD CODES

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Пожбелко Владимир Иванович

Статья содержит единую теорию структуры, общие закономерности строения, универсальные структурные формулы и математические модели для анализа числа степеней свободы (DOF) и направленного структурного синтеза на основе целочисленных решений разнообразных семейств плоских и пространственных, однородных и неоднородных самоустанавливающихся многозвенных механических систем оптимальной структуры для разных областей машиностроения (однои многоподвижные механизмы, фермы, незамкнутые кинематические цепи), содержащих заданное число независимых замкнутых контуров, заданный набор многократных шарниров, а также заданное наиболее сложное звено, общее число и требуемую номенклатуру (assortments) звеньев в проектируемой механической системе. Структурный синтез и анализ статически определимых механических систем выполняется без применения групп Ассура и не требует традиционного подсчёта всего множества кинематических пар.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Пожбелко Владимир Иванович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

A complete theory of structure, structural analysis and sinthesis of static-definite (self-aligning) mechanical systems

The paper presents offered the original structural theory defining number of degrees of freedom 1-DOF and many-DOF mechanisms and synthesis of the complicated planar and spatial multi-link mechanical systems with simple and complex frequent pin-joints, which consist in its geometrical representation as a finite multitude various many-hinge levers (link and pin-joints assortments). Then made calculating by a new author’s mobility equation and next its combining in the close static-definite kinematic chain by simple directed design algorithm on base of all whole-numeration solutions of structural mathematical modeling various mechanical systems without redundant constrain (includes generalized kinematic chains for mechanisms and rigid chains for frameworks and clamping devices).

Текст научной работы на тему «Единая теория структуры, структурный анализ и направленный синтез статически определимых (самоустанавливающихся) механических систем»

УДК 621.01

ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ СТРУКТУРЫ, СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И НАПРАВЛЕННЫЙ СИНТЕЗ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ (САМОУСТАНАВЛИВАЮЩИХСЯ) МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В.И. Пожбелко

Статья содержит единую теорию структуры, общие закономерности строения, универсальные структурные формулы и математические модели для анализа числа степеней свободы (DOF) и направленного структурного синтеза на основе целочисленных решений разнообразных семейств плоских и пространственных, однородных и неоднородных самоустанавливающихся многозвенных механических систем оптимальной структуры для разных областей машиностроения (одно- и многоподвижные механизмы, фермы, незамкнутые кинематические цепи), содержащих заданное число независимых замкнутых контуров, заданный набор многократных шарниров, а также заданное наиболее сложное звено, общее число и требуемую номенклатуру (assortments) звеньев в проектируемой механической системе. Структурный синтез и анализ статически определимых механических систем выполняется без применения групп Ассура и не требует традиционного подсчёта всего множества кинематических пар.

Ключевые слова: структурный синтез и анализ, число степеней свободы (DOF), шарнирные механические системы, фермы, структурная математическая модель, коды правильного строения, плоские и пространственные механизмы.

1. Постановка задачи и предлагаемый путь её решения

Из многолетней практики конструирования [1] установлено, что наиболее перспективными в современном машиностроении и различных областях техники являются статически определимые механические системы, которые обладают свойством самоустанавливаемости звеньев (что снижает их нагруженность при температурных и силовых деформациях, а также при погрешностях изготовления и сборки), отличаются уменьшенным трением и износом, более равномерным распределением нагрузок и увеличенным в несколько раз сроком службы. Именно статически определимые механизмы и фермы являются оптимальными структурами [11, 12], так как имеют правильное строение [3, 21-23] с «нормальным» [24] соотношением между числом звеньев, числом связей и числом степеней подвижности, а их создание и представляет (согласно [3]) оптимальный структурный синтез.

Структурный синтез и анализ являются [1-24] первичными и наиболее ответственными этапами создания надёжно работающих механических систем различного назначения (приводы машин, фермы, роботы, манипуляторы) для разных областей техники - по критерию отсутствия в них избыточных связей (получаются статически определимые системы). Основной исходной отличительной характеристикой различных механических систем является число их степеней свободы W (DOF [15]) после сборки, которое равно: W = 0 - фермы; W = 1, W = 2,W = 3 - соответственно одно- , двух- и трёхподвижные механизмы. Аналитическая зависимость между W и структурными параметрами проектируемой системы - в виде «структурной формулы подвижности» является обязательным компонентом любого структурного анализа и синтеза [1-24], а степень охвата ею всего возможного многообразия строения многозвенных систем с заданным W и определяет результативность данной процедуры.

В теории механизмов и механике машин при структурном анализе и синтезе многозвенных механизмов для определения числа их степеней свободы (DOF [15]) с 1869 года применяются структурная формула одноподвижных механизмов П.Л. Чебышева [3, 22-24] и тождественные ей критерии А. Клейна [14] и М. Грюблера [15], которые имеют следующие органические недостатки:

а) не отражают всех структурных особенностей плоских и пространственных многозвенных статически определимых кинематических цепей;

б) требуют трудоёмкого подсчёта всего множества кинематических пар и звеньев и дают ошибочный результат при анализе не только сложных неоднородных механизмов, но и при исследовании конструктивно более простых четырёхзвенных шарнирных пространственных механизмов Беннета и Брикарда [1];

в) являются неинформативными о требуемом выполнении отдельных звеньев статически определимых систем, из-за чего структурный синтез перспективных самоустанавливающихся механизмов становится вообще неопределённым и кажется бесконечным (непредсказуемым).

Рассмотрим возможности устранения указанных недостатков (препятствующих разработке рациональных алгоритмов структурного анализа и структурного синтеза различных механических систем) - за счёт применения в современной теории механизмов и машин предложенной автором в разных равнозначных вариантах [5, 6, 10] новой структурной формулы подвижности, применяемой ниже для решения различных прикладных задач механики.

В связи с этим на основе структурных математических моделей [5, 10-12] предлагается перейти к более наглядному геометрическому представлению механической системы в виде расчётного требуемого конечного набора (assortments) одно- и многовершинных (многошарнирных) звеньев и многократных шарниров, гарантированно образующих (после их сборки между собой) статически определимую многозвенную систему заданной подвижности (DOF), содержащую: заданное число независимых замкнутых контуров K и требуемый набор многократных шарниров с заданным ограничением наибольшей сложности используемых звеньев (например, в пределах числа (K +1) осей шарниров на каждом из них) [11].

2. Общие структурные формулы и математические модели строения

статически определимых механических систем

Представленные на основе общей структурной теории [6-12] универсальные аналитические зависимости отражают особенности возможного строения открытых (K = 0) и замкнутых (K > 1) статически определимых механических систем разного уровня сложности (Y = K -1 > -1) - неоднородных (h = var ) и однородных (h = 1...6 = const); одно- и многоподвижных, плоских и пространственных механизмов и ферм. Выполненная формализация структуры и методика направленного структурного синтеза и анализа строения многозвенных механических систем заключается в их топологическом представлении - в виде заданной совокупности K замкнутых контуров, составленных из строго определённых расчётных наборов взаимосвязанных одно- и многошарнирных звеньев (п_,щ,Щ,п^,...,Пк+1), замыкаемых между собой посредством однократных и многократных шарниров и различных геометрических, гибких и динамических связей.

1. Классификация замкнутых контуров и семейств механических систем. В качестве первоочередной оценочной количественной характеристики строения замкнутых контуров многозвенных механических систем примем безразмерное целое число h , изменяющееся в интервале значений:

h >(H + 1)-(g + d ) = 1...6,

и равное количеству элементарных (вращательных, поступательных) перемещений звеньев, требуемых для полного замыкания в процессе сборки данного открытого контура в его последней кинематической паре. Слагаемые в зависимости учитывают: H = 1...5 - возможную подвижность кинематических пар (геометрических связей); (g + d) = 1 - возможное замыкание данного контура гибкими (g Ф 0) или динамическими связями( d ф 0) [6, 17].

С физической точки зрения величина 1 < h < 6 - это число степеней свободы того пространства, в пределах которого могут происходить перемещения звеньев данной механической системы (т. е. пространства движений, в котором существует и работает данный механизм, или пространства, в котором происходят деформации звеньев данной фермы).

По величине безразмерного целого числа h = 1...6 разные замкнутые контуры разделим на шесть классов: I (h = 1), II (h = 2), III (h = 3), IV (h = 4), V (h = 5) и VI (h = 6), а однородные механические системы I типа (содержащие замкнутые контуры одного класса) - разделим соответственно на шесть семейств (номер семейства равен величине h ). Неоднородные механические системы II типа (содержащие замкнутые контуры разных классов - объединим в особое седьмое семейство (и условно его обозначим ho = 7).

В данной работе в диапазоне 2 < к < 6 существование различных механических систем рассматривается (см. пп. 4-6) в предлагаемой новой области - многократном подвижном пространстве, где вдоль хотя бы одной из осей координат х, у, 7 в процессе сборки и работы происходит два и более повторяющихся элементарных перемещений звеньев, реализующих заданное безразмерное число к = 2...6 (в отличие от традиционно рассматриваемого пространства неповторяющихся движений [3, 15, 20].

2. Универсальная структурная формула (уравнение подвижности БОЕ) статически определимых неоднородных (случай «а») и однородных (случай «б») механических систем с любыми видами связей [6] примет вид:

к=6

а) ж = (п _ 1)-£(й - 1)К + / ;

(1)

к=1

б) Ж = (п- 1)-(к -1)* + /, (2)

и устанавливает следующую общую зависимость подвижности Ж от величины к (пространства, в котором существует данная механическая система) и применяемых в структуре наборов многошарнирных звеньев и многократных шарниров:

Ж =

к +1

п1 + п2 - <

Ґ к - 3

пз +(к _ 2)

к - 1

(К +1)_ к

К+1

- + (/-V-к).

Зависимость (А ) в виде суммы имеет более краткую форму записи:

К

Ж НЕ

К =0

к-| — |(К +1)

ч+1 !•+(/_у_к).

(3)

(4)

Универсальная структурная формула подвижности (3) для отдельных семейств статически определимых механических систем после подстановки в зависимость (3) целых значений к во всём диапазоне 1 < к < 6 примет следующий вид:

( к+1 Л

1) к = 1: Ж =

2) к = 2 : Ж = -2

Е п +/1);

V /=1 1 К

К+1

К=0

3) к = 3: Ж =

К

К+1

К=0

К

4) к = 4: Ж = -2

К+1

+ (/-V-2); + ((-V-3);

+ (/ -V- 4);

к=0

5) к = 5: Ж =Е (3 - 2К)пк+1 + (/-V-5);

К=0

6) к = 6: Ж = -2

К

К+1

К=0

+ (/ _V_ 6).

В структурных формулах (1)-(3) величина / - это число дополнительных степеней свободы механической системы от применения в ней вместо низших пар высших - двухподвижных (числом Р2 ), трёхподвижных (числом Рз), четырёхподвижных (числом Р4) и пятиподвижных (числом Р5) кинематических пар (при расчёте величины / учитываются только независимые относительные движения контактирующих звеньев, возможные в данном подвижном соединении после сборки замкнутых контуров данной механической системы):

Н=5

/ < Р2 + 2Рз + 3Р4 + 4Р5 = Е(Н - 1)РН .

Н=2

Применительно к наиболее распространенным плоским и пространственным механическим системам третьего семейства (к = 3) из универсальной формулы Ж (3) получаем следующую новую структурную формулу подвижности (в расширенной форме записи):

Ж = [2я1 + (п2 - 3)) - [п4 + 2п5 + 3п6 +... + (К - 2)пК+1 ] - V + /, (5)

более информативную для направленного синтеза и анализа на основе структурных математических моделей (примеры синтеза и анализа оптимальных структур представлены ниже).

Принятые обозначения: п - число одновершинных (одношарнирных) звеньев; п2- число двухвершинных (двухшарнирных) звеньев; «3 - число трёхвершинных (трехшарнирных) звеньев (в формулу (5) не входит); п4 - число четырёхвершинных (четырехшарнирных) звеньев; п5 -число пятишарнирных звеньев; п - число шестишарнирных звеньев; п*+1 - число наиболее сложных (К +1 )-вершинных (многошарнирных) звеньев (поступательные кинематические пары также учитываются, как одноподвижные шарниры - с бесконечным радиусом); К - число образуемых звеньями данной системы взаимно независимых замкнутых контуров; V - приведенное число многократных шарниров, учитывающее число всех двойных шарниров (V 2 ), тройных (Vз) и т. д. ] - кратных шарниров [8]:

v = v2 + 2v3 +3v4 + 4v5 +... + (К-1^К <2(К-1), (6)

В ы в о д ы. Из анализа слагаемых структурной формулы подвижности (5) следует, что в наиболее распространённых на практике плоских и пространственных механических системах третьего семейства (к = 3) влияние на величину Ж применяемых различных многовершинных (многошарнирных) звеньев существенно зависит от их строения следующим образом:

а) число применяемых в системе трехшарнирных звеньев ( п3 ) вообще не влияет на величину её подвижности Ж ;

б) добавление одно- и двухшарнирных звеньев приводит к увеличению Ж ;

в) добавление более сложных звеньев (четырехшарнирных, пятишарнирных и т. д.) и многократных шарниров (v = 1, v = 2, ... и т. д.), наоборот, приводит к снижению Ж .

3. Общее число звеньев любой механической системы (п ) и общее число соединяющих их кинематических пар ( Р ) (геометрических связей с любым числом накладываемых ими ограничений) можно представить [10] в виде следующих универсальных зависимостей взаимосвязанных между собой одношарнирных и многошарнирных звеньев, образующих с учётом многократных шарниров (6) следующие конечные арифметические ряды:

п = п1 + п2 + п3 + п4 + п5 + п6 +... + пК+1;

Р = 0,5 [ п1 + 2п2 + 3п3 + 4п4 + 5п5 + 6п6 +... + (К + 1)пК+х + v]

однозначно ограниченные заданным числом замкнутых контуров К (т. е. задаваемым уровнем сложности У = К -1 синтезируемой механической системы).

4. Определитель Б целевой функции структурного синтеза статически определимых механических систем получается преобразованием новой универсальной структурной формулы подвижности (1) к общему виду (8) - для синтеза неоднородных систем, или аналогичной формулы (2) к общему виду (9) - для синтеза однородных систем:

а) Б = (п -1)-§ (к - 1)Кк - Ж + / = 0; (8)

к=1

б) Б = (п -1)-( к -1) К - Ж + / = 0, (9)

где / < Р2 + 2Р3 + 3Р4 + 4Р5 - учитывает дополнительное число степеней свободы механической системы от применения в ней многоподвижных кинематических пар (Н > 1).

Аналогичным преобразованием (переносом всех слагаемых в левую часть уравнения новой структурной формулы подвижности (3) - получаем аналитическую зависимость определителя целевой функции структурного синтеза оптимальных структур Б = 0:

а) в общем виде для любого из семейств однородных статически определимых механических систем (к = 1...6):

Б =

к +1

п1 + п2

к - 3

к -1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(К +1)-к

К+1

• - (Ж + V + к) + / = 0;

(10)

б) для плоских и пространственных механизмов и ферм третьего семейства (к = 3):

Б = (2п1 + п2 )-[ п4 + 2п5 + 3п6 +... + (К - 2) пК+1 ]-(Ж + у + 3) + / = 0.

П о я с н е н и е. При анализе правильности строения данной механической системы целевая функция Б = 0 указывает на отсутствие дефектов структуры исследуемого механизма (Ж > 1) или фермы (Ж = 0), а величина Б ф 0 указывает на наличие и точно определяет число избыточных связей (случай Б < 0) или лишних неуправляемых подвижностей (случай Б > 0).

5. Структурная математическая «УІР-модель» в общем виде для любого из семейств статически определимых механических систем представляет совместную систему линейных алгебраических уравнений (3), (6), (7), (10) вида:

Б =

V = V

!- 1

(К +1)-/

К+1

■-(Ж + V + к) + f = 0;

'г -’чт1^т-"б ^••

к = п1 + п2 + п3 + п4 + п5 + п6 +... -

(К-1)к <п + 2(К-1);

= (Ж +1) + (к - 1)К - f

К+1

(11)

В частном случае - для механических систем третьего семейства (к = 3) совместная система уравнений (11) примет (более простой и удобный для нахождения всех целочисленных решений направленного синтеза) вид:

Б — (2пх +1 «2 ■ 2v

V = v^

3v

+ 2п5 + 3п6 +... + (К -2)пК+1 ]-(Ж + V + 3) + f = 0;

4^ А.И5Т ЛІ6

4v5 + 5v1

п = п1 + п2 + п3 + п4 + п5 + п6 +..

(12)

-(К-1)к <п + 2(К-1);

пК+1 =(Ж +1) + 2К - /

всё конечное множество целочисленных решений которых при заданных значениях Ж = 1, к = 3, Н = 1, / = 0 (К = 1, К = 2, К = 3, К = 4, К = 5) представляет все различные возможные типы строения в виде наборов конкретных значений v , п2, щ , п^, щ, ^ . Данные наборы систематизированы в виде сводной табл. 1.

Представленные в табл. 1 целочисленные структурные решения охватывают как механические системы, не имеющие многократных шарниров (v = 0 ), так и механические системы с многократными шарнирами (v ф 0) - это позволяет утверждать, что в области решений Б = 0 (и независимо от величины Ж - согласно представленным в работе [11] аналогичным универсальным структурным табл. 3-5 для статически определимых многоподвижных механизмов с Ж = 2, Ж = 3 и ферм с Ж = 0) существует только:

а) 1 вариант кода строения (один тип структуры) одноконтурных 4-звенных механизмов;

б) 3 варианта кодов строения (типов структуры) двухконтурных 6-звенных механизмов;

в) 9 вариантов кодов строения трехконтурных 8-звенных механизмов;

г) 23 варианта кодов строения четырехконтурных 10-звенных механизмов;

д) 53 варианта кодов строения пятиконтурных 12-звенных механизмов. Все плоские и пространственные структуры в табл. 1 содержат только одноподвижные соединения звеньев Н = 1.

У т в е р ж д е н и е. Из анализа третьего уравнения структурной математической «У1Р-модели» (12) следует необходимое условие синтеза плоских и пространственных (к = 3) статически определимых (самоустанавливающихся) механических систем с одноподвижными кинематическими парами (шарнирно-рычажных и клиновых): при заданном нечётном значении Ж - общее число звеньев системы должно быть чётным, а при заданном нулевом или чётном значении Ж - общее число звеньев системы должно быть нечётным.

6. Предлагаемый цифровой код строения механической системы в виде конкретного набора структурных параметров:

п2п3п4 п5п6 ...пК+1 п2 щп4п5п6 ...пК+1

(13)

V

Таблица 1

Универсальная структурная таблица расчётных стандартных кодов правильного строения одноподвижных механизмов

w— 1, fi - 3, H'- ■!

К *= 1 к 2 K 3

(« = 4) 0 t=6) (9 кодов строени я н=8)

V 0 0 1 2 0 0 0 \ І 2 2 3 4

Hi 4 4 5 6 4 5 6 5 6 6 1 7 8

- 2 I 0 4 2 0 3 1 2 0 ! 0

*4 - - - - 0 1 2 0 1 0 \ 0 0

К = 4 (23 кодов строения n - to)

V 0 0 0 0 0 0 0 1 ! і 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6

Иї 4 5 6 6 7 7 8 5 6 7 7 S 6 7 S Я 7 8 9 8 9 9 10

6 4 2 3 0 1 0 5 3 1 2 0 4 2 0 1 3 I 0 2 0 1 0

ttx 0 ! 2 0 3 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 ! 0 0 1 0 0

>н 0 0 0 1 с 1 2 0 0 0 1 \ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

w -1 = ,tf = ]

К- 5(53 кодов строения її = 12)

V 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 і 1 і 1 1 1 t ! : I 1

>h 4 5 6 6 7 7 7 3 z S S 9 9 9 10 s 6 7 7 8 к s 9 9 9 10

Яз 8 6 4 5 2 3 4 0 1 2 2 0 0 1 0 7 5 3 4 ! 2 3 0 1 1 0

"4 0 1 2 0 3 1 0 4 2 0 ! I 2 0 0 0 1 2 0 3 1 0 2 0 0

Vis 0 0 0 1 0 I 0 0 I 2 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1

Пь 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 I 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1

К = 5 (n эодолжение

V 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 8

Пг 6 7 S 8 9 9 9 10 10 7 8 9 9 10 10 8 9 10 10 1! 9 10 11 10 11 11 12

»і 6 4 2 3 0 1 2 0 0 5 3 ! 2 0 1 4 2 0 ! 0 3 1 0 2 0 1 0

It J 0 1 2 0 3 t 0 0 ! 0 t 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 I 0 0

'h 0 0 0 1 0 I 0 2 0 0 0 0 I 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

>h 0 0 0 o 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ! 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0

Примечания:

1. K - число взаимно независимых изменяемых замкнутых контуров; v - приведённое число многократных шарниров; n - общее число звеньев механизма (включая стойку); n2 - число двухшарнирных звеньев; n3 - число трёхшарнирных звеньев; n4 -число четырёхшарнирных звеньев; n5 - число пятишарнирных звеньев; n6 - число шестишарнирных звеньев.

2. Поступательные кинематические пары также учитываются, как одноподвижные шарниры.

3. Полная номенклатура (assortments) многократных шарниров дана в табл. 2.

4. Универсальные структурные таблицы расчётных стандартных кодов правильного строения двухподвижных механизмов W = 2 (табл. 3), трёхподвижных механизмов W = 3 (табл. 4) и статически определимых ферм W = 0 (табл. 5) даны в работе [11].

однозначно определяет (см. табл. 1) не только общее число звеньев системы согласно зависимости (7), но и число образуемых звеньями системы (после их сборки между собой) взаимно независимых изменяемых замкнутых контуров K (величина K будет равна количеству цифр в числителе дроби кода строения).

7. Общее число K замкнутых взаимно независимых контуров, в общем случае замыкаемых кинематическими парами любой подвижности (числом p), гибкими связями (числом g ) и динамическими связями (числом d ) - для n -звенных механических систем любой структуры определяется общей зависимостью [6]:

К = [(р + g + й) +1]- п = У + 1; У = ( р + g + й)- п = К -1, (14)

где расчётное число гибких и динамических связей равно числу замкнутых контуров, замыкаемых этими связями в данной механической системе.

Величина К отвечает новому понятию [6] - «уровень сложности механической системы У », равный разности суммы всех видов связей - кинематических, гибких, динамических (р + g + й) и общего числа звеньев (п ) данной системы (У = К -1 = —1; 0;1; 2;3; 4; 5;...). Уровень сложности У является первичной точной количественной характеристикой сложности строения любых многозвенных систем, как с незамкнутыми, т. е. открытыми (У = —1 ^ К = 0), так и с замкнутыми кинематическими цепями (У > 0 ^ К > 1).

Примечание. Единая теория динамической структуры механизмов с инерционными динамическими связями и основы их создания с заданными свойствами даны в научной монографии [17].

Таблица 2

Полный состав стандартных наборов многократных шарниров замкнутых многоконтурных кинематических цепей

у = у2 + 2у3 + Зу4 + 4у5 + . .. + У- уу+|<2У^пм;,= У+1=К; УК<2

У У=0, К=1 У=1,К=2(утм=2) У-2,К = 3(ут„=4;]тз1=3)

V у = 0 V ~ 0 V- 1 v = 2 у-0 у= 1 V-2 у=3 v=4

Уг 0 1 2 0 1 0 2 ! 3 0 2 4

- - 0 0 1 0 1 0 2 ! 0

У У - 3, К. - 4 (у1пах 6; 4 >

V 1 у-2 ГЛ 11 > у = 4 < II С*

VI 0 1 0 | 2 0 1 3 0 1 2 4 0 1 2 3 5 0 0 1 2 3 4 6

VI 0 0 1 !о 0 1 0 2 0 1 0 1 2 0 1 0 0 3 I 2 0 ! 0

Уа 0 0 0 1° 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0

У У = 4,К = 5(ута<=8; ^,= 5)

V у = 0 V = 1 у = 2 у=3 V ~ 4 у = 5

У2 0 1 0 2 0 1 3 0 0 1 2 4 0 I 1 2 3 5

V* 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V.) 0 0 0 с 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 9 0

V; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

У У = 4, К = 5 (продолжение)

V I! > У = 6

VI 0 0 0 ! 2 2 3 4 6 0 0 1. 1 1 2 3 3 4 5 7

V! 0 1 3 1 0 2 0 ! 0 0 2 0 ! 3 1 0 2 0 ! 0

V* 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 1 а 0 о 0

V) 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ] 0 0 I 0 0

У У = 4, К = 5 (продолжение)

V V = К

V; 0 0 0 0 1 1 2 2 2 3 4 4 5 6 8

V* 1 2 А 0 0 2 ] 0 3 ] 0 2 0 1 0

V* 2 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0

У? 0 1 0 2 1 а 1 0 0 0 1 0 0 о 0

Примечание. У - уровень сложности механической системы; К - число образуемых звеньями кинематической цепи взаимно независимых замкнутых контуров; V - приведённое число многократных шарниров; ] - кратность шарниров; v2, v3, V4, v5 - соответственно число двойных (двухкратных), тройных (трёхкратных), четырёхкратных и пятикратных шарниров.

8. Общий критерий строения статически определимых неоднородных (а) и однородных (б) механических систем имеет вид:

а) п-Е (И - 1)А - Ж + / = 1; б) п-(И -1) К - Ж + / = 1, (15)

И=1

где замкнутые контуры I класса, замыкаемые гибкими или динамическими связями, образуют однородные механические системы первого семейства (где И = 1), а замкнутые контуры II, III, IV,

V и VI класса, замыкаемые только геометрическими связями кинематических пар, образуют однородные механические системы соответственно второго (И = 2), третьего (И = 3), четвертого (И = 4), пятого (И = 5) и шестого (И = 6 ) семейства. Сочетание замкнутых контуров с различной величиной И образует неоднородные механические системы особого седьмого семейства (его условное обозначение И0 = 7). Согласно критерию строения (вида (15)) общее число звеньев п любой однородной статически определимой механической системы с К = Кт;п = 1 должно быть не менее птП и не более птах :

птт = Ж + И - / ; п = птах = Ж + [(И - 1) К + 1] . (16)

П о я с н е н и е. Критерии вида (15) и (16) представляют собой необходимое и достаточное условие статической определимости данной механической системы и являются показателем правильности (бездефектности) её структуры. Выполнение этих критериев достигается за счёт реализации целевой функции структурного синтеза В = 0 и означает, что данная механическая система со структурными параметрами И, К, п, Ж - в пространстве только данных значений этих параметров является статически определимой и не содержит вредных избыточных связей.

3. Теоремы о строении и общие свойства

замкнутых статически определимых механических систем (В = 0)

Доказательство теорем следует из структурных формул (1)-(16) (см. п. 2) и подтверждается всеми (без исключения) 89 цифровыми стандартными кодами правильного строения из универсальной структурной табл. 1 (для всех 89 кодов структуры выполняется целевая функция структурного синтеза оптимальных структур В = 0).

Теорема I. Замкнутая механическая система должна обязательно содержать двухвершинные (двухшарнирные) звенья, минимальное количество которых зависит от величины И = 1...6 семейства данной системы, от задаваемой её подвижности Ж и числа применяемых многократных шарниров, максимальное количество которых равно общему числу звеньев системы п :

п > п2 > И + Ж + v ; п2тш = И + Ж + V ; п2тах = п .

Теорема II. Число шарниров на одном звене /, посредством которых собирается замкнутая одноподвижная механическая система, а также общее число звеньев системы п должно быть ограничено в зависимости от числа К изменяемых замкнутых контуров механической системы в пределах, равных (К +1):

п-(Ж +1) (п - Ж) + (И -2)

7 < К +1; К =-----1; /тах = К +1 = ^--------^; п -

' = п2 + п3 + п4 +... + пК+1.

Теорема III. Число наиболее сложных многовершинных (многошарнирных) звеньев должно быть не более одного - в структуре механических систем с простыми и многократными шарнирами (V ф 0) и не более двух - в структуре механических систем только с простыми (однократными) шарнирами (V = 0): пК+1 = 0;1, (V ф 0); пК+1 = 0; 1;2, (v = 0).

Доказательство теоремы представлено в работе [11] и подтверждается всеми кодами правильного строения в сводных расчётных табл. 1-5 [11].

Теорема IV. Общее приведённое число многократных шарниров V должно быть ограничено в зависимости от числа возникающих в механической системе взаимно независимых замкнутых контуров К :

V = V2 + 2v3 + 3v4 + 4v5 +... + (у -1) Vу < 2(К -1) ,

а наибольшая кратность у шарниров равна числу К : jmax = К.

Теорема V. Общее число звеньев п замкнутой статически определимой механической системы с одноподвижными кинематическими парами должно выбираться из разных арифметических рядов чётных или нечётных чисел:

а) число звеньев статически определимых плоских ферм (Ж = 0, И = 3) должно быть нечётным - независимо от количества замкнутых контуров К ;

б) число звеньев плоских и пространственных механизмов, существующих в пространствах движений И = 1,И = 3,И = 5 - при задаваемых нечётных значениях Ж (Ж = 1,Ж = 3,Ж = 5,...) значение п должно быть чётным (п = 4, п = 6, п = 8, ...); а при задаваемых чётных значениях Ж (Ж = 2, Ж = 4,.) - значение п должно быть нечётным;

в) число звеньев плоских и пространственных механизмов, существующих в пространствах движений И = 2, И = 4, И = 6 - должно быть нечётным (при [Ж + (И -1)К] ^ чётное) или чётным (при [Ж + (И - 1)К] ^ нечётное).

Теорема VI. Во всём возможном диапазоне семейств плоских и пространственных механических систем (И = 1, И = 2, И = 3, И = 4, И = 5, И = 6) только в двух семействах (И = 2 и И = 3) возникает необычное свойство независимости подвижности системы от количества определённого вида звеньев:

а) от числа п трёхвершинных (трёхшарнирных) звеньев в составе систем третьего семейства (И = 3) - эта независимость Ж возникает только в системах с увеличенным числом взаимно независимых замкнутых контуров К > 2 ;

б) от числа И4 четырёхвершинных (четырёхшарнирных) звеньев в составе систем второго семейства (И = 2) - эта независимость Ж возникает только в системах с увеличенным числом взаимно независимых замкнутых контуров К > 3 .

Доказательство теоремы - следует из анализа общей формулы подвижности (3) во всём диапазоне возможных значений И = 1...6.

Литература

1. Крайнев, А.Ф. Механика машин: справ. / А.Ф. Крайнев. - М.: Машиностроение, 2000. -904 с.

2. Пейсах, Э.Е. Система проектирования плоских рычажных механизмов / Э.Е. Пейсах,

B. А. Нестеров. - М. : Машиностроение, 1988. - 232 с.

3. Кожевников, С.Н. Основания структурного синтеза механизмов / С.Н. Кожевников. -Киев: Наука, 1979. - 232 с.

4. Смелягин, А.И. Структура механизмов и машин / А.И. Смелягин. - Новосибирск: НГТУ, 2001. - 286 с.

5. Пожбелко, В.И. Теория структуры механических систем / В.И. Пожбелко //Методы решения задач синтеза механизмов. - Челябинск: Изд-во ЧГТУ, 1993. - С. 19-56.

6. Пожбелко, В.И. Универсальная структурная формула подвижности и классификация механических систем любой структуры / В.И. Пожбелко // Известия вузов. Машиностроение. -2000. - № 1-2. - С. 3-10.

7. Пожбелко, В. И. Структурный синтез и анализ механических систем произвольной структуры заданного уровня сложности / В.И. Пожбелко // Известия вузов. Машиностроение. -2000. - № 5-6. - С. 13-25.

8. Пожбелко, В.И. Формализация структурного анализа и синтеза механизмов с кинематическими, гибкими и динамическими связями / В.И. Пожбелко // Известия вузов. Машиностроение. - 2006. - № 11. - С. 3-15.

9. Пожбелко, В.И. Возникновение переменной (изменяемой) структуры и расчёт размеров области особых (неуправляемых) положений механизма с учётом зазоров и вырождения кинематических пар / В.И. Пожбелко // Теория механизмов и машин. - 2010. - № 2, т. 8. -

C. 71-80.

10. Пожбелко, В.И. Структурный анализ и синтез плоских механизмов заданного уровня сложности по универсальной структурной таблице стандартных кодов строения / В.И. Пожбелко // Теория механизмов и машин. - 2012. - № 1(19), т. 10. - С. 24-45.

11. Пожбелко, В.И. Направленный синтез оптимальных структур плоских механических систем с совмещёнными шарнирами (механизмы, фермы, группы А^ура, роботы). Ч. 1 / В.И. Пожбелко // Теория механизмов и машин. - 2012. - № 2 (20), т. 10. - С. 77-Я8.

12. Пожбелко, В.И. Направленный синтез оптимальных структур плоских механических систем с многократными шарнирами / В.И. Пожбелко // Теория механизмов и машин. - 2013. -№ 1 (21), т. 11. - С. 10-22.

13. Пожбелко, В.И. Алгоритм быстрого структурного анализа и направленного синтеза са-моустанавливающихся механизмов современного машиностроения на основе новой формулы подвижности /В.И. Пожбелко // Современное машиностроение. Наука и образование: материалы 3-й Междунар. науч.-практ. конф., 20-21 июня 2013 г. / под ред. М.М. Радкевича и А.Н. Евграфова. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2013. - С. 20-34.

14. Ballaney, P.L. Theory of Machines /P.L. Ballaney. - Delhi: Khanna Publishers, 1ЯЯ2. - 484 p.

15. Erdman, A.G. Mechanism Design: Analysis and Synthesis. Vol. 1 /A.G. Erdman, G.N. Sandor. -Prentice Hall (USA); Englewood Cliffs (New Jersey), 1Я84. - 530p.

16. Решетов, Л.Н. Самоустанавливающиеся механизмы / Л.Н. Решетов. - М. : Машиностроение, 1Я7Я. - 334 с.

17. Пожбелко, В.И. Инерционно-импульсные приводы машин с динамическими связями (единая теория и методы создания с заданными динамическими свойствами) / В.И. Пожбелко. - М. : Машиностроение, 1Я8Я. - 136 с.

18. Галиуллин, И. А. О применении механизма Брикарда и его модификаций / И. А. Галиуллин // Проблемы механики современных машин: материалы V междунар. конф., 25-30 июня 2012 г. -Улан-Удэ: Изд-во ВСГУТУ, 2012. - С. 11-14.

1Я. Глинка, Н.Л. Общая химия. Кристаллическое строение тела /Н.Л. Глинка. - Л.: Химия, 1Я86. - 704 с.

20. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М. : Совет. энцикл., 1Я88. - 847 с.

21. Пожбелко, В.И. Теория механизмов и машин в вопросах и ответах / В.И. Пожбелко, В.А. Лившиц. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. - 43Я с.

22. Механика машин / И.И. Вульфсон, М.З. Коловский, Ю.В. Семёнов, А.В. Слоущ. - М.:

Высш. шк., 1ЯЯ6. - 511 с.

23. Теория механизмов и механика машин /К.В. Фролов, С.А. Попов, Г.А. Тимофеев, А.К. Мусатов. - М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 664 с.

24. Теория механизмов и машин /М.З. Коловский, А.Н. Евграфов, Ю.А. Семёнов, А.В. Слоущ. -М.: Издат. центр «Академия», 2006. - 560 с.

Пожбелко Владимир Иванович. Доктор технических наук, профессор, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск), [email protected].

Bulletin of the South Ural State University Series “Mechanical Engineering Industry” ____________2013, vol. 13, no. 2, pp. 47-57

A COMPLETE THEORY OF STRUCTURE, STRUCTURAL ANALYSIS AND SINTHESIS OF STATIC-DEFINITE (SELF-ALIGNING) MECHANICAL SYSTEMS

V.I. Pozhbelko, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]

The paper presents offered the original structural theory defining number of degrees of freedom 1-DOF and many-DOF mechanisms and synthesis of the complicated planar and spatial multi-link mechanical systems with simple and complex frequent

pin-joints, which consist in its geometrical representation as a finite multitude various many-hinge levers (link and pin-joints assortments). Then made calculating by a new author’s mobility equation and next its combining in the close static-definite kinematic chain by simple directed design algorithm on base of all whole-numeration solutions of structural mathematical modeling various mechanical systems without redundant constrain (includes generalized kinematic chains for mechanisms and rigid chains for frameworks and clamping devices).

Keywords: structural synthesis and analysis, degrees of freedom (DOF), hinge mechanical systems, frameworks, planar and simple spatial mechanisms, structural mathematical model, universal table of standard codes.

Поступила в редакцию 21 июня 2013 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.