CC BY
71
-\ КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 519.61:511-33
ДВУЦИКЛИЧЕСКАЯ М-МАТРИЦА 22-го ПОРЯДКА
Н. А. Балонина, доктор техн. наук, профессор М. Б. Сергеева,б, доктор техн. наук, профессор
аСанкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Санкт-Петербург, РФ
бСанкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, РФ
Постановка проблемы: на классе квазиортогональных матриц четных порядков, отличных от порядков матриц Ада-мара, характер оптимального по детерминанту решения зависит от количества нулей в столбцах взвешенной матрицы. Двуциклические формы оптимальных или субоптимальных матриц служат источниками парных комплементарных последовательностей, обобщающих коды Голея и Баркера. Целью работы является пример построения субоптимальной двуциклической матрицы на критическом для конференц-матриц 22-м порядке. Методы: экстремальные решения ищутся минимизацией максимума абсолютных значений элементов исследуемых матриц с последующей классификацией их по количеству и значениям уровней, зависящих от порядков. Результаты: выделена и описана матричным портретом и значениями уровней модульно шестиуровневая двуциклическая квазиортогональная матрица локального максимума детерминанта (М-матрица) 22-го порядка. Сформулировано предположение о замещении не существующих (по известным критериям) матриц Белевича М-матрицами четных порядков. В качестве иллюстрации приводится сравнение двуциклической М-матрицы 22-го порядка и взвешенной матрицы №(22,20) по структуре и по детерминанту. Практическая значимость: алгоритмы нахождения двуциклических М-матриц использованы при построении исследовательского программного комплекса. Обобщенные парные комплементарные последовательности составляют основу фильтров, применяемых для сжатия и маскирования изображений.
Ключевые слова — ортогональные матрицы, матрицы Адамара, конференц-матрицы, матрицы Белевича, взвешенные матрицы, детерминант матрицы, двуциклические матрицы, коды Голея, коды Баркера.
В работе [1] определен класс матриц Белевича (конференц-матриц, или С-матриц), известный своей ролью в построении матриц Адамара. Это квадратные матрицы порядка п, кратного 2, с нулевой диагональю и остальными элементами {1, -1}, обладающие свойством СТС = (п - 1) I, где I — единичная матрица.
Необходимое условие существования упомянутых целочисленных матриц — разложимость числа п - к на сумму квадратов двух целых чисел [2]. При к = 1 порядки, для которых не существуют конференц-матрицы, таковы: 22, 34, 58, 70, 78, 94 ... . Порядок 22 является первым исключением, поэтому принципиально важно знать матрицы, которые на нем могут замещать матрицу Белевича.
К числу обобщений С-матриц относятся взвешенные конференц-матрицы '(п, п - к) [3, 4], отличающиеся от них количеством к > 1 нулевых элементов каждой строки или столбца и уравнением = (п - Щ.
Наиболее известное правило построения взвешенных конференц-матриц четных порядков, отличных от порядков матриц Адамара [5], сводится к построению двуциклических структур
W(n, п - к) =
( А В ^
В1
-А1
где А, В — циклические матрицы, построенные на базе парных комплементарных последовательностей Голея добавлением к ним нулей [3].
В работах [6, 7] был описан новый, более общий класс М-матриц, отличающихся от взвешенных конференц-матриц допущением большего, чем {0, 1, -1}, числа значений элементов (уровней) и удовлетворяющих уравнению МТМ = ц(п)1, где ц(п) — зависящая от порядка весовая функция.
Целочисленные матрицы Белевича и М-матри-цы с иррациональными, в общем, уровнями могут обладать как локальным, так и глобальным максимумом детерминанта [7]. Причем на порядках, на которых отсутствуют матрицы Белевича, по критерию максимума детерминанта могут преобладать взвешенные матрицы (порядки 22, 34) или М-матрицы, например, на порядке 58, на котором взвешенная матрица обязана иметь не менее пяти нулей в каждом своем столбце.
Таким образом, М-матрицы полноценно заменяют матрицы Белевича на некоторых значениях порядков, но при этом важным является их строение. В работе [8] предложена шестиуровневая М-матрица 22-го порядка (М22) (рис. 1). Белыми и черными квадратами отмечены элементы 1 и -1 соответственно, а остальные уровни, модули которых имеют значения {0.9802, 0.7846, 0.6924, 0.5299, 0.3076}, переданы оттенками серого цвета. Приведенная структура не позволяет просто описать М-матрицу, кроме того, неясно, почему эта экстремальная по значению детерминанта матрица не симметрична.
Задача поиска парных комплементарных последовательностей, обобщающих бинарные коды Голея на последовательности с большим числом
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
■ Рис. 1. Портрет шестиуровневой матрицы M22 гистограмма ее элементов
■ Рис. 2. Портрет двуциклической шестиуровневой матрицы M22
уровней, в частности, с уровнями М-матриц, может быть решена с помощью опубликованных ранее оптимизационных алгоритмов [9, 10]. Они обладают свойством находить такие комплементарные последовательности кодов при условии, что исходная для итераций матрица представлена не в произвольной, как для приведенной выше М-матрицы, а в двуциклической форме.
Алгоритм, оптимизируя детерминант, сохраняет форму матрицы, приводя к нахождению двуциклической М22 в виде, представленном на рис. 2.
Учитывая, что М-матрицы включают в себя трехуровневые взвешенные матрицы и структурно не отличаются существенно от них, внесем поправку в высказанное в работе [4] предположение о замещениях матриц Белевича.
Предположение. На классе квазиортогональных матриц четного порядка, кратного 2, отличного от значений порядков матриц Адамара, на проблемных для матриц Белевича порядках максимальным значением определителя обладают М-матрицы.
Как видно, полученная структура хорошо поясняет исключительные особенности матриц порядка 22. На диагонали данной структуры, как и у матриц Белевича, сосредоточены самые малые по абсолютной величине элементы (они отмечены серым цветом). Но ортогональности столбцов матрицы не достичь без появления сходных элементов в составе внедиагональных блоков.
Литература
1. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony // Electr. Commun. 1950. Vol. 26. P. 231-244.
2. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. К вопросу существования матриц Мерсенна и Адамара // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5(66). С. 2-8.
3. Geramita A. V. and Seberry J. Orthogonal Designs: Quadratic Forms and Hadamard Matrices. — N. Y.: Dekker. 1979. — 460 p.
Компромисс, наблюдаемый у взвешенных матриц, заключается в том, что обе циклические матрицы A и B имеют нулевые главные диагонали.
Определитель взвешенной матрицы det(W22) = = 204 800 000 000 000 близок к det(M22) = = 149 120 095 399 252. В ряде случаев соотношение определителей таких матриц будет меняться на противоположное, особенно для взвешенных матриц малого веса — матриц более чем с двумя нулями в каждом столбце.
Первые строки циклических матриц A и B дают экономичное описание такой структуры, общей для всех последующих М-матриц четных значений порядков. Парные коды (содержимое строк) обладают экстремальными качествами (обеспечивают оптимальное или субоптимальное значение определителя и т. п.), превосходящими, в том числе, и коды, используемые при построении разряженных взвешенных матриц.
Экстремальные по значению детерминанта квазиортогональные матрицы — предмет пристального внимания исследователей. В этой актуальной для практики помехоустойчивого кодирования области систематически публикуются обзоры, содержащие последние достижения [11, 12].
Приведенный в работе вид двуциклических квазиортогональных матриц нов и связан с новым важным обобщением экстремальных кодов Голея и Баркера [11], применяемых при обработке и защите информации.
4. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Взвешенная конфе-ренц-матрица, обобщающая матрицу Белевича на 22-м порядке // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5(66). С. 97-98.
5. Hadamard J. Résolution d'une question relative aux determinants//Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. N 17. P. 240-246.
6. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. М-матрицы // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1(50). С. 14-21.
и
110 У ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
"7 № 2, 2014
КРАТКИЕ СООБШЕНИЯ
7. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационно-управляющие системы. 2014. № 1(68). С. 2-15.
8. Балонин Ю. Н., Сергеев М. Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5(54). С. 87-90.
9. Балонин Ю. Н., Сергеев М. Б. Алгоритм и программа поиска и исследования М-матриц // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. № 3. С. 82-86.
10. Балонин Ю. Н. Программный комплекс MMatrix-2 и найденные им М-матрицы // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2013. № 10(112). С.58-64.
11. Colbourn C. J., Dinitz J. H. Handbook of Combinatorial Designs. Sec. Ed. — Chapman and Hall/CRC, 2007. — 967 p.
12. Horadam K. J. Hadamard Matrices and Their Applications. — Princeton: Princeton University Press, 2007. — 280 p.
UDC 519.61:511-33
Two-Circulant M-Matrix of the 22nd Order
Balonin N. A.a, Dr. Sc., Tech., Professor, [email protected] Sergeev M. B.a, b, Dr. Sc., Tech., Professor, [email protected]
a Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 67, B. Morskaia St., 190000, Saint-Petersburg, Russian Federation
b Saint-Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, 49, Kronverkskiy St., 197101, Saint-Petersburg, Russian Federation
Purpose: Within a class of quasi-orthogonal matrices of even orders different from Hadamard matrices a nature of the optimal by determinant solutions depends on an amount of zeros in columns of weighing matrices. Two-circulant forms of optimal or suboptimal matrices have been used as a source of complementary pair sequences generalizing Golay and Barker codes. The goal of this paper is to construct an example of a suboptimal two-circulant matrix of the 22nd order which is critical for conference matrices. Methods: There have been found extreme solutions by minimization of maximum of matrix elements absolute values with their consequent classification according to an amount and values of levels depending on orders. Results: There has been identified and described by matrix portrait and meaning of levels a modular two-circulant six-level quasi-orthogonal matrix of the 22nd order (M-matrix) having the local maximum. There has been formulated a conjecture on replacing Belevitch matrices if they are absent (do not exist due to the known criteria) by odd order M-matrices. To demonstrate the abovementioned there has been given a comparison of two-circulant 22nd order M-matrix and a weighing matrix W(22,20) by its structures and determinants. Practical relevance: The algorithms of constructing two-circulant M-matrices have been applied for development of the research software. Generalized complementary pair sequences have been used as a basis of filers for image masking and compression.
Keywords — Orthogonal Matrices, Hadamard Matrices, Conference Matrices, Belevitch Matrices, Weighing Matrices, Matrix Determinant, Two-Circulant Matrices, Golay Codes, Barker Codes.
References
1. Belevitch V. Theorem of 2n-Terminal Networks with Application to Conference Telephony. Electrical Communication, 1950, vol. 26, pp. 231-244.
2. Balonin N. A., Sergeev M. B. On the Issue of Existence of Hadamard and Mersenne Matrices. Informatsionno-upravli-aiushchie sistemy, 2013, no. 5(66), pp. 2-8 (In Russian).
3. Geramita A. V. and Seberry J. Orthogonal Designs: Quadratic Forms and Hadamard Matrices. New York, Dekker, 1979. 460 p.
4. Balonin N. A., Sergeev M. B. Weighted Conference Matrix Generalizing Belevich Matrix at the 22nd Order. Informat-sionno-upravliaiushchie sistemy, 2013, no. 5(66), pp. 97-98 (In Russian).
5. Hadamard J. Résolution d'une question relative aux déterminants [Resolution of one problem related to the determinants]. Bulletin des Sciences Mathématiques, 1893, vol. 17, pp. 240-246 (In French).
6. Balonin N. A., Sergeev M. B. M-Matrices. Informatsionno-up-ravliaiushchie sistemy, 2011, no. 1(50), pp. 14-21 (In Russian).
7. Balonin N. A., Sergeev M. B. The Local Maximum Determinant Matrices. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2014, no. 1(68), pp. 2-15 (In Russian).
8. Balonin N. A., Sergeev M. B. M-Matrix of 22nd Order. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2011, no. 5(54), pp. 87-90 (In Russian).
9. Balonin Yu. N., Sergeev M. B. The Algorithm and Program for Searching and Studying of M-Matrices. Nauchno-tekh-nicheskii vestnik informatsionnykh tekhnologii, mekhaniki i optiki, 2013, no. 3, pp. 82-86 (In Russian).
10. Balonin Yu. N. Software Complex MMatrix-2 and M-Matrices Found by it. Vestnik komp'iuternykh i informatsionnykh tekhnologii, 2013, no. 10(112), pp. 58-64 (In Russian).
11. Colbourn C. J., Dinitz J. H. Handbook of Combinatorial Designs. Sec. Ed. Chapman and Hall/CRC, 2007. 967 p.
12. Horadam K. J. Hadamard Matrices and Their Applications. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2007. 280 p.
