CC BY
63
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 11. С. 708-723.
DOI: 10.7463/1114.0737893
Представлена в редакцию: 3.11.2014 © МГТУ им. Н.Э. Баумана
ISSN 1994-0448
>ДК 536.2
Двусторонние оценки
эффективной теплопроводности композита с анизотропными пластинчатыми включениями
Зарубин B.C.1'*, Кувыркин Г.Н.1, Савельева И.Ю.1 * [email protected]
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
На основе двойственной вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности в неоднородном твердом теле построены двусторонние оценки компонент тензора эффективной теплопроводности композита с анизотропными пластинчатыми включениями. Вариационная формулировка содержит два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), экстремальные значения которых совпадают на истинном распределении температуры в рассматриваемом композите. Благодаря этому между построенными оценками заключены реальные значения компонент тензора эффективной теплопроводности композита, соответствующие истинному распределению температуры, что позволяет прогнозировать наибольшую возможную погрешность используемых расчетных зависимостей. Уточнение допустимых для функционалов распределений температуры и вектора плотности теплового потока в представительном элементе структуры композита дало возможность сблизить двусторонние оценки, что важно применительно к композитам с высокотеплопроводными включениями в виде наноструктурных элементов (в частности, фрагментов графена).
Ключевые слова: композит; анизотропные пластинчатые включения; наноструктурные элементы; графен; эффективная теплопроводность; двусторонние оценки; двойственная вариационная формулировка задачи
Введение
В различных отраслях техники в качестве конструкционных и функциональных материалов находят широкое применение композиты, состоящие из матрицы и включений различной формы. Композиты, используемые в теплонапряженных конструкциях, подверженных совместным интенсивным механическим и тепловым воздействиям,наряду с высокими механическими свойствами должны обладать определенными теплофизическими характеристиками композитов. Среди таких характеристик важную роль играет эффективный коэффициент теплопроводности композита, зависящий в первую очередь от теплопроводности и объемной концентрации включений.
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
Количественному анализу теплопроводности гетерогенных тел с неоднородной структурой, к которым можно отнести композиты, посвящено значительное число работ, проанализированные например, в [1, 2, 3]. Расчетные формулы для оценки эффективного коэффициента теплопроводности гетерогенный тел получены в этих работах, как правило, либо обработкой экспериментальных данных применительно к конкретным материалам, либо путем априорного задания распределения температуры и теплового потока в моделях структуры гетерогенных тел с включениями шаровой, кубической или цилиндрической формы.
Включение принято считать пластинчатым [4], если его размер в одном из ортогональных направлений существенно меньше размеров в двух других направлениях. Такие включения возникают, например, в виде новых фаз при термической обработке поликристаллических материалов [5, 6, 7]. Форму, близкую к пластинчатой, могут иметь наноструктурные элементы [8], в том числе, фрагменты графена [9]).
Среди уникальных физических свойств графена следует отметить аномально высокую теплопроводность, превосходящую теплопроводность всех известнык материалов [9]. Для однослойного графена в виде двумерной структуры, состоящей из правильный шестиугольников с атомами углерода в их вершинах, экспериментальные измерения [10,11] и результаты
математического моделирования [12, 13,14] дают оценки коэффициента теплопроводности в
Вт
его плоскости между 3500 и 5500 ——. Выявлено влияние различнык факторов натеплопро-
м ■ К
водность графена, которая зависит от температуры, возрастает с увеличением размера листа
и уменьшается с увеличением числа слоев. Для четырехслойного графена коэффициент
Вт
теплопроводности лежит в интервале 1300 -1700 —— [15].
м ■ К
Наряду с высокой тепло- и электропроводностью графен имеет ряд полезный электронных свойств и высокие упругие характеристики, что позволяет рассматривать графен в качестве составной части перспективны« наноматериалов с улучшенными теплофизиче-скими, электрическими и механическими параметрами, а также для создания элементов наноэлектронных устройств [9, 16]. Количественная характеристика термоэлектрического эффекта для графена выше удельной мощности, связанной с выделением джоулевой теплоты при прохождении электрического тока. Поэтому в перспективе с использованием графена принципиально возможно создание элементов наноэлектроники, не требующих охлаждения. Поскольку в наноэлектроннык устройствах возникает необходимость в элементах, обладающих повышенной теплопроводностью [9], одно из возможных применений графена связано с его использованием в качестве высокотеплопроводного анизотропного наполнителя в композитах [17].
Сочетание в композите включений и матрицы с большим различием в коэффициентах теплопроводности приводит при использовании известнык расчетных зависимостей к значительному разбросу результатов вычислений и неконтролируемой погрешности определения эффективного коэффициента теплопроводности такого композита. Поэтому актуально построение двусторонних оценок, охватывающих реальные значения этого коэффициента и
позволяющих прогнозировать наибольшую возможную погрешность. Такие оценки можно построить при помощи двойственной вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности в неоднородном твердом теле [18, 19, 20, 21, 22].
1. Двойственная вариационная формулировка задачи
Рассмотрим неоднородное твердое тело объемом V, ограниченным поверхностью S. На этой поверхности выделим два участка 50 и (50 П = 0) с заданными значениями температуры То и Т1 соответственно. Остальную часть Бд = Б \ (50 и 51) поверхности примем идеально теплоизолированной. Материал тела в общем случае анизотропен по отношению к свойству теплопроводности, описываемому тензором теплопроводности с компонентами А*(М), г, ] = 1, 2, 3, зависящими от положения точки М Е V в области, соответствующей объему тела. Эти компоненты определены в прямоугольной декартовой системе координат 0х1х2х3.
Истинное стационарное распределение температуры Т*(М) (М € V) в теле минимизирует функционал [18, 23]
ЛТЦ/^ ММ) ^-(М) (1)
V
(здесь и далее использовано правило суммирования слагаемых по повторяющимся латинским индексам). Этот функционал допустимо рассматривать на кусочно непрерывно диффе-ренируемых в области V распределениях Т(М) температуры, удовлетворяющих заданным граничным условиям на участках 50 и 51 поверхности 5.
На истинном распределении в теле вектора q*(M) (М € V) плотности теплового потока
дт * ()
с проекциями д*(М) = -А*(М) —--на оси выбранной системы координат достигает
дхз
максимума функционал [18, 23]
IМ = -1 / ^(М) Р*(М) Ъ(М) dV(М) - I Т(Р) дг(Р) п(Р) ¿в(Р), (2)
V вт
где р* — компоненты тензора термического сопротивления, обратного тензору теплопроводности материала тела; п(Р) — направляющие косинусы вектора внешней нормали к участкам поверхности = 5о и 51 в точках Р € . Функционал (2) допустимо рассматривать на кусочно непрерывно дифференцируемых распределениях q(M) вектора плотности теплового потока, удовлетворяющих равенству q(M) = 0 и условию идеальной теплоизоляции на участке поверхности тела.
Для функционалов (1) и (2) справедливо равенство 3[Т*] = IПоэтому при использовании допустимых распределений в рассматриваемом теле температуры и вектора плотности теплового потока получаем
з[Т] ^ з[Т*] = I^ Iи. (3)
Истинное стационарное распределение Т*(М) (М Е V) температуры должно удовлетворять дифференциальному уравнению
£ (м) ^)
С учетом этого уравнения и первой формулы Грина [24] функционал (1) в данном случае можно преобразовать к виду [18]
: [Г] = 2 / Т (Р )Л„ ^ТХр п,(Р) СБ (Р) = + Т'д', (4)
где д0 и — тепловые потоки, поступающие в данное тело через участки соответственно Бо и Б1 его поверхности. В силу условия сохранения тепловой энергии при стационарном процессе теплопроводности + Q1 = 0. Тогда из равенства (4) получим Q1 = —=
и [Т*] , о 1 — То (1 — То)2
= —-— и затем формулу для термического сопротивления тела К* = ——— = —
11 — 1о 41 [Т *]
между изотермическими участками Б1 и 50 поверхности Б. Отсюда с учетом неравенств (3) следует двусторонняя оценка этого термического сопротивления в виде
(Т1 — То)2 < К < (Т1 — То)2 (5)
иТ < К* < 2/[я] • (5)
2. Построение двусторонних оценок для композита
Сначала рассмотрим вариант одинаковой ориентации пластинчатых включений в композите. Выберем представительный элемент структуры композита в виде пластины толщиной 2Н, длиной 2Ь и шириной 2В. На рис. 1 изображена восьмая часть этого элемента, помещенная в октант прямоугольной декартовой системы координат Ох1х2х3. Включение расположено в этом элементе симметрично относительно координатных осей и имеет толщину 2Н, длину 21 и ширину 26. Контуры восьмой части включения обведены на рис. 1 сплошными толстыми линиями. Остальной объем представительного элемента заполнен изотропным материалом матрицы с коэффициентом теплопроводности Лт. Главные оси тензора теплопроводности анизотропного включения с главными значениями Л^ примем совпадающими с координатными осями. Поскольку тензору теплопроводности в главных осях соответствует
Рис. 1. Восьмая часть представительного элемента структуры композита
диагональная матрица третьего порядка, главным значениям Л^ этого тензора соответствуют главные значения pi = 1/Л^ обратному ему тензору термического сопротивления.
Из указанных на рис. 1 размеров следует, что для объемной концентрации включений в
композите можно записать равенство Су = . При изменении Су будем считать, что
ЫЬВ
^/Н = //£ = 6/В = Со, т.е. Су = Со3.
Используем представленную выше двойственную вариационную формулировку стационарной задачи теплопроводности применительно к восьмой части представительного элемента. Пусть на гранях изображенного на рис. 1 прямоугольного параллелепипеда, расположенных в плоскостях х1 = 0 и х1 = Ь, заданы значения температур соответственно То и Т1, а все остальные его грани идеально теплоизолированы. В этом случае для минимизируемого функционала (1) одним из простейших допустимых распределений температуры является линейное вдоль координатной оси Ох1 с постоянной проекцией С1 = (Т1 — То)/Ь градиента температуры на эту ось. Такому распределению соответствует значение функционала (1)
, /-ч2 Лт(НВ — М>)£ + ЛМ>(£ — I) + Л1Ш) (гг , Лт(1 — Со3) + Л^3 (6)
= -2-= (Т — То) НВ-2ь-• (6)
При заданных граничных условиях одним из простейших допустимых для максимизируемого функционала (2) распределений вектора плотности теплового потока будет постоянное значение проекции этого вектора на координатную ось Ох1. Тогда для функционала (2) получим
Л = —в2 (НВЬ — Ш)/Л„, + — 91НВ (Т, — То) =
= —¿НВЬ(1 — С'°)/Л2т + С3/Л' — 91С1НВЬ.
Из необходимого условия С11 /Сд1 = 0 максимума величины 11 находим
=__
91 (1 — С3)/Лт + С3/Л1
и затем
= (Т1 — То)2 НВ (7)
= -7-г • (7)
2Ь( (1 — Со3)/Лт + Со3/Л1)
Термическое сопротивление в направлении оси Ох1 изображенной на рис. 1 восьмой части представительного элемента структуры композита можно представить в виде К1 = = Ь/(Л1НВ), где Л1 — эффективный коэффициент теплопроводности композита в направлении этой оси. Использовав для двусторонней оценки величины К1 неравенства (5) и формулы (6) и (7), представим двустороннюю оценку для Л1 в виде
(1 — Су)/Лт + Су/Л1 < Л1 < Лт(1 — Су) + Л1СУ•
Аналогичным путем можно получить двусторонние оценки эффективных коэффициентов теплопроводности Л2 и Л3 композита в направлениях осей Ох2 и Ох3 соответственно. Таким
образом, для эффективного коэффициента теплопроводности Лг композита в направлении координатной оси Ох; можно записать
1 = Л- ^ Лг ^ Л+ = Л+ = 1 - Су + ЛСу, (8)
1 - Су + Су/Лг Ат г г л
где Лг = Аг/Лт и Лг = Лг/\т.
В случае хаотической пространственной ориентации анизотропных пластинчатых включений композит будет изотропным [25] с эффективным коэффициентом теплопроводности Л = (Л1+Л2+Л3)/3. При этом в неравенствах (8) Лг следует заменить на Л = (Л1+ Л2+Лз)/3, а у остальных параметров опустить нижний индекс г.
Следует отметить, что левую и правую части соотношения (8) можно получить в рамках теории смесей [26]. При этом знаменатель нижней оценки Л - можно трактовать как линейную комбинацию безразмерных сопротивлений переносу тепловой энергии в композите, а верхнюю оценку Л + — как линейную комбинацию безразмерных проводимостей, причем коэффициентами в этих линейных комбинациях являются объемные концентрации матрицы (1 — Су) и включений (Су). При Су = 0 и Су = 1 нижняя и верхняя оценки совпадают между собой. Но при промежуточных значениях Су разность ДЛ г = Л + — Л - оценок возрастает от нуля по мере отклонения параметра Лг от единицы. С использованием неравенств (8) можно оценить наибольшую возможную относительную погрешность среднего значения Л° = (Л- + Л +)/2 при промежуточных значениях Су, которую представим в виде
= — = 1--.-1-, а = 1, 2, 3. (9)
2Ла 1 + 1 Су (1 — Су )(Л„ + 1/Ла — 2)
На рис. 2 приведены зависимости еа от Су при различных значениях Ла (кривые для пар значений Ла и 1 /Ла совпадают). Наибольших значений
1
= 1 -
1 + 1 (Ла + 1/Ла — 2)
относительная погрешность достигает при Су = 0,5.
Использованные выше для получения двусторонних оценок достаточно простые допустимые распределения температуры и плотности теплового потока учитывают лишь объемное содержание эллипсоидальных включений. Поэтому для всех трех направлений главных осей тензора теплопроводности включения представленные в формулах (8) и (9) оценки эффективных коэффициентов теплопроводности композита и возможной относительной погрешности среднего значения этих оценок идентичны. Если в этих формулах опустить нижний индекс а, то они будут применимы и в случае хаотической ориентации включений.
Представленные соотношением (8) двусторонние оценки можно сблизить, если несколько усложнить допустимые распределения температуры и плотности теплового потока. Рас-
Рис. 2. Зависимости наибольшей возможной погрешности от объемной концентрации включений при различных значениях параметра \а
пределение температуры вдоль оси 0x1 выберем в виде двухзвенной ломаной с изломом при х1 = I (см. рис. 1):
гт( \ гт . (Т - То)х1 ^ Гп п гт, ч гт , (Т1 - Тг)(х1 - 0 г, Г1
Т(Х1) = То +--1-, Х1 е [0,1], и Т(Х1) = Т, +--^-, Х1 е [I, Т].
Использовав это распределение в качестве допустимого для функционала (1), получим
(Т - То)2 л (ттп ^ , л , (Т1 - Т)2
Л* = 1 21 о/ (Ат(ЯВ - ^6) + Л^ + ^ - I) ЛтЯВ.
Из необходимого условия дьЗ*/^Т1 = 0 минимума величины найдем
То(Т - /)(ВЯ - 6^ + Л^й) + Т1 шя
Т,
и затем
= Лт(Т1 - То)
(Т - /)(ВЯ - 6^ + Л16^) + шя ЯВ 1 - Со2 + Л1Со2
(10)
2Т 1 + (Л1 - 1)Со2(1 - Со) Допустимое для функционала (2) распределение вектора плотности теплового потока примем в виде постоянного значения проекции этого вектора на ось 0х1 в пределах прямоугольного параллелепипеда длиной Т с площадью 6Л, грани в плоскости х1 = 0, полностью содержащего восьмую часть включения (см. пй§сот1), и также постоянное значение д'/ проекции на ту же ось в остальной части представительного элемента, изображенной на рис. 1. Тогда с учетом заданных граничных условий получим
6^ / , I
II = )22Л^(Т -1+ ЛЧ - К)
2Лт \ Л1 /
в я_6Ь
/л2вя-^Т - (Т1 - ТЖ6^ + ДОЯ - 6Ь)).
2Лт
Из необходимых условий С1* /Сд' = 0 и С1*/Сд'/ = 0 максимума величины I* находим
91
Лт
Т1 — То
и затем
Ь 1 — Со + Со/Л1
НВ
II Лт /гр гт! \
91 = —Г (Т1 — То)
Ь
I* = Лт(Т1 — То)2"2Ь — Со2 +
Со2
1 — Со + Со/Л1
Используя для двусторонней оценки термического сопротивления КЦ = Ь/(Л1НВ) формулы (10) и (11) и неравенства (5), получаем более узкую двустороннюю оценку эффективного коэффициента Л1 теплопроводности композита в направлении оси Ох1 в виде
Л-+
(1 — Со2)Со4(Л1 — 1)2
С4 + (1 + С2 — 2С3)Со Л1 + (1 — Со)(1 — С3)Л1 Л
< Л < Л+ —. (1 — Со)С05(Л1 — 1)2
1 + (Л1 — 1) С2 (1 — Со)
Таким же способом можно построить двусторонние оценки эффективных коэффициентов теплопроводности Л2 и Л3 композита в направлениях осей Ох2 и Ох3 соответственно. В итоге для безразмерного эффективного коэффициента теплопроводности Л * = Л*/Лт композита в направлении координатной оси Ох; получим неравенства
1 — С2 +
1 — Со + Со/Л1
= Л- < Л * < Л+ =
1 — С0 + Л1С0 1 + (Л1 — 1)С2(1 — Со)'
(12)
На рис. 3 для тех же значений Ла, что и на рис. 2, представлены зависимости от Су наибольшей возможной относительной погрешности е*а = (Л + — Л-)/(Л + + Л-) среднего значения (ЛЛ + + Л-)/2. Аналогичные зависимости для значений Ла < 1 приведены на рис. 4.
Рис. 3. Зависимости наибольшей возможной погрешности е*а от объемной концентрации Су включений при различных значениях параметра \а > 1 (обозначения кривых идентичны 2)
1
Рис. 4. Зависимости е*а от Су при значениях параметра Ха < 1
Из сравнения для одинаковых значениях Ла максимальных значений еа (см. рис. 2) и е*а последние при Ла > 1 примерно в 4 раза меньше, а при Ла < 1 меньше на порядок.
Отметим, что неравенствами вида (12) в работе [27] представлена двусторонняя оценка эффективного коэффициента теплопроводности изотропного композита с изотропными кубическими включениями, полученная в работе [3] путем деления кубического представительного элемента структуры такого композита на фрагменты изотермическими и адиабатическими плоскостями с последующим вычислением термического сопротивления каждого из фрагментов. Применительно к восьмой части представительного элемента структуры композита с пластинчатыми включениями, изображенной на рис. 1, при формировании допустимого для функционала (1) распределения температуры изотермической является плоскость х1 = /, а при задании допустмого для функционала (2) распределения вектора плотности теплового потока в качестве адиабатических использованы плоскости х2 = Ь и х3 = Л. Преимущество использованного выше подхода, опирающегося на двойственную вариационную формулировку стационарной задачи теплопроводности в неоднородном твердом теле, состоит в том, что для любой рассматриваемой структуры композита построенная двусторонняя оценка охватывает значение эффективного коэффициента теплопроводности, соответствующее истинному распределению температуры в представительном элементе этой структуры.
Заключение
Использование двойственной вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности в неоднородном твердом теле позволило построить двусторонние оценки эф-
фективного коэффициента теплопроводности композита с анизотропными пластинчатыми включениями. Между нижней и верхней оценками заключено значение этого коэффициента, которое соответствует истинному распределению температуры в представительном элементе структуры композита. Уточнение распределений температуры и вектора плотности теплового потока, допустимых для функционалов, входящих в двойственную вариационную формулировку, дало возможность сблизить двусторонние оценки и уменьшить наибольшую возможную погрешность при вычислении эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого композита.
Работа выполнена по гранту НШ-1432.2014.8 программы Президента РФ поддержки ведущих научных школ и проекту № 1.2640.2014 в рамках реализации государственного задания.
Список литературы
1. Чудновский А.Ф. Теплофизические характеристики дисперсных материалов. М.: Физ-матгиз, 1962. 456 с.
2. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций: пер. с франц. М.: Мир, 1968. 464 с.
3. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 264 с.
4. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Влияние формы пластинчатых включений на эффективную теплопроводность композита//Композиты и наноструктуры. 2014. № 2. С. 95-104.
5. Арзамасов Б.Н., Крашенинников А.И., Пастухова Ж.П., Рахштадт А.Г. Научные основы материаловедения. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994. 366 с.
6. Ван Флек Л. Теоретическое и прикладное материаловедение: пер. с англ. М.: Атомиздат, 1975. 472 с.
7. Физическое металловедение. В 3 т. Т. 2: пер. с англ. / под ред. Р.У Кана, П.Т. Хаазена. М.: Мир, 1968. 492 с.
8. Кац Е.А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры. Родословная форм и идей. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 296 с.
9. Елецкий А.В., ИскандароваИ.М., Книжник А.А., Красиков Д.Н. Графен: методы получения и теплофизические свойства//Успехи физических наук. 2011. Т. 181, № 3. С. 233-268.
10. Balandin A.A., Ghosh S., Bao W., Calizo I., Teweldebrhan D., Miao F., Lau C.N. Superior thermal conductivity of single-layer graphene //Nano Letters. 2008. Vol. 8. P. 902-907. DOI: 10.1021/nl0731872
11. Ghosh S., Calizo I., Teweldebrhan D., Pokatilov E.P., Nika D.L., Balandin A.A., Bao W., Miao F., Lau C.N. Extremaly high thermal conductivity of graphene: Prospects for thermal
management applications in nanoelectronic circuits // Appl. Phys. Lett. 2008. Vol. 92. Art. no. 151911. DOI: 10.1063/1.2907977
12. Klemens P.G. Theory of the A-plane thermal conductivity of graphite // Journal of Wide Bandgap Materials. 2000. Vol. 7, no. 4. P. 332-339. DOI: 10.1106/7FP2-QBLN-TJPA-NC66
13. Nika D.L., Ghosh S., Pokatilov E.P., Balandin A.A. Lattice thermal conductivity of graphene flakes: Comparision with bulk grafite // Appl. Phys. Lett. 2009. Vol. 94. Art. no. 203103. DOI: 10.1063/1.3136860
14. Nika D.L., Pokatilov E.P., Askerov A.S., Balandin A.A. Phonon thermal conduction in graphene: Role of Umklapp and edge roughness scattering // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 79, no. 15. Art. no. 155413. DOI: 10.1103/PhysRevB.79.155413
15. Ghosh S., Bao W., NikaD.L., Subrina S., Pokatilov E.P., Lau C.N., Balandin A.A. Dimensional crossover of thermal transport in few-layer graphene // Nature Materials. 2010. Vol. 9, no. 7. P. 555-558. DOI: 10.1038/nmat2753
16. Chen Zh., Lin Yu.M., Rooks M.J., Avouris Ph. Graphene nano-ribbon electronics // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. 2007. Vol. 40, no. 2. P. 228-232. DOI: 10.1016/j.physe.2007.06.020
17. Stankovich S., Dikin D.A., Dommett G.H.B., Kohlhaas K.M., Zimney E.J., Stach E.A., Piner R.D., Nguyen S.T., Ruoff R.S. Graphene-based composite materials // Nature. 2006. Vol. 442. P. 282-286. DOI: 10.1038/nature04969
18. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.
19. ЗарубинВ.С., КувыркинГ.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с эллипсоидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012, №3. С. 76-85.
20. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Эффективный коэффициент теплопроводности композита с шаровыми включениями // Тепловые процессы в технике. 2012. № 10. С. 470-474.
21. Кувыркин Г.Н. Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита с графеновыми включениями // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. №4. Режим доступа: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/hidden/671.html (дата обращения 01.10.2014).
22. ЗарубинВ.С., КувыркинГ.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с анизотропными эллипсоидальными включениями // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013, №4. С. 311-320. DOI: 10.7463/0413.0541050
23. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Сравнительный анализ оценок эффективного коэффициента теплопроводности поликристаллического материала // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №3. С. 313-328. DOI: 10.7463/0313.0541029
24. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 700 с.
25. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.
26. Головин Н.Н., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Смесевые модели механики композитов. Ч. 1. Термомеханика и термоупругость многокомпонентной смеси // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2009. №3. С. 36-49.
27. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Сравнительный анализ оценок коэффициента теплопроводности композита с шаровыми включениями // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №7. С. 299-318. DOI: 10.7463/0713.0569319
Science ^Education
Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 11, pp. 708-723.
DOI: 10.7463/1114.0737893
of the Bauman MSTU Received: 3.11.2014
Electronic journal © Bauman Moscow State Technical University
ISSN 1994-0448
Two-sided Estimates
of Effective Thermal Conductivity of the Composite with Anisotropic Lamellar Inclusions
Zarubin V. S., Kuvyrkin G. N., Savel'eva I. Yu. *[email protected]
Bauman Moscow State Technical University
Keywords: composite, anisotropic lamellar inclusions, nanostructured elements, graphene, effective thermal conductivity, two-sided estimates, the dual variational formulation of the problem
A scope of composites as engineering and functional materials are largely determined by their mechanical and thermal properties. For composites used in heat-stressed structures exposed to joint intense mechanical and thermal stress, the thermophysical characteristics of the effective thermal conductivity of the composite plays an important role. It depends, primarily, on the thermal conductivity and the volume concentration of inclusions and thermal conductivity of the matrix. The composite combination of high heat conductivity inclusions with low heat conductivity matrix, when using the known computational dependencies, leads to a significant spread of the calculation results and uncontrolled error in determining the effective thermal conductivity of the composite. This error increases in the case of anisotropic inclusions and with their deviation from the spherical shape, including advanced composites with high heat conductivity lamellar inclusions, which have some nanostructured elements (e.g. fragments of graphene which has an abnormally high thermal conductivity exceeding thermal conductivity of all known materials [9], and allows creation of composites used not only in the heat-stressed constructions, but in nanoelectronic devices [17]). Therefore, it is relevant to make a two-sided estimate covering the real values of the effective thermal conductivity of the composite with anisotropic lamellar inclusions and allowing to predict the maximum possible error. The article shows conducting the two-sided estimates based on the dual variational formulation of the stationary heat conductivity problem in a heterogeneous solid [18-22]. This formulation includes two alternative functionals (to be minimized and maximized) extreme values of which coincide at the true temperature distribution in this composite. As a result, between the estimates made there are real values of the tensor components of effective heat conductivity of the composite corresponding to the true distribution of temperature. This allows us to predict the maximum possible error of calculated dependences used to calculate the components of this tensor. Permissible for functionals refinement of distributions of temperature and heat flux
density vector in a representative element of the composite structure made it possible to bring together two-sided estimates. In the end, the greatest possible error in calculating the average value between the amended estimates in the case of high heat conductivity inclusions decreased several times. Results of the quantitative analysis of made two-sided estimates are represented in the article as a plot.
References
1. Chudnovskii A.F. Teplofizicheskie kharakteristiki dispersnykh materialov [Thermophysical properties of dispersed materials]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1962. 456 p. (in Russian).
2. 2.Missenard A. Conductivite thermique des solides, liquides, gaz et de leurs melanges. Con-ductivite thermique des solides, liquides, gas et de leurs melanges. Paris, Editions Eyrolles, 1965. (In French). (Russ ed. Missenard A. Teploprovodnost' tverdykh tel, zhidkostey, gazov i ikh kompozitsiy. Moscow, Mir Publ., 1968. 464 p.).
3. Dul'nev G.N., Zarichniak Iu.P. Teploprovodnost'smesei i kompozitsionnykh materialov [Thermal conductivity of mixtures and composite materials]. Leningrad, EnergiiaPubl., 1974. 264 p. (in Russian).
4. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. An effect of the form of lamellar inclusions on the effective thermal conductivity of a composite. Kompozity i nanostruktury = Composites andNanostructures, 2014, no. 2, pp. 95-104. (in Russian).
5. Arzamasov B.N., Krasheninnikov A.I., Pastukhova Zh.P., Rakhshtadt A.G. Nauchnye osnovy materialovedeniya [Scientific foundations of materials sience]. Moscow, BaumanMSTUPubl., 1994. 366 p. (in Russian).
6. Van Vlack L.H. Elements of Materials Science and Engineering. Addison-Wesley Publishing Co., Massachusetts, 1964. 600 p. (Russ. ed.: Van Vlack L.H. Teoreticheskoe i prikladnoe materialovedenie. Moscow, Atomizdat Publ., 1975. 472 p.).
7. Cahn R.W., Haasen P.T., eds. Physical metallurgy. Vol. 2. Amsterdam, North-Holland publishing company, 1965. (Russ. ed.: Cahn R.W., Haasen P.T., eds. Fizicheskoe metallovedenie. V 3t. T.2. Moscow, Mir Publ., 1968. 492 p.).
8. Kats E.A. Fullereny, uglerodnye nanotrubki i nanoklastery. Rodoslovnaya form i idey [Fullerenes, carbon nanotubes and nanoclusters. Genealogy forms and ideas]. Moscow, LKI Publ., 2008. 296 p. (in Russian).
9. Eletskii A.V., Iskandarova I.M., Knizhnik A.A., Krasikov D.N. Graphene: Fabrication methods and thermophysical properties. Uspekhi fizicheskikh nauk, 2011, vol.181, no. 3, pp. 233-268. (English translation: Physics-Uspekhi, 2011, vol. 54, no. 3, pp. 227-258. DOI: 10.3367/UFNe.0181.201103a.0233).
10. Balandin A.A., Ghosh S., Bao W., Calizo I., Teweldebrhan D., Miao F., Lau C.N. Superior thermal conductivity of single-layer graphene. Nano Letters, 2008, vol. 8, pp. 902-907. DOI: 10.1021/nl0731872
11. Ghosh S., Calizo I., Teweldebrhan D., Pokatilov E.P., Nika D.L., Balandin A.A., Bao W., Miao F., Lau C.N. Extremaly high thermal conductivity of graphene: Prospects for thermal management applications in nanoelectronic circuits. Appl. Phys. Lett., 2008, vol. 92, art. no. 151911. DOI: 10.1063/1.2907977
12. Klemens P.G. Theory of the A-plane thermal conductivity of graphite. Journal of Wide Bandgap Materials, 2000, vol. 7, no. 4, pp. 332-339. DOI: 10.1106/7FP2-QBLN-TJPA-NC66
13. Nika D.L., Ghosh S., Pokatilov E.P., Balandin A.A. Lattice thermal conductivity of graphene flakes: Comparision with bulk grafite. Appl. Phys. Lett., 2009, vol. 94, art. no. 203103. DOI: 10.1063/1.3136860
14. Nika D.L., Pokatilov E.P., Askerov A.S., Balandin A.A. Phonon thermal conduction in graphene: Role of Umklapp and edge roughness scattering. Phys. Rev. B, 2009, vol. 79, no. 15, art. no. 155413. DOI: 10.1103/PhysRevB.79.155413
15. Ghosh S., Bao W., NikaD.L., Subrina S., Pokatilov E.P., Lau C.N., Balandin A.A. Dimensional crossover of thermal transport in few-layer grapheme. Nature Materials, 2010, vol. 9, no. 7, pp. 555-558. DOI: 10.1038/nmat2753
16. Chen Zh., Lin Yu.M., Rooks M.J., Avouris Ph. Graphene nano-ribbon electronics. Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 2007, vol. 40, no. 2, pp. 228-232. DOI: 10.1016/j.physe.2007.06.020
17. Stankovich S., Dikin D.A., Dommett G.H.B., Kohlhaas K.M., Zimney E.J., Stach E.A., Piner R.D., Nguyen S.T., Ruoff R.S. Graphene-based composite materials. Nature, 2006, vol. 442, pp. 282-286. DOI: 10.1038/nature04969
18. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy [Mathematical models of mechanics and electrodynamics of continuous media]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2008. 512 p. (in Russian).
19. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Effective Coefficients of Thermal Conductivity of a Composite with Ellipsoidal Inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural science, 2012, no. 3, pp. 76-85. (in Russian).
20. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Iu. The Effective Coefficients of Thermal Conductivity of Composites with Spherical Inclusions. Teplovye protsessy v tekhnike = Thermal Processes in Engineering, 2012, no. 10, pp. 470-474. (in Russian).
21. Kuvyrkin G.N. The Estimates of the Effective Thermal Conductivity of the Composite with 87 Graphene Inclusions. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii = Engineering Journal: Science and Innovation, 2013, no. 4. Available at: http://engjournal.ru/catalog/ mathmodel/hidden/671.html, accessed 01.10.2014. (in Russian).
22. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Effective thermal conductivity coefficients of composite with anisotropic ellipsoidal inclusions. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 4, pp. 311-320. DOI: 10.7463/0413.0541050 (in Russian)
23. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Comparative analysis of estimations of polycrystalline material's effective thermal conductivity coefficient. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 3, pp. 313-328. DOI: 10.7463/0313.0541029 (in Russian).
24. Vlasova E.A., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Priblizhennye metody matematicheskoy fiziki [Approximate methods of mathematical physics]. Moscow, Bauman MSTU Publ, 2001. 700 p. (in Russian).
25. Shermergor T.D. Teoriia uprugosti mikroneodnorodnykh sred [Theory of elasticity of microin-homogeneous media]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 400 p. (in Russian).
26. Golovin N.N., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Mixture Models of Composite Mechanics. P. 1. Thermal Mechanics and Thermoelasticity of Multicomponent Mixture. VestnikMGTUim. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald ofthe Bauman MSTU. Ser. Natural science, 2009, no. 3, pp. 36-49. (in Russian).
27. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Iu. Comparative analysis of estimations of heat conduction of a composite with ball inclusions. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 7, pp. 299-318. DOI: 10.7463/0713.0569319 (in Russian).
