CC BY
56
УДК 621.397.4:681.3.01
А.Н.Катулев, М.Ф.Малевинский, Г.М.Соломаха
ДВУМЕРНЫЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР
Under criterion of ratio signal-to-noise nonlinear matched filter for processing images has been synthesized. Structurally such filter is represented by two-dimension Hammerstein's operator of n th order. For the determination of the kernels of the operator a system of 2D linear integral equations has been received. The example of the calculating method of solution of this system is given.
Введение
В теории и практике обработки одномерных сигналов большое внимание уделяется задаче обнаружения полезного сигнала на фоне аддитивного гауссовского шума, называемой согласованной фильтрацией [1,2]. Так, в радиотехнических системах в качестве согласованного фильтра выступает оптимальный фильтр, синтезированный из условия максимизации отношения сигнал/шум [1]. Причем согласованный фильтр принимается линейным. В общем же случае, в том числе при достаточно высоком уровне сигнал/шум и негауссовском входном сигнале, оптимальный фильтр должен быть нелинейным [3]. Учет нелинейных составляющих в структуре согласованного фильтра может значительно увеличить вероятность обнаружения объектов на изображении.
В данной статье рассматриваются вопросы синтеза согласованного фильтра для систем обработки информации, структурно представимых оператором Гаммерштейна [4], т.е. состоящих из последовательно соединенных безынерционного нелинейного и линейного инерционного звеньев. В качестве примеров систем указанного вида можно привести систему обработки сигнала спутникового телевизионного канала [5], системы обработки изображений в задачах геофизики [6], распознавания образов [7], экологии [8], а также в задачах навигации [9].
Далее в качестве входного сигнала при фильтрации будем рассматривать случайный двумерный сигнал (изображение) с известными одномерными и двумерными моментами заданных порядков. Для этих условий в [10] синтезирован по критерию минимума дисперсии ошибки преобразования нелинейный полиномиальный фильтр. Под согласованным же фильтром будем понимать фильтр, оптимальный исходя из максимизации критерия отношения средней энергии полезного сигнала к дисперсии случайного сигнала и помехи на выходе фильтра. В общем случае синтез такого фильтра составляет вариационную задачу с подвижной границей в многомерном выборочном пространстве, но такая задача допускает упрощение решения за счет перехода от многомерной выборки к одномерной [11,12] и, как следствие, становится обоснованным выбор названного критерия. Как известно [12,13], максимум критерия отношения сигнал/шум достигается также на выходе линейного согласованного фильтра, весовая функция которого удовлетворяет неоднородному линейному интегральному уравнению типа Винера — Хопфа, а частотная характеристика при неусечении входного сигнала и произвольном энергетическом спектре аддитивного шума представляется отношением преобразований Фурье входного сигнала и шума. Такой фильтр выводится из рассматриваемого в настоящей статье нелинейного фильтра как частный случай.
Целью статьи является синтезирование нелинейного согласованного фильтра для обработки изображений, структурно представимого двумерным оператором Гаммерштейна п-го порядка.
1. Постановка задачи
Для двумерного нелинейного фильтра, структурно представимого оператором Гам-мерштейна n-го порядка (п > 1), выходной сигнал у (а, ß) как функция двух переменных в
точке р = (а, в) в зависимости от входного сигнала х (г, т) записывается в виде
ТЛ п
у(а, в) = [[Х К (г, т) х’ (а-г, в - т)й?/й?т, (1-1)
0 0 ’=
где К^(г, т),..., Кп (г, т) — неизвестные функции — ядра оператора Гаммерштейна, а [0, Т] х [0, К] — интервал наблюдения (апертура) двумерного согласованного фильтра,
г £ [0,Т], т £ [0,К].
Полагается, что входной сигнал х(г, т) есть аддитивная смесь случайного полезного сигнала s(t, т) с математическим ожиданием /(г, т) и случайной помехи (шума) п(г, т) с нулевым математическим ожиданием, статистически независимой от сигнала s(t, т). Требуется определить ядра К1 (г, т), ’ = 1, п в (1.1), исходя из максимизации отношения
£^ (Р) 2
у = —п-------, где £п( р) — средняя энергия (квадрат математического ожидания) выходного
Оу (р)
полезного сигнала; Оу (р) — дисперсия полезного случайного сигнала и помехи на выходе фильтра, — т.е. из решения задачи
тах_ у. (1.2)
{К’ (г ,т),’=1,п}
Очевидно, для этого необходимо вывести соответствующие уравнения, решениями которых будут искомые ядра Гаммерштейна.
2. Уравнения нелинейного полиномиального согласованного фильтра
Согласно (1.2) сначала запишем выражение для математического ожидания сигнала у (г, т) на выходе фильтра второго порядка:
ТК 2
У(Р) = ЯХ Кг (г, т)^Х’,0) (Р,г, т)йгйт, (2.1)
0 0 ’=1
где тХ’ 0)(Р, г, т) = М[х’ (а - г, в - т)], ’ = 1,2, а М [...] — символ математического ожидания.
При этом случайный полезный сигнал £(г, т) на выходе фильтра должен характеризоваться
математическим ожиданием
ТК 2
р) = ИХ К’ (г, т)т£г,0) (р,г, т)^ат,
0 0 ’=1
где т£’,0)(р, г, т) = М[£’ (а - г, р- т)], ’ = 1,2.
Выражение для дисперсии сигнала на выходе фильтра имеет вид
Оу (р) = М[у 2(р)] - у 2(р). (2.2)
С учетом (2.1) выражение (2.2) запишем в виде
Т КТ К 2
Оу (р) = ЯЯЕ К’ (г>, т>) К (г2, т 2) х
0 0 0 0 ’,] =1
х[mX’,]\Р, t1, т1, t2, т2) -тХ’,0)(Р, t1, тх)тХ0,■/)(Р,г2, т2)]^г1^тх^г2^
где отХ’,к)(Р,г1,тх,г2,т2) = М[х’ (а-г1,в -тх)хк(а-г2,в -т2)], ’,к = 0,1,2.
Теперь найдем искомые функции К1 (г, т) и К2 (г, т), обеспечивающие максимальное значение утах выражения (1.2).
Как следует из соотношения (1.2), для любых функций К1 (г, т) и К2 (г, т) справед-
ливо неравенство
УшахDy (p)- 5г(p) ^ 0 (2.3)
а равенство достигается при максимальном значении выражения (1.2). В подробной записи неравенство (2.3) представляется в виде
ГГ Я Г 2 2 TR
У шах Щ X Kj (^ Т 2) (t1, Т1) Х
10 0 I ] =1 i =1 0 0
: [[[) ([,[, [,/2, т2) - mXi,0)(p,tj,т )m(x.K 1}(p,12,т2)\ltldxl
TR 2 1 TR 2
dt2 dT 2 [
JjT K1 (/2, T2 m1,0) (P,/2, T2 )d/2dT2 • JjXK (t, T)m(’0) (p, t, T)dtdz > 0.
- 0 0 1=j J 0 0 i=j
В этом соотношении левая часть обращается в нуль для функций Ki (t, t), i = 1,2, удовлетворяющих системе из двух линейных интегральных уравнений типа Винера — Хопфа:
2 TR
Т i iKi (t2 , T 2)[mX1,г)(P, t1, T1, ^"2 , T 2 ) - mX1,0)(P, t1, ^Х0’0^ ^^2 , T 2 )]dt2 dT2 =
(2.4)
!=j 0 0 V ^
= mS 1,0)(p,t1, t1); 0 < t1 < T, 0 < t1 < R; j = 1,2.
При этом у max = p).
Очевидно, решение системы (2.4) может быть найдено только при конкретизации характера случайности полезного сигнала и шума.
Действуя аналогично выводу системы уравнений (2.4), получим систему из п линейных интегральных уравнений также типа Винера — Хопфа для вычисления ядер Гаммер-штейна нелинейного согласованного фильтра п-го порядка (n > 2)
n TR
Т i iKi (t2, T 2)[mXj,г)(P, /1, Tb t2, T 2 ) - mXj,0)(P, /1, T1)mX0’г)(P, t2, T 2 )]dt2 dT 2 = i=i0 0 (2.5)
= m(sj,0)(p,tj,Tj); 0 < tj < T, 0 < Tj < R; j = 1,2.
T R
При этом Ymax = T jjKi ^ T)mSi,0)(P, t, T)dtdT = Sn (P).
max
г'=1 0 0
Для нахождения функций К- (/, т), - = 1, и из системы интегральных уравнений (2.5) в общем случае можно воспользоваться стандартными численными методами [14].
Покажем, что из (2.5) получается при п = 1 как частный случай уравнение для определения К1(/, т) — ядра линейного согласованного фильтра. Для этого запишем (2.5) при бесконечных пределах интегрирования и однородных случайных процессах s(t, т) и п(/, т) с корреляционными функциями Rs (/, т) и Rп (/, т) :
ад ад
| |К^2,т2)[Яж(Ь -12,т -Т2) + Яп(tl -12,т -т2)]#2dт2 = /(а-^,в -тД (2.6)
—ад -ад
-ад < 11 < ад, -ад < Т1 < ад.
Взяв двумерное преобразование Фурье от (2.6), получим соотношение
К (ю,, Ют )Я ^, “т) + Яп ^, “т)] = ехрН(ю,а + ЮтР)]-~* (“^, “т), (2.7)
где К1(ю(, ют), Ях (а(, ют), Яп (<ю(, ют), Р(ю,., ют) — преобразования Фурье функций К1(/, т), Ях (/, т), Яп (/, т), / (/, т) соответственно, а Р * (а(, ют ) — комплексно-
сопряженная функция к Г (ю(, ют).
Из (2.7) получаем выражение для частотной характеристики ~ (ю Ю ) ~(Щ,Ют)ехРН(Ща+штв)]
, Щ ) =-~~------------------.
Я, (Ю,, Ют ) + Яп (Ю,, Ют )
Выражение совпадает полностью с К1(ю( , ют), приведенным в [2] для линейного согласованного фильтра.
З.Уравнения фильтра для случайного нормального двумерного поля
Пусть полезный сигнал , (/, т) и шум п (/, т) — нормальные двумерные случайные поля с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями К, (^, тх, /2, т2) и Кп (^, тх, /2, т2). Двумерный согласованный фильтр представим оператором Гаммерштейна второго порядка, и пусть для определенности а = 0 и р = 0. При таких исходных данных из системы (2.4) следует, что К (/, т) = 0, а для определения функции К2 (/, т) получим интегральное уравнение
T R
JJk 2 (t, т) K2 (tj, ij, t, x)dtdx = — Ks (tj, ij, tj, Xj).
0 0
(3.1)
Аппроксимируем функцию Kx (tj, xj, t, т) выражением
Kx (tj, XJ, t, X) =
2фіі (tj )9jz(t )Dji
i=j
Z^2 j (X j)92 j (X)D2 j L j=j
а функцию Ks(tj, Xj, tj, Xj) — выражением
Ks (tJ, XJ, tJ, Xj) =
"1 2 X Vjk (tj)Fj* ■ 2 V21 (Xj )V21
k=j
. г=j
где 9ji (t), Ф2j (t), Vjk (t), (t), i = j, wj , j = j, w2, k = j, wj, l = і, w2, — системы ортонорми-
рованных функций, а Dji, D2j, Vjk, V21 — заданные числа.
В этом случае, если функцию K2(t, x) представить в виде K2(t, x) = u(t) p(x), то интегральное уравнение (3.j) распадается на два одномерных интегральных уравнения
г
J u(t)2Фіі (tj)Фіі (t)Dudt = fj (tj),
0 i=j
R n2
J P(x)2 Ф2 j (Xj )Ф2 j (x)D2 }dX = f2 (x1 ),
(3.2)
где
І=1
1 т і т2
/1(і1) = -72’ ^^1* , ^2(Х1^“72'^^2г (хі)^2г•
л'2 ¿=і л'2 г=і
Решения уравнений (3.2) ищем в виде
Пі П2
и(1) = ^ АтФ1т 0іX Мт) = ^Ф2г (т)Вг ,
т=1 г=1
где Ат, т = 1,п1, Вг, г = 1,п2 — неизвестные постоянные.
Выберем на отрезке [0,Т] систему точек Х1,X2,...,X а на отрезке [0,Я] — систему
точек а1,а2,...,а После подстановки функций и (?) и р (т) в уравнения (3.2) и (3.3) по-
требуем, чтобы в этих точках выполнялись равенства их правых и левых частей. В результате для расчета коэффициентов Ат, т = 1, п1 и Вг, г = 1, п2 получим две системы линейных алгебраических уравнений
где С]ш = ф1т ; )Ам, &кг = ф2г (ак )®2т.
В свою очередь указанные коэффициенты определяют искомую функцию К2(/, т).
1. Синтез нелинейного полиномиального согласованного фильтра для обработки изображений, представимого оператором Гаммерштейна, сводится к определению ядер Гам-мерштейна путем решения системы линейных двумерных интегральных уравнений типа Винера — Хопфа. Частным случаем решения этой системы является линейный согласованный фильтр.
2. Для синтеза нелинейного полиномиального согласованного фильтра используется минимальное количество априорной информации о вероятностных характеристиках случайного входного сигнала: одномерные и двумерные моменты заданных порядков. Это особенно важно при синтезе фильтра для негауссовских входных сигналов.
3. Приведенный пример синтезирования согласованного фильтра второго порядка для случая нормальных двумерных случайных полей показывает возможность применения стандартных вычислительных схем решения полученных интегральных уравнений согласованной фильтрации.
1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. 654 с.
2. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. М: Мир, 1982. 678 с.
3. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т.2. М.: Сов. радио, 1962. 831 с.
4. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, 1977. 320 с.
5. Проектирование и техническая эксплуатация телевизионной аппаратуры / Под ред. С.В.Новицкого. М.: Радио и связь, 1994. 360 с.
6. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988. 488 с.
7. Jun Shen. // Pattem Recognation. 1995. V.28. №12. Р.56-62.
8. Потапов А.А., Колесников А.И. // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. №7. С.34-42.
9. Дмитриевский А. А., Иванов Н.М., Лысенко Л.Н., Богодистов С.С. Баллистика и навигация ракет. М.: Машиностроение. 1985. 312 с.
10. Катулев А.Н., Кузнецов В.Н., Малевинский М.Ф., Соломаха Г.М. // Автоматика и телемеханика. 2003. №9. С.77-88.
11. Харкевич А.А. Борьба с помехами. М.: Наука, 1965. 276 с.
12. Френкс Л. Теория сигналов. М.: Сов. радио, 1974. 344 с.
13. Астапов Ю.М., Медведев В.С. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1982. 304 с.
14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 602 с.
m=1
n2
r=1
Заключение
