Двумерные стационарные течения газа при слабом подводе энергии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977

№ 4

УДК 533.6.011

ДВУМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА ПРИ СЛАБОМ ПОДВОДЕ ЭНЕРГИИ

А. Н. Кучеров

Предложен метод построения решения для плоских течений невязкого газа при слабом подводе энергии но заданному закону в замкнутой области произвольной формы. Выполнены расчеты для Гауссова закона подвода энергии в сверхзвуковой поток и для круглой зоны с постоянной интенсивностью подвода энергии в сверхзвуковой и дозвуковой поток слабопоглощающего газа.

Вопросу о течениях при подводе энергии посвящено ДОВОЛЬНО много работ. В работе [1] приведено двумерное решение для линейного теплового источника в сверхзвуковом и дозвуковом потоке. На основании результатов этой работы в работе [2] была сделана попытка построить решение для плоского сверхзвукового течения с непрерывно распределенными источниками тепла. Однако при переходе к интегралам по непрерывно распределенным источникам была допущена ошибка (см. формулу (42) работы [2]), которая была использована при расчетах в работах [3—5]). В работе [6] рассмотрен гиперзвуковой предельный случай для течения совершенного газа с подводом энергии в замкнутой области. В работе [7] сделана оценка влияния подвода энергии в газ на сопротивление и подъемную силу в некоторых аэродинамических задачах и, в частности, рассмотрено течение Прандтля — Майера при подводе энергии. Следует отметить также, что решение для однородного тепловыделения в круге, в сверхзвуковом потоке газа, было получено в 1972 г. М. Н. Коганом и В. А. Жаровым, а точное автомодельное решение для течений с теплоподводом типа Прандтля — Майера впервые получено в работе [8].

1. Рассмотрим задачу о воздействии лазерного луча на однородный равномерный поток газа. Пусть ось луча перпендикулярна направлению скорости невозмущенного газа, В слабопоглощающем газе в первом приближении течение можно считать плоским, причем в некоторой области (сечение луча) будет подводиться энергия g(x, у) в единицу времени на единицу площади, пропорцио-

нальная функции распределения интенсивности излучения в выбранном сечении ([9]).

Для случая больших чисел Рейнольдса течение совершенного газа внутри области подвода энергии описывается следующими безразмерными уравнениями:

где М2 — Роо — квадрат числа М в невозмущенном потоке;

<3 = а/й//(р00иоо/г00)-—параметр подобия, характеризующий степень подвода энергии; а — коэффициент поглощения газа; /0 — характерная интенсивность излучения в выбранном сечении луча; I — характерный размер зоны подвода энергии; рга, их, раз, hx— = T/V(T-1) Poo плотность, скорость, давление и энтальпия в набегающем потоке; х — показатель адиабаты.

Безразмерные функции р, и, v, р получены путем отнесения размерных физических величин к соответствующим параметрам в набегающем потоке.

Функция g (х, у) есть безразмерная интенсивность излучения в выбранном сечении z = const. Ось л; направлена по потоку невозмущенного газа, ось z — по направлению распространения луча. Считаем, что характерные размеры зоны подвода энергии в направлении х и у одного порядка (см. фиг. 1,а).

Пусть подвод энергии является слабым, т. е. параметр Q значительно меньше единицы (Q<1). Тогда решение будем искать в виде ряда по малому параметру Q:

Подставим эти разложения в исходные уравнения (1). Для главных членов возмущения параметров потока получим следующую систему уравнений:

где х0 (у) — уравнение участка границы ADC зоны подвода энергии, обращенного навстречу потоку.

2. Для построения решения в сверхзвуковом потоке перейдем к характеристическим координатам т(: % = х — р_у, ■ц — х-^^у, $ = ]/М3—1. После интегрирования первых двух уравнений си-

(1)

р(*. ,y) = i+Qp* (х, >') + ••• и — 1 -f- Qu* (х, _у) “Ь ■ • • р= 1 + Qp* (х, у) + ... v = Qv* (х,у)+...

dv* _|_ 1 др* ___р.

дх 1 -jM2 ду ’

и* = — yP*/-fM2,

(2)

-Го O')

стемы (2), находим общие выражения для главных членов возмущения поперечной скорости и давления:

Р* = ТМ2/(4Р*) 1^! (?, 71) + 02 (6, 7)) +/(£)+ <Р т |

Здесь введены обозначения

0\ (&, | ё (?', п) О, (5, 7]) =| g (?, 7)') ^7)'.

о о

Произвольные функции /(?) и <р (•/]) зависят, как увидим далее, от геометрической формы зоны подвода энергии. Последняя определяет также разбиение поля течения на области с различными

функциями /(I) и ср (к)). Принцип построения решения аналогичен принципу построения решения Аккерета для тонкого профиля. Отличие заключается в том, что вместо условия непротекания на поверхности тела будем использовать условие непрерывности давления и поперечной составляющей скорости на границе зоны подвода энергии. Поэтому естественно, что существенную роль при построении решения играет уравнение границы зоны подвода энергии.

Рассмотрим зону подвода энергии, имеющую форму круга (см. фиг. 1,6). В качестве характерного размера I возьмем радиус круга. Тогда уравнение границы зоны подвода энергии в переменных т) есть

(т) + £)2/4 + (г, - Е)2/4р2 1

или

I = /=■*(7!) = [—-ч(Р2- 1)НЬ2Румнг]/Мг; -ц = г±а).

При построении решения нам понадобятся как „прямая" связь |=/:±(7)), так и „обратная" т) = р+ (I). В данном случае они совпадают в силу симметрии уравнения границы относительно перестановок £ и ц.

Решение для функций р*, V*, и* (х, у) будет иметь различный вид в пяти занумерованных областях, разделенных касательными характеристиками {А, т\в, £с, и границей АВСБ зоны подвода энергии (см. схему течения на фиг. 1,6). Пунктирные линии ограничивают тепловой след для плотности и энтальпии (температуры) за зоной подвода энергии. Из-за наличия теплового следа, для плотности и энтальпии появляются еще две области 2' и 4', в которых решение меняет вид функциональной зависимости от координат по сравнению со смежными областями. Предложенное разбиение однозначно. Если провести какие-либо дополнительные характеристики например ч\А и или и т]С, то получим, что решение имеет одну и ту же функциональную зависимость справа и слева от характеристик \в т\а и т. д. Общее правило разбиения поля течения на области с различными функциональными зависимостями решения будет сформулировано позже.

Непосредственной проверкой в конкретных точках можно убедиться в том, что на дугах

АО : 6 =/=■_ (т|), = /?_(?); АВ-Л = Р_{-п), 4 = ^+0); 1

ВС : £ = Р+ (7)), 7) - Г+ (?); СЭ Л — (7)), 7, = (5). )

В области, расположенной выше по потоку от дуги АО и характеристик %А и ч\0 поток невозмущен. Следовательно, для решения в области 1 на дуге И справедливы соотношения:

р1'АО = 1 М2/(4р2) [<?1 (6, ч) + 02 (5, т]) + /х (£) + ?1 (7))]/ло = 0;

■0*/до = 1/(4Р)[ — (?! (?, 7]) + С?2(£, 7)) + /! (£) — ?! (7])]/лО — 0.

Нижний индекс (р*и V*, (£) и т. д.) введен для обозначения

номера области, в которой строится решение. Складывая и вычитая приведенные выше уравнения и учитывая соотношение между

I и 7] на дуге АО (см. (4)), получим выражения для функций /г (?) и ^ (п):

А (?) = - е2 [I, (?)]; ?1 (ч) = - о, (ч),' ч].

Таким образом, для области 1 имеем следующее решение:

рх = тМ2/(4|32) г*=1/(4р)

5 ?]

- і г(Є', ч)<Й' + і

(1) (5)

и*1 = — />1/тМ8; р\ = р1/1— ^ё{х',у)с1х'.

—У1_уа

В области 2 решение будет зависеть только от ?, так как возмущения от зоны подвода энергии в эту область приходят только вдоль характеристик ?:

Р*2 =/2 (2) тМ3/4р2; *=/2 (6)/4р; «2 = — />3/тМ*; р2=/?*/т- (б)

Условие сопряжения решений для областей 1 и 2 на дуге А# (равенство поперечных компонентов скорости “У* и главных членов возмущения давления /?*) позволяет определить функцию /2 (?):

/=Ц_(Е)

Л (6) = <?,[*, /4(5)] -е2 [!,/=•-(£)]= I гОї.^Лі'.

/=■- (5)

(7)

Таким образом, /2 (I) является интегралом по всем источникам энергии, расположенным на данной характеристике

В область 4 возмущения приходят только вдоль характеристик 7). Используя условие сопряжения решений на дуге СО и соотношение (4), находим

р\ = тМ2/4р <р4 (т)); г/* = — ?4 (*|)/4Р;

И4=—р*/-М2; р* —р'іІТ’ ?і(гІ)= I ё (?', Ч) &!.

Р— (ч)

(8)

Функция <р4 (т|) есть интеграл по всем источникам энергии, расположенным на данной характеристике ід.

В область 3 возмущения от зоны подвода энергии приходят вдоль характеристик обоих семейств (£ и т]). Из общего соотношения (3) следует, что функция /?3 есть сумма двух функций, одна из которых зависит только от другая — только от ід, а поперечная составляющая скорости г** есть разность этих функций:

РІ = їМ2/(4|3*) [/, (5) + <рз (ч)]; «;=[/, (5) - Ъ (Ч)]/4Р; «з = - Рз/тМ2. (9)

Из условия сопряжения с решением области 1 на дуге ВС находим, что /3 =/2 (£); ?3 (1і) = ?4 (7))- Следовательно, при разбиении поля течения на области с различными функциями /(£) и <р (■»)) нет необходимости проводить характеристики \в и г1С.

Главный член возмущения плотности в области 3 равен, согласно (2):

V 1-У3

Рз = ріп - ё (Хг, у) йх’. (10)

-V1—у1

Добавочный член равен интегралу (с отрицательным знаком) по всем источникам энергии, расположенным на линии тока _y=const. В рамках линейной теории значения главных членов возмущения можно „сносить11 с истинных линий тока на близлежащие прямые линии у = const, отстоящие от истинных линий тока на малые расстояния Ay—Q. Таким образом, для главного члена возмущения плотности (энтальпии) за зоной подвода энергии имеется тепловой след, обозначенный на фиг. 1 пунктирными линиями. Область теплового следа отсекает от областей 2 и 4 подобласти 2' и 4', в которых главный член возмущения плотности равен

Vi-va

Р — j g(x',y)dx’, i = 2,4. (11)

-Y l-y3

В область 5 возмущения от зоны подвода энергии не попадают ни по характеристикам Е, ни по характеристикам -ц. Следовательно, функции pi, vl, ul(x, у) тождественно равны нулю. Главный член возмущения плотности отличен от нуля только в тепловом следе и равен

Y

Р5=— J g(x’,y)dx'. (12)

-Y i-у2

Формулы (5)—(12) описывают решение для произвольного закона подвода энергии g(х, у) в круглой зоне. Рассмотрим два конкретных примера.

Пусть функция g (х, у) равна g (х, у) = ехр (—х1 — у*) (Гауссова функция распределения). Тогда формально можно считать, что зона подвода энергии есть круг бесконечно большого радиуса. Из (5) для главного члена возмущения плотности, например, получим:

На фиг. 2, а построены линии равных плотностей для Гауссовой функции подвода энергии при числе М = 2. В отличие от результатов работы [3] ясно выражены максимум плотности в области характеристик, исходящих из зоны подвода энергии и минимум плотности в тепловом следе.

При однородном тепловыделении ^(х, у) = сопз! = 1) в круге единичного радиуса для главного члена возмущения плотности из (5)—(12) можно получить следующие выражения:

Р; = (V М2-|2 + 1/М2 — У]2 )/2р — ут=у*; Р2 = ]/М2 -

Р2' = Р2 - 2 VГ=У; рз = (УШ^-Р + VМ^Г8)/Р-2УТ=у*; р4 = /М2 — 1Г]2/Р; р*- == Р4 — 2 У \ — у2.

У 2

1

0

У

2

1

-10123 4 5х

6)

Фиг. 2

ff(x,y)=e'x -У*;М=2

р*=0,01 0,05 0,1 0,2 0,5 0,8

1 0 1 2 З Ч х

«■)

а) У? //'.J у^/У'8 /

,2 Xff

УК 7/Ч 10

ч УчО-

Ч .5 -9 \

9) YT^M^YF

^3 1S ^^ 8 ^

7з^

1 їт-<С^ 1^><С 10

іч^-

5 16 ...\ 9

8)М-у if

Фиг. 3

На фиг. 2, б построены линии равной плотности для однородного тепловыделения в круге единичного радиуса при числе М = 2. Картина линий равной плотности качественно отличается от результатов работы [4]. Интересно отметить, что возмущение плотности внутри зоны подвода энергии является симметричным также и относительно продольной координаты х.

Можно видеть, что результаты для Гауссовой функции g {х, у) = ехр (—х2—у2) и для однородного тепловыделения ё У) — \ 8 круге качественно совпадают в тепловом следе и в волнах Маха.

Перейдем к рассмотрению зоны подвода энергии в форме квадрата, обращенного плоской гранью навстречу потоку (фиг. 3). В качестве характерного размера естественно взять сторону квадрата. Уравнение границы зоны подвода энергии в переменных 5, tj можно записать на различных гранях:

AD : т, = — 1 ВС: ц = 1 — 5;

АВ :ц — р + £; CD : т] = - р +1

В зависимости от значения числа М возможны три случая разбиения поля течения на области с различными вариантами общего решения (3). В том, что разбиение выполнено правильно, можно убедиться в ходе построения решения. Различие между случаями а, б, в не существенно.

Для всех случаев введена общая нумерация областей (1—17). Ввиду того, что ход построения решения не содержит принципиальных отличий от рассмотренной выше задачи о подводе энергии в круге, приведем окончательные результаты:

■ 5 1 -

| £(£', -4)41' + | ё^,Ч')Н

.-\~Т1 -1-£ -

6 И ~

.-р+Ч -1-6 -

- £ 71

I ё (&', Ч) & + | £ (5, V) йг{

--1-71 ~Р+е '

£ т) -

Рб = -*ш- I ё (?', ч) | ё (6, V) йц'

—Р+И -?+5 ■

Р1 = *

/»2 = *

Р4 =

7 М2 4р

7М*

4[52

-(М2

^М2

~W

Vi = w

£ 'П

- j ё (&', ч) № + j ё (S. Y)

(t =1,2, 4, 6)

с соответствующими нижними пределами интегрирования; Ж i-E

р*= -яг- J YMY; />8=-^ J г (6. V)

/>и =

-1-5

Р + 5

—(3+£

1 + е

f г (5. V) rfV; ^*б = -Йг- 1 ё -п') Н-,

S + 5 и -1-5

4f33 J ' “”i ’ г‘о— 4^з

(у — 3, 8, 11, 15) с соответствующими пределами интегрирования;

Ра = | Ш (6\ *1) Л1'\ р\6 = | g (V, V]) М',

^ | £ (5', *|) <«' (Л = 5, 9, 12, 16)

с соответствующими пределами интегрирования;

р*1=р1 + р1\ р*и = р1 + р*ь\ Ры = р1-\-р*ш\ р*7 = р*5 + р\б\ />*о = 0;

^* = ^8 + 1»э; ^13 = ^9 + -У15; г>*4 = ^8 + г'к ^7 = ^15 + г»1б; Ъ*о - 0.

Нижний индекс т обозначает номер соответствующей области.

На основе двух рассмотренных выше примеров (круг и квадрат) можно выявить характеристики, которые ограничивают области с различными функциями f (Е) и <р (т;). Этими характеристиками являются прямые, касающиеся зоны подвода энергии, уходящие вниз по потоку, и аналогичные прямые, уходящие вниз по потоку, из точек излома границы зоны подвода энергии. При построении решения можно было заметить, что существенным является не наличие излома границы зоны подвода энергии, а смена функциональной зависимости ^ = (либо -ц = Ф (5)) в некоторых точках границы. Если меняется зависимость Ё = Р (у) в некоторой точке А, тогда Для выделения областей с различными решениями следует провести характеристику т)д вниз по потоку из этой точки. Если же меняется зависимость -ц — Ф (5), тогда следует провести характеристику \а- Это правило замыкает общий метод построения решения для сверхзвукового течения с подводом энергии по любому заданному закону в произвольной по форме зоне. Предложенный метод является более формальным, но, с другой стороны, более строгим, чем метод работы [2], и дает удобные в практическом использовании расчетные формулы.

3. Рассмотрим случай дозвукового набегающего потока. Обозначим 5 площадь зоны подвода энергии АВСИ (см, фиг. 1, а). Интегрируя по всем источникам тепла дозвуковое решение для линейного источника работы [1], получим следующие выражения для главных членов возмущения компонент скорости и давления:

и* = — /7*/^М2, (/=1, 2, 3,. . ., 17);

X

р*т=р*т/ч — | g(x', у) йх' — внутри зоны подвода энергии;

-1/2

1/2

?тТ=Рп1~1 — вне зоны подвода энергии и вне теп-

лового следа.

'? + Р2 (у —У)2 р* (х, у) = — ?м2 и* (*, .у);

£ (■*'. УН.У — у’)

-л:')2 + р(у-уу

-Т^йх' йу'.

(14)

Аналогичный результат получен в работе [7]. Согласно последнему соотношению системы (2), главный член возмущения плотности равен

X ч

р* (х, у) = р* (х, у)!ч — | £ (а:', _у) йх' — внутри зоны под-

Хо (у) вода энергии;

*| (У)

р*{х,у) = р*/ч— ]" £ (х', .у) с/х' —в тепловом следе;

ХоМ

Р* (■*. У) — Р*И — вне зоны подвода энергии и вне теплового следа.

Здесь хх (у) есть уравнение „теневого" участка границы АВС зоны подвода энергии (см. фиг. 1 ,а).

Следовательно, дозвуковая задача о подводе энергии по любому заданному закону ё (х, у) в произвольной замкнутой области сводится к вычислению двухкратных и однократных интегралов в соотношениях (13) и (14).

Особые интегралы в выражениях (13) берутся в смысле главного значения. Например, для случая однородного тепловыделения в круге ё{х,у)= 1, выполнив однократное интегрирование, можно получить следующее выражение для главного члена возмущения плотности:

1

Р* (X. У) = 1 {1п [(/Г(У-У'П- 1п [(УТ=7*+х? +

+ Р2 [у—У')2] <*у' + ДР.

внутри зоны подвода энергии;

где Др =

V1—У2

—2 V1— у2 — в тепловом следе;

О —вне зоны подвода энергии и вне теплового следа.

Подынтегральное выражение имеет особенность при у' -—у, х = +|/1—у2, но интеграл сходится в смысле главного значения.

р** --0,2 0 д1х,у) = 1; М= 0,8 -0,2 -0,2 -0, 15

V к \

"(Я 4 -1

-2

-10 12 Фиг. 4

х

Окончательные результаты для этого случая, полученные путем численного интегрирования, представлены на фиг. 4. Дозвуковые решения (13) и (14) остаются справедливыми в случае, когда число М мало по сравнению с единицей, но больше по порядку, чем число Кнудсена. В противном случае необходимо учитывать теплопроводность (см. [9]). Сверхзвуковые решения п. 2 справедливы в гиперзвуковом предельном случае. Околозвуковые режимы требуют специального исследования.

Автор благодарит В. В. Михайлова за полезное обсуждение результатов и ряд ценных советов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Tsien Н. S. and Be i lock M. Heat source in a uniform flows. Journal of the aeronautical sciences, vol. 16, N 12, Dec. 1949.

2. Fuhs A. E. Quasi area rule for heat addition in transonic and supersonic flight regimes. TR—72 -10, 1972, Air force aero propulsion lab., Wright—Patterson air force base, Ohio.

3. Biblarz O. and Fuhs A. E. Density changes in a laser cavity including wall reflections and kinetics of energy release. A1AA — paper, № 73—141, A1AA 11-th Aerospace sciences meeting, Washington, D. С./ (January 10—12, 1973).

4. Фас А Неоднородность плотности в резонаторной полости лазера, возникающая в результате освобождения энергии. Ракетная техника и космонавтика, т. И, № 3, 1973.

5. Библарц О., Фухс А. Зависимость изменений плотности газа в резонаторе лазера от кинетики процессов энерговыделения. Ракетная техника и космонавтика, т. 12, № 8, 1974.

6. К о г а н М. Н., Михайлов В. В. Об автомодельных решениях при выделении энергии в потоке газа. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1974, № 6.

7. Z i е г е р J. Theory of flows in compressible media with heat addition, AQAR Dograph, N .191, 1974.

8. Б у к о в ш и н В. Г. Некоторые задачи движения газа с подводом тепла. Труды ЦАГИ, вып. 384, 1961.

9. Кучеров А. Н. Одномерное стационарное течение газа при подводе энергии в конечной области. .Ученые записки ЦАГИ", т. 7, № 1, 1977 г.

Рукопись поступила 6jVIl 1976 г.