CC BY
0УДК 51
Керимов Т.
старший преподаватель кафедры высшей математики и информатики
Туркменский государственный институт экономики и управления
(г. Ашхабад, Туркменистан)
ДВУМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Аннотация: в этой статье представлен краткий обзор двумерных распределений и их условных законов распределения в теории вероятностей. Также обсуждаются линии регрессии и корреляция в теории вероятностей.
Ключевые слова: вероятность, теория, двумерная переменная, распределение, закон, регрессия, корреляция.
Как мы знаем, когда два случайных события связаны, условная вероятность того, что произойдет одно событие, отличается от безусловной вероятности того, что произойдет другое событие. Аналогично, чтобы исследовать влияние одной случайной величины на изменение другой переменной, рассматривают условное распределение первой переменной при фиксированном значении второй переменной.
Пусть величина X примет значение Х=хь В этом случае другая величина Y вообще может считать, что ее возможные значения у1, у2, ... , у] , ... желательны, но вероятности этих значений равны Р(у1), Р(у2), ... , Р(у]), ... они отличаются от вероятностей.
Действительно, если событие X=xi наблюдается, то условная вероятность события Y=yj будет равна отношению Р(х^у])/Р(х^ согласно формулам (1.13). Это условная вероятность
Обозначим через Р(у]М). Тогда ( / ) ( ) ( ) ( ) (2.49)
Определение. Что принадлежит тому же условию X=xi
Р(у1 / х1), ( уМ), ... , р(хад
совокупность условных вероятностей называется условным распределением переменной Y, для которой Х=х^
По правилу сумма условных вероятностей также должна быть равна единице.
Чтобы суммировать эти условные законы распределения, мы бы использовали те же дескрипторы, что и для одномерных распределений.
Более важной характеристикой является условное математическое ожидание М^/х) величины Y при фиксированном значении Х=х, где х равно одному из значений х1, х2,..., х1,... .
Аналогичным образом вводятся понятия условной дисперсии и условных моментов высшего порядка.
Согласно соответствующей формуле математическое ожидание М^/х) рассматривается как центр масс р^ , у)), расположенный по ординатам Yj 0=1,2, ...) вдоль вертикальной линии Х= х=конст. При изменении X, то есть при переходе от одного столбца таблицы 2.12 к другому, изменяется и М^/х).
Эта функция называется регрессией Y по X или функцией регрессии. Здесь, хотя Y является случайной величиной со значениями У, меняющимися при каждом значении Х=х, зависимость У от X часто отражается в изменении средних значений (значений) У при движении от одного значения х в другой. Эта последняя связь также описывается кривой регрессии ( ).
Если величины х и у непрерывно распределены, их совместное распределение р(х,у) представляет собой плотность вероятности и является интегрируемой функцией. Тогда Q(X,Y) — вероятность того, что случайная точка попадет в любую область G плоскости Оху.
Р(ОХ,У)ГЮ )=//0 р (х,у ) ёх,ёу
определяется в формуле. В этом случае вероятность того, что точка Q(X,Y) попадает в набор изолированных точек оси, входящей в состав гладкой
кривой (т.е. в область G), равна нулю. Кроме того, р(х,у)=0 предполагается даже в тех точках, где (Х,У) не принадлежат возможным значениям величин.
Геометрически функция 7=р(х,у) образует поверхность распределения.
Для получения конкретной информации о двумерном распределении и его характеристиках, в частности, линиях регрессии, на практике используются результаты п наблюдений, каждому из которых присваиваются совместные значения величин X и Y. использовал. Набор таких данных обычно имеет форму корреляционной таблицы.
Пусть дана система случайных величин (Х,У) с п баллами, полученными в результате п испытаний:
(х1, у1), (х2, у2), ... , (хп,уп)
(эти точки могут содержать перекрытия). Для этого необходим расчет коэффициента корреляции системы случайных величин.
При достаточно большом значении п, предполагая закон больших чисел, можно заменить математические ожидания М(Х) и М^) среднеарифметическими значениями соответствующих случайных величин в формулах, определяющих 2 2 , X Y и Сху. В этом случае используются приближенные уравнения.
Если неравенство выполнено, то связь между случайными величинами X и Y предполагается достаточно вероятной.
Для построения уравнений линейной регрессии выполняются следующие шаги:
• По исходной таблице значений (Х,У) X У ху ХУ , ,С ,г значения следует рассчитывать по формулам (2.63),
• Проверить гипотезу (2.64) о связи величин X и Y неравенством,
• ( ) ( ) должен построить уравнения линий регрессии и построить графики этих уравнений.
Одной из основных функций МС является оценка математического ожидания, дисперсии и закона распределения случайной величины на основе экспериментально полученных значений интересующей переменной, а также
определение достоверности полученных оценок. Давайте представим концепции, необходимые для решения таких проблем.
Набор x1, x2,...,xN значений изучаемой случайной величины X (однородных объектов), полученных на основе экспериментов, называется основным набором. Когда N — большое число, из основного набора случайным образом выбирается меньший набор и называется набором выбора. Количество элементов простого или выделенного набора называется объемом набора. Если полученное множество достаточно хорошо описывает количественные отношения родительского множества, то оно называется репрезентативным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Аннаев Т. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для вузов. -А.: ТДНГ, 2013;
2. https://tsiem.edu.tm
Kerimov T.
Turkmen State Institute of Economics and Management (Ashgabat, Turkmenistan)
BIVARIATE DISTRIBUTIONS AND THEIR CONDITIONAL DISTRIBUTION LAWS IN PROBABILITY THEORY
Abstract: article provides a brief overview of bivariate distributions and their conditional distribution laws in probability theory. Also discussed are regression lines and correlation in probability theory.
Keywords: probability, theory, bivariate, distribution, law, regression, correlation.
