Двумерные корреляционные функции и обнаружение случайных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Доклады БГУИР

2010 № 3 (49)

УДК 621.396.96

ДВУМЕРНЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ОБНАРУЖЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

В.А. ЧЕРДЫНЦЕВ, А.В. МАРТИНОВИЧ

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь

Поступила в редакцию 14 апреля 2010

Проведен анализ двумерных корреляционных функций и предложены алгоритмы автокорреляционных обнаружителей случайных последовательностей. Дано сравнение качественных показателей энергетических и автокорреляционных обнаружителей случайных последовательностей.

Ключевые слова: двумерные корреляционные функции, случайные последовательности, скрытые периодичности, энергетический и автокорреляционный обнаружители.

Введение

Обнаружение выборочных функций случайных процессов — одна из задач радио- и гидролокации. Для передачи информации в качестве переносчика дискретных сообщений также могут использоваться случайные процессы. Алгоритмы обнаружения сигналов на фоне шумов в указанных случаях сводятся к энергетическому приему, суть которого состоит в сравнении двух гипотез: наличие в наблюдаемом процессе суммы случайного сигнала и шума либо наличие только шума. Качество энергетического обнаружителя определяется эффективной базой сигнала БЭ=АР-Т, где АР — полоса спектра сигнала, Т — время наблюдения [1].

С появлением новых классов сигналов, например, хаотических последовательностей, наряду с традиционными методами корреляционного приема используют алгоритмы синхронного отклика, работающие, однако, при относительно малых уровнях шума [2].

В зашумленных каналах передачи обнаружение хаос-последовательности может осуществляться на основе энергетического приема. Алгоритмы автокорреляционного приема псевдослучайных и случайных двоичных последовательностей позволяют существенно повысить качество обнаружения за счет выделения колебаний тактовой частоты последовательности [3, 4]. Такой подход может быть использован применительно к хаос-последовательностям, а также случайным последовательностям, формируемым тактируемыми генераторами шума.

Цель статьи:

1) выявить особенности двумерных корреляционных функций случайных последовательностей, показать наличие в них скрытых периодичностей и оценить их параметры;

2) сравнить качественные показатели автокорреляционных и энергетических обнаружителей случайных последовательностей.

Двумерные корреляционные функции случайных последовательностей

Случайная последовательность (СП) h(t) — процесс, смена состояний которого происходит с тактовым интервалом тЭ, определяющим длительность элемента последовательности. Примером СП является хаотический процесс, описываемый отображением n-го порядка [2]:

hk=f(hfc_i, ..., hk-n), k, n=l, 2, ... ;

где /— некоторая нелинейная функция, определяющая плотность распределения вероятности (ПРВ) мгновенных значений последовательности.

Другим примером СП может служить марковский процесс Х(Д), у которого область значений — непрерывное множество, а область определения — дискретное. Марковская «-мерная последовательность Хк=Х(4) в дискретном времени описывается уравнением

Хк+1=Фк(Хк, Жк, 4),

где Фк — «-мерная неслучайная вектор-функция своих аргументов; ^к(4) — взаимонезависимые выборки га-мерного случайного процесса с известными ПРВ.

Пример реализации случайной последовательности Н(1) показан на рис. 1.

Рис. 1. Пример реализации случайной хаос-последовательности

Определим двумерную корреляционную функцию (ДКФ) случайной последовательности Н(1) с длительностью Т:

¥ т,П =

Модуль ДКФ, нормированной относительно энергии СП, представляет функцию неопределенности (ФН) последовательности [1].

Применительно к задачам радиолокации обычно рассматривают сечения ФН в области [т, О] большой корреляции (| т | ~ тк, О ~ 0), характеризующие разрешающую способность по дальности и скорости [1].

В работах [3, 4] показано, что ДКФ двоичной случайной последовательности Н(1) содержит регулярные компоненты в полосе | т | < тЭ на частотах /= к/г, к = 1,2,...и, /г = 1/тЭ. На рис. 2 приведен фрагмент модуля ДКФ, показывающий присутствие регулярных компонент на частотах О = 2/ в полосе задержек | т | < тЭ при фиксированном значении Т для случайной последовательности, представленной на рис. 1.

Рис. 2. ФН случайной последовательности

Уровень регулярных компонент в спектре произведения функции Н(1)Н(1-т) зависит от величины | т | < тЭ и от длительности Т последовательности. Средняя мощность колебания на частоте к/т определяется выражением

о

гм =

Vï

nk

■ 2 sin

^ пкт ^

т < т

V тэ У

где (а2) — средняя мощность СП, величина которой определяется плотностью распределения вероятности (ПРВ) случайной последовательности. Для СП наибольшая мощность Р1 колебаний тактовой частоты достигается при | т | = тЭ. В случае двоичной СП средняя мощность Р1(гЭ/2) = а4/л2. Если ПРВ является гауссовской с нулевым средним и дисперсией а2 = а2, то т = тЭ/2 обеспечивается такая же средняя мощность колебаний тактовой частоты, как в случае двоичной СП.

Таким образом, при различных ПРВ можно получить требуемый уровень выделяемых регулярных компонент СП. При формировании СП с заданной ПРВ целесообразно использовать критерий минимизации информации Фишера:

d\nW(h)

dh

W(h)dh = min.

wulh)

При фиксированном значении т в области | т | < тЭ помимо первой гармоники колебаний тактовой частоты выделяются компоненты на кратных частотах. На рис. 3 приведена спектральная диаграмма процесса Н(?)Н(—) при т = тЭ/2, представляющая сечение модуля ДКФ последовательности, представленной на рис. 1. Выделенные спектральные составляющие частоты и ее нечетных гармоник соответствуют спектру меандровой последовательности ш(1), содержащейся в СП1 к1(() = Л(0Л(г-тЭ/2).

Рис. 3. Спектральная диаграмма процесса h(t)h(t-T) при т = тЭ/2 В рассматриваемом случае справедливо представление h(t)h(t—i^/2) = m(t) + h2(t),

(1)

где Л2(0 — случайная последовательность с тактовым интервалом тЭ/2, ш(?) — меандровая последовательность.

Преобразование (1) может быть положено в основу построения обнаружителей СП в каналах с помехами.

2

Обнаружение случайных последовательностей

Задача обнаружения СП сводится к обнаружению СП1 Н1{() в аддитивном шуме ^(0. После предварительного фильтра (ПФ) наблюдаемый процесс г(0 = И({) + «(¿) преобразуется в = г1(^)г1(?-тЭ/2) с последующей фильтрацией компонент колебаний тактовой частоты СП.

Упрощенный вариант автокорреляционного обнаружителя (АО) представлен на рис. 4 [5]. Узкополосный фильтр (УФ) настроен на тактовую частоту /т = 1/тЭ СП.

Рис. 4. Автокорреляционный обнаружитель СП

Полоса пропускания А/УФ определяется требуемым временем накопления: А/~ 1/Т. Детектор огибающей (ДО) и пороговое устройство (ПУ) с порогом 1п обеспечивают в момент Т принятие решения о наличии © = 1 или отсутствии ©* = 0 СП в наблюдаемом процессе.

Рассматривая меандровую последовательность как сигнал т(У-т) со случайной задержкой, равномерно распределенной в интервале | т | < тЭ/2, оптимальный алгоритм обнаружения можно представить следующим образом:

Г> I ,

<• п'

(2)

где L =

I

jV (Osign cos(2nfTt) dt + jV (Osign sin(27t/7)

Структурная схема автокорреляционного обнаружителя СП с квадратурными каналами (АОК), соответствующая алгоритму (2), представлена на рис. 5. Генератор колебаний тактовой частоты (ГТЧ) и фазовращатель (ФВ) вырабатывают ортогональные колебания 8т(2л/г0 и со8(2я/Г0, которые преобразуются в компараторах в меандровые последовательности тс(0 и т8(0. Квадратурная обработка в этом случае обеспечивает накопление спектральных компонент преобразованной СП на тактовой частоте /Г и на частотах (2£-1)/Г, к = 1,2,....

r(t)

ПФ X

\®=0

Рис. 5. Автокорреляционный обнаружитель СП с квадратурными каналами

Если ограничиться накоплением колебаний тактовой частоты, то в схеме исключаются компараторы (sign). В этом случае схемы рис. 4 и 5 становятся эквивалентными.

Оценим качественные показатели обнаружителей СП. Для схемы рис. 5 отношение сигнал/шум на выходе узкополосного фильтра определяется выражением [5]

УУФ

2 q AF

2 1 ж 1

2 q А/

где q — отношение сигнал/шум на выходе ПФ, имеющего полосу пропускания А^. Полоса пропускания узкополосного фильтра А/ существенно меньше, чем А^. Отношение АF/А/= Т/тЭ>>1, поэтому обнаружение СП возможно при относительно малых значениях q.

0=1

0=0

Известно, что при гауссовском шуме в схеме рис. 5 статистика Ь2 определяется гамма-распределением Щ(х, а, V) =а(а х)у-1Г-1(у) при V = 1, х=Ь2 [1]. Анализ показывает, что в рассматриваемом случае вероятности ложной тревоги РЛТ и правильного обнаружения РПО определяются выражениями

Рш = ехр

Рпо = еХР

/

2 4 2, ч„2

а а р (т)Т

_ т шп4 7

2 гг* 2 4 4 2.-..

а 1 а + а р (х)

т т гр п4 '

(3)

(4)

где а„, — амплитуда меаидровой последовательности; стп — средняя мощность шума на выходе автокорреляционного преобразователя; ст2рп(т) = - т)), рп (х) — коэффициент

корреляции шума «(О на выходе фильтра.

Соотношение (3), (4) сводятся к формуле

Р =Р

ПО Л

1+?,2„

1 д~ Т

где д„, — отношение сигнал/шум на входе ПУ, д =---.

4 1 + 2д тэ

Таким образом, обнаружитель АОК, представленный на рис. 5, обеспечивает более высокое качество по сравнению с обнаружителем АО (рис. 4).

Характеристики обнаружения рассмотренных устройств и энергетического обнаружителя, включающего фильтр, квадратор, интегратор и пороговое устройство, показаны на рис. 6 при заданной вероятности ложной тревоги РЛТ = 0,01.

/

11

1

Заключение

Энергетический приемник осуществляет обработку случайной последовательности без учета скрытых в ней регулярных компонент. Такие компоненты выявляются в результате анализа двумерных корреляционных функций и сосредоточены в области [| т | < тЭ, О = к/тЭ, к > 1].

Алгоритмы и устройства обнаружения СП, учитывающие указанные энергетически емкие компоненты ДКФ, обеспечивают при прочих равных условиях существенное снижение величины порогового отношения сигнал/шум с ростом эффективной базы ВЭ=Т/тЭ случайной последовательности.

Рис. 6. Характеристики обнаружения энергетического и автокорреляционных обнаружителей

TWO-DIMENSIONAL CORRELATION FUNCTIONS AND DETECTION

OF RANDOM SEQUENCES

V.A. CHERDYNTSEV, A.V. MARTSINOVICH Abstract

The analysis of two-dimensional correlation functions is executed and algorithms of autocor-relative detectors of random sequences are offered. Comparison of quality indicators of power detectors and autocorrelative detectors of random sequences is given.

Литература

1. Ван-Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. III. Пер. с англ. / под ред. Горяинова В.Т. М., 1977.

2. ДмитриевА.С., ПанасА.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М., 2002.

3. Чердынцев В.А., Ходасевич Р.Г. // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20.

4. Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь. Пер. с англ. / под ред. В.В. Маркова. М., 1979.

5. Чердынцев В.А. Статистическая теория совмещенных радиотехнических систем. Минск, 1980.