Двумерные и нелинейные эффекты в явлении пузырьковой детонации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №4(44)•

МЕХАНИКА

УДК 532.329:532.2.532

ДВУМЕРНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЯВЛЕНИИ ПУЗЫРЬКОВОЙ ДЕТОНАЦИИ

© 2006 И.К. Гималтдинов1

В двумерной постановке рассматривается взрыв завесы конечных размеров, находящейся в объеме жидкости, под воздействием импульса давления. Приведены также результаты по динамике возникновения и срыва одномерных детонационных волн в неоднородной по объемному содержанию пузырьковой системе из-за нелинейных явлений при прохождении волн давления через границу неоднородности.

1. Постановка задачи

Пусть в канале, который заполнен жидкостью, находится пузырьковая зона, ограниченная в общем случае цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси г (продольные размеры зоны значительно больше, чем поперечные размеры) (рис. 1). Рассмотрим двумерные волновые возмущения. Такие возмущения могут реализоваться, например, под действием плоского удара по жидкости, в которой находится пузырьковая зона конечных размеров, или воздействием на систему граничным давлением, неоднородным по координате у (р = р°(1, у) при X = х0).

2. Основные уравнения

При описании движения пузырьковой жидкости будем полагать: в каждом элементарном объеме все пузырьки сферические и одного радиуса, вязкость и теплопроводность существенны лишь в процессе межфазного взаимодействия, и, в частности, при пульсации пузырьков отсутствуют их дробление и слипание.

На основе вышеприведенных допущений примем систему макроскопических уравнений масс, числа пузырьков, импульсов и давления в пузырьках в односко-

1Гималтдинов Ильяс Кадирович ([email protected]), кафедра прикладной математики и механики Стерлитамакской государственной педагогической академии, 453103, Россия, республика Башкортостан, г.Стерлитамак, пр.Ленина, 37.

Рис. 1. Схематическое изображение расчетной области

ростном приближении [1] в форме йрг / ди ду

йи д р1

= 0 (г = I, g),

йу д р1

йр<

йп ди ду\

----ни--------1---=0,

й1 \ дх ду)

3УРв 3(у - 1)

+ = 0, р— + ^ = о, — = -

й дх й ду й

йа (й д д д

м’ = — — =----------------------1- и------1- V—

й \ й д1 дх ду

4

а

ао

-<7,

(2.1)

а/ + = 1, ag = -зш3и, р; = р"а;, р = р^ + р/,

где а — радиус пузырьков, у — показатель адиабаты для газа, рг —давления фаз, ро — истинные плотности фаз, аг —объемные содержания фаз, д — интенсивность теплообмена, п — число пузырьков в единице объема, w — радиальная скорость пузырьков. Скорости и и у соответствуют движению по координатам х и у. Нижними индексами г = I, g отмечены параметры жидкой и газовой фаз.

При описании радиального движения в соответствии с уточнением, предложенным в [2], будем полагать, что w = WR + WA, где WR описывается уравнением Рэлея-Ламба, а WA определяется из решения задачи о сферической разгрузке на сфере радиуса а в несущей жидкости в акустическом приближении:

Р1

о.

йwR 3 2 Л WR

" н—угв + 4у/— =

й1

2

WA =

ро

Р&-Р1 Р ?С/с4/3’

(2.2)

(2.3)

где VI —вязкость жидкости.

Будем полагать, что жидкость является акустически сжимаемой, а газ кало-рически совершенным

р1 = ро + С2(р0 - р0о), Р8 = р^, (2.4)

где Я — газовая постоянная. Здесь и в дальнейшем индексами 0 внизу снабжены параметры, относящиеся к начальному невозмущенному состоянию.

Тепловой поток д задается приближенным конечным соотношением

Тц-Тр 2 а ’

То

а

Ро \«0

№ = л/Рё, Ре > 100, N4 = 10, Ре < 100,

а

3

0.82 мс

X, м

^ X, м

У, м

1.0 мс

X, м

Рис. 2. Давление в жидкости при взрыве пузырьковой области, находящейся в объеме ”чистой” жидкости. Параметры системы: Ар0 = 0.95 МПа, I, = 1.0 мс, х01 = 0.4 м, у01 = 0.5 м, аг0 = 0.02, а0 =1.5 мм, К = 3.5 см. Газ в пузырьках — ацителено-кислородная стехиометрическая смесь C2H2 + 2,5O2 со следующими параметрами: рг0 = 1.26 кг/м3, у = 1.33, \ = 2.49 Дж/(м-с-град), сгр = 1140 Дж/(кг-град), В = 10,97 — газовая постоянная. Жидкость — смесь глицерина с водой (0.5 — объемное содержание глицерина): рщ = = 1130 кг/м3, р0 = 105 Па, Т0 = 300 Ж, = 0.4263 Дж/(м-с-град), ср = 3300 Дж/(кг-град),

|1 = 6.84 • 10-3 Па-с, С = 1700 м/с

Pe = 12(у - 1)

T0 a\w\

\Tg T0\ Kg Qpg

где T0 = const — температура жидкости, \g —теплопроводность, Nu — число

Нусоельта.

Принятая система уравнений позволяет адекватно описывать динамику волн с достаточно ’’крутыми” участками, когда сжатие пузырьков определяется не только эффектами радиальной инерции несущей жидкости, но и акустической разгрузкой

g

0.6

рj, МПа

Рис. 3. Профиль детонационной волны в неоднородной по объемному содержанию газа пузырьковой жидкости. Параметры системы: Ар0 = 0.95 МПа, t* = 0.5 мс, ag^ = 0.005, ag? = 0.08, a0 = 1.5 мм. Остальные параметры такие же, как на рис. 2

на пузырьках, и, следовательно, сжимаемостью жидкости. Кроме того, из этой математической модели в частном случае при а^ = 0 следует волновое уравнение для акустически сжимаемой жидкости. При исследовании взаимодействия волн в ’’чистой” жидкости с пузырьковой областью это обстоятельство, в свою очередь, позволяет использовать сквозные методы расчета.

0

3. Метод численного расчета

Для численного анализа задачи об эволюции волн в жидкости при наличии в ней пузырьковой области удобнее пользоваться системой уравнений, приведенной в разд. 2, записанной в лагранжевых переменных. Это, в частности, связано с тем, что в лагранжевых координатах пузырьковая область неподвижна. Из уравнений (2.1) после некоторых преобразований можно получить следующую систему

р\г)

ООоОООоОо о оо о ® о о о ® О о О о О (1) Г\/-\0 оо о°ооо° о о о о О ^“а g0 0-02о ОО 000000 о о ооо°о°о°оо оо о ° о о о ° о о о О о О О О О о : : : а $=о.ооз: оооооооо О О О О О О О о о о о о о о о о

: р, МПа 2.8 мс

^2.45 мс — . .

г’Чт>-1.5 мс

Рис. 4. Возникновение детонационного солитона. Параметры системы: жидкость — водоглицериновый раствор (с объемной концентрацией глицерина 0.5), газ — ацетилено-кис-лородная стехиометрическая смесь (С2И2 + 2.5O2), а0 = 2 мм, Ар0 = 0.8 МПа, х01 = 0.5 м,

0.02, а(2) = 0.003, Т, = 1000 К, АТ = 3200 °К

8

0

в лагранжевых переменных:

дг

д\>

дг

дрг

дг

__1_1дР]_ду_ _ дР1 ду

р1\дх0д)’0 ду’одхо 1 / дрг дх дрг дх \

р/\«9уо«9хо дходуо)’ С?ог

дх

?Р/

1 - а8

'8.

дag 3а8

Ж

-м; -

3а,

-м; + а

аё д/ / дг ’

а8 Р/0

я + /2р: д1

дг

ду

дг

§1

3У ^8

3(7-1)

\\?------------q,

(3.1)

дг

ди'д 1 =

= w = WR + WA,

Р?

дх ду дхо ду0

Р1 3 2 м>д

------ои;к -4V/ —

2 а

а/

& 3)' д)'о дх0 ’

1

а

<9г/ 5)' дх0 ду0

WA =

Р&-Р1

р°С/а^/3’

<9г/ 3)' Зх <9г’ дх дч>

ду0 дх0 дх0 ду0 ду0 дх0

где Х0 и у0 — лагранжевы переменные, в качестве которых берутся начальные эйлеровы координаты, 1 — якобиан перехода от лагранжевых к эйлеровым переменным.

Система (3.1) решается численно по явной схеме. Причем не требуется вводить искусственную вязкость, поскольку приведенные уравнения из-за учета межфаз-

а

Р\*)

о о о о О О О о о о о о о о Оо

ООО

ООО

ООО

а $=0.0025

О О о о

о о о о

о о о о

°ООо°ООо /

: а ^2і)=0.0б \

О О О О о О Оо о 1

Рис. 5. Срыв детонационной волны. Параметры системы: Ар0 = 2.0 МПа, г, = 0.02 мс, х01 = 0. рис. 4

х01 = 0.5 м, а( 'о1 = 0.0025, а(? = 0.06, а0 = 1 мм. Остальные параметры такие же, как на

ного теплообмена и акустической разгрузки являются системой с естественной диссипацией.

Приведем принцип построения разностной схемы, которая принята для решения данной задачи. Для аппроксимации дифференциальных уравнений используем равномерную шахматную сетку

(х0ь У0і, їк), (х0г+1/2> У0;+1/2> 1к),

Х0І+1 = Х0і + кХ0, Х0/+1/2 = Х0І + 0,5кХо, і = 0,1, ..N1 - 1,

У0і+1 = У0і + Ьу0, У0.+ 1/2 = У0і + ° 5Ч , І = 0 1> ••N2 - 1,

Х00 = 0, Х0N1 = М1,

У00 = 0 У0N2 = м2,

?к+1 = ік + т, ік = кт, к = 0,1,2...,

где Нх0, &У0 и т — соответственно шаги по координатам X, У и по времени. К узлам

сетки (Х0і, У0 і, Ік) будем относить сеточные функции скоростей Ык-, V.. и эйлеровых

з і-і і-і

переменных хІ. и у.., к ’’полуцелым” точкам (Х0і+1/2, У0і+1/2,. — сеточные функции всех остальных параметров. Такая аппроксимация обеспечивает устойчивость решения волновых задач в однофазных системах (жидкостях и газах) конечно-разностным методом [3].

Расчетная область полагается прямоугольной и на ее границах (Х0 = 0, Х0 = = ЬХ, 0 < у0 < ЬУ; у0 = 0, у0 = ЬУ, 0 < Х0 < ЬХ) в расчетах приняты условия, как на жесткой стенке. Расчетная область взята достаточно широкой, так, чтобы вторичные сигналы, образованные отражением от ”стенки” области, в период взаимодействия волнового импульса с завесой не сказывались.

4. Результаты численных расчетов

На рис. 2 иллюстрируются результаты численного эксперимента по эволюции волнового импульса, заданного в виде

0 I г - т/2\2

ри0, у) = ро + Лроехр [\|/0„)], \|1(т) = - I I , (4.1)

в воде, содержащей пузырьковую завесу (рис.1). Пузырьковая область задается в виде цилиндра с радиусом Я, с центром в точке с координатой (Х01, У01) и объемным содержанием а80.

На рис. 2 приведены профили давления в жидкости, соответствующие различным моментам времени. При распространении импульсных сигналов в жидкости, содержащей пузырьковую зону конечных размеров, как это показано в [4], внутри завесы в определенные моменты времени возможны ’’башнеобразные” профили давления и температуры пузырьков с достаточно высокими пиковыми значениями. Здесь рассмотрена ситуация, когда такое пиковое значение температуры газа внутри пузырьков с горячим газом достигает температуры воспламенения, и в последующем развивается процесс детонации. На рис. 2, а приведено распределение давления в жидкости в момент времени г = 0.82 мс. Видно, что в области, где находится завеса, произошло увеличение амплитуды давления в жидкости. К этому моменту времени максимальная температура газа в пузырьках еще не достигла температуры воспламенения. При дальнейшем распространении импульса пиковая температура газа достигает температуры воспламенения, и в завесе возникает детонационная волна, рис. 2, Ь. Далее происходит переход детонационной волны в ”чистую” жидкость. При этом в ”чистой” жидкости достигается максимальное давление рт = 13.2 МПа как следствие перехода из акустический более мягкой среды в жесткую. На рис. 2, с представлено распределение давления в жидкости в момент 1.0 мс, когда взрывная волна из завесы вышла в зону ”чистой” жидкости. Максимальное значение давления в зоне взрыва (в завесе) уменьшилось до значения рт = 0.6 МПа.

Рассмотрим динамику волны в пузырьковой жидкости, когда объемное содержание газа в канале линейно меняется в поперечном направлении к направлению распространения волны от значения а80) до а82). Импульс на границе Х0 = 0 задается выражением (4.1). При распространении импульсных сигналов в пузырьковой жидкости с таким объемным содержанием происходит фокусировка импульса, и вследствие этого повышается амплитуда давления у этой границы по сравнению с амплитудой первоначального импульса. Здесь показана ситуация, когда при таком усилении амплитуды волны давления у границы с большим объемным содержанием газа достигается температура воспламенения, что в последующем приводит к развитию процесса детонации в пузырьковой жидкости. На рис. 3 приведены система изобар и эпюры давления по координате Х при различных значениях координаты у в одни и те же моменты времени. Видно, что к моменту времени

0.62 мс (рис. 3, а) у границы с большим объемным содержанием температура газа внутри пузырьков достигает значения Т,, и начинается процесс детонации. Из рис. 3, Ь, соответствующего моменту 1.62 мс следует, что воспламенение газа в пузырьках распространяется на всю ширину расчетной области. рис. 3, с показывает, что детонационная волна распространяется по всей области расчета с максимальной амплитудой 24 МПа, которое достигается у стенки с большим объемным содержанием газа

Рассмотрим эволюцию волны типа ”ступенька” в неоднородной по объемному содержанию газа пузырьковой жидкости, образующейся, когда на границе Х0 = = 0 задается давление в виде ступеньки р0 + Ар и поддерживается во все время процесса (рис.4). Область расчета разделена на две зоны с разными объемными содержаниями а80), а82)).

На рис. 4 представлены эпюры давления в жидкости и температуры газа в моменты времени, которые указаны на кривых. При распространении волны давления по пузырьковой жидкости происходит инерционное сжатие пузырьков. Если амплитуда исходной волны мала настолько, что температура газа в пузырьках в волне меньше температуры воспламенения горючей смеси Т,, то газ внутри пузырьков не воспламеняется. В этом случае имеем общую картину распространения волны давления, характерную для газожидкостных пузырьковых сред. Такую картину на рис. 4 иллюстрирует кривая, соответствующая моменту времени 1.5 мс, распространяющаяся в зоне 1. Далее эта волна переходит границу между зонами 1 и 2. При переходе ступенчатой волны из зоны с большим объемным содержанием в зону с меньшим объемным содержанием на границе между этими зонами реализуется условие, аналогичное условию отражения от твердой стенки. Поэтому из-за эффектов нелинейности амплитуды отраженной и проходящей волн могут в несколько раз превышать амплитуду первоначальной волны. При этом для представленного примера в зоне 2 достигается температура воспламенения Т,. В результате этого происходят воспламенение газа в пузырьках и последующее распространение детонационной волны во второй зоне.

На рис. 5 представлены результаты расчета, когда сформировавшаяся под воздействием ” ”-образного импульса амплитудой Ар и временной протяженностью г, детонационная волна проходит из зоны с объемным содержанием пузырьков а80) = 2.5 ■ 10-3 в зону с а(82) = 0,06. Представлены эпюры давления в жидкости и температуры газа внутри пузырьков, цифры у кривых соответствуют моментам времени. Видно, что в зоне 1 параметры смеси и инициирующей волны такие, что на переднем фронте ” ”-образного импульса температура газа в пузырьках достигает значения Т, и образуется детонационная волна. При прохождении границы между зонами 1 и 2 детонационная волна ’срывается”, т.е. в зоне 2 детонационная волна отсутствует, и распространение волны происходит, как в неактивной (содержащей пузырьки с негорючим газом) газожидкостной среде. Это связано с тем, что зона 2 акустически ’’мягче”, чем зона 1, и при переходе детонационной волны реализуется условие, аналогичное условию отражения от свободной поверхности, и детонационная волна проникает в зону 2 с меньшей амплитудой, частично отражаясь как волна разгрузки, поэтому амплитуда детонационной волны в зоне 2 не способна к сжатию пузырьков до температуры Т,, и детонационная волна ’срывается”.

5. Выводы

Исследована динамика одномерных и двумерных детонационных волн в пузырьковой жидкости. Изучена динамика детонационных волн при прохождении зон, различающихся объемным содержанием пузырьков. По результатам исследований могут быть сделаны следующие выводы:

1. При переходе волны типа ”ступенька” из зоны с большим объемным содержанием в зону с меньшим объемным содержанием на границе между этими зонами происходит нелинейное отражение, из-за которого амплитуды проходящей

и отраженной волн значительно превышают амплитуду первоначальной волны. При этом в обеих зонах вблизи границы может быть достигнута температура воспламенения и, как следствие, зарождение и распространение от границы неоднородности волны детонации в обоих направлениях. В зоне с большим объемным содержанием амплитуда детонационной волны в несколько раз превышает амплитуду детонационной волны, распространяющейся в зоне с меньшим объемным содержанием. Это связано с тем, что, во-первых, в первой зоне более калорийная пузырьковая смесь, и, во-вторых, к моменту зарождения детонации в первой зоне произошло ее предварительное поджатие.

2. Детонационная волна при прохождении через границу из зоны с меньшим объемным содержанием в зону с большим объемным содержанием может срываться, то есть детонационная волна и следующая за ней ударная волна при прохождении через эту границу не способны инициировать детонацию в зоне с более высоким объемным содержанием газа (являющейся, вообще говоря, более калорийным взрывчатым веществом). Это связано с тем, что вторая зона акустически значительно более мягкая среда, чем первая зона, и в процессе взаимодействия детонационной волны (а также последующей за ним ударной волны) с границей между зонами неоднородностей эта граница для первой зоны аналогична свободной поверхности.

3. При распространении волны сжатия по чистой жидкости, содержащей пузырьковую зону конечных размеров с пузырьками содержащими горючий газ, в случае, когда временная протяженность импульса большая, в завесе возникают башнеобразные профили давления и температуры с достаточно высокими пиковыми значениями. Если амплитуда исходного импульса достаточна для инициирования воспламенения, то происходит взрыв пузырьковой завесы. Такое воздействие на пузырьковую завесу через окружающую ”чистую” жидкость, сопровождаемое двумерными и нелинейными эффектами, существенно снижает амплитуду инициирующего воздействия, способного возбудить детонацию.

4. При воздействии импульсом давления по пузырьковой жидкости, объемное содержание газа в которой плавно меняется в направлении, поперечном к направлению распространения волны, происходит ее фокусировка к границе с большим объемным содержанием. Причем амплитуда трансформированной волны может превышать амплитуду инициирующей ударной волны до полутора раз. В дальнейшем это обстоятельство способствует воспламенению пузырьков и развитию детонации во всем объеме. Таким образом, поперечная неоднородность объемного содержания газа приводит также к снижению амплитуды инициирующего импульса, способного возбудить детонацию.

Литература

[1] Нигматулин, Р.И. Динамика многофазных сред / Р.И. Нигматулин. М.: Наука, 1987. Ч. 1. 464 с.; Ч. 2. 360 с.

[2] Нигматулин, Р.И. Проявление сжимаемости несущей фазы при распространении волн в пузырьковой среде / Р.И. Нигматулин, В.Ш.Шагапов, Н.К. Вахитова // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304. №5. С. 1077-1081.

[3] Самарский, А.А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А.А. Самарский, Ю.П. Попов. М.: Наука, 1980. 352 с.

[4] Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьковую зону. / Р.И. Нигматулин [и др.] //Доклады РАН. 2001. Т. 378. №6. С. 763-768

Поступила в редакцию 10/VI/2005; в окончательном варианте — 10/VT/2005.

TWO-DIMENSIONAL AND NON-LINEAR EFFECTS IN THE BUBBLE DETONATION

© 2005 I.K. Gimaltdinov2

Explosion of screen of a finite size in a volume of fluid under pressure impulse is studied in two-dimensional formulation. Results on dynamics of origin and collapse of one-dimensional detonation waves in an inhomogeneous volume bubble fraction system due to non-linear effects of pressure waves propagation through the boundary of inhomogeneity are presented.

Paper received 10/ VI/2005. Paper accepted 10/VI/2005.

2Gimaltdinov Ilyas Kadirovich (iljas_gamail.ru), Dept. of Applied Mathematics and Mechanics, Sterlitamak State Teacher Training Academy, Sterlitamak, 453103, Russia.