Двумерная модель тепловой конвекции сухого воздуха в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», № 1, 2019

25.00.30 УДК 551.513.22

МЕТЕОРОЛОГИЯ, КЛИМАТОЛОГИЯ И АГРОМЕТЕОРОЛОГИЯ

Рыжков Р.Д., Северо-Кавказский федеральный университет,

Аванесян К.С. Россия,

Смирнова Л.Н., г. Ставрополь,

Закинян Р.Г. zakinyan@mail.ru

ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ СУХОГО ВОЗДУХА В АТМОСФЕРЕ

Введение: Свободная конвекция - очень сложный и далеко еще не изученный до

конца процесс. Очень сложен он в атмосфере, гидросфере, мантии и ядре Земли.

Это связано с огромными их размерами, что приводит к неоднородному распределению полей температуры, плотности и давления. Кроме того, на это накладывается вращение Земли, что делает еще более сложным задачу определения полей температуры, давления и скорости. Она является, по существу, первопричиной почти всех движений в атмосфере.

Энергия большинства движений в океане на 80-90% обусловлена и индуцирована конвективными движениями атмосферы и на 10-20% свободной конвекцией, возникающей в самом океане.

Материалы и методы: Для определения условий возникновения конвекции сухого воздуха в рамках двумерной модели конвекции рассмотрим уравнение движения идеальной жидкости в плоскости х - г в форме Эйлера в инерциальной системе отсчета, без учета вращения Земли [2, 4]:

ди ди ди 1 (др

-+ и-— = — —

Ы дх дг р ^ дх) '

дм дм дw 1 (др — + и — + м>— = — — Ы дх дг Р\дг

Результаты исследования:

Обсуждение и заключение:

Ячейки носят характер валов. Такой тип конвекции наиболее часто встречается в атмосфере.

Таким образом, нами найдено аналитическое решение двумерной модели тепловой рэлеевской конвекции сухого воздуха в атмосфере. Аналитическое решение получено для стационарного случая. Это значит, что для данного типа движения имеет место устойчивое состояние типа аттрактора.

Ключевые слова:

рэлеевская конвекция, аналитическое решение, двумерная модель, вертикальный градиент температуры, уравнение движения, уравнение неразрывности, уравнение теплопроводности, функция тока.

RyzhkovR.D., North-Caucasian Federal University,

Avanesyan K.S., Stavropol,

Smirnova L.N., Russia,

Zakinyan R.G. zakinyan@mail.ru

To the two-dimensional model of heat convection of dry air in the atmosphere

Introduction: Free convection is a very complex and far from studied process. It is very complex

in the atmosphere, hydrosphere, mantle and core of the Earth. This is due to their huge size, which leads to an inhomogeneous distribution of temperature, density and pressure fields. In addition, the rotation of the Earth is superimposed on it, which makes it even more difficult to determine the temperature, pressure and velocity fields. It is essentially the root cause of almost all movements in the atmosphere. The energy of most movements in the ocean is 80-90% caused by the convective movements of the atmosphere and 10-20% by free convection that occurs in the ocean itself.

Materials and methods: To determine the conditions for the occurrence of dry air convection within the two-dimensional model of convection, consider the equation of motion of an ideal fluid in the Euler-shaped plane in an inertial frame of reference, without taking into account the Earth's rotation [2, 4]:

8u 8u 8u if dp^ — + u — + w— = — — 8t 8x 8z p v 8x J 1

ôw ôw ôw if дрЛ — + u— + w— = — — Idt dx 8z p v 8z

-g

Results of the study:

Discussion and conclusion:

Keywords:

Cells are in the nature of shafts. This type of convection is most common in the atmosphere.

Thus, we have found an analytical solution of the two-dimensional model of Rayleigh thermal convection of dry air in the atmosphere. Analytical solution is obtained for the stationary case. This means that for this type of motion there is a steady state like an attractor.

Rayleigh convection, analytical solution, two-dimensional model, vertical temperature gradient, equation of motion, continuity equation, heat equation, flow function.

Введение

Свободная конвекция - очень сложный и далеко еще не изученный до конца процесс. Очень сложен он в атмосфере, гидросфере, мантии и ядре Земли. Это связано с огромными их размерами, что приводит к неоднородному распределению полей температуры, плотности и давления. Кроме того, на это накладывается вращение Земли, что делает еще более сложным задачу определения полей температуры, давления и скорости.

Свободная конвекция является, по существу, первопричиной почти всех движений в атмосфере. Энергия большинства движений в океане на 8090 % обусловлена и индуцирована конвективными движениями атмосферы и на 10-20% свободной конвекцией, возникающей в самом океане[1].

В настоящее время также почти неоспоримо, что в ходе длительного времени мантия Земли течет, участвуя в конвективном движении, возможна конвекция и в ядре планеты.

Свободная конвекция подразделяется на два основных типа: рэлеевс-кая, обусловленная сверхадиабатическим вертикальным градиентом температуры при однородности температуры и плотности по горизонтали, и боковая, вызванная неоднородностью этих условий по горизонтали [2].

Примерами боковой конвекции в атмосфере Земли являются:

— междуширотная циркуляция воздуха, вызванная неоднородным тепловым режимом на различных широтах;

— циркуляция муссонного типа, связанная с постоянным или сезонным различием теплового режима на поверхности материков и океанов;

— бризовая циркуляция, возникающая в результате неодинакового нагрева поверхности моря и материка или различных областей суши в суточном ходе изменения их теплового режима.

Примером вертикальной классической рэлеевской конвекции в атмосфере является конвекция, приводящая к образованию над большими пространствами небольших облаков, расположенных в порядке пчелиных сот [5].

К такому же типу относится конвекция, приводящая к развитию грозового облака. Особое место занимает вертикальная конвекция, возникающая в тропических ураганах, связанная с вертикальным температурным градиентом, обусловленным фазовыми переходами вода-пар и пар-вода. Аналогом междуширотной атмосферной циркуляции в океане является меридиональная циркуляция на средних широтах, вызванная боковой конвекцией, обусловленной опусканием поверхностных океанических вод в некоторых полярных областях Мирового океана. Боковая конвекция, по масштабам равная муссонной конвекции, в Мировом океане не типична. Она в среднем может развиваться лишь в водах вокруг Антарктики. Примеры боковой конвекции среднего масштаба в Мировом океане многочисленны. Она наблюдается в проливах, соединяющих моря, вода которых различна по температуре и солености, при сближении различной температуры и солености, что особенно часто наблюдается вблизи берегов, где воды опресняются стоком.

Вертикальная конвекция в океане в основном связана с охлаждением поверхности, осолонением в результате испарения и погружением поверхностных вод. Это происходит в результате суточного изменения температуры воздуха у поверхности воды, эпизодических изменений этой температуры, осенне-зимнего охлаждения и, наконец, постоянного охлаждения в полярных областях. Соответственно эта конвекция охватывает все более и более глу-

бокие слои океана. Локальные горизонтальные неоднородности охлаждения малого по протяженности масштаба приводят к локальным маломасштабным боковым конвенциям, с которыми связывают формирование тонкой термоха-линной вертикальной структуры вод в пределах сезонного термоклина.

Как видим, если для атмосферы вообще более типична восходящая конвекция, то для океана - нисходящая.

Вертикальная конвекция в мантии Земли приводила и может приводить к дифференциации вещества Земли, например к выплавлению железа и опусканию его в ядро. Конвекцией в мантии некоторые исследователи пытаются объяснить разрастание дна океанов и формирование глубоководных желобов и вообще тектонику литосферных плит.

Естественно, конвекция не является монополией только геофизических явлений. С одной стороны, существует большое число примеров конвекции в технических задачах, с другой - конвекция возникает в атмосферах других планет, на Солнце, в недрах звезд. Несмотря на большой диапазон изменений вязкости, теплопроводности и других параметров различных сред, в которых возникает конвекция, она обладает рядом общих свойств, что позволяет рассмотреть различные случаи ее с единой точки зрения.

Несмотря на то, что вопросам конвекции в настоящее время посвящено уже много работ, в настоящее время нет адекватного решения двумерной модели конвекции сухого воздуха. Поэтому целью настоящей работы является получить аналитическое решение двумерной модели конвекции в случае ее стационарности.

Устойчивость того или иного стационарного течения, допускаемого уравнениями, имеет прямое отношение к его реализуемости. Более того, она часто рассматривается как основной критерий реализуемости: «Осуществляющиеся в природе течения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчивыми: малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем» [4]. Однако это необходимое условие не является достаточным. Класс устойчивых стационарных решений уравнений гидродинамики, вообще говоря, гораздо шире, чем класс течений, спонтанно возникающих в соответствующих условиях [2]. По мере накопления материала исследований становится все яснее, что на тезис «Реализуется то, что устойчиво» можно возразить: «Не всегда и не все то, что устойчиво, реализуется» [2].

Для выхода на некоторое устойчивое состояние могут потребоваться весьма специальные начальные условия, а может таковых и не найтись вообще. Конвекция Рэлея-Бенара является прекрасной иллюстрацией к сказанному.

Заметим, что в теории конвекции проблема реализуемости устойчивых течений является ключевой по отношению ко многим другим, в частности -выдвигаемым практикой.

121

№ 1, 2019

Материалы и методы исследования

Для определения условий возникновения конвекции сухого воздуха в рамках двумерной модели конвекции рассмотрим уравнение движения идеальной жидкости в плоскости х — г в форме Эйлера в инерциальной системе отсчета, без учета вращения Земли [2, 4]:

ди ди ди 1

--ны--— = —

дt дх дг р

дх

(1)

дм> дю дуу 1

--1-и--ьм>— = —

д1 дх дг р

Ч&у

-И

(2)

В состоянии равновесия (статики) [2]:

у = 0.

-А-

дх ре

Ф

■8 = 0

(3)

Здесь р - плотность воздушной частицы, участвующей в движении;

ре - плотность воздуха в состоянии статики атмосферы.

Параметры атмосферы в состоянии статики мы рассматриваем как невозмущенное состояние. Поэтому давление представляем в виде [3]:

р = р + р\

(4)

где р

возмущение давления относительно состояния статики;

(5)

- распределение плотности воздуха с высотой в состоянии

статики атмосферы; уА - так называемый, градиент автоконвекции, он совпадает с

градиентом температуры однородной по плотности атмосферы.

Будем считать, что температура атмосферы в состоянии статики изменяется по линейному закону:

тЛz)=т<я-чz,

где у -

градиент температуры окружающего воздуха;

Те0 - температура окружающего воздуха вблизи поверхности

земли.

Будем считать, что температуру возмущенной атмосферы можно представить в виде:

Т = Те(г) + в(х,г), (7)

где 0 (х, z) - возмущение температуры, неизвестная функция. Для плотности

Р = Ре+Р:

(8)

Запишем уравнение неразрывности в декартовой системе координат

др' др' др' др. дх дг дг

ди дм'

+

дг у

В стационарном случае, когда

^ = 0, дг

уравнение неразрывности запишется в виде ди д\\/

= 0 .

91п р„ -+— = -^ +

дх дг дг

1 ( др' др'л ре V дг

(9)

(10)

(11)

^ Э1п рР / ч

Так как « -а (уА - у),

ог

(12)

и пренебрегая нелинейными слагаемыми в правой части уравнения (11), то получим

ди дм> , ч

а*+"&" = а А_ ж

(13)

Заметим, что равенство нулю дивергенции скорости равносильно, как видно из выражения (12), у ^ уА.

Таким образом, свободная тепловая конвекция в атмосфере с ненулевой дивергенцией скорости движения воздуха описывается системой уравнений:

ди ди 1 др'

и--\-м?— =---

дх дг ре дх :

(14)

дм дм дм 1 др' ,

--1-й--1-м>— =---

дt дх дг ре дг

ди дм , ч 1к+1к=а .

Уравнение теплопроводности:

59 Ы

- +

и--ьм!—

дх дг

е^у^+кУ^е ,

(15)

(16)

(17)

(18)

где к -

коэффициент температуропроводности.

В стационарном случае уравнение теплопроводности запишется в виде:

а© зе _2П

и — + м>— = у-М>+КУ 0.

дх дг

(19)

Если принять к = 0, что представляется разумным, так как в модели конвекции мы рассматриваем движение невязкого воздуха (идеальная жидкость) с коэффициентом вязкости равным нулю (V = 0), то получим

50 дв

и--\-М!-= у-М> .

дх дг

(20)

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений (14) - (16), (20). Добавим уравнение состояния:

р = рят, р' = рет+ятер'.

(21)

Тогда уравнения движения запишутся в виде:

ди ди пдв КТе др'

и — + м>— = -Я---

дх дг дх ре дх

дм дм , ч А „50

Я

ё—У . Ре .

Ре & .

Таким образом, получаем систему уравнений:

ди ди пдв ЯТе др'

и — + ™— = -Я----—,

дх дг дх ре дх

(22)

(23)

ды о™ „ , пее

50 56

и--\-м>— = у-м> ,

дх дг

Я

8--У

. Ре .

Ре

(25)

(26)

ди дю / ч

Здесь у нас 4 уравнения и 4 неизвестные функции. Введем новые функции:

и =ие к'л '',

~ <*(УА_У)2

м> = м>е у л '

(27)

(28)

Тогда уравнение неразрывности (27) примет вид:

дй дй> п — + — = 0 . дх дг

Из уравнения (29) следует, что можно ввести «функцию тока»

_ 511/ _ 5\|/

и = —!~, и> =--— .

дг дх

дг '

Отсюда и = е Уравнения (24) и (25) запишутся в виде:

а(УА-т)2 ду

ду/д2у/ ду/^2 дг дхдг дх дг

5 у/ , ,ду/

дг

= е~2а(УА-г)г

дх

_кдв_ЯТедр'

ду 5 \|/ 5\|/

дг дх2 дх

= е"2а(УА"Уа)г

3 у / _ ч 5у/ дгдх А дх

у

яо

к

ё--У

V Ре У

сЬс ре 5х

Ре &

Введем новые функции:

0 = е-2а(уА-у>0> р = р'е"2«(УА-У> 0 = ёе2а(ТА"У> р'=ре2а(уА-г)г

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

Тогда уравнения (32) и (33) запишутся в виде:

ду/ 5 у/ ду/ дг дхдг дх

г.

\

5 у/ (

кдг1 дг у

= д50 ЯТ^др дх ре дх'

5\|/ д у 3\|/

дг дх2 дх

д\

+ а(уА -у)— дгдх дх

& ^ Ре Ре

Таким образом, надо решить систему уравнений:

Щдр Ре дг

(36)

ду/ д у/ ду/ дг дхдг дх

д \|/ 5\|/

дг дх2 дх

¥

дг2

МГА-Г)^

кдв ЯТе др

дх ре дх

(37)

д у , _ ч 5у|/ дгдх А дх

п/ пдв ( Я . , чД^Л. КГ^др

= -аЯ(уА-у)в-Л—- ё--у + 2а(уА-у) - р--,

дг { Ре Ре ) Ре дг

¿V зэ_зу эе = _уе-2а(УА-г>^

дг дх дх дг дх дх'

(38)

(39)

Здесь у нас 3 уравнения и 3 неизвестные функции. Найдем уравнение совместности двух уравнений (37) и (38). Для чего возьмем производную по переменной г от (37) и по переменной х от (38) и вычтем полученные уравнения друг из друга:

¥г{¥хх+Ч>22)-У/х{ч'хх+¥г2)- а{ГА~ г){¥х2¥2+¥х¥хх+¥х{¥хх+¥я))=

Ре

Введем обозначение:

Рх + <ХК{ГА-Г)вх.

(40)

(41)

- «вихрь скорости». Тогда получим

Рх + аЦгА-г)вх .

§ + а(гА-г)КТе

Ре

Частное решение можно искать в виде:

¥х&2-а(гА-г)¥х&= ¥хг¥2+¥х¥хх=-Щ.

ё+а^РГГ)— Ре

Рх,

(42)

(43)

Уравнение (44) можно записать в виде:

Решение ищем при условии:

(45)

¥гГ¥х-У/хГ¥г-а{Гк-у) =

Ре.

Рх.

Тогда уравнения (43) и (44) примут вид:

-а{Гк-г)Р{¥)¥х =

где Г^) -

8 + <*(ГА~Г)—

Ре

Рх,

(46)

(47)

произвольная функция. Уравнение (46) можно представить в виде:

8 + а{ГА~г)— . Ре

дА

где F2(z) - произвольная функция.

Решение уравнения Клейна-Гордона (45) ищем в виде [3]:

1

у/ = \пФ, Ф (77,77) =

1^(77)!и

(48)

IV

Я <Р2 д<Рх д<Р2 дт] 8т]

Здесь

т] = х + 1г, 77 = х - и,

йх: 677 дт} ' дг дт] дт]

дг] дг7

дх2 дх д

д д

— + —

дт] дт]

дг2

дт] дт]

8 8

— + ^

8г] 8т]

- + 2-

- + 2-

- + -

8т] дфг] дц д2 д2

дг] дфт] дт]

дх дг дт]дт],

дт]дт].

Пусть, hl2 = Ь21 = 0,

ф=-[Ьп^1 Ы + ^г (^М (7)1

(рх = ъшкт], (рг = сое кг], |и'(?7)| = к.

Тогда

Ф=-(Иц- 8Ш2АЗС+Ь22СО82Ь;) сЪ2кг+^{Ъ.11-со$1кх +Ь22 вш2^ вЬ2Аг

А:

^ (Ьц-вш2 ¿х+Ь22со82Ьс)сЬ2^+^Ь11-со82Ьс+Ь22 вт2^) вЬ2^

Отсюда

2к (Ц !+Ь22) ¿г-вЬЬ

м =

(49)

(50)

___А:(Ь11-Ь22)еа(уА"у)г-8ш2Ь_

I 2 2 \ 2 I 2 2 \ 2 . (51)

[Ьц-вт Ьс+Ь22сое Ьг)с11 Аг-нЬп-сов кх+Ь.22вт ЬпвЬ кг

Результаты исследования и их обсуждение

График функции тока в безразмерных единицах качественно представлен на рисунке 1.

- 5 0 5

Рис. 1. График функции тока.

Fig. 1. Flow function graph.

Из рисунка видно, ячейки носят характер валов. Такой тип конвекции наиболее часто встречается в атмосфере.

Выводы

Таким образом, нами найдено аналитическое решение двумерной модели тепловой рэлеевской конвекции сухого воздуха в атмосфере. Аналитическое решение получено для стационарного случая. Это значит, что для данного типа движения имеет место устойчивое состояние типа аттрактора. При выводе были сделаны следующие допущения. Предполагалось, что плотность воздуха в состоянии статики атмосферы подчиняется барометрическому закону (5). В общем, это не так, но для рассматриваемой нами подоблачной конвекции это хорошее приближение. Вертикальный градиент температуры считался постоянным во всем слое атмосферы. В действительности в атмосфере и в подоблачном слое часто встречаются инверсионные или задерживающие слои. Но такое допущение позволяет получить аналитическое решение. В выражении для дивергенции скорости (13) мы пренебрегли нелинейными слагаемыми. Это, конечно сильное допущение, но в противном случае уравнение сильно усложняется и не представляется возможным поиск аналитического решения.

Библиографический список

1. Алексеев В . В . , Гусев А . М . Свободная конвекция в геофизических процессах // Успехи физических наук. 1983. Т. 141. Вып . 2 . С.311-342.

2 . Гетлинг А. В . Конвекция Рэлея-Бенара . Структура и динамика .

М . : Эдиаториал УРСС, 1999. 247 с .

3 . Журавлев В . М . Нелинейные волны в многокомпонентных

системах с дисперсией и диффузией . Точно решаемые модели . Ульяновск: УлГУ 2001. 200 с. 4. Ландау Л .Д. , Лифшиц Е. М . Теоретическая физика: Гидродинамика . М . : Наука, 1986. Т. 6. 736 с .

5 . Матвеев Л . Т. Физика атмосферы . СПб . : Гидрометеоиздат, 2000.

779 с

6 . Emanuel, K. A. Atmospheric Convection; Oxford University Press:

New York, 1994.

7 . Zakinyan, R . G . ; Zakinyan, A. R . ; Lukinov, A. A. Two-dimensional an-

alytical model of dry air thermal convection . Meteorol . Atmos . Phys . 2015, 127, 451-455.

References

1. Altkseev V. V. , GusevA. M . Svobodnaya konvekciya v geofizicheskikh processakh . (Free convection in geophysical processes) // Uspekhi fizicheskikh nauk, 1983. T. 141. Vyp . 2 . S . 311-342.

2 . Getling A. V. Konvekciya Releya-Benara . Struktura i dinamika .

(Rayleigh-Benard Convection . Structure and Dynamics) . M . : Editorial URSS, 1999. 247 s .

3 . Zjuravlyov V. M . Nelineynye volny v mnogokomponentnykh siste-

makh s dispersiyey i difuziyey. Tochno reshayemyye modeli (Nonlinear waves in multicomponent systems with dispersion and diffusion . Exactly solvable models) . Ulyanovsk: UlGU, 2001. 200 s .

4 . Landau L . D . , Lifshic Ye . M . Teoreticheskaya fizika: Gidrodinamika .

(Theoretical Physics: Hydrodynamics) M . : Nauka, 1986. T. 6. 736 s .

5 . Matveyev L . T. Fizika atmosfery. (Atmospheric physics) SPb: Gidro-

meteoizdat 2000. 779 s .

6 . Emanuel, K. A. Atmospheric Convection; Oxford University Press:

New York, 1994.

7 . Zakinyan, R . G . , Zakinyan, A. R . , Lukinov, A. A. Two-dimensional an-

alytical model of dry air thermal convection . Meteorol . Atmos . Phys . 2015, 127, 451-455.

Рукопись поступила в редакцию 13.01.2018 г. Принята к публикации 25.02.2019 г.

Об авторах

Рыжков Р Д, аспирант кафедры общей и теоретической физики СевероКавказского федерального университета . Телефон 8-928-372-92-04. E-mail: romandesignllc@gmail . com .

Аванесян К . С . , аспирант кафедры общей и теоретической физики СевероКавказского федерального университета .

Смирнова Л . Н . , аспирант кафедры общей и теоретической физики СевероКавказского федерального университета Телефон 8-962-402-15-87.

Закинян Р. Г. , профессор кафедры общей и теоретической физики СевероКавказского федерального университета Телефон 8-918-778-86-75. E-mail: zakinyan@mail . ru .

About the authors

Ryzhkov R . D . , Post-Graduate Student, Department of General and Theoretical Physics, North-Caucasian Federal University. Phone: 8-928-372-92-04. E-mail: romandesignllc@gmail . com . Avanesyan K. S . , graduate student of the Department of General and Theoretical Physics of the North Caucasus Federal University. E-mail: awan . kristina@yandex . ru . Smirnova L . , Postgraduate Student, Department of General and Theoretical Physics, North-Caucasian Federal University. Phone: 8-962-402-15-87. Zakinyan R . G . , Professor of the Department of General and Theoretical Physics of the North Caucasus Federal University. Phone: 8-918-778-86-75. E-mail: zakinyan@mail ru