Двухцветный сдвиг окружности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

Н.Н. МАНУЙЛОВ Двухцветный сдвиг окружности1

ВВЕДЕНИЕ

В работе рассматривается орбита Orb£(x) = {S(x)}|=0, порожденная начальной точкой x и двухцветным сдвигом S£ = S£ (д, 1) для ир-рациональностей тд = g+v2g +4, где g = 2,3,... Двухцветный сдвиг S£ определен на единичном полуинтервале следующим образом:

x I—> x + дтд mod 1, если x G I+, x i—> x + тд mod 1, если x G I",

где I+ и I" - полуинтервалы из подразбиения единичного полуинтервала

I = I+ 0 II.

При этом I+ = [0, е) и I" = [г, 1), где £ - непрерывный параметр, принимающий произвольное значение из единичного полуинтервала I.

В.Г. Журавлевым [1] был изучен двухцветный сдвиг S£(2,1) для квадратичной иррациональности т\ =

x i—> x + 2ti mod 1, если x G I+, x i—> x + ti mod 1, если x G I".

В нашем случае двухцветный сдвиг S£ (д, 1) для тд, где g =1, сводится к простому сдвигу

x i—> x + ti mod 1.

По этой причине рассмотрен класс иррациональностей тд, где д = 2,3,4,...

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 02-01-00368.

Изучение двухцветного сдвига S£ опирается на следующее разбиение: I = C0 0 C20 0 • • • 0 C0 0 • • • 0 cm 0 • • • 0 Cgm 0 • • • ,

где 0 — некоммутативная операция прикладывания полуинтервалов,

m = 0 mod 2g и Cm - открытые справа полуинтервалы, имеющие длину

_-(m/g+i) 'д •

Для любых начальных точек x и любого £ из I существует предел

v+(e,x) = lim 1 : 0 < S,(x) < e,£ = 0,1, ,n - 1},

равный частоте попадания точек орбиты Orbe(x) = {Sf(x)}TOl0 в полуинтервал 1+ = [0,e) при действии на x двухцветным сдвигом S£. В теореме 1 доказана точная формула для частоты v + (e,x) :

v *'" = FT (A -1)-

где

a, = 1(i + (9 - i)t;( m+2))

для e из полуинтервала Cm, где i £ {2,..., g},

Ac = 1 (l + (g - 1)Tg-( m +2)) + (g - 1)(Тд-( m + 1) - (e - £m(Tg))) g

для e из полуинтервала Cm. Значение £k(тд) вычисляется по формуле

ek(Тд) = 1 - Гд-([к/д]+1)(гд - (k mod g)), k = 0,1, 2,...,

где квадратные скобки [•] обозначают целую часть числа. Теорема 1 дает два следствия.

1. Для частоты v + (e) отсутствует равномерное распределение по mod 1.

2. Для e существуют полуинтервалы Cm Э e, i £ {2,..., g}, когда частота v + (e) принимает постоянное значение. Для e существуют полуинтервалы Cm Э e, когда частота v + (e) монотонно растет. Все полуинтервалы роста и постоянства частоты найдены.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУХЦВЕТНОГО СДВИГА

Возьмем иррациональность а > 0. Рассмотрим зависящее от £ € 1 = = [0,1) непрерывное семейство Б'е(а, Ь) сдвигов двухцветного единичного полуинтервала 1 = 1+ 0 1—, в каждой области которого 1+ и 1— свой вектор сдвига.

Двухцветный сдвиг Бе(а,Ь) : 1 —> 1 с целыми параметрами а, Ь € Ж зависит от раскраски единичного полуинтервала

I = I+ 0 I",

где I+ = [0,е), I" = [е, 1), и определяется двухцветным полем

x I—x + аа mod 1, если x G I+,

£ (1) x i—> x + Ьа mod 1, если x G I£ .

Выберем в качестве а квадратичную иррациональность тд = д+^2д +4, где g = 2, 3, 4, . . . Основной моделью в настоящей работе выбран двухцветный сдвиг (рис. 1.1)

S = S (д, 1).

Для тд формулы (1) перепишутся в следующем виде:

x I—x + дтд mod 1, если x G I+,

* д _£ ' (2) x i—^ x + тд mod 1, если x G I~.

Теперь становится очевидным, что для иррациональности ti = 1+2v/5 двухцветный сдвиг вырождается и сводится к простому сдвигу точки окружности на иррациональный вектор

x i—^ x + t1 mod 1.

Рис. 1.1. Развертка двухцветного сдвига S£(1,1) для ti.

Универсальность собственных разбиений Фибоначчи порядка g проявляется в виде существования резонанса непрерывного параметра £ с некоторым уровнем разбиений Фибоначчи порядка g [2,3].

Разобъем единичный полуинтервал на примыкающие друг к другу и открытые справа полуинтервалы

I = C0 0 C0 0 • • • 0 C0 0 • • • 0 CT 0 • • • 0 Cgm 0 • • • ,

где 0 - некоммутативная операция прикладывания полуинтервалов и m = 0 mod 2g. Выберем полуинтервалы Огт, для i G {1, 2,... ,g} таким образом, чтобы

|Cm| = r"(m/g+1). (3)

Обозначим через Wm = Cm 0 • • • 0 Cg"-. Исследование двухцветного сдвига Se(g, 1) опирается на следующее разбиение единичного полуинтервала

I = W0 0 W2g 0 • • • 0 Wm 0 • • • , (4)

где m = 0 mod 2g.

На рис. 1.2. и рис. 1.3. приведены примеры развертки траектории начальной точки, порожденной двухцветным сдвигом. Как видно из этих рисунков, развертка делится на две области: область, попав в которую точка уже не выходит Atte — аттрактор, и область, в которую точка не попадает совсем или попав, выходит в аттрактор через конечное число шагов Spire — спираль.

Рис. 1.2. Развертка двухцветного сдвига Se(2,1) для т2.

Рис. 1.3. Развертка двухцветного сдвига $е(5,1) для т5.

2. РАСКРАСКА ПОЛУИНТЕРВАЛОВ

Введем обозначение ml = m + g — 1, где параметр m = 0 mod 2g при m ^ 0 и

k =

m'

m

g'

д

Через квадратные скобки обозначим целую часть числа. Рассмотрим объединение

X = и (1 - ) и с;;ы(1 - ),

¿=1

состоящее из полуинтервалов разбиения Фибоначчи СТ2/+_т (ш;) поряд-

¿(д) рд(д) k+2, Fk+1 ,

числяемых по рекуррентным формулам:

ка g [3], где Fk+2, Fk+Y, i = 1,... ,g — члены последовательностей, вы-

F ¿Ы = F ¿Ы + F ¿(д) F «Ы = -i F «Ы = F n+2 = Fn+1 + Fn , F1 = 1, f2 = L

для всех n = 1, 2, 3,...

С помощью глобальных координат [4] полуинтервалов разбиения Фибоначчи порядка g явно получаем,что X представляет собою последовательность, приложенных друг к другу полуинтервалов

x = 0 я;/(3) (11 тд) 0 с;ы (1 - тд),

^^ Fk+2 Fk+1

¿=1

где 0 — некоммутативная операция прикладывания полуинтервалов.

Вернемся к раскраске полуинтервалов или, другими словами, принадлежности полуинтервалов разбиения CTi/+_т (m') либо I+ = [0,е), либо

I - =[£, 1).

Пусть е G Wm, где m = 0 mod 2g и Wm (4) образована приложенными друг к другу полуинтервалами C«m (3) при i = 1,..., g.

Рассмотрим случай е G Cm С Wm. С помощью тех же глобальных координат [4] доказывается тот факт, что

Ii = ХГ'i = £;/(;)(1 i ТдГ 0 0 Em:(;)(1 i Тд) 0 G^(;)(1 ~ Тд). (5)

j =«+1

Длина |Em,'(s)(1 — Tg)-| вычисляется как

F

Fk+2

|Em(g) (1 — Tg) —| = |Em(g) (1 — Tg )| — (£ — £m+i—l(Tg)),

P'(tf) 4- У/ I I E1"

Fk+2 Fk+2

где

£(Tg) = 1 — Tg—(j/g]+1)(Tg — (j mod g)), j = 0,1, 2,... (6)

Для длин полуинтервалов разбиения СТг/+ (т'), согласно [3], справедливы формулы:

|Gm' (1 — Tg )| = gm' = Tg—(k+2), |Em' (1 — Tg )| = em' = Tg—(k+1). (7)

3. АТТРАКТОР И СПИРАЛЬ

Определим длину |Atte| аттрактора Atte как сумму длин, входящих в него полуинтервалов из CTil+ (m'). Пусть £ £ Cm, где i £ {2,... , g}, и m = 0 mod 2g .В этом случае аттрактор состоит из двух цепей

= Gf (1 — Tg) + < (1 — Tg),

при этом в цепи Gm' (1 — Tg) находится 1 (Fg+g1) + g — 1) полуинтервалов вида Gm'(1 — Tg), а цепь Em'(1 — Tg) содержит 1 Fg+g' полуинтервалов вида Gm(1 — Tg). Таким образом,

|Att£| = i(Fig+1) + g — 1)gm' + 1 F$>em',

gg

где gm' и em' длины полуинтервалов Gm' (1 — Tg), Em' (1 — Tg) разбиения CTil+T (m;) соответственно (7). При этом учитываем, что однотипные полуинтервалы разбиения имеют равные длины. Продолжая рассуждения, получим

ИМ = 1 + g — 1) T;<k+2> +1F+V k+1) = g / g

? ,

= 1 Tg—(k+2> (rg+2 + g — 1) = 1 (1 + (g — 1)r,—<*+2>) .

Поскольку к =

т+д—1

д

т

= т, то окончательно можем записать, что д

|Лйе| = 1(1 + (® — 1)тд—('+2)) .

Длину |Бртге | спирали Бр2Ге легко вычислить из равенства

|Б^Ге | = 1 — |А«е |, (8)

или в явном виде

Б»Ге| = ^ (1 — ?+2)) .

Пусть теперь £ € С;. Полуинтервал Ет1(;) (1 — тд) принадлежит ат-

Рк+2

трактору и имеет подразбиение

Ет'(;) (1—тд) =+ Ет^ (1—тд) 0 Ет'(;) (1—тд)—, (9)

рк+2 гк+2 рк+2

где согласно (5)

1+ЕТк;) (1 — Тд)| = £ — £т(Тд),

р к+2

'рД;)^ 'д/ I _ ^ V-1- Тд) — (£ — £т('ду

|Е;1(;) (1 — Тд) — | = ет (1 — Тд) — (£ — £т(Тд)).

рк+2

Аттрактор состоит из двух цепей

¿«е = С?" (1 — Тд)+ £1(1 — Тд).

Причем в цепи Е;'(1 — Тд) содержится 1 (^1+2) + (д — 1)^ полуинтервалов с длиной ет', ^д1 + (д — 1)) полуинтервалов с длиной £ — £т(Тд), а также 1 — ^+2 — (д — 1)^ полуинтервалов с длиной ет' — (£ — £т(Тд)). В цепи ст'(1 — Тд) находится 1 (^+1 + д — 1) полуин-

тт'

тервалов длины дт .

Используя свойство ^д+2) — = (д — 1)*Й?, получим

д — 1 + (д — 1)) —1 — — (9 — 1)) = д — 1.

И далее,

|Лйг| = 1 (^ + д - 1) + 1 + д - 1) т."^1^

я д

+1 - *Й> - д +1) (т;<к+1» - (е - г„(г9)))+

'Ш\ 1 а,

д ......... - , Я,

+(д - 1)(тЯ+1 - (е - е,^))) +

+1 (*й? - ^ио? - д + 1) (е - ат9 )) = д1 ( ) 1

= 1 + д - О к+2) +1 к+2) + (д - 1)т-(к+1'-

-(д - 1)(е - еш(г9)) = 1

+ (д - 1)т-'+2') + (д - 1)(т-('+1) - (е - е„,(т9))).

Предложение 1. 1. Длина аттрактора |А£££| вычисляется по форму-

лам:

И«е| = 1(1 + (д - 1)т-( ?+2)) (10)

для е из полуинтервала Ст (3), где г £ {2,..., д},

|Лй.| = 1 (1 + (д - 1)г;(?+2)) + (д - 1)(г9"(т+1' - (е - е,,,^))) (11) д

для е из полуинтервала Ст (3).

2. Длина аттрактора |А£££| как функция от е £ I = [0,1) непрерывна и имеет предельное значение

Нш |А^£| = 1. (12)

£п | | д 1 ;

Доказательство

Формулы (10), (11) доказаны ранее. При е | 1 индекс т содержащего

е полуинтервала стремится к бесконечности и формула (12) вытекает из

(10), (11).

4. ЧАСТОТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ОРБИТ Из вложенного разбиения СТг1+ (т') выделим

^т' (1 - то ) = ст' (1 - то) © ят' (1 - )

и рассмотрим ограничение двухцветного сдвига Бе = Бе(д, 1) (1) на полуинтервал /ТГ' (1 — Тд) или его производную ¿т' Бе = Бе|1Т' (1 — Тд). Ограничение двухцветного сдвига на полуинтервал ' (1 — Тд) производит перестановку полуинтервалов С;' (1 — Тд) и Е;' (1 — Тд):

С; (1 — Тд) 0 Е; (1 — Тд) = Е5Ет(1—Т; ) + 1(1 — Тд) 0 С^—Т; ) + 1(1 — Тд). А это означает, что производная

Бе ~ Б1

изоморфна некоторому простому сдвигу Б1 окружности на иррациональный вектор.

Введем в рассмотрение меру на аттракторе А££е

М^е = • (13)

где д — мера Хаара на торе / — К \ Ж, А££е — длина аттрактора (см. предложение 1) и х € А££е.

В.Г. Журавлевым в [1] для 1+2^/5 доказано равенство меры (13) и

(х) = Д(х) е Л ¿е(х)ф.

Мера де(х) инвариантна и нормирована относительно интегрального преобразования

Те = У ЗДе,

где ¿е — подходящая целозначная функция или распределение на единичном полуинтервале.

Для иррациональностей Тд, где д = 2, 3,..., алгоритм доказательства аналогичен. Таким образом, следствием метрического изоморфизма

Бе|А«е - Те

является равномерное распределение орбиты ОгЬе (х) = Б^(х) начальной точки х € А££е на множестве А££е, где Б^, £ = 0,1, 2,..., обозначает ^-кратную композицию двухцветного сдвига Бе.

Для любых начальных точек x Е Atte и любого £ из 1 = [0,1) существует предел

v+(e,x) = lim 1 : 0 < Sf(x) < e,£ = 0,1, ,n - 1}, (14)

равный частоте попадания точек орбиты Orbe(x) = {Sf (х)}|=о в полуинтервал 1+ = [0,e) при действии на x двухцветым сдвигом Se = Se(g, 1). Более того, этот предел v+(e) = v+(e,x) не зависит от выбора начальной точки x Е Atte. А так как для любой точки x из 1 существует такой номер итерации -£(e), зависящий только от параметра e, что S,5e)(x) принадлежит аттрактору Atte, то предел (14) существует для всех x Е 1 и не зависит от выбора начальной точки x. Этот общий предел v + (e) назовем частотой попадания точек орбиты Orbe(x) или просто — точки x в полуинтервал 1+.

Частоту попадания v + (e) легко найти как отношение мер

v + = ^|Atte (Att+) V (e) = ^|Atte (Atte),

где Att+ = Atte П 1+. Вспоминая определение (13) меры ^|Atte, записываем ^|Atte(Atte) = 1 и поэтому получаем равенство

I Att+1

M|Atte (Att+) = ,

при этом было использовано сокращение |Att+| = ^(Att+). В получающейся формуле частоты попадания точек в полуинтервал 1+

v+(e) = ЩГ (15)

мера аттрактора |Atte | уже вычислена в предложении 1 и осталось найти только меру |Att+|.

Технически удобно рассмотреть вначале длину аттрактора Att- =

= Atte П1Для параметра e Е Cm, где i Е {2,3,..., g}, аттрактор Att« m' m+2)

состоит из одного полуинтервала с длиной gm = Tg g , то есть

л - -IT +2)

Atte = Tg g .

Если е £ Ст, то аттрактор состоит из одного полуинтервала с длиной

-т (то)

дт' и из д полуинтервалов с длиной тд ^ +' - (е - ет(то)), то есть

Л^£- = Тд( 3 ' + д(тд (3 ' - (е - ет(тд))).

Сопоставляя последние формулы с (10), (11), замечаем неожиданно простое соотношение

|Л^£-| = |Л^|- —Ц-

д - 1 д - 1

между мерами множества и аттрактора Л£££, справедливое для любого параметра е £ 1 .Из соотношения

|Л«+| = |Л^| - |ЛЦТ| = (1 - |Л^|) (16)

д - 1

вытекает формула частоты

'+(е) = д^-г (¡лщ- О

попадания точек орбит в множество А££+ = Л£££ П 1+.

Теорема 1. Пусть х — произвольная точка из единичного полуинтервала 1 = [0,1) и ОгЬ£(х) = {5^(х)}^=0 — ее орбита относительно действия двухцветного сдвига 5£ = 5£(д, 1) (1) для квадратичных чисел тд = д+Л/2° +4, где д = 2, 3,... Тогда частота ^+(е) попадания точек орбиты ОгЬ£(х) в полуинтервал 1+ = [0, е) для любого е £ I вычисляется по формуле

'+(е> = д-1 (и- 0, (17)

где |Л^£| — мера (10), (11) аттрактора ЛЫ£.

Замечание 1. Частоту попадания V-(е) точек орбиты ОгЬ£(х) = = {^£(х)}|=0 в полуинтервал 1£- = [е, 1) можно считать по формуле

V-(е) = 1 - V +(е).

Замечание 2. Из

|Spire| = 1 - |Atte| и (16) вытекает совсем не очевидная формула

|Spire| = (g - 1)|Att+| (18)

между мерами множества и множества спиралей Spire = I \ Atte.

Библиографический список

1. Zhuravlev V. One-dimensional Fibonacci tilings and derivatives of two-colour rotation of a circle // Preprint of Max-Planck-Institut fiir Mathematik. 2004 № 59.

2. Журавлев В.Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. (В печати)

3. Мануйлов Н.Н. Перенормировки на одномерном торе // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2004. (В печати)

4. Мануйлов Н.Н., Шутов А.В. Глобальный порядок разбиения окружности // Молодежь.Образование.Экономика: Сб. науч. ст. участников 5-й Всерос. науч.-практ. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов, 4 мая 2004 г. Ярославль; Ремдер, 2004. С. 314-320.

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ Расслоенные толерантные пространства

В статье определяются расслоенные толерантные пространства, являющиеся в теории толерантных пространств естественным аналогом топологических расслоенных пространств. В предлагаемой работе доказывается, что толерантное накрытие [1] определяет расслоенное толерантное