Двухсторонние оценки мажорант экспоненциальных средних рядов Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика. Физика

УДК 517.518

Б01: 10.17277/уе81тк.2017.03.рр.488-501

ДВУХСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ МАЖОРАНТ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ

А. Д. Нахман

Кафедра ««Техническая механика и детали машин», ФГБОУ ВО «ТГТУ», г. Тамбов, Россия; alextmb@mail.ru

Ключевые слова: весовые оценки; двухсторонние оценки; мажоранта; максимальная функция; экспоненциальные средние.

Аннотация: В терминах ядер Фейера и элементов суммирующей последовательности построена мажоранта семейства полунепрерывных средних ряда

p

Фурье. Получены оценки ее весовых L -норм. Доказана теорема типа Фробениуса; в частности, ее условия выполнены для кусочно-выпуклых последовательностей. В случае мажоранты обобщенных средних Пуассона-Абеля установлена ее эквивалентность максимальной функции Харди-Литтлвуда.

1. Введение. Максимальная функция Харди-Литтлвуда

Рассмотрим произвольную 2п-периодическую суммируемую на Q = (—п, п] функцию f (x), ее коэффициенты Фурье

1 п

ck (f ) = 2П i f (t)exp(-ikt) dt (1)

—п

и ряд Фурье

да

S[f, x] = £ ck (f ) exp(ikx). (2)

k=—x

Важным инструментом исследования поведения ряда (2) и его линейных средних является максимальный оператор Харди-Литтлвуда f ^ f * ( x), где

f* ( x) = sup-Ц [if ( x) | dx, (3)

Jx i^x|JJx

а супремум берется по всем интервалам Jx с лебеговской мерой | Jx |> 0, содержащим произвольно выбранную точку х. Как известно [1, с. 58 - 61], оператор, определяемый соотношением (3) и действующий в лебеговых пространствах Lp (Q), p > 1, является ограниченным. Более общая проблема нахождения характеристик весовых лебеговых пространств, обеспечивающих ограниченность (3), окончательно решена Б. Макенхоуптом в 1972 г. [2] в следующем виде.

Пусть Lp = Lp (Q) - класс измеримых на Q 2л-периодических функций f таких что

|| f llv,p = (jQ I f (x)\p v(x)dxj < ю , p > 1.

Здесь весовая функция v = v(x) > 0 также измерима на Q и 2п-периодична; в случае v = 1 имеем пространства Lp = Lp(Q); L = L(Q) = lL (Q). Положим

Ap(v; Q)=(lnv(t)dt)([¿iJqv_1/(p-1)(t)dt)p 1, p >1,

где Q - произвольный интервал, | Q |> 0, а множитель ^JQv~1/(p-1)(t)dtj

1 ,

считается равным esssup- при р = 1 по определению.

teQ v(t)

Говорят, что выполнено Ap-условие Розенблюма-Макенхоупта [2, 3] и применяют обозначение v e Ap, если sup Ap (v; Q) < ю, p > 1. В настоящей работе,

Q

как и в [2], полагаем, что 0 • ю = 0. Тогда можно считать, что каждая f e Lp (Q) является также функцией из класса L(Q) (см., напр., [4]). Исключив из рассмотрения тривиальный случай v(x) ~ ю, получаем на основании Ap-условия,

что I v(x)dx < ю, а тогда для всякого измеримого по Лебегу множества Е можно J Q

ввести меру

ц(£) = J v(x)dx. Согласно результатам [ 2], оценка «сильного типа»

||/-||v, p ^ Cv, pllfllv, p (4)

равносильна условию v e Ap, если p > 1. Кроме того, оценка «слабого типа»

rn f,,

llv, p ?

равносильна условию v e Ap, p > 1. Здесь и в дальнейшем С - постоянные

(вообще говоря, различные), которые могут зависеть лишь от указанных индексов.

В связи с изложенными выше результатами, в настоящей работе решаются следующие задачи:

1) строится мажоранта семейства линейных полунепрерывных средних рядов Фурье;

2) устанавливается ее оценка (сверху) посредством максимальной функции Харди;

,, Tp

3) доказываются оценки ее весовых L -норм, и, как их следствие - теоремы о суммируемости;

4) обобщается на случай общих полунепрерывных средних классическая теорема Фробениуса;

5) в случае мажоранты обобщенных средних Пуассона-Абеля установлена ее эквивалентность максимальной функции Харди-Литтлвуда.

ц{хеQ\f (x) ><;>0}<Cv>p P (5)

2. Мажоранта средних

В различных вопросах анализа возникает задача об исследовании поведения при h ^ +0 семейств линейных средних ряда (2)

да

uh(f) = U(f,х;X,h) = £ Х^С(f)ехрО'кх), (6)

k=-да

Л = {Хк(h), k = 0,1,...; = 1} (7)

- бесконечная, вообще говоря, произвольная последовательность («суммирующая последовательность»), определяемая значениями параметра h > 0 . В случае, когда к - дискретный параметр, близкие задачи (а именно, суммируемость рядов Фурье в точках Лебега и равномерно на промежутке непрерывности функции f ) изучали многие авторы (см. статью [5] и библиографию в ней). Важнейшими примерами семейств (6) являются классические средние Фейера (последовательность средних арифметических частных сумм ряда [1, с. 148 - 152], соответствующих случаю:

Хк (к) = Хк |—= 1--—, к = 0,..., п; Хк |—= 0 при к > п +1; п = 0,1,...,

^ п +1) п +1 ^ п + 1)

а также средние Пуассона-Абеля, порождаемые суммирующей последовательностью Xк (к) = ехр(-кк), к = 0,1,... [1, с. 160 - 165]. Положим

k=о

X (h, X) = £ (k +1) IА \k (h)

\U ( f, x; X, h)\

и* (f) = U* (f, x; X) = sup1 „ .

h >0 ^ (h, X)

Введем в рассмотрение ядра Дирихле и Фейера, соответственно [1, с. 86, 148 - 149]:

1 k sin [k +2|/ 1 k sin2 — t

Dk(t) = - + £ cosvt = \ 127 ; Fk(t) = — £ Dk(t) =

V=1 2sin—t k_r1 v=0 2(k +1) sin2 — t

(8)

2

Обозначим

Uh (f) = U(f,x;X,h) = £ (k +1)|(h)| J | f (x +1)| Fk (t) dt, (9)

k=0 -n

где AXk =Xk(h) -Xk+i(h), A2Xk =AXk -AXk+1, k = 0,1,... - первые и вторые (соответственно) конечные разности элементов последовательности (7); пусть

U* (f) = U*(f, x; X) = sup U(f, X; X h).

h>0 ^ (h, X)

Лемма 2.1. Если выполнены условия:

X'(h)=°(йг) <l0)

AXk(h) = o\1 |, k ^t», (11)

и

и

то в каждой точке х имеет место оценка

| U(f, х; X, h) | < С U(f, х; X, h). (12)

Доказательство. Воспользовавшись интегральной формой (1) коэффициентов Фурье и преобразованием Абеля [1, т. 1, с. 15], запишем

Uh(f) = U(f, х; X, h) = lim - f f (t)J^0^ + Y Xk(h)cosk(х -1)[dt =

N [ 2 k=1 J

=1 lim kn(h) f f(x +1) Dn(t)dt + NAXN-1(h) ff(х +1) Fn-x(0dt + п N^+OT I J J

L -п -п

N-2 n

+ X(k + 1)A2Xk(h) f f(x + t)Fk(t)dtl. (13)

k=0 -n J

Далее (см. (8)) воспользуемся хорошо известными оценками (см., напр, [2, 6]) интегралов, содержащихся в правой части (13):

п

f | f (х +1 )| • | Dk (t)| dt |< Cf *( х) ln k, k = 2,3,...; (14)

-п

ff \f (X+1 )|F (t) dt

<Cf (x), k = 0,1,.... (15)

Согласно (14), (15) и с учетом (10), (11), получаем из (13)

1 N-2 -

\U(f, x; X, А) <- lim £(k + 1)\A%t (h)\ f\f (x + t)\F (t) dt = U(f, x; X, h), - k=0 -(16)

вычисляя пределы в правой части (13), предположили / (х) <да в каждой рассматриваемой точке х, что не ограничивает общности ввиду соглашения 0 -да = 0.

Утверждение леммы 2.1 теперь вытекает из (16).

Замечание 2.1. Преимущество рассмотрения мажорантного для (6) оператора (9) состоит в том, что средние Фейера ряда Фурье (средние (6) с интегральным ядром Фейера) хорошо изучены, и это обстоятельство облегчает возможность перенесения на (6) некоторых классических результатов.

Лемма 2.2. Если выполнены условия (10) и (11), то в каждой точке х имеет место оценка

й. (/, х; X) < Сх/*(х). (17)

Доказательство. Можно считать /*(х) <да, иначе оценка (17) тривиальна. Согласно (9) и (15) имеем

да

>2л

U(f, x; X, h) < С f *(X) £ (k +1) A2Xk (h) k=0

(18)

откуда и вытекает утверждение леммы 2.2.

Замечание 2.2. Благодаря оценкам (12) и (17) справедливо также неравенство

й.(/, х; X) < Сх/*(х). (19)

3. Весовые оценки (оценки сверху)

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (10), (11) и V е Лр. Тогда имеют место оценки:

II и*(/)IV,р<Сх,р ||/IV,р, р> 1; (20)

'Шк ^р

ц(хе Q\U(f, х; X) >q>0}<C^

I iv, p

V ? У

P > 1. (21)

Результат немедленно вытекает из (17) и оценок, соответственно, сильного и слабого типов (4) и (5).

Замечание 3.1. Согласно оценке (19), неравенства (20) и (21) остаются справедливыми с заменой в них и*(/, х; X) на и* (/, х; X).

Следующие результаты относятся к общему случаю выпуклых (вогнутых)

или кусочно-выпуклых суммирующих последовательностей. Последователь-

2 2

ность (7) называется выпуклой (вогнутой), если А (к) > 0 (А Хк (к) < 0). Последовательность (7) кусочно-выпукла, если А Xк (И) меняет свой знак конечное число раз, к = 0,1,....

Теорема 3.2. Предположим, что последовательность (7) выпукла (вогнута), выполнено условие (10) и V е Лр. Тогда имеют место оценки

II (¡Пф^ (/)) IIV, р < Сх, р II / IIV, р , р > 1; (22)

к >0

ц<! х е Q \ sup U (f, х; X, h) >q> 0[>< Cx, p h >0

^\\ f \\v, p ^P

V ?

P >1. (23)

Если выполнено также условие (11), то оценки (22) и (23) справедливы в случае всякой кусочно-выпуклой последовательности (7).

Замечание 3.2. Оценки (22) и (23) остаются, очевидно, справедливыми, если

в них sup U(f, х; X, h) заменить на sup \ U(f, х; X, h) \. h>0 h>0 Рассмотрим, для определенности, случай выпуклой последовательности (7). В этом случае оказывается выполненным [1, т. 1, с. 156] соотношение (11). Используя преобразование Абеля, получаем

да N

£ (к + 1)A2Xk (h)= lim £ (k + 1)A2X^ (h) =

= lim (X0(h)-Xn+1 (h)-(N + 1)AXN+x(h)} = X0(h)= 1. (24)

N ^да

Значит, в силу (18), имеет место оценка

U(f, х; X, h) < С f *(х), (25)

откуда и вытекают утверждения (22) и (23).

Если же последовательность (7) кусочно-выпукла, то A2Xk (h) сохраняет свой знак при m < к < п для некоторых натуральных m и п. Выполняя преобразование Абеля, получаем

п

£ (k + 1)A2X к (h) = X m+i(h) -X„+!(h) + (т + 1)Xm (h) - (п + 1)AX п+x(h). (26)

к=т

При этом из условий (10) и (11) вытекает равномерная ограниченность слада

гаемых в правой части (26). Теперь сумма £ (к +1)|л2^к(й)| равна конечному

к=0

числу слагаемых, каждое из которых имеет вид (25), так что

£ (к +1) Д2Хk (h)

к=0

< CX.

(27)

Следовательно, оценка (25) с С = С^ остается справедливой и в случае кусочной выпуклости (7). Теорема 3.2 доказана.

4. Теорема типа Фробениуса

Говорят, что ряд Фурье суммируем методом Фейера в точке х к числу 5, если

Eh -

l=-к

111

I к | +1

ci (f) exp(ilx) ^ s, к ^ то.

Указанная суммируемость означает [1, с. 148], что

1 п

-J f(x + t) ¥к (t) dt ^ s, к

^ то.

(28)

В общем случае сходимости средних (6) к числу s будем говорить, что ряд Фурье (2) суммируем к этому числу методом (7). Классическая теорема Фробениуса [7, с. 28] утверждает, что ряд, суммируемый к числу s методом Фейера, суммируем методом Пуассона-Абеля к тому же числу. В следующем утверждении данный результат распространяется на случай общих средних (6).

Теорема 4.1. Пусть последовательность (7), удовлетворяет условиям (10), (11), (27) и

lim Хк(h) = 1, к = 0,1,.... (29)

Тогда, если ряд Фурье (2) суммируем методом Фейера в точке х к числу s, то он суммируем к s в той же точке Х-методом, то есть методом, определяемым последовательностью (7) .

В основе доказательства лежит соотношение (13):

то f л п Л то

U(f, x; X, h) = £ (к + 1)Д2Хк (h) П J f (x + t)Fk (t) dt - s +s £ (к + 1)Д2Хк (h). (30)

f 1 " П

к=0 ^ _п ; к=о

Если принять во внимание равенство (24), то из (29) и (30) получаем

да

л2л

I U(f, x; X, h) - s|< £ (к + 1)|Д2Хк (h)| к=0

1

— I f (x +1F (t) dt - s п J

(31)

Согласно условию теоремы, имеет место соотношение (28), то есть для любого е > 0 справедливо неравенство

1 п

- J f (x +1F (t) dt - s

IT J

< e

для всех значений к, больших некоторого к0 = &0(е,х) > 1- Значит, в силу (31).

\U (f, x; X, А) - 5\< £ (k +1) А% (h)

k=0

1 п

— f f (x + t)Fk (t) dt - 5

k0

+ (Л +1) Д% (h)

k=0

Используя (32) и (15), имеем

k0

\ U(f, x; X, h) - 5 \< С(f * (x) + 5) £ (k +1) Ä2Xk (h) + в £ (k +1) Д % (h)

k=0

k=0

(33)

В сумме

£ (к +1) Д2Хк (А) = £ (к +1) | Хк (к) - 2Хк+1 (к) + Хк+2 (А) |

к=0 к=0

содержится фиксированное (зависящее от е их) количество слагаемых, каждое из которых стремится к нулю при к ^ 0 в силу (29). Значит, из (33) вытекает, что

lim \ U(f,x;X,h) -5 \ < в£ (k +1) Д%(h) h^0 k=0

(34)

при этом в случае / = да (в выбранной точке х) принимаем во внимание вышеприведенное соглашение о том, что 0-да = 0. Ввиду произвольности е>0 и условия (27) имеем, благодаря оценке (34),

lim U(f, x; X, h) = 5, ä^0

(35)

что и утверждалось в теореме 4.1.

Теперь воспользуемся тем известным фактом, что ряд Фурье f, x] суммируем методом Фейера к функции f (x) во всякой точке Лебега, то есть точке х, обладающей свойством

n

J|f(x +1)-f(x)\dt = o(n), n^+0. -n

Заметим, что точки Лебега функций f e L(Q) расположены почти всюду [1, с. 111]. Очевидно, что всякая точка х непрерывности функции f (х) является ее точкой Лебега.

Следствие 4.1. Пусть последовательность (7), удовлетворяет условиям (10), (11), (27) и (29). Тогда соотношение

lim U(f, x; X, h) = f (x)

имеет место в каждой точке Лебега функции f e L(Q).

Рассмотрим теперь произвольную точку х, в которой существуют и конечны оба односторонних предела f (x - 0) и f (x + 0).

Следствие 4.2. Пусть последовательность (7), удовлетворяет условиям (10), (11), (27) и (29). Тогда

J (x - 0) + f (x + 0)

lim U (f, x; X, h) =-Ä^+0

2

Утверждение следствия вытекает из соответствующего результата для средних Фейера [1, с. 149] и теоремы 4.1.

5. Суммируемость ц-почти всюду и в метрике (Q)

Теорема 5.1. Пусть последовательность (7), удовлетворяет условиям (10), (11), (27) и (29). Если v е Лр, то соотношение

lim Uh (f ) = f (36)

имеет место ц-почти всюду для каждой f е Lp (Q} и в метрике Lp (Q} при любом р > 1. Утверждения сохраняются для выпуклых последовательностей, удовлетворяющих лишь условиям (10) и (29) и кусочно-выпуклых последовательностей, удовлетворяющих условиям (10), (11) и (29). Кроме того, при сформулированных условиях на последовательность (7) соотношение (36) имеет место равномерно по х для каждой непрерывной f.

Утверждения теоремы 5.1 вытекают стандартным образом из результатов теорем 3.1 и 3.2 и равномерной ограниченности соответствующих констант Лебега, определяемых методом суммирования (7) [4].

6. Экспоненциальные методы суммирования

Рассмотрим полунепрерывные методы суммирования, соответствующие случаю:

X0(h) = 1, Хк(h) = Х(х,h)|x=к, к = 1,2,..., (37)

где Х(х, h) = exp(-h<p(x)), а функция ф(x) непрерывна на [0, +то), дважды непрерывно дифференцируема на (0, + то) и возрастает к +то. Потребуются равенства:

XX (х, h) = -h<'( x)exp(-h<( x));

XX(х,h) = h (h(<'(x))2 -<''(x))exp(-h<(x)). (38)

В случае (37) в силу теоремы Лагранжа и (38) имеем:

ДХк (h) = hф'(k + e^exp (-hф(k + Bj)};

ДХ к+j (h) = hф'(k +1 + e2)exp (-hф(k + e2)}; (39)

Д2Хк (h) = (1 + e2 - e1)h (h(ф'(k + e))2 - ф''(к + e)} exp (-hф(k + e)}, (40)

здесь e = e3(1+e2-e1), 0<e1,e2,e3 <1, так что 0<e<2.

Положим

х) = h(ф'(х))2 - ф''(х), x > 0. (41)

Теорема 6.1. Если v е Лр, функция ф(x), определенная в (37), удовлетворяет условию

exp (-hф(x)}ln x = o(1), x ^+то, h > 0, (42)

и ф''(х) < 0 на (0, +то), то имеют место утверждения (22), (23), (36) теорем 3.2 и 5.1 при соответствующем значении р.

Действительно, при условии (42) выполнено (10) и, согласно (40), последовательность (7) является выпуклой. Условие (29), очевидно, выполнено в силу определения (37).

Теорема 6.2. Пусть V е Лр, функция ф(х), определенная в (37), удовлетворяет условиям (42) и

кхф'(х) ехр(-кф(х)) = о(1), х ^ к > 0, (43)

а функция х) в (41) меняет на (0,+да) знак конечное число раз. Тогда имеют место утверждения (22), (23), (36) теорем 3.2 и 5.1 при соответствующем значении р.

Действительно, условие (42) обеспечивает выполнимость (10), тогда как (43) обеспечивает справедливость соотношения (11) (см. также (39)). Далее, согласно (40), последовательность (7) будет кусочно-выпуклой. Остается применить результаты п. 5.

7. Мажоранта обобщенных средних Пуассона-Абеля: весовые оценки

Выберем в (37)

ф(x) = xa, a > 0, (44)

так что

Xk(h) = exp(-hka), k = 0,1,.... (45)

Обозначим в этом случае семейство (6) через Uh,a (f) = Ua (f, x; h) и рассмотрим мажоранту (9) соответствующих средних

да п

Ua (f, x; h) = £ (k +1) Д2 exp(-hka )| J\ f (x +1)\ Fk (t) dt;

k=0 -п

пусть

U( f) = U*,a (f, x) = sup Ua (f, x; h). (46)

h >0

Легко проверить, что функция (44) удовлетворяет условиям (42) и (43); кроме того ф''(х) < 0 на (0,+да) при 0 < a< 1, и функция (41) меняет знак один раз при a > 1, так что последовательность (45) в первом случае выпукла, а во втором -кусочно-выпукла. Следовательно, имеет место следующая теорема.

Теорема 7.1. 1. Если ряд Фурье (2) суммируем методом Фейера в точке х к числу 5, то он суммируем к 5 в той же точке методом (45) при всех a> 0. В частности, он суммируем к значениям f (x) в каждой точке Лебега x и к числу f(x - 0) + f(x + 0)

-2- в каждой же точке x, где существуют оба односторонних предела f (x - 0) и f (x + 0). 2. Пусть v е Ap. Тогда

1) для максимального оператора (46) при соответствующих значениях р и всех a > 0 имеют место оценки (22) и (23);

2) соотношение

lim Uh,a (f) = f (47)

h^0

имеет место ц-почти всюду для каждой f е Ир (Q) и в метрике Ир (Q) при любом р > 1.

Кроме того, соотношение (47) справедливо равномерно по х для всякой непрерывной 2п-периодической функции.

8. Мажоранта обобщенных средних Пуассона-Абеля: двухсторонние оценки

Теорема 8.1. При каждом а > 0 существуют положительные постоянные С а и С2а, такие что

C, а f (x) < U*„ (f, x) < C2,a f *(x).

(48)

Доказательство. В силу леммы 2.2 достаточно установить только оценку снизу. Начнем со случая а > 1. Вторые разности последовательности (7), согласно (40) и (44) имеют вид

Л2к(к,а) = (1+ 92-01) ак (ак(к + 0)а-(а-1))(к + 0)а-2 ехр(-к(к + 0)а), где 0 = 0з(1 + 02-01), 0 <01,02,0з <1; ясно, что они сохраняют знак «+» при

всех целых значениях к, больших

а-1 ah

1/а

m >

а-1 ah

. Выберем т, таким что

1/а

Запишем (9) в виде

да п

и (/, х; X, к) = £ (к + 1)|Л2Хк (к)| ||/(/)| Е (х - Г) Л

(49)

(50)

к=0 -п

и рассмотрим произвольный интервал 3 = 3х, содержащий произвольно выбран-

ную точку х; будем поначалу считать 0 <| 3|< —. Обозначим р =

18

3

— m 2

2т-1

2 к +1 . sin —:—( x -1)

U(f, x;X,h) > J| f (t) | £Д2Хк (h)-2-

2sin2—(x -1)

dt;

+1. Теперь

(51)

J

к=p

2

сумма в (51) будет не пустой при т > 4. Если положить

п

2| JI

(52)

к +1 п

(а тогда т > 8) то в (51) -1 х - /1< т 131< , а значит, справедлива оценка

2т-1

и(/, х; X, к) > С £ (к + 1)2 Л2Хк (к) || /(/) | Л >

к=р 3

> Ст2 (ЛХ^ (к) -ЛХ2т (к)) || /(/) |

3

Таким образом, (53) установлено, если (см. (49) и (52))

п

1/а

а-1 Л 1

к1/а 21 31

Существование соответствующего целого положительного т обеспечено при выборе к > 0 таким, чтобы длина интервала (54) была равна единице:

< т < -

(53)

(54)

h = ®а |J|

(55)

т

Здесь выражение

a-1 ( 2

п-21 J | п

при 0 < | J |< — заключено между двумя положительными (зависящими от а > 1) 18

постоянными. Теперь из (53) - (55) получаем

и (/, х; X, к) > Са ^^ (А Хр (к) - ДХ2т (к)) ) | /(/) | А. (56)

Осталось оценить снизу разность ДХр(к) -ДХ2т(к). Согласно (39) и (45)

АХк (к) есть значение производной ак ха-1 ехр(-кха) функции ехр(-кха) в некоторой точке к + 9, где 6 е (0,1). Значит с некоторыми 61 е (0,1), 62 е (0,1)

ДХр (к) -ДХ2т (к) =

= ак ((р + 61)а-1 ехр(-к(р + 61)а)- (2т + 62 )а-1ехр(- к(2т + 62 )а). (57) Применим теорему Лагранжа к (57): ДХр (к) -ДХ2т (к) =

= ак (2 т - р+ 62 - 61) (ак (хт )а - (а - 1))(хт )а-2 ехр (-к (ти)а ); (58)

здесь вторая производная (ха-1 ехр(-кха)) = -(акха- (а-1)) ха-2 ехр (-к ха) берется в точке

тт = р + 61 +63 (262 -61)т-р+ 62-61) = р(1 -63) +263т + 6*,

где 6* =61(1 -63) + 6362 е (0,2). Заметим, что

3 3 13

тт > ^т(1 -63) + 263т +6* = — т + — 63т + 6* > — т. (59)

С учетом неравенств (59) и т > 8 будем иметь

3

2 т <тт < 4т, (60)

а также

2т-р + 62-61 > 2т-[|т +Ц -1 = т- 2 > т Осталось заметить, что в силу (54) и (59)

(ah(xm )a - (a -1))> ^ah (3m)a - (a -1) ] >

(3 j a 1 >[-] a^—— (a-1) = (a-1) 12 J a

2 Г-1

= Ox> 0,

а поэтому , согласно (58), (54) и (55)

а-1

^ (к 1 — 1 к 1 > 1 к «та 1

^ <h)h > C« hm"-' > 4 )a"' > Ca| 4

ut

Теперь, в силу (54) и (55) имеем в (56)

и(/, х; X,к) > СаЫ | 3 | 11 /(Г) | Л = Са± {| /(Г) | Л.

\131) 3 1313

п

Итак, при всех а> 1, произвольном 3 = 3х, 0 < 131<— получена оценка снизу

18

и (/, х; X, к) > С 1 Г | / (/)|^/. (61)

|3|3

Оценка (61) сохранится и при |3| > —, если (50) использовать в виде

U(f, x; X, h) >

'> 18

i2

Xq(h) J|f(t)|F0(х-1)dt-

Л _

3

= ±|1 - 2ехр(-к) + ехр(-2к)| Г | /(Г> С^ Г | /(Г

2 3 |3|3

при выборе, например, к = 1.

Распространим (61) на случай 0 <а< 1. Как установлено выше (п. 6), в этом

случае вторые разности Л2Хк (к) неотрицательны. Из (53) вытекает неравенство

U(f, x; X, h) > Cm2 (ДХр (h) - ДХ^ (h)} J | f (t) | dt, (62)

J

2|J|

J = Jx, 0 <|J| . Далее, 18

которое остается верным при выборе т = из (58) следует, что

ДХр (h)-ДХ2И (h) > ah (2m-р+ 82-61) (ah(xm )a) (ти )a-2 exp(-h (xm )a). С учетом (60) имеем

ДХр(h)-ДХ2т(h) > Cah m(hma)ma-2 exp(-h(тт)a) = = Cah2 m2a-1 exp(-h(Tm)a). Теперь возьмем h = ^ma. Снова используя (60), получим ДХр (h)-ДХ2т (h) > Ca -

m

и, согласно (62), приходим к оценке (61).

I I П

В случае |3| > — оценка (61) получается точно так же, как и выше. 18

Из неравенства (61) и определения (46) вытекает, что

*,а (f, x) > Са J J | f (t )|

и * а (

3 X

для всех а > 0 и всякого интервала 3х, 13х |> 0. Переходя к супремуму по всем 3х, в соответствии с определением (3), получаем

и*,а (/, X) > Са/* (X).

Оценка снизу в (48) установлена и теорема полностью доказана.

Теорема 8.2. При каждом а > 0 и р > 1 следующие утверждения эквивалентны:

1) V е Лр;

2) имеет место оценка (3);

3) имеет место оценка

|| и*, а (ЛИ, р < Са р Ц/Ц, р.

В случае р > 1 эквивалентны следующие утверждения:

1) V е Лр;

2) имеет место оценка (4);

3) имеет место оценка

- ш /1| лр

ц{х е 0|и*,а (/, х) >д> 0}<

"у, p ? /

р > 1.

Результат теоремы 8.2 есть немедленное следствие (48) и результатов Б. Макенхоупта [2].

Отметим, что изложенные результаты могут быть перенесены на случай прямоугольных средних кратных рядов Фурье.

Список литературы

1. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. В 2 т. T. 1 / А. Зигмунд. - М. : Мир, 1965. - 615 с.

2. Muckenhoupt, В. Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maximal Function /

B. Muckenhoupt // Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - Vol. 165. - P. 207 - 226.

p

3. Rozenblum, M. Summability of Fourier Series in L (ф.) / M. Rozenblum // Trans. Amer. Math. Soc. - 1962. - Vol. 105. - Р. 32 - 42.

4. Nakhman, A. D. Regular Semi-Continuous Methods of Summation of Fourier Series / А. D. Nakhman, B. P. Osilenker // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2017. -Т. 23, № 1. - P. 135 - 148. doi: 10.17277/vestnik.2017.01.pp.135-148

5. Ефимов, А. В. О линейных методах суммирования рядов Фурье / А. В. Ефимов // Изв. АН СССР. Сер. Математика. - 1960. - № 24. - С. 743 - 756.

6. Nakhman, А. D. Еxponential Methods of Summation of the Fourier Series / А. D. Nakhman, B. P. Osilenker // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2014. - Т. 20, № 1. - P. 101 - 109.

7. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 1961. - 936 с.

Bilateral Estimates of Majorants of Exponential Means of Fourier Series

A. D. Nakhman

Department of Engineering Mechanics and Machine Parts, TSTU, Tambov, Russia; alextmb@mail.ru

Keywords: bilateral estimates; exponential means; majorants; maximal function; weighted estimates.

Abstract: In terms of Fejér kernels and elements of the summing sequence, a

family of semi-continuous means of the Fourier series is constructed. The estimates of

p

its L -weighted norm are obtained. A theorem of Frobenius type is proved; in particular, its conditions are satisfied for piecewise convex sequences. In the case of majorant of the generalized Poisson-Abel means, its equivalence to the Hardy-Littlewood maximal function is established.

References

1. Zygmund A. Trigonometric series, Cambridge University Press, 1959.

2. Muckenhoupt В. Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maximal Function, Trans. Amer. Math. Soc.,1972, vol. 165, pp. 207-226.

p

3. Rozenblum M. Summability of Fourier series in L (d|), Trans. Amer. Math. Soc.,1962, vol. 105, pp. 32-42

4. Nakhman A.D. Regular semi-continuous methods of summation of Fourier series, Transactions of Tambov State Technical University, 2017, vol. 23, no. 1, pp.135-148, doi: 10.17277/vestnik.2017.01.pp.135-148

5. Efimov A.V. [On Linear Methods of Summation of Fourier Series], Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Otdelenie matematicheskikh i estestvennykh nauk. Seriya Matematicheskaya [Izvestiya of the USSR Academy of Sciences. Branch of Mathematical and Natural Sciences. Mathematical Series], 1960, no. 24, pp. 743-756. (In Russ.).

6. Nakhman A.D., Osilenker B.P. Exponential methods of summation of the Fourier series, Transactions of Tambov State Technical University, 2014, vol. 20, no. 1, pp.101-109. (In Russ., abstract in Eng.)

7. Bari N.K. Trigonometricheskie rjady [Trigonometric series], Moscow: Fizmatlit, 1961, 936 p. (In Russ.)

Bilaterale Einschätzungen der Majoranten der exponentiellen mittleren Fourier-Reihen

Zusammenfassung: Im Sinne der Fejer-Kerne und der Elemente der summierenden Reihe ist eine Majorante der Familie der halbkontinuierlichen Mittelwerte der Fourier-Reihe aufgebaut. Die Schätzungen ihrer Gewichtsnormen sind erhalten. Ein Theorem von Frobenius-Typ ist bewiesen. Insbesondere sind seine Bedingungen für stückweise konvexe Sequenzen erfüllt. Im Falle einer Majorante von generalisierten Poisson-Abel Mitteln ist seine Äquivalenz der Hardy-Littlewood Maximalfunktion etabliert.

Les évaluations bilatérales des majorants des séries exponentielles moyennes de Fourier

Résumé: En termes des noyaux Fejér et les éléments de la séquence sommée est

construit un majorant de la famille des semi-continues moyennes de la série de Fourier.

p

Sont obtenues les évaluation de son poids -norme L . Est prouvé le théorème de type de Frobenius; en particulier, ses conditions sont exécutées pour les séquences continues par morceau. Dans le cas de majorant des moyennes de Poisson-Abel est établie son équivalence maximale de la fonction Hardy-Littlewood.

Автор: Нахман Александр Давидович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Техническая механика и детали машин», ФГБОУ ВО «ТГТУ», г. Тамбов, Россия.

Рецензент: Пучков Николай Петрович - доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика», ФГБОУ ВО «ТГТУ», г. Тамбов, Россия.