CC BY
63
УДК 517.9
Двухслойный итерационный метод определения диэлектрической проницаемости неоднородного образца
материала
Васюнин Денис Игорьевич Пензенский государственный университет
Аннотация. В статье исследуется задача определения диэлектрической проницаемости неоднородных образцов материалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. Предложен итерационный метод для численного решения задачи. Доказана его сходимость. Представлены результаты расчетов диэлектрической проницаемости образцов материалов.
Ключевые слова. Диэлектрическая проницаемость материала, обратная краевая задача, итерационный метод.
Abstract. The problem of determination of permittivity of dielectric body located in rectangular waveguide is considered. Nonhomogeneous body has arbitrary shape. Iteration method for numerical solving the problem is proposed. Convergence of the method is proved. Numerical results for determination of permittivity of dielectric body are presented.
Key words. Permittivity of dielectric body, inverse boundary value problem, iteration method.
Определение диэлектрических и магнитных параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией является актуальной задачей нанотехнологии и наноэлектроники. Однако эти параметры, как правило, недоступны для экспериментального измерения (ввиду композитного характера материалов) что приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачи численно с помощью компьютеров. При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке.
В статье исследуется задача определения диэлектрической проницаемости неоднородных образцов материалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками.
1
Постановка обратной задачи
Пусть в декартовой системе координат
Р = {х :0 < x1 < a, 0 < x2 < b, -™ < x3 < «>}- волновод с идеально проводящей поверхностью ЭР. В волноводе расположено неоднородное анизотропное тело Q (Q с Р - область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью р0 и функцией переменной диэлектрической проницаемости е(х). Функция е(х)
является ограниченной функцией в области Q, еє L¥ (Q), а также e-1 є L¥ (Q). Граница ЭQ области Q кусочно-гладкая.
Прямая задача по определению поля внутри тела, расположенного в волноводе P, представлена в [1].
Как показано в [1], рассматриваемая обратная задача по определению диэлектрической проницаемости в теле, расположенном в волноводе P , может быть сведена к следующей задаче для нелинейного объемного сингулярного уравнения.
Введем ток
J (х)
е( х) -1 е0
E (х)
(1)
где E (х) - электрическое поле. ,
Интегро-дифференциальное уравнение, к которому сводится обратная задача имеет вид:
е( х) е0
-|-1
J (х) = E0 (х) + р2 J Ge (х, y) J (y) dy +
1
Q
+graddiv J Ge (х, y) J (y) dy, х є Q.
Q
(3)
Здесь Ge (х, y) - (известный) диагональный тензор функции Грина [1].
В формуле (3) k0- волновое число свободного пространства, k02 =w2e0p0, w -круговая частота. Параметры волновода выбраны так, чтобы pa < k0 <pb . В этом случае в волноводе может распространяться только одна мода. Падающее поле
2
0 / \ . (+) . P • PXi .(+).- \
имеет вид E (x) = e2A 'iwm0—sin—1 e ,( 3, A - (известная) амплитуда падающей
a a
(2) j 2 P - -
волны, g(' =. k0 —- , e2 - второй орт в декартовой системе координат. V a
Дополнительное асимптотическое уравнение запишется в форме:
Q(+) = A(+) + k02-----(-----f sin рУ( elg(2)y3
bgl0mwm0 Q a
e( У) — (
E (У )• e2dy, (4)
где g( 0 =
і
P. — k 2
a2 k0
Коэффициент Q((+) считается известным из измерений. Требуется определить диэлектрическую проницаемость e(x),xє Q посредством серии измерений.
При измерениях изменяются частоты ar),ar’,..,arN) (происходит
сканирование по частоте); при этом волновое число изменяется по формуле
к0) = w )4em0.
Формулировка итерационного метода
Будем предполагать, что тело имеет форму параллелепипеда Q = {x: a( < x( < a2, b( < x2 < b2, c( < x3 < c2}. Выберем равномерную прямоугольную
сетку в Q, образованную элементарными параллелепипедами
Пklm = {x : x(k < x( < x(k+(, x2,l < xi < X2,l+(, x3,m < x3 < x3,m+(}
a2 — a( , , b2 — b( , c2 — c(
x(k = a( + —--1 k, x2l = b(+—--11, x3m = c( + —-1 m,
(,k ( N( 2,1 ( N2 3m ( N3
где k = 0,K,N( — (, l = 0,K,N2 — (, m = 0,...,N3 — (.
Построим двухслойный итерационный процесс для решения обратной задачи по формулам:
L(x)
en (x ) _ (
—(
(5)
e
0
3
x (*)Jn (X)-^02JG(X,y) Jn (y)dy-
Q
-graddiv JG(x,y) Jn (y)dy = E0 (x), xє Q
Q
En ( X) = X ( X ) Jn ( X) ,
F
A + “a J
abg J
Sin
10 Q
pyL V a )
y3h+i( y)En (y )• e2dy '
(6)
(7)
(8)
где
F
ipwm0 Q\
( + )
A-
ipwm0 A ( + )
a
a
A + , hn (* ) =
en (X)
1
X (X) = hn_1 (X). (9)
Формула (8) приводит к конечномерной СЛАУ. Образуем матрицы E = {е2 • Е„ )} размера NхN0 и H = {H,} размера N0 хN, где H, = 0 при l
таких, что П l ё Q,. Тогда будем иметь СЛАУ с матрицей AN = EH размера N х N:
Awhn+1 = В, (10)
которая решается относительно неизвестных hn+1 = (hX-ht?/. Здесь и ниже мы будем отождествлять (кусочно-постоянную) функцию hnt1 =hnt1( х) и вектор
(hn+)1,..., hnn+1) )T, так как они однозначно определяют друг друга.
Выпишем коэффициенты матрицы AN и правой части В в случае изотропного неоднородного тела. Они вычисляются по формулам:
ai, = І Є2 • e:;j 1 Hi, (11)
1:Пі cQ,
H; = J
sin
П,
РУх V a
л V a
dyydy 2dyз,
b = (f-AM
1 (k(l))2 V a2 ( 0 )
(12)
4
Далее проверяется выполнение неравенств
h)
4n+1
h
(i)
<d (i = 1,..., N) с заданной
точностью d(> 0). Если требуемая точность достигнута для каждого h+l (i = 1,..., N), то вычисления прекращаются. Если требуемая точность не достигнута,
то Xn+1(x) := hn+i. (x), n := n +1 и вычисления повторяются с формулы (6).
В качестве искомого выбирается значение для относительной
диэлектрической проницаемости
en ( x ) =
hn ( x )+ 1
Ключевым моментом в данном двухслойном итерационном процессе является возможность определения en+1 (x) по известному полю En (x) из формулы (7). Если
искомая функция e( x) имеет N неизвестных параметров, то необходимо иметь по
крайней мере результаты N различных измерений.
Поскольку размер матрицы AN сравнительно невелик (не более нескольких тысяч) при решении системы (12) можно воспользоваться простыми методами решения систем линейных алгебраических уравнений, например, методом Г аусса с выбором ведущего элемента по всей матрице.
Решение уравнения (5) подробно описано в [1].
Численные результаты.
Описание решения интегро-дифференциального уравнения методом коллокации имеется в [1]. В качестве точек коллокации выбираем центры элементарных параллелепипедов. Параметры задачи: a = 2, b = 1, c = 2, k0 = 2.5,N = 1,N0 = 8.
На Рис. 1 представлены результаты расчетов для случая неоднородного тела, состоящего из двух секций
Q1 = {x :0 < x1 < a, 0 < x2 < b, 0 < x3 < c1},
Q2 = {x: 0 < x1 < a, 0 < x2 < b, c1 < x3 < c}.
Параметры задачи: a = 2, b = 1, c = 2, c1 = 1, k((1) = 1.7, k(2) = 1.6, N = 2, N0 = 10.
Начальное значение относительной диэлектрической проницаемости равнялось
5
ee = 1.15 в каждой секции. Точные значения равнялись e(1) = 1.1 в первой секции и e(2) = 1.2 во второй секции.
Рис. 1
1,2200000 1,2000000 1,1800000 &. 1,1600000 I 1,1400000
І 1,1200000
га
£ 1,1000000 1,0800000 1,0600000 1,0400000
Значения eps во 2 секции Значения eps в 1 секции
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Кол-во итераций
Расчеты показывают высокую точность (порядка 0.4%) при определении относительной диэлектрической проницаемости образца. Метод быстро сходится даже при выборе сильно отличающегося начального приближения от точного значения.
Список литературы.
[1] Васюнин Д.И., Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 3. - С. 68-78.
6
