CC BY
23
Изв. вузов «ПНД», т. 13, № 5-6, 2005 УДК 517.9
ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ РЕЖИМОВ ПОЛНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ ХАОСА В АНСАМБЛЕ ИЗ ТРЕХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
А.В. Шабунин, С.М. Николаев, В.В. Астахов
Исследуются механизмы появления и исчезновения режимов полной синхронизации хаоса в кольце из трех логистических отображений с симметричной диссипативной связью. Проводится двухпараметрический бифуркационный анализ, рассматриваются типичные колебательные режимы и переходы между ними.
Введение
Синхронизация - универсальное явление в природе и технике, понимание закономерностей которого важно как при изучении фундаментальных законов естествознания, так и для использования в многочисленных приложениях. Если механизмы и проявления синхронизации регулярных колебаний в целом хорошо изучены, то синхронизация хаотических колебаний остается в центре внимания исследователей, специализирующихся в различных отраслях физики, химии, биологии и математики. Отсутствует даже единый подход к самому термину «хаотическая синхронизация». Под этим термином разные исследователи понимают разные явления, говоря о полной [1-4], кластерной [5], обобщенной [6,8], частотной [8,9] или фазовой [10] синхронизации. В настоящей работе мы будем рассматривать полную синхронизацию хаоса в кольце из трех логистических отображений с симметричной диффузионной связью. Полной синхронизацией хаоса называют случай, когда все взаимодействующие подсистемы {xi} осциллируют одинаково: Xi(t) = Xj(t), то есть их состояния совпадают в любой момент времени. Это явление интенсивно исследуется, начиная с 1983 года [1]. Обобщением понятия полной синхронизации является обобщенная синхронизация хаоса (generalized synchronization) [8], когда между состояниями осцилляторов наблюдается некоторая детерминированная функциональная взаимосвязь: Xi(t) = Fij(xj(t)).
К настоящему времени известно множество систем различной природы, в которых реализуется режим полной синхронизации хаоса, проанализированы условия его существования [1,11-13], достаточно хорошо известны механизмы формирования и разрушения полной синхронизации в двух взаимодействующих осцилляторах [14-18]. В частности, для двух осцилляторов, в которых переход к хаосу происходит через каскад субгармонических бифуркаций, было показано, что, как формирование, так и разрушение режима полной синхронизации связано с бифуркациями основного семейства периодических орбит. При этом разрушение режима синхронизации происходит сначала через этап локальной изрешеченности хаотического аттрактора [19,20], которая делает режим синхронизации негрубым, то есть очень чувствительным к постоянно действующим возмущениям, а затем через этап изре-шеченности бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора [21], когда в малую окрестность аттрактора вклиниваются области из бассейна притяжения другого (несинхронного) аттрактора. В ансамблях из большего числа элементов, наряду с полной синхронизацией может наблюдаться кластерная синхронизация, при которой существуют наборы осцилляторов (кластеры), каждый из которых работает в режиме полной синхронизации, а между ними синхронизация отсутствует.
Явления частичной и полной синхронизации в системе, состоящей из трех связанных логистических отображений с несимметричной связью, исследовались в работе [6], в которой был проведен детальный бифуркационный анализ механизмов разрушения полной и формирования частичной хаотической синхронизации. В рассмотренном случае механизмы разрушения режима полной синхронизации хаоса оказались сходными с соответствующими механизмами в двух диффузионно связанных осцилляторах [14]. При этом, как и в случае двух осцилляторов, разрушение синхронизации сопровождалось явлениями локального изрешечивания и изрешечивания бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора. Может сложиться впечатление, что подобная ситуация является типичной, в том смысле, что механизмы разрушения полной синхронизации хаоса в двух осцилляторах с диффузионной связью воспроизводятся и в ансамблях из большего числа элементов. Как влияет вид связи на механизм разрушения синхронизации хаоса? Приведет ли изменение бифуркационного механизма к новым явлениям и колебательным режимам, наблюдаемым в системе с другим типом связи? Ответам на эти вопросы посвящено настоящее исследование.
1. Исследуемая система, свойства симметрии, классификация симметричных решений
Рассмотрим ансамбль из отображений, задаваемый системой уравнений
Хп+1 = /(Хп) + 2(/(Уп) + /ы - 2/(Хп)),
Уп+1 = /(Уп) + 2(/(Хп) + /(%п) - 2/(Уп)), (1)
У
гп+1 = /(гп) + 2(/(Хп) + /(Уп) - 2/(г,п)), где функция / (х) = X — х2 определяет вид одиночного осциллятора (логистическое
отображение); X - управляющий параметр, определяющий его динамику; у - параметр связи. Логистическое отображение представляет собой одну из базовых моделей нелинейной динамики, в которой при изменении параметра X наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода, в результате чего система совершает переход к хаотическим колебаниям. В закритической области при увеличении X происходят бифуркации слияния лент многоленточных хаотических аттракторов, завершающиеся формированием развитого хаоса. Ансамбль связанных отображений (1) представляет собой одномерную цепочку с симметричной связью и периодическими граничными условиями. Ее уравнения обладают развитой симметрией, они инвариантны относительно следующих преобразований координат в фазовом пространстве:
• отражения в одной из трех плоскостей симметрии, то есть взаимные замены двух фазовых переменных
Тх : х ^ х, у ^ г, (2)
Ту : у ^ у, х ^ г, (3)
Тх : г ^ г, х ^ у ; (4)
• повороты системы координат в положительном или отрицательном направлении, то есть циклическая замена фазовых переменных друг на друга:
Е+ : х ^ у ^ г ^ х, (5)
Е- : х ^ у ^ г ^ х. (6)
Преобразования симметрии (2)-(6) не являются независимыми друг от друга. Базовыми (то есть независимыми) видами симметрии будут любые два вида отражения из (2)-(4), так как преобразования поворота (5), (6) и отражение относительно третьей плоскости могут быть выражены как их комбинация. Например, выбирая в качестве базиса Тх и Ту, можно записать:
Е+ = ТХ 0 Ту ,
Е- = Ту о Тх, Тх = Е о Тх.
Если траектория системы в каждый момент времени симметрична относительно какого-либо из преобразований симметрии Б € [Тх,г,г, Е+-}:
х (п) = Б (х (п)),
то такую траекторию будем называть симметричным решением системы (1). Все симметричные решения уравнений (1) можно разделить на два класса: решения, симметричные относительно одного из преобразований (2)-(4), и решения, симметричные относительно сразу пары этих преобразований. Последние являются симметричными относительно любого из преобразований симметрии для системы (1). В соответствии с установившейся терминологией, решения первого класса принято называть частично синхронными колебаниями, решения второго класса - полностью синхронными колебаниями. Если выбрать начальные условия, соответствующие какому-либо из видов симметрии (2)-(6), то траектория, стартующая из них,
будет также соответствовать этому виду. Таким образом, каждое из преобразований индуцирует в фазовом пространстве соответствующее инвариантное подпространство. Так, например, каждое из преобразований отражения индуцирует инвариантную двумерную плоскость
Ix :y = z, (7)
Iy :x = z, (8)
Iz :x = y. (9)
Эти плоскости в дальнейшем будем называть «подпространствами частичной симметрии». Аттракторы, соответствующие частично синхронным колебаниям, располагаются в одном из подпространств частичной симметрии. Пересечение любых двух из этих подпространств
Ic = Ii П Ij : x = y = z, (10)
также являющееся инвариантным подпространством для системы (1), будем называть подпространством полной симметрии. Аттракторы, соответствующие полностью синхронным колебаниям, располагаются в подпространстве полной симметрии.
Как известно, для системы с симметрией все предельные множества mi либо являются самосимметричными относительно определенного вида симметрии S
mi = S (mi), либо имеют симметричного «двойника»
mi = S(mj).
Аттрактор, соответствующий симметричному решению, очевидно, является самосимметричным. Однако обратное не верно: самосимметричный аттрактор может соответствовать несимметричному решению. Типичный пример такого аттрактора - орбита периода два, точки которой переходят друг в друга при преобразовании симметрии, хотя сама орбита не принадлежит ни одному из симметричных подпространств (2)-(10).
Введем следующую классификацию и обозначения предельных множеств в фазовом пространстве системы (1): каждое предельное множество будем обозначать NMj, где буквенный индекс M - тип предельного множества: C (Cycle) - периодическая орбита, A (chaoticc Attractor) - хаотический аттрактор, T (Torus) - квазипериодические колебания; числовой индекс N = 1, 2, 3,... - период орбиты или число лент аттрактора; верхний буквенный индекс j Е {x, y, z, c} используется для симметричных аттракторов и обозначает соответствующее из подпространств симметрии Ix — Ic; нижний числовой индекс i идентифицирует предельное множество, если таких несколько. В дальнейшем мы будем интересоваться, в основном, симметричными предельными множествами, соответствующими синхронным колебаниям, а также несимметричными предельными множествами, чьи бифуркации участвуют в образовании или разрушении режимов синхронизации.
2. Трансверсальная устойчивость режимов полной синхронизации
Для того чтобы в системе мог наблюдаться режим полной синхронизации, соответствующее ему предельное множество, располагающееся в подпространстве полной симметрии 1С, должно быть орбитально устойчиво. При анализе устойчивости симметричного предельного множества любые возмущения в фазовом пространстве удобно представлять как сумму возмущения в тангенциальном к подпространству симметрии направлении и трансверсальном ему. Так как симметричное подпространство является инвариантным по отношению к оператору эволюции системы, то направление действия возмущений по отношению к подпространству (тангенциальные или трансверсальные) сохраняется. Соответственно, можно по отдельности характеризовать устойчивость предельного множества в тангенциальном и трансверсальном направлениях. Нарушение тангенциальной устойчивости ведет к смене одного синхронного режима другим синхронным режимом, нарушение трансвер-сальной устойчивости - к смене синхронного режима несинхронным, то есть к разрушению синхронизации.
Рассмотрим трансверсальную устойчивость режимов полной синхронизации. Для этого удобно перейти к новым переменным
х + у + г
и
V =
w =
3 '
2х - у - г
3
2у — х — г
(11)
3
Векторы нового базиса в2 и ез располагаются перпендикулярно симметричному подпространству, а вектор е1 - по касательной к нему. Подставляя уравнения (11) в систему (1) и линеаризуя систему в окрестности симметричного подпространства, получим
ип+1 = I (ип),
(1 " у) ¡'(ипV
(1 " у) ¡'(ип
Vn+1 =
™п+1 =
(12)
(13)
(14)
Уравнение (12) описывает динамику системы внутри симметричного подпространства. Оно одномерно и совпадает с уравнением для одиночного отображения. Устойчивость по отношению к тангенциальным возмущениям для исходной системы описывается показателем Ляпунова для уравнения (12), который будем называть тангенциальным показателем Ляпунова
1 *
ЛС = Ит - \1'(ип)\ .
N ^
п=1
(15)
Выражения (13), (14) описывают динамику системы в трансверсальном направлении в окрестности подпространства 1С. Синхронным колебаниям соответствует нулевое
решение системы (13), (14), а трансверсальная устойчивость синхронных колебаний определяется устойчивостью этого решения. Поскольку уравнения (13) и (14) идентичны, то синхронные колебания характеризуются двумя одинаковыми транс-версальными показателями Ляпунова
Л'
±1,2
1 N
lim — ln N ^
n=l
1 — 3Y f(Un)
Выражение (16) можно преобразовать следующим образом:
Л±12 = Лт + ln
i — 3Y 2
(16)
(17)
Если параметр связи положителен и его значение находится в интервале 0 < у < 2/3, то трансверсальные показатели Ляпунова меньше тангенциального. Поэтому любые синфазные периодические решения для системы (1) трансверсаль-но устойчивы, а синфазные хаотические решения устойчивы только для достаточно больших значений параметра связи у. Причем все бифуркации, сопровождающие потерю устойчивости в трансверсальном к симметричному подпространству направлении, являются вырожденными: бифуркационное условие выполняется одновременно для двух характеристических показателей.
3. Бифуркации режимов полной синхронизации
Рассмотрим, как в системе (1) формируются режимы синхронного хаоса. Будем использовать только положительные значения параметров X и у < 2/3. В одиночном отображении имеются две неподвижные точки: C\ = y/X + 0.25 — 0.5 и C2 = —yjX + 0.255 — 0.5. При значении параметра 0 < X < 0.75 точка Ci является устойчивой. В дальнейшем, при увеличении X на базе точки Ci наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаотическим колебаниям. Точка C2 остается неустойчивой при любых положительных значениях параметра X. В кольце из трех отображений при нулевой связи существует 8 неподвижных точек: 1CC = (Ci; Ci; Ci), C = (C2; C2; C2), 1CX = (Ci; C2; C2), 1C2X = (C2; Ci; Ci), lCf = (C2; Ci; C2), 1 C2y = (Ci; C2; Ci), 1CZ = (C2; C2; Ci), 1CZ = (Ci; Ci; C2). Из них только точка 1C c при X < 0.75 является устойчивой, остальные точки остаются неустойчивыми при любых значениях параметров X и у. На базе этой неподвижной точки формируются хаотические аттракторы, соответствующие режиму полной хаотической синхронизации.
Рассмотрим бифуркации режимов, возникших на базе неподвижной точки 1C c (в дальнейшем нижний индекс для данной орбиты будем опускать), при фиксированном положительном значении параметра связи и возрастании X. Как следует из формул (16), (17), любые бифуркации, сопровождающиеся сменой знака показателя Ляпунова, происходят дважды. Вначале в тангенциальном к подпространству симметрии направлении, когда один синхронный режим сменяется другим синхронным режимом, затем в трансверсальном направлении, когда в результате бифуркации в окрестности симметричного подпространства возникает предельное множество, соответствующее несинхронным колебаниям. Бифуркации внутри симметричного под-
пространства полностью повторяют соответствующие бифуркации одиночного отображения. Таким образом, для синхронных колебаний, как и для одиночного отображения, наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода, завершающийся переходом к хаосу, и бифуркации слияния лент хаотических аттракторов в закритической области. Бифуркационные условия тангенциальных бифуркаций зависят только от параметра X, следовательно, на плоскости параметров (у, X) все бифуркационные линии располагаются горизонтально.
Бифуркационные линии для синхронных регулярных и хаотических режимов изображены на рис.1. Сплошные горизонтальные линии соответствуют бифуркациям удвоения периода для периодических орбит основного семейства внутри симметричного подпространства: L— (1Cc — 2Cc), L— (2Cc — 4Cc), LС-8 (4Cc — 8Cc), Lg_16 (8Cc — 16Cc). Линии бифуркаций удвоения периода накапливаются к прямой LChaos, разделяющей области регулярного и хаотического поведения. В закритической области можно наблюдать бифуркации слияния лент хаотических аттракторов. На рис. 1 обозначены две из них (пунктирные линии): Lc-2 - бифуркация слияния лент синхронного четырехленточного аттрактора, после которой появляется синхронный двухленточный аттрактор, и L2-\ - бифуркация слияния лент синхронного двухленточного аттрактора, после которой появляется синхронный одноленточный аттрактор. Кроме того, в закритической области наблюдаются несколько окон периодичности, в которых существуют периодические орбиты и возникшие на их основе хаотические аттракторы.
Рис. 1. Бифуркационные линии на плоскости управляющих параметров для режимов полной синхронизации. Сплошные горизонтальные линии ЬN-2N соответствуют тангенциальным бифуркациям удвоения периода (Ж - период бифурцирующей орбиты), штриховые линии Ь2N-2N соответствуют трансверсальным бифуркациям периода. Пунктирные горизонтальные линии обозначают тангенциальные бифуркации в закритической области, в том числе линию перехода к хаосу Ь1^. Линия Ь^аов -линия бифуркации прорыва, правее которой наблюдается область негрубой (обозначена светло-серым цветом) и грубой (обозначена серым цветом) синхронизации
Таким образом, в результате каскада тангенциальных бифуркаций удвоения периода в симметричном подпространстве формируется хаотический аттрактор, соответствующий режиму синхронного хаоса. Однако, как уже было замечено выше, каждая из периодических орбит претерпевает бифуркацию дважды. Вторая бифуркация удвоения происходит в трансверсальном направлении, когда меняет знак транс-версальный показатель Ляпунова. Так, на линии Ь2_2 (трансверсальные бифуркации показаны на рис.1 штриховыми линиями) сразу два мультипликатора седловой орбиты 1Сс становятся равными (—1), соответствующие собственные векторы направлены перпендикулярно симметричному подпространству, они образуют базис двумерного отталкивающего инвариантного многообразия для орбиты 1Сс(х + У + г = = 0). В результате исходная орбита превращается в репеллер, а в его окрестности возникают три седловые орбиты периода два: 2С1, 2С2 и 2С3. При значении параметров X = 0.962, у = 0.05 точки орбит имеют следующие значения: 2С1 = = {(0.6; 0.904; 0.177)(0.6; 0.177; 0.904)}, 2С2 = {(0.904; 0.6; 0.177)(0.177; 0.6; 0.904)}, 2Сз = {(0.904; 0.177; 0.6)(0.177; 0.904; 0.6)}. Видно, что каждая из этих орбит является самосимметричной относительно одного из преобразований симметрии -Тх : 2С1 — 2С1, Ту : 2С2 — 2С2, Т : 2Сз — 2Сз, при этом орбиты являются симметричными друг другу относительно преобразования вращения Я+ : 2С1 — — 2С2 — 2С3 — 2С1. Структура фазового пространства после указанной бифуркации показана на рис.2.
Неустойчивые многообразия вновь появившихся орбит 2С^ подходят к подпространствам частичной симметрии, идут вдоль них и опираются на точки орбиты удвоенного периода 2Сс (см. рис.2). При дальнейшем изменении параметров точки орбит 2Сг отходят от подпространства полной симметрии.
Аналогичные бифуркации происходят и со всеми другими орбитами из симметричного подпространства. Так, на линии Ь2_4 (см. рис. 1) синхронная седловая орбита периода два претерпевает трансверсальную бифуркацию удвоения периода
0.0
Рис. 2. Фазовый портрет в окрестности 1Сс после первой из трансверсальных бифуркаций удвоения периода 1Сс ^ 2С\. Изображены: репеллер 1Сс (♦), три седловые орбиты 2С1 (■) и устойчивая орбита 2Сс (□)
(2Сс — 4Сг, г = 1, 2, 3), в результате которой данная орбита становится репеллером, а в ее окрестности появляются три самосимметричные седловые орбиты периода четыре. На линиях и Ь2_16 подобные бифуркации претерпевают орбиты 4Сс и 8Сс. Линии, соответствующие трансверсальным бифуркациям орбит большего периода, на рисунке не приведены, однако они располагаются в непосредственной близости от линии Эта линия с достаточно высокой точностью может служить границей области параметров, за которой все синхронные периодические орбиты основного семейства претерпели трансверсальную бифуркацию удвоения периода и стали репеллерами. Вновь возникшие несинхронные орбиты в дальнейшем не претерпевают других бифуркаций и остаются седловыми при всех рассматриваемых значениях параметров. Наконец, на линии Ь^^, которая имеет весьма сложную изрезанную форму благодаря наличию окон периодичности, трансверсальную бифуркацию претерпевает хаотический аттрактор, располагающийся в симметричном подпространстве. Два его трансверсальных показателя Ляпунова становятся положительными. При этом синхронный хаотический аттрактор перестает быть притягивающим и трансформируется в хаотическое седло [19,20], которое становится частью пузырящегося хаотического аттрактора, соответствующего режиму несинхронного хаоса. Левее линии ¿^аов режим полной синхронизации хаоса не наблюдается.
Описанные выше бифуркации предельных множеств из подпространства полной симметрии схожи с бифуркациями синхронных режимов в системе из двух отображений [14,17], однако имеют свои особенности. В обоих случаях периодические орбиты претерпевают два каскада бифуркаций удвоения периода: первый - в тангенциальном направлении, в результате которого в симметричном подпространстве формируется синхронный хаотический аттрактор, второй - в трансверсальном направлении, в результате которого орбиты, входящие в замыкание аттрактора, становятся репеллерами. Различия в бифуркационных механизмах заключаются в следующем.
• В системе из трех отображений трансверсальные бифуркации удвоения периода являются вырожденными и приводят к появлению не одной (как для двух отображений), а сразу трех седловых орбит удвоенного периода.
• Вновь возникшие несинхронные орбиты остаются седловыми при всех значениях параметров, тогда как в системе из двух отображений данные орбиты становились устойчивыми через бифуркацию вил, что приводило к развитию мультиста-бильности в системе.
Каскад трансверсальных бифуркаций удвоения периода ведет к локальной из-решеченности синхронного хаотического аттрактора, поскольку входящие в его замыкание периодические орбиты основного семейства становятся репеллерами. При этом происходит постепенное разрушение режима полной синхронизации хаоса.
4. Явления, сопровождающие разрушение полной синхронизации хаоса
Рассмотрим, как описанный выше бифуркационный сценарий влияет на наблюдаемые в системе (1) явления, сопровождающие потерю полной синхронизации хаоса. Как следует из формулы (16), при достаточно сильной связи любые предельные множества, располагающиеся на прямой 1с будут трансверсально устойчивыми. Выберем значение параметра X = 1.67, соответствующее режиму одноленточного
хаотического аттрактора в одиночном отображении. В этом случае аттрактор включает в себя все синхронные седловые орбиты 2мСс N = 0,1, 2,...), на базе которых данный аттрактор был сформирован. При у > 0.29 синхронный хаотический аттрактор, а также входящие в его замыкание седловые периодические орбиты основного семейства (см. рис. 1), характеризуются отрицательными трансверсальными показателями Ляпунова. В этом случае в ансамбле осцилляторов наблюдается режим полной синхронизации хаоса, когда колебания во всех трех отображениях идентичны, причем данный режим является грубым в том смысле, что он сохраняется при добавлении в правые части уравнений малого шума. Будем теперь постепенно уменьшать значение параметра связи, следя за происходящими бифуркациями и теми изменениями в поведении системы, которые за ними следуют. Уменьшение связи ведет к тому, что седловые орбиты, на базе которых аттрактор был сформирован, начинают терять трансверсальную устойчивость, когда показатель Ляпунова ЛС , подсчитанный в точках седловой периодической орбиты из указанного семейства, становится положительным. Так, значение у = 0.29 соответствует вырожденной бифуркации удвоения периода для синхронной седловой орбиты периода один 1СС (линия Ь2_2 на рис. 1), после чего орбита 1СС становится репеллером. В окрестности репеллера 1СС формируется область локальной трансверсальной неустойчивости: при попадании в его непосредственную окрестность траектория вдоль неустойчивых многообразий орбиты будет уходить от симметричного подпространства, возвращаясь впоследствии в его окрестность за счет глобальной трансверсальной устойчивости (показатель Ляпунова ЛС для хаотического аттрактора остается отрицательным). Считается, что бифуркации, подобные бифуркации орбиты 1СС индуцируют в системе локальную изрешеченность хаотического аттрактора, влекущую негрубость режима синхронизации [14,16]. Теоретически это верно, поскольку при попадании в малую окрестность репеллера 1СС траектория под действием сколь угодно малого шума выбрасывается вдоль неустойчивого трансверсального многообразия точки 1СС в сторону от подпространства полной симметрии. Тем не менее, как показывают численные исследования, данная бифуркация не вызывает немедленного экспериментально наблюдаемого изменения в поведении системы. Колебания в системе остаются синхронными и после бифуркации, добавление шума не влияет существенно на динамику ансамбля, а малые трансверсальные возмущения быстро затухают. Данная ситуация показана на рис. 3, а. На нем представлена зависимость разностей динамических переменных х — у и х — г от времени при у = 0.27. В систему вносился аддитивный шум интенсивностью 10_6 и равномерным распределением, а также в начальный момент вводилось отклонение от синхронной траектории интенсивностью 10_3. Из рисунка видно, что первоначальные возмущения затухают в течение приблизительно 30 итераций и в системе устанавливаются синхронные колебания. Причины отсутствия наблюдаемого нарушения синхронизации заключаются, во-первых, в малой вероятности попадания траектории в непосредственную окрестность репеллера и, во-вторых, в значительной тангенциальной неустойчивости репеллера, в результате которой фазовая точка быстро «сносится» с его неустойчивого трансверсального многообразия и попадает в область трансверсаль-ного притяжения.
Перечисленные выше особенности иллюстрирует рис. 4. На рис. 4, a приведена плотность распределения на хаотическом аттракторе, отображающая, насколь-
ко часто траектория посещает те или иные точки аттрактора. Точки периодических орбит основного семейства 1Cс, 2Cс и 4Cс обозначены вертикальными линиями. График плотности распределения носит сильно изрезанный характер, причем точки максимумов не совпадают с точками периодических орбит. На рис. 4, б показана эволюция разности двух переменных x и y от времени. В качестве начальных условий выбирались значения x = y = z = 1CC(серая линия) и x = y = z = P , где P = 0.81 - одна из произвольных точек аттрактора, не соответствующая какой-либо периодической орбите (черная линия). В обоих случаях в начальный момент времени вводилось трансверсальное возмущение интенсивностью порядка 10_5. Поведение системы по отношению к первоначальному возмущению качественно различается на малых временах (примерно 20-30 итераций) и одинаково на больших интервалах времени. В первом случае для начальных условий, выбранных в окрестности репеллера, наблюдается почти экспоненциальный рост начального возмущения в течение примерно 20 итераций, который затем сменяется их затуханием до нуля. При выборе других начальных условий нарастания возмущений не наблюдается.
При уменьшении связи аналогичные бифуркации происходят с синхронными орбитами больших периодов: 4CC — 8Ci (линия Ь\_8: у = 0.26), 2Cс — 4Ci (линия ¿2-4: Y = 0.259) и 8CC — 16Ci (линия L^_i6: у = 0.26). При уменьшении связи у < 0.259 в репеллеры превращаются и остальные седловые орбиты основного семейства: 2NCc — 4NCi (N = 4, 5,...). Это приводит к локальной изрешеченно-сти синхронного хаотического аттрактора, в результате чего, начиная со значений Y ~ 0.255, режим грубой синхронизации хаоса сменяется режимом негрубой синхронизации. Синхронизация продолжает существовать, но только при полном отсутствии постоянно действующих возмущений в системе. Добавление сколь угодно малого шума (в наших экспериментах интенсивность шума выбиралась примерно равной 10"6) приводит к тому, что фазовая траектория время от времени сильно отклоняется от симметричного подпространства. При этом происходит нерегулярное чередование во времени длительных интервалов синхронного поведения с короткими всплесками несинхронных колебаний. Так как трансверсальный показатель Ляпунова Л^ остается отрицательным, то в системе без шума после переходного процесса устанавливается режим синхронных колебаний. На рис. 3, б изображена динамика системы при у = 0.24 с малым шумом, действующим в интервале времени (0 < n < 15000), затем в момент времени n = 15000 шум выключается (момент выключения шума отмечен на рисунке вертикальной пунктирной линией). Режим негрубой синхронизации сохраняется до значений связи у ~ 0.217, при этом с уменьшением связи индуцированное шумом пузырящееся поведение становится более развитым: интервалы синхронизации становятся короче, выбросы происходят чаще и фазовая точка выбрасывается все дальше от симметричного подпространства, то есть аттрактор «утолщается». При у = 0.217 (линия Lhaos) два трансверсальных показателя Ляпунова хаотического аттрактора Л^ становятся положительными, что соответствует вырожденной бифуркации прорыва (blowout bifurcation). В результате синхронный хаотической аттрактор сменяется так называемым хаотическим седлом [21]. После бифуркации прорыва наблюдается режим перемежающейся синхронизации (on-off intermittency) без какого-либо шумового воздействия. С этого момента существенная разница в поведении системы без шума и с малым шумом исчезает. Временные реализации для разностей динамических переменных в системе с шу-
Рис. 3. Временные реализации для разностей динамических переменных, построенные для следующих значений параметра связи у: 0.27 (а); 0.24 (б); 0.215 (в). На рис. б и в вертикальная пунктирная линия отделяет интервалы времени работы системы с шумом (слева от линии) и без шума (справа)
Рис. 4. а - Плотность распределения фазовых точек на синхронном аттракторе. Вертикальные линии отмечают расположение периодических орбит небольших периодов. б - Эволюция малого трансверсального возмущения при выборе начальных условий в окрестности орбиты 1Сc (серый цвет) и в произвольной точке аттрактора (черный цвет)
мом (до пунктирной линии) и без шума (после пунктирной линии) изображены на рис. 3, в. Как видно из рисунка, малый шум больше не влияет кардинальным образом на динамику системы. И при наличии шума и при его отсутствии хаотические колебания более не являются синхронными. Таким образом, бифуркация прорыва приводит к разрушению режимов хаотической синхронизации.
Аналогичный сценарий разрушения режима синхронизации хаоса наблюдается и при других значениях параметра X. Его существенные черты заключаются в следующем.
• Разрушение синхронизации хаоса происходит в два этапа. На первом этапе, в результате трансверсальных бифуркаций удвоения периодических орбит, хаотический аттрактор изрешечивается. При этом синхронизация продолжает существовать, но становится чувствительной к действию малого шума (негрубая синхронизация). Область грубой синхронизации хаотических и регулярных колебаний отмечена на рис. 1 серым цветом. Левее этой области располагается зона негрубой синхронизации хаоса, которая отмечена на том же рисунке светло-серым цветом. На втором этапе трансверсальный показатель Ляпунова для хаотического аттрактора становится положительным. Синхронный хаотический аттрактор трансформируется в хаотическое седло.
• Правая граница зоны негрубой синхронизации хаоса, как это следует из численного эксперимента, значительно смещена относительно линии первой из трансверсальных бифуркаций (¿2_2) и располагается достаточно близко к линии накопления трансверсальных бифуркаций (она расположена вблизи линии Ь|_16). В режиме развитого хаоса (X > 1.7) граница области негрубой синхронизации смещается относительно линии накопления бифуркаций в сторону меньшей связи. Это явление может быть связано с тем, что в области развитого хаоса седловые орбиты основного семейства перестают играть принципиальную роль в поведении системы.
• В отличие от сценария разрушения синхронизации хаоса в системе из двух отображений [14], а также трех отображений с несимметричной связью [6], в рассматриваемом случае отсутствует этап изрешечивания бассейна притяжения хаотического аттрактора. Отсутствие данного этапа обусловлено отмеченными выше особенностями бифуркаций седловых орбит по сравнению с соответствующими бифуркациями для системы из двух отображений.
Заключение
В результате двухпараметрического бифуркационного анализа, а также численного исследования наблюдаемых колебательных режимов выявлены сходство и различия в механизмах формирования и разрушения режимов полной синхронизации в системе из трех отображений с симметричной диффузионной связью по сравнению с другими рассмотренными в литературе аналогичными системами [6,14]. Во всех рассмотренных случаях формирование режимов полной синхронизации хаоса происходит через каскад тангенциальных бифуркаций удвоения периода основного семейства синхронных периодических орбит, а разрушение этих режимов - через каскад трансверсальных бифуркаций тех же орбит. Исследование бифуркационного механизма разрушения режима полной синхронизации хаоса показало, что потеря
трансверсальной устойчивости синхронным хаотическим аттрактором происходит в результате вырожденной бифуркации прорыва, при которой сразу два трансверсаль-ных показателя Ляпунова становятся положительными. Эта бифуркация предваряется серией вырожденных бифуркаций удвоения периода седловых периодических орбит основного семейства, результатом которых является формирование в аттракторе областей локальной трансверсальной неустойчивости, что, в свою очередь, приводит к негрубости режима хаотической синхронизации. В отличие от системы с другим типом связи [6] при разрушении полной синхронизации хаоса отсутствует стадия изрешечивания бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ и Американского фонда гражданских исследований (CRDF, грант REC-006).
Библиографический список
1. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator system // Progress of Theoretical Physics. 1983. Vol. 69. P. 32.
2. Пиковский А.С. О взаимодействии странных аттракторов. Препринт ИПФ АН СССР. Горький, 1983.
3. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фей-генбаума//Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28. С. 991.
4. Афраймович В.С., Веричев Н.Н., Рабинович М.И.Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. 29. С. 1050.
5. Hasler M., Maistrenko Y., Popovich O. Simple example of partial synchronization of chaotic systems // Phys. Rev E. 1998. Vol. 58. P. 6843.
6. Rulkov N. F., Sushchik M. M., Tsimring L.S., Abrabanel H. D. I. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. P. 980.
7. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53. P. 4528.
8. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36. C. 338.
9. Anishchenko V. S., Vadivasova T. E., Postnov D. E., Safonova M. A. Synchronization of chaos // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1992. Vol. 2. P. 633.
10. Rosenblum M. G., PikovskyA. S., Kurths J.Phase synchronization of chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76. P. 1804.
11. Belykh V. N, Mosekilde E. One-dimensional map lattices: synchronization, bifurcations, and chaotic structures // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54. P. 3196.
12. Brown R., Rulkov N. F. Synchronization of chaotic systems: transverse stability of trajectories in invariant manifolds // Chaos. 1997. Vol. 3. P. 395.
13. Andreyev Y. V., Dimitriev A. S. Conditions for global synchronization in lattices of chaotic elements with local connections // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1999. Vol. 9. P. 2165.
14. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak T., Anishchenko V. Loss of chaos synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79. P. 1014.
15. Astakhov V., Hasler M., Kapitaniak T., Shabunin A., Anishchenko V. Effect of parameter mismatch on the mechanism of chaos synchronization loss in coupled systems // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 5620.
16. Maistrenko Y., Maistrenko V., Popovich O., Mosekilde E. Desynchronization of chaos in coupled logistic maps // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60. P. 2817.
17. Astakhov V., Shabunin A., Klimshin A., Anishchenko V. In-phase and antiphase complete chaotic synchronization in symmetrically coupled discrete maps // Discrete Dynamics in Nature and Society. 2000. Vol. 7. P. 215.
18. Astakhov V., Shabunin A., Uhm W., Kim S. Multistability formation and synchronization loss in coupled Henon maps: Two sides of the single bifurcational mechanism // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. P. 056212.
19. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. Bubbling of attractors and synchronization of chaotic oscillators // Phys. Lett. A. 1994. Vol. 193. P. 126.
20. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. From attractors to chaotic saddle: a tale of transverse instability // Nonlinearity. 1996. Vol. 9. P. 703.
21. Venkataramani S.C., Hunt B.R., Ott E. Bubbling transition // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54. P. 1346.
22. Taborov A.V., Maistrenko Y.L., Mosekilde E. Partial synchronization in a system of coupled logistic maps // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2000. Vol. 10. P. 1051.
Саратовский государственный Поступила в редакцию 15.07.2005
университет После доработки 17.10.2005
TWO-PARAMETRIC BIFURCATIONAL ANALYSIS OF REGIMES OF COMPLETE SYNCHRONIZATION IN ENSEMBLE OF THREE DISCRETE-TIME OSCILLATORS
A. Shabunin, S. Nikolaev, V. Astakhov
We invetsigate mechanisms of appearance and disappearance of regimes of complete synchronization of chaos in a ring of three logistic maps with symmetric diffusive coupling. Two-parametric bifUrcational analysis is carried out and typical oscillating regimes and transitions between them are considered.
Шабунин Алексей Владимирович - окончил Саратовский государственный университет (1990). Доцент кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ, кандидат физико-математических наук (1998). Научные интересы - нелинейная динамика, теория колебаний, синхронизация и управление хаосом. Автор более 40 научных публикаций. Е-таП:а1ехеу@сЬао8.88и.гиппе1;.ги
Николаев Сергей Михайлович - является аспирантом кафедры радиофизики и нелинейной динамики. Область научных интересов: хаотические и квазипериодические колебания, синхронизация колебаний, бифуркационный анализ, мультистабильность.
Астахов Владимир Владимирович - окончил Саратовский государственный университет (1980). Доктор физико-математических наук (1999), профессор кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. Область научных интересов - теория колебаний и динамический хаос, синхронизация и управление хаосом. Имеет более 80 публикаций в отечественных и зарубежных изданиях. E-mail: [email protected]
