CC BY
5Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 66
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 624.072.45: 539.384
Модель двухпараметрического упругого основания в расчете напряженного состояния клеевого соединения
Куреннов C. C.
Харьковский авиационный институт (национальный аэрокосмический университет);
ХАИ, Чкалова ул., 17, Харьков, 61070, Украина e-mail: ulem@list.ru
Аннотация
Предложена аналитическая модель расчета напряженно-деформированного состояния трехслойной балки. Соединительный слой моделируется двухпараметрическим упругим основанием, несущие слои рассматриваются как балки Тимошенко. Ключевые слова
клеевое соединение, трехслойная балка, двухпараметрическое упругое основание, балка Тимошенко
Введение
Существует несколько математических моделей односрезного клеевого соединения, позволяющих получить аналитическое решение. Исторически первой и наиболее простой является модель Фолькерсена. Более строгий подход предложен в классической работе Голанда и Рейсснера [1]. Вариационная постановка задачи позволила развить эту модель на вязкоупругое и нелинейно-упругое поведение клеевой прослойки [2]. Одномерные модели соединений развиты на произвольное число слоев [3] и для учета температурных деформаций [4]. Модель Голанда и Рейсснера была применена для расчета односрезных соединений с трещинами в клее и соединений с законцовками [5-7].
В моделях Фолькерсена, Голанда и Рейсснера касательные напряжения в клее достигают максимума на краях, что физически невозможно, поскольку внешний край соединительного слоя имеет свободную границу. Чтобы исключить данный недостаток, в работе [9] предложено считать нормальные напряжения в клее линейно изменяющимися по толщине шва. При этом несущие слои рассматриваются как балки Тимошенко. Более точный подход, основанный на гипотезе линейного распределения нормальных напряжений по
толщине несущих слоев и дифференциальных уравнениях равновесия, изложен в работе [9]. В настоящей работе соединительный (клеевой) слой рассматривается как двухпараметрическое упругое основание, которое способное перераспределять нагрузку, согласно модели В.З. Власова, П.Л. Пастернака, М.М. Филоненко-Бородича [10]. При таком подходе линейное изменение нормальных напряжений по толщине клеевого шва [8, 9] заменяется ступенчатым, однако в этом случае более точно учитывается влияние на напряженное состояние поперечных перемещений слоев и производных от них.
Построение решения
Рассмотрим соединение с показанными на рис.1 краевыми условиями
Рис. 1 Схема соединения
Краевые условия, а именно шарнирная заделка второго слоя соответствует соединению двух одинаковых слоев накладкой.
Рассмотрим участок склейки, х е {-Ь, 0). На рис. 2. показаны силовые факторы, действующие на элементы слоев. Уравнения равновесия слоев имеют вид
Щ = -х- ^^^ М = & _Ё!Х. (1)
йх йх йх 2
Рис. 2 - Напряжения и усилия в слоях
йЩ йМ. -= х; —^ = -а • --
йх
йх йх
йх а2 - а
йх 5а
2 = 02 -~2 х; (2)
(3)
где Щ, 0, М -продольные, поперечные усилия и погонный изгибающий момент в г -ом несущем слое; х, а - касательные и нормальные напряжения в клеевом слое; 5, 52 - толщина 1-го и 2-го несущего слоя; 50 - толщина клеевого слоя.
Соотношения теории упругости du N
d ф,
dx B ' dx 1' dx 1
Qj_
(4)
где щ, wi, фг- - соответственно продольные, поперечные перемещения и угол поворота сечения г -го несущего слоя; Б^, Di, Иг - соответственно жесткости на растяжение-сжатие,
53 5
изгиб и сдвиг, которые для однородных слоев имеют вид Бг = Е18г, Di = ~^Е1, И1 = — Ог8г,
где Ег и - модули упругости, Ог - модули сдвига слоев.
Клеевой слой моделируется упругими элементами, показанными на рис. 3 в виде пружинок, и мембраной, поперечные перемещения которой w0 .
Данная модель двухпараметрического упругого основания предложена в 50-х годах М.М. Филоненко-Бородичем и эквивалентна моделям упругих оснований с двумя коэффициентами постели В.З. Власова и П.Л. Пастернака [10]. Нормальные напряжения в клее согласно данной модели имеют вид
Рис. 3 - Модель клеевого слоя
= (-1)Ч (w0 " W )-("!)' k2
( ,2 .2 ^
d w0 d wi
2 2
у dx dx j
(5)
где г = 1, 2; кх, к2 - два коэффициента постели, которые могут быть вычислены следующим
образом: к1 = 2 E0
So (1 )
-1 * _ Eo So
[10]. Здесь E0 и - модуль упругости и
, 2 12(1 + )
коэффициент Пуассона клеевого слоя.
Касательные напряжения в клеевом слое обусловлены продольным смещением внутренних сторон несущих слоев и его относительным сдвигом:
81
т —
Go Г
бп
1 б 2 ^
u1 -u2 Ф1 Ф2
V 22 у
dw0 + G0~dx
(6)
где G0 - модуль сдвига соединительно слоя.
Систему дифференциальных уравнений (1)-(6) можно уменьшить, положив N (x) + N2 (x) — F, где F — const есть приложенное продольное усилие (рис. 1). Исключив из (3) напряжения, и применив формулы (1), (2), (4), получим
й2Мх й2Мг (5Х 5, ^ й2 N
■ Н--;--Н--1---Н 5П -;г" = 0 .
йх
йх2 V 2 2
о 2 У йх
Продифференцировав (6), и применив (1)-(4), получим
й 2 5о—1Г
1
Н N ^ в-Е
5М1 5 0 й Щ1 _ ^
йЪС 7=1 В 7=1 2 А °о йЪС в
В,
(8)
Подставив (5) и (1) в уравнение (3) и исключив производные от перемещений при помощи (4), получим
4 2 4 / \ 2 4
к2 й н>0 й*0 к2 й М1 ( к2 1 | й М1 М1 к2 й М2
- 2
+
к1 йх4 йх2 к1Н1 йх4 V к1Б1 Н1
йх2 Б1 к1Н2 йх
+
Г к2 1 ^ й2М2 М2 Г 50 к2 I 5, 52 ^ й4N1 Г 5, 52 ^ й2N1 _
+ ---1---;----г —----—--I---;--г--I----— = 0.
(9)
V к1 ^2 Н2 ) йх Б2
V--1 —1 VН1 112 У У йх^ V2Н1 2Н2 У йх^
к1 2к1 1 Но
Сложив уравнения (5) и исключив производные от поперечных перемещений слоев, применив (4), получаем четвертое уравнение
4 2 4
Г к, ^ й М Г к к, ^ й М к Г к, ^ й М Г к к9
1 + --1--^ + --1 + — М - 1 + -2--т2 + — + —
г_т л и тл ? п 1 г_т л и тл
1 ) 4
V Н1У йх
к1 1
М2 +-
V Н1 А ) йх2 А
1)4
V Н 2 У йх
V Н 2 А У
Б
2
2
51 +
к2 51
к252 ^ а4N к1 Г 51 52 ^ й2Щ1
(10)
2Н1 2 2Н2 У
V Н1 Н 2 У
= 0.
йх
Из уравнения (8) находим
й2 йх 2
и исключив производные ^ в уравнении (9),
получим систему трех дифференциальных уравнений относительно М1, М2 и N1. Введем
\Т
вектор X = (М1 М2 N1) и запишем полученную систему в матричном виде
. й4X . й2X . - -
А4 ^ + A2—Y + А0х = И
(11)
йх йх
где коэффициенты матриц А7 (7 = 4, 2, 0 ) могут быть легко получены из уравнений (7)-(10). Коэффициенты матриц не приводим в связи с их громоздким видом и легкостью
нахождения. В правой части системы (11) стоит вектор И =
(
2 ^ 0 50 V
Общее решение системы однородных уравнений (11) ищем в виде суперпозиции
базисных решений Х0 = Се И , где X удовлетворяет характеристическому уравнению
ёе {А 4 X4 + А 2Х2 + А 0 ) = 0, (12)
Т
Уравнение (12) является уравнением 10 степени с четными степенями до 2 включительно. Следовательно, общее решение системы (11) имеет вид
X о =Z h, + C9 i=1
где a1 =
Di
D
a =
BiB2 (25о +8i +52) B1F
f 1J f 1 J f 0 J
+с9 a1 + Сш x a1 + 0
I a2 J Ia2 J Ib J
(13)
Bi + B2
л 2D (Bi + B2 )
Векторы h,, соответствующие корням уравнения (12) Xt находятся из уравнения (Ад^4 + A2 + Ао ) h i = 0, определяются с точностью до константы и представляет собой
нетривиальное решение данной системы линейных уравнений.
Таким образом, получив М1зM2, N1 (13) из формул (1) и (2) находим т, Qi,а,. Интегрируя выражения (4) и вводя соответствующие константы интегрирования, находим перемещения несущих слоев ut, wi, фг-. Перемещения w находим, интегрируя уравнение (6).
На консольном участке x е (0; Ц ] напряженное состояние описывается уравнениями (4), при этом полагаем индекс i = 3 . На этом участке поперечная сила постоянна ( Q3 = const)
F
и зависит от краевых условий, тогда u = — x + S1 ; M3 = S2 x + S3, (здесь и далее S, -
B3
константы интегрирования) и соответственно
SiX S?
j>2x S3 0 S2
Фз =-^T + ТГ X + S4 , W3 =-
Sx &x f
2D3 D3
6D 2 d
So
vS4 -j^ J x + S5.
Краевые условия и условия сопряжения в точке x = 0:
du1 d ф1 dw1
+ Ф1
u1 = u3 lx=0 ; W1 = W3 lx=o
dx dx dx
=0 ; ф1 =ф3 lx=
= 0; u2 = Ф2 =■
dw0
x=-L
du1 du3
dx
= 0;
x=-L
x=0' dx dx
dw1 dw3
,' dx dx
duо
dx
F
= 0
x=0
du2 d ф2 dw2
d ф1 d ф3
x=0
dx dx
x=0
x=L1 B
B ' w ф3 lx=L1 0; dx dx dx
+ ф2
= 0;
x=0
т j =T n=0.
Ix=-L lx=0
Еще четыре необходимых условия получим из уравнений (5), подставив в формулу напряжения и перемещения и приравняв коэффициенты при х и свободные члены (остальные слагаемые при этом тождественно равны). В результате получим систему
линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Модельная задача
В качестве примера расчета рассмотрим соединение, имеющее следующие параметры: Е2 = 70 ГПа, 02 = 25,9 ГПа, б2 = 2 мм, Е1 = 40 ГПа, 01 = 2,4 ГПа, б! = 3 мм, Ь = 30 мм, Ц = 100 мм, О0 = 0,5 ГПа, Е0 = 1,5 ГПа, б0 = 0,2 мм.
На рис. 4 и рис. 5 показаны графики напряжений в клеевом шве около концов соединения, вычисленные по предложенной модели и графики касательных напряжений по модели Фолькерсена (%).
Рис. 4 - Напряжения в клеевом шве около Рис. 5 - Напряжения в клеевом шве около
заделки консоли
Выводы
Расчеты показывают, что касательные напряжения, вычисляемые по предложенной модели, близки к напряжениям, даваемым теорией Голанда и Рейсснера, и отличаются лишь в малой зоне около края соединения на расстояниях от него порядка толщины клеевой прослойки. Нормальные напряжения на концах соединения значительно отличаются от напряжений, находимых по классической теории Голанда и Рейсснера. Эти напряжения могут даже отличаться знаком на разных сторонах клеевой прослойки. Внутри же области склейки О1 и 02 практически совпадают. Этим модель близка к предложенной в работе [8], отличие заключается в том, что линейное изменение нормальных напряжений по толщине шва, предложенное в упомянутой работе, заменено моделью двухпараметрического упругого основания.
Для тонких клеевых прослоек влияние второй производной от упругой линии и второго коэффициента постели незначительно, поэтому можно положить ^ = 0 .
Библиографический список:
1. Goland M., Reissner E. The stresses in Cemented Joints // J. App. Mech., Vol. 11, 1944, A11-A27.
2. Hart-Smith, L.J., Adhesive-Bonded Single-Lap Joints / Douglas Aircraft Co., NASA Langley Report CR 112236, 1973.
3. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластины. - М.: Стройиздат, 1986. - 316 с.
4. Chen W.T., Nelson C.W. Thermal stress in bonded joints. IBM Journal of Research and Development, 23 (2), 1979. - р. 179-188.
5. Luo Q., Tong L. Fully-coupled nonlinear analysis of single lap adhesive joints // International Journal of Solids and Structures, Vol. 44, 2007, p. 2349-2370.
6. Luo Q., Tong L. Analytical solutions for adhesive composite joints considering large deflection and transverse shear deformation in adherends // International Journal of Solids and Structures, Vol. 45, 2008, p. 5914-5935.
7. Sandu M., Sandu A., Constantinescu D.M., Strength of adhesively bonded single strapped joints loaded in tension // Proceedings of the Romanian Academy, Series A, Vol. 11(4), 2010, p. 371-379.
8. Артюхин Ю. П. Модифицированная теория Голанда-Рейсснера склеенных пластин // Исслед. по теор. пластин и оболочек, 11, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1975, C. 136-148.
9. Zhao B., Lu Z-H., Lu Y-N. Closed-form solutions for elastic stress-strain analysis in unbalanced adhesive single-lap joints considering adherend deformations and bond thickness // International Journal of Adhesion & Adhesives, Vol. 31, 2011, p. 434-445
10. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели - М.: Госстройиздат, 1954.
