CC BY
28
УДК 638.354.8
ДВУХОЦЕНОЧНАЯ ПРОГРАММА РАЗВИТИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ
В.В. Зубарев, О.И. Дранко
При разработке программы развития предприятия помимо целей самого предприятия во многих случаях необходимо учитывать и цели внешнего окружения. К внешнему окружению могут относиться администрация региона, в котором находится предприятие, федеральные власти и т. д. Особенно это относится к градообразующим предприятиям, а также к предприятиям стратегического значения. Состояние предприятия оценивается по двум системам комплексного оценивания. Первая отражает интересы предприятия, а вторая интересы внешнего окружения. Задача заключается в разработке программы, обеспечивающей достижение требуемых оценок по обеим системам комплексного оценивания с меньшими затратами. Для решения задачи предлагается метод ветвей и границ с получением нижних оценок на основе метода сетевого программирования
Ключевые слова: задача, предприятие, регион, цели
Введение
Программа развития предприятия, как правило, оценивается несколькими критериями (рыночными, финансовыми, производственными, социальными). Для решения такой многокритериальной задачи в последнее время широкое распространение получил метод агрегирования критериев на основе матричных сверток, на основе которых формируется система комплексного оценивания состояния предприятия. Во многих случаях помимо целей самого предприятия учитываются и цели внешнего окружения. В статье рассматривается задача достижения требуемых оценок каждой из систем комплексного оценивания [1].
Постановка задачи
Прием, что заданна процедура комплексного оценивания вариантов программы, учитывающая интересы двух органов власти (рис.1), на основе которой можно определить все Парето-оптимальные варианты программы, обеспечивающие требуемые значения комплексных оценок. Эффективность программ оценивается по нескольким критериям (экономические, социальные, экологические и др.). Для каждого критерия применяется качественная шкала (1 - плохо, 2 - удовлетворительно, 3 - хорошо, 4 - отлично).
Пусть заданы требуемые значения комплексных оценок К] и К2 ответственно для первой и второй систем комплексного оценивания. Ср - затраты на достижение оценкир по критерию I. Введем переменные Хр - которые равны единице, если 1-й критерий выбирается с оценкой) в программе развития. Совокупность значений х=хр назовем вариантом программы. Обозначим Ф (х) и Ф 2(х) -значения комплексной оценки при вариации х для первой (второй) системы комплексного оценивания.
Рис. 1
Задача. Определить вариант программы, обеспечивающий значения комплексных оценок не менее требуемых с минимальными затратами.
Е хрср ^ т1п
ир
Е хр =11 =1п
и 1
Первое ограничение отражает требования принятия критерием не более одной своей оценки (критерий не может одновременно принять оценку
2 и 3), второе и третье ограничение опираются на условие достижимости требуемых значений комплексной оценки по обоим направлениям.
1. Метод решения
1) Разбиение сети двухоценочного комплексного оценивания на два дерева, соответствующими системам комплексного оценивания по каждому направлению.
2) Получение нижних оценок, путем решения двух оценочных задач и сложения оптимальных решений по первой и второй системам.
3) Применение метода ветвей и границ.
Для получения нижних оценок разделим затраты с р на две части щ и Ур
Зубарев Виктор Владиславович - ИПУ РАН, канд. техн. наук, доцент, тел. (495) 334-79-00
Дранко Олег Иванович - ИПУ РАН, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (495) 334-79-00
Щ+Ур=Ор (1)
Получаем две оценочные задачи (рис.2)
Задача 1. Определить вариант программы, обеспечивающий комплексную оценку не менее K1 (по первой системе комплексного оценивания) и минимизирующий
U = Е ирх1р (2)
г
где х1р - переменные, отражающие включение критерия 1 с оценкой ] по первому направлению (по первой системе комплексного оценивания).
Задача 2. Определить вариант программы, обеспечивающий комплексную оценку не менее К2 (по второй системе комплексного оценивания) и минимизирующий
V = Е Урх 2р (3)
г
где х2 р - переменные, отражающие включение критерия 1 с оценкой ] по второму направлению (по второй системе комплексного оценивания).
Обозначим и(и) значение (2) в оптимальном решении первой задачи, У(у) - значение (3) в оптимальном решении второй задачи.
Теорема 1. Оценка снизу минимальных затрат для исходной задачи равна
Б(и, V) = и(и) + У(у) (4)
Доказательство. Любое допустимое решение исходной задачи является допустимым для оценочных задач (задач 1 и 2).
Двойственная задача. Определить и и V, удовлетворяющие (1), так чтобы Б(и, V) была максимальной.
Теорема 2. Функционал Б (и, V) является вогнутым
Доказательство Пусть 21=и1+у1 и г2=и2+у2 являются решениями двойственной задачи, аг1+(1-а)22 Тогда
Е(г) = Е(аг1 + (1 -а)г2 т1п[а(и1 + у1) + (1 -а)•
(и2 + у2) >а(т1пи1 + т1пу1) + (1 -а)•
(тт и2 + тт у2 ) = аЕ (г1) + (1 - а)Е (22)
Таким образом, двойственная задача является задачей выпуклого программирования.
Теорема 3. Если существует общее решение задач 1 и 2, то это решение является оптимальным для исходной задачи. Полученные нижние оценки применяются в методе ветвей и границ.
Условия оптимальности решения двойственной задачи
Пусть при заданных и и V получены оптимальные решения задач 1 и 2. {х*}, к=1,Б, {у1}, 1=1,1,
где s - число решений первой задачи, t - число решений второй задачи. Обозначим Zj - изменение переменной Uj Предполагаем, что Zj такое, что оптимальные решения первой и второй задачи остаются оптимальными. В первой задаче величина U(u) изменится на
AU = min Е zijxkij ij
Во второй задаче величина V(v) изменится
на
AV = max Е zlj-yl1j ij
Суммарное изменение нижней оценки F(u, v) составит
AF(u,v) = AU + AV = minЕz jXkv + maxЕzjylj (5)
ij ij Для того чтобы оценку (4) можно было увеличить необходимо и достаточно, чтобы существовало ненулевое решение неравенства
minЕ zjxkj > maxЕ Zjylj (6)
j j Таким образом, условие оптимальности решения двойственной задачи является отсутствие решения неравенства (6).
Неравенство (6) сводится к системе линейных неравенств
ЕzjXkj > maxi ЕZjylj,k = 1,5,l = 1,t (7) j j Пример: Рассмотрим простейший случай двухоценочной системы комплексного оценивания - имеется система с двумя критериями оценки и двумя заинтересованными в развитии органами (рис 3).
Рис.3
Первая система
4 3 3 4 4
3 2 3 3 3
2 2 2 2 3
1 1 1 1 2
21 1 2 3 4
Вторая система
4 2 3 3 4
3 1 2 3 4
2 1 2 3 3
1 1 1 1 2
21 1 2 3 4
Таблица затрат C j приведена ниже
Таблица 1
Оценка 1 2 3 4
Направление
1 20 40 60 80
2 40 60 100 160
Примем требуемые значения комплексной оценки не менее 3 по обоим направлениям
1 шаг. Возьмем ир=Ур=0,5Ср для всех (1,
.0-
Решение первой задачи (первое число в клетках соответствующей оценке, а второе - затратам). ______________________________________
4;80 3;90 3;100 4; 110 4;120
3;50 2;60 3;70 3;80 3;90
2;30 2;40 2;50 2;60 3;70
1;20 1;30 1;40 1;50 2;60
2 1 1;10 2;20 3;30 4;40
Имеем x1=(2;3), x2=(4;2), U(u) = 70
Решение первой задачи
4;80 2;90 3;100 3; 110 4;120
3;50 1;60 2;70 3;80 4;90
2;30 1;40 2;50 3;60 3;70
1;20 1;30 2;40 2;50 3;60
2 1 1;10 2;20 3;30 2;40
Решение второй задачи
у1=(3;2), у2=(4;1), У(у)=60 Оценка снизу Е(и, у) = 70+60=130 2 шаг. Составляем неравенство
т1п(112 +123; 114 +122) > тах(113 +122; 114 +121)
Преобразуем это неравенство в систему линейных неравенств
112+123— 113+122 +8 112+123— 114+121 +8 114+122— 113+122 +8 114+122— 114+121+8
где 8>0.
Решение вто рой задачи
4;80 3;90 3;105 3; 110 4;125
3;55 2;65 3;80 3;85 3;100
2;35 2;45 2;60 2;65 3;80
1;20 1;30 2;45 2;50 2;65
2 I 1 1;10 2;25 3;30 4;45
Имеем
x1=(2;3), x2=(4;2), U(u)=65.
Решение вто рой задачи.
4;80 2;90 3;95 3; 110 4; 115
3;45 1;55 2;60 3;75 4;80
2;25 1;35 2;40 3;55 3;60
1;20 1;30 2;35 2;50 3;55
2 1 1;10 2; 15 3;30 4;35
Имеем
у1=(3;2), у2=(4;1), ¥(у)=55
Оценка снизу Е(и, у) = 80+55=135.
Оптимальные решения не изменились, однако, оценка увеличилась на 5.
3 шаг. Поскольку оптимальные решения остались прежними, то и решение системы неравенств осталось прежним.
Решение первой задачи
4;80 3;90 3;110 3; 110 4;130
3;60 2;70 3;90 3;30 3; 110
2;40 2;50 2;70 2;70 3;90
1;20 1;30 1;50 1;50 3;70
2 1 1;10 2;30 3;30 4;50
Опишем реш r(u)=90. Решение вто [ения: x1=(2;3), x2=(4;2), рой задачи
4;80 2;90 3;90 3;110 4; 110
3;40 1;50 2;50 3;70 4;70
2;20 1;30 2;30 3;50 3;50
1;20 1;30 2;30 2;50 3;50
2 1 1; 10 2;10 3;30 4;30
Оптимальные решения:
y1=(3;2), y2=(4;2), y3=(4;1), V(v)=50, F(u,v)=140.
Данное решение является оптимальным для исходной задачи.
Если общего решения не существует и система (6) не имеет решения, то полученную оценку используем в методе ветвей и границ.
Литература
1.Механизмы управления: Учебное пособие (под ред. Д.А. Новикова) М: ЛЕАНД, 2011, 192с. (Умное управление).
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)
THE TWO-ESTIMATED PROGRAM OF DEVELOPMENT OF THE ENTERPRISE
V.V. Zubarev, O.I. Dranko
By working out of the program of development of the enterprise besides the purposes of the enterprise, in many cases it is necessary to consider and the purposes external okru-zhenija. The federal authorities can concern an external environment region administration in which there is an enterprise, and etc. Especially it concerns to the enterprises, and also the enterprises stra-tegicheskogo values. The enterprise condition is estimated on two systems of complex estimation. The first reflects interests of the enterprise, and the second interests of an external environment. The problem consists in working out of the program providing achievement of demanded estimations on both systems a complex of estimation with smaller expenses. For the problem decision the method of branches and borders with reception of the bottom estimations on the basis of a method of network programming is offered
Key words: a problem, the enterprise, region, the purposes
