Двухкритериальная оптимизация содержания проекта при ограничениях на качество продукта Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

9. И. А. Викторов. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. / И. А. Викторов.- Москва: Наука.- 1966.- 168 с.

10. Ch Zhang. On Wave Propagation in Elastic Solids with Cracks (Advances in Fracture Mechanics) / Ch. Zhang, D. Gross.- Southampton: Computational Mechanics, 1997.- 272 p. - ISBN: 978-1853125355.

В po6omi дютала подальшого розвит-ку модель 3ada4i опmимiзaцii 3Micmy проекту за строками i вартктю його виконання при нaявноcmi обмежень на ятсть продукту тсля виконання певних етатв проекту, також створено метод розв'язання щe'i зaдaчi з використанням узагальненого алго-риmмiчного критерю

Ключовi слова: проект, утримання, двох-криmерiaльнa опmимiзaцiя, час, варткть, ятсть

□-□

В работе получила дальнейшее развитие модель задачи оптимизации содержания проекта по срокам и стоимости его выполнения при наличии ограничений на качество продукта после выполнения определенных этапов проекта, а также создан метод решения этой задачи с использованием обобщенного алгоритмического критерия

Ключевые слова: проект, содержание, двухкритериальная оптимизация, время,

стоимость, качество

□-□

The paper describes further development of the model of a project content optimization problem where fulfillment of project deadline and costs of its implementation is required. The model includes constraints on quality of a product after completion of certain stages of the project. The paper also describes the method that was created to solve this problem using a generalized algorithmic criterion

Key words: project, content, two-criterion optimization, time, cost, quality

УДК 658.012.23

ДВУХКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СОДЕРЖАНИЯ ПРОЕКТА ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА КАЧЕСТВО ПРОДУКТА

И.В. Кононенко

Доктор технических наук, профессор, заведующий

кафедрой Контактный тел.: 707-67-35

И.В. Протасов*

*Кафедра стратегического управления Национальный технический университет « Харьковский

политехнический институт» ул. Фрунзе, 21, г. Харьков, Украина, 61002

Традиционно формирование содержания проекта осуществляется на эвристическом уровне. Часто работы или комплексы работ включаются в состав проекта без глубокого анализа их влияния на другие работы. Количество рассматриваемых альтернатив при этом, как правило, невелико. Данная ситуация объясняется большой трудоемкостью анализа альтернативных вариантов работ или их комплексов в многоэтапных проектах. В работе [1] предложены модель и метод оптимизации содержания проекта с точки зрения времени его выполнения. В работе [2] рассматриваются модель и метод оптимизации содержания проекта по критерию затраты на его осуществление при наличии

ограничений на сроки. В работе [3] впервые предложена многокритериальная модель задачи оптимизации содержания проекта по критериям время и стоимость при наличии альтернативных вариантов выполнения работ или их комплексов, заданных в виде сетевых моделей. Для решения многокритериальной задачи предложено использовать минимаксный подход. Однако, часто лица, принимающие решения, предпочитают формировать содержание проекта, задавая веса целевым функциям. При этом в качестве ограничений необходимо учитывать требования к показателям качества продукта после выполнения определенных этапов проекта.

В результате возникает задача оптимизации с обобщенным алгоритмическим критерием и с ограничениями.

Целью работы является дальнейшее развитие модели задачи оптимизации содержания проекта по срокам и стоимости его выполнения при наличии ограничений на качество продукта после выполнения определенных этапов проекта, а также создание метода решения этой задачи с использованием обобщенного критерия.

Предложена математическая модель задачи, которая содержит две подлежащие минимизации целевые функции, одна из которых представляет собой длительность критического пути в сетевой модели, описывающей проект, а другая - стоимость выполнения проекта.

В модели предполагается, что после завершения отдельных этапов выполнения проекта не должно быть финансовых задолженностей. Также ограничениями модели являются максимальное время выполнения проекта и качество продуктов на отдельных этапах проекта. При этом предполагается, что на каждом этапе проекта может осуществляться не более одного из альтернативных вариантов выполнения работ. Модель является дальнейшим развитием модели, предложенной в работе [3], путем учета более общих ограничений на качество продукта в результате выполнения этапов проекта. Модель задачи имеет вид:

(1)

ТП№ =Ф(Х^ тш, " = 1,МЬ, Ь = 1,Н;

н МЬ

ЕЕ = F ^ ™п,

Ь=1 j=1 хч

Sh = Sh_l + К -£л

j=l

Sh >0, Ь = 1,Н;

(2)

(3)

Тпроекта ^ , Тпр_ =<р(хц), " = 1,МЬ, Ь = 1,Н; (4)

Vг(Хц)>цы, ] = ТМ,ь = Щг = ТУя^; (5)

Е = 1, Ь = 1,н;

j=l

хце{0,1}, " = 1,Мь, Ь = 1,Н;

(6) (7)

где Т ^ - длительность выполнения всех опера ций проекта;

- стоимость выполнения операций "-го варианта сетевой модели на Ь-м этапе (может складываться из стоимостей нескольких операций);

Мь - количество вариантов выполнения операций на этапе Ь, Ь = 1,Н ;

Ь - номер этапа выполнения операций; Н - количество этапов в проекте; хц - булевая переменная, равная единице, если осуществляется "-й вариант выполнения операций на Ь-м этапе, и равная нулю в противном случае;

Значение целевой функции (1) Тпрое1С1а =ф(х^) представляет собой время выполнения проекта, которое рассчитывается с помощью метода критического пути или иного метода в сетевой модели G = { А, Z, т, W}, где

G - сетевая модель операций проекта; А - множество узлов сети,

А = { аы;} , i = й", Ь = 1,1, " = ЩЬ,

где - .-я операция, осуществляемая на Ь-м этапе в "-м варианте (альтернативе) сетевой модели;

- количество операций в "-м варианте сетевой модели;

Z - множество направленных дуг,

Z = { 2ы",рт> } , i = ^ т = ^ Ь,Р =11, " = ^

f = 1,Мр,

где , - дуга, которая выходит из узла i на этапе Ь альтернативного варианта " и входит в узел т на этапе р альтернативного варианта £; i Ф т при р = Ь ; р > Ь ;

т - множество сроков выполнения операций в узлах,

т = {ты;} , i = й", Ь = 1Н, " = ТУМЬ ;

где т " - срок выполнения ьй операции на Ь-м этапе для "-го варианта выполнения операций;

W - множество стоимостей выполнения операций сети,

W = { ■ы;} , . = й", Ь = 1,1, " = ЩЬ,

где - стоимость выполнения .-й операции на Ь-м этапе для "-го варианта выполнения операций;

Н МЬ

Значение целевой функции (2) ЕЕ■щХь = F пред-

Ь=1 "=1

ставляет собой затраты на осуществление проекта;

Sь - остаток денежных средств после выполнения работ на Ь-м этапе;

Кь - объем денежных средств, выделяемых на Ь-м этапе;

Vг(хЬ") - функция, определяющая значение г-го показателя качества продукта в результате выполнения Ь-го этапа для "-го варианта выполнения операций;

0 задан

ЬГ - заданное граничное значение г-го показателя качества продукта в результате выполнения этапа Ь;

Яь - количество показателей качества продукта в результате выполнения этапа Ь.

Ограничение (3) предполагает, что при осуществлении проекта не должно быть финансовых задолженностей после завершения каждого этапа.

Ограничение (4) означает, что время выполнения

^ ^ т^эадан

проекта должно быть не больше значения I , которое заранее указано заказчиком.

Выражение (5) определяет ограничение, согласно которому качество продукта в результате выполнения Ь-го этапа должно удовлетворять заданным гранич-

0 задан

Ы .

Для каждого Ь-го этапа выполнения работ по проекту или их комплексов, Ь = 1,Н задаются требования по значению г-го показателя качества продукта этапа, где г = 1,ЯЬ , продукта проекта. Значение показателя качества г для "-го альтернативного варианта выполнения работ по проекту или их комплексов на этапе Ь определяется с помощью функции уг(хЬ") или задается в виде элемента матрицы исходных данных.

М

Выражение (6) характеризует ограничение, согласно которому на каждом этапе h можно осуществить не более одного варианта выполнения работ.

В модели (1) - (7) могут быть и иные ограничения, например на расходование некоторых ресурсов, в том числе кадров, оборудования, сырья, материалов, комплектующих, на последовательность осуществления вариантов выполнения работ.

Предложенная модель является двухкритери-альной, динамической, с булевыми переменными, с алгоритмической и аналитической целевыми функциями, с алгоритмическим и аналитическими ограничениями.

Для решения задачи (1) - (7) предложен метод многокритериальной оптимизации содержания проекта по срокам и стоимости его выполнения при наличии ограничений и заданных альтернативных вариантах выполнения работ или их комплексов, представленных в виде сетевых моделей, основанный на применении обобщённого критерия в сочетании с методом неявного перебора. Метод предназначен для решения задач оптимизации содержания проекта по критериям время и стоимость в условиях, когда любая работа последующего этапа в проекте не может быть начата, пока не будут закончены все работы предыдущего этапа. При этом альтернативные варианты могут относиться как к одному этапу выполнения работ, так и к нескольким этапам.

Опишем в виде последовательных стадий подготовку информации для разработанного метода, которая развивает подготовку информации для методов, описанных в работах [1-3].

1. Представить в виде сетевых моделей альтернативные варианты выполнения работ по проекту, установить их взаимосвязи друг с другом. Определить время и стоимость выполнения работ каждой из альтернатив.

2. Провести анализ, цель которого заключается в выявлении альтернатив, которые охватывают несколько этапов. Если некоторая альтернатива охватывает более одного этапа, то эти этапы объединить в один.

3. Вычислить нижние границы длительности выполнения операций на каждом h-м этапе, h = 1,H .

Вычисление значений нижней границы предполагает выполнение ряда следующих действий:

3.1. Для каждого из этапов h = 1,H ввести логические вершины начала S(start) и окончания T(target).

3.2. Для каждого из этапов h = 1,H рассчитать по методу критического пути сроки выполнения всех операций каждой из альтернатив thj._

3.3. Для каждого из этапов h = 1,H рассмотреть времена выполнения работ каждой из альтернатив и выбрать среди них минимальное tmi .

Множество выбранных минимальных сроков будет

составлять: T. ={ t • } .

n L minU h=1

4. Вычислить оптимальное значение длительности выполнения операций F1 на H этапах с помощью метода оптимизации сроков проекта, предложенного в работе [1].

5. Вычислить нижние границы стоимости выполнения операций на каждом h-м этапе, h = 1,H .

Вычисление значений нижней границы предполагает выполнение ряда следующих действий:

5.1. Для каждого из этапов Ь = 1,Н ввести логические вершины начала S(start) и окончания Т^а^е^.

5.2. Для каждого из этапов Ь = 1,Н рассчитать стоимости выполнения всех операций каждой из альтернатив .

5.3. Для каждого из этапов Ь = 1,Н рассмотреть стоимости выполнения операций каждой из альтернатив и выбрать среди них минимальную .

Множество выбранных минимальных стоимостей

будет составлять: Wmin = { ^.

6. Вычислить оптимальное значение стоимости выполнения операций F2 на Н этапах с помощью метода оптимизации стоимости проекта, предложенного в работе [2].

Входные данные, необходимые для осуществления метода:

G - сетевая модель проекта;

Н - количество этапов;

{КЬ} - множество объемов денежных средств, выделяемых для выполнения проекта на каждом этапе;

{ МЬ} - множество, элементами которого являются количества возможных альтернативных вариантов на каждом этапе;

^ - время выполнения операций ]-го варианта сетевой модели на Ь-м этапе (рассчитывается предварительно по сетевой модели и представляется в виде элементов таблицы);

- стоимость выполнения операций ]-го варианта сетевой модели на Ь-м этапе (рассчитывается предварительно по сетевой модели и представляется в виде элементов таблицы);

Vг(х1г|) - функция, определяющая значение г-го показателя качества продукта в результате выполнения этапа Ь для ]-го варианта выполнения операций;

0 задан

ЬГ - заданное граничное значение г-го показателя качества продукта в результате выполнения этапа Ь;

Тшп ={ } - множество минимальных сроков выполнения этапов проекта, рассчитанных на стадиях подготовки информации;

1 н

Wmin ={ wmin } n l minl> J h=1

- множество минимальных стои-

мостей выполнения этапов проекта, рассчитанных на стадиях подготовки информации;

F1 - оптимальное значение срока выполнения проекта;

F2 - оптимальное значение стоимости выполнения проекта;

Х1, Х2 - весовые коэффициенты первой и второй целевых функций; Х1, X 2 > 0; Х1 + Х2 = 1.

Т задан

- максимально возможное время выполнения

о ''рзадан

проекта. Значение I задается заказчиком перед началом планирования проекта. Переменные:

г*

I - рекордное значение нормированных целевых функций;

I' - текущее значение целевой функции (1); I" - текущее значение целевой функции (2);

II - значение нижней границы целевой функции (1); I2 - значение нижней границы целевой функции

^орм - нормированное значение целевой функции (1)'' 2

4орм - нормированное значение целевой функции

(2);

Ь - номер этапа;

Sh - остаток денежных средств после выполнения работ на Ь-м этапе;

jh - номер варианта на этапе Ь; th - время выполнения операций на всех этапах от 1-го до Ь-го включительно;

Т - нижняя граница сроков выполнения всех последующих этапов после Ь, которая представляет собой сумму вида:

та длительности критического пути в сети - СРМ(^) от начала проекта до этапа Ь включительно. Для этого вводится фиктивная вершина «финиш», обозначающая окончание всех операций Ь-го этапа.

Полагаем ^ . Вычисляем Т' = +... + .

Ь к пР, т1ПЬ+1 ттИ

Обозначим Тпроекта = I + Т и проверяем выполнение ограничения (4)задачи:

т ^ тзадан

проекта

Проверяем выполнение ограничений (5):

Vг(х„)>агн, г=т^ .

Тпрь ^,,+1 + ... + tminн

Г 1 н

множества Ттш = { tmin } , рассчитываются способом,

где времена tmin ,...^тк , являющиеся элементами

^ п }Н 1

описанным ранее;

wh - стоимость выполнения операций на всех этапах от 1-го до Ь-го включительно, которая рассчитывается следующим образом:

Ь Мь

wh^хк;

к=1 ^=1

Wn/ph - нижняя граница стоимости выполнения всех последующих этапов после Ь, которая представляет собой сумму вида:

W' = wmin +... + wmin ,

прЬ minh+1 minH

где стоимости wmi +... + wmi , являющиеся элементами множества Wmin = { wminh ^, рассчитываются способом, описанным ранее.

Результат решения:

Wн - искомое решение, множество выбранных вариантов j на всех Н этапах.

Рассмотрим предложенный метод двухкритери-альной оптимизации содержания проекта по срокам и стоимости его выполнения при наличии ограничений в виде последовательности шагов:

1. Полагаем

нн

Wн := 0; Тш = { tmin } ; Wrnin = { wmin } ;

н шп [ minU Ь=1 min I minM Ь=1

Р1:=Ё tminh ; ^

Ь=1 Ь=1

Ь := 1;

Г:= 0; fw:= 0; 0; f2:= 0; f1 := 0 ; f2 := 0 ; Г :=+«

норм ' норм ' •

2. Принимаем jh:=1.

3. Проверяем выполнение ограничения (3) задачи на этапе Ь:

Sh = ^-1 + К, - ^ Sh > 0.

Вычисляем th (время выполнения операций на всех этапах от 1-го до Ь-го включительно) путём расчё-

Проверяем выполнение иных ограничений, если они имеются. Если хотя бы одно ограничение не выполняется, переходим к шагу 9.

4. Полагаем Я:= Т пекта . Нормируем ^ следующим образом:

Я =

норм

? - ^

5. Рассчитываем значение: wh. Полагаем fw := wh. Вычисляем:

W, = ^ ■ +... + w

ПРь "Ш

Определим f2 = Р + Wn/ph . Нормируем ^ следующим образом:

f2 - Р

f 2 _ ^_

норм т-1 .

Р2

6. Определим f = Ун0рм + ^4^ . Если f > Г, переходим к шагу 9.

7. При Ь < Н анализируем следующий этап проекта, т.е. Ь:= Ь +1 и возвращаемся к шагу 2.

8. Величине Г присваиваем новое значения Г := f

и фиксируем множество Wн:={ jh}Н_Г

9. При jh < М, рассматриваем следующий вариант, т.е. jh := jh +1 и переходим к шагу 3.

10. При Ь > 1 переходим на предыдущий этап, т.е. Ь := Ь -1. Извлекаем из памяти jh, и переходим к шагу 9. При Ь = 1 и Wн = {0} задача не имеет решения, в противном случае оптимальное решение получено. При этом значения величин f' и fw для Wн определяют время выполнения проекта Тпроет и его стоимость F соответственно.

Таким образом, в работе получила дальнейшее развитие модель задачи оптимизации содержания проекта по срокам и стоимости его выполнения путем учета ограничений на качество продукта метод её решения.

Литература

1. Кононенко И.В. Математическая модель и метод минимизации сроков выполнения работ по проекту / И. В. Кононенко, Е.В. Емельянова, А.И. Грицай // Восточно-европейский журнал передовых технологий. - 2007. - №2/6 (26). - С. 35-40.

2. Кононенко И.В. Математическая модель и метод минимизации затрат по проекту при ограничениях на сроки выполнения работ / И.В. Кононенко, Е.В. Емельянова // Вестник Национального технического университета «Харьковский политехнический институт»: сб. науч. тр. Темат. вып. : Системный анализ, управление и информационные технологии. - № 4. - Х., 2009. - С. 46-53.

3. Кононенко И.В., Мироненко В.А. Математическая модель и метод оптимизации содержания проекта с точки зрения времени и стоимости его выполнения. Восточно-Европейский журнал передовых технологий. 1 / 2 (43) 2010 С. 12-17.

-□ □-

Пропонуеться реалiзацiя математичног модел1 структури технолотчног системи, що е основою комбтаторно - оптим1зацш-ного проектування технолог1чного проце-су. Розглядаються особливост1 формування шформацшног модел1 технолотчног системи в термтах мови XML

Ключов1 слова: технолог1чний процес, технолотчна система, частковий порядок,

граф, ргзальний тструмент

□-□

Предлагается реализация математической модели структуры технологической системы, которая является основой комбинаторно - оптимизационного проектирования технологического процесса. Рассматриваются особенности формирования информационной модели технологической системы в терминах языка XML

Ключевые слова: технологический процесс, технологическая система, частичный

порядок, граф, режущий инструмент □-□

Implementation of mathematical model of technological system structure which is a basis of combinatorial - optimization projection of manufacturing method is offered. Habits of forming of an entity set model of a technological system in terms of language XML are considered

Key words: manufacturing method, technological system, the fractional order, the graph, edge tool

УДК 621.91:658.512+621.91;004.8

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ И ИНФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛИ СТРУКТУРЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ

В.В. Фролов

Кандидат технических наук, доцент Кафедра «Технология машиностроения и металлорежущие станки» Национальный технический университет «Харьковский

политехнический институт» ул. Фрунзе, 21, г. Харьков, Украина, 61002 Контактный тел.: 067-526-06-92 E-mail: vvicfrol@rambler.ru

В работе [1] было предложено рассматривать ма- процесса в терминах бинарных отношений, где ис-

тематическую модель технологического процесса в ходной является указанная выше модель. Для этого

виде помеченного упорядоченного графа дерева с фик- необходимо решить следующие задачи: на основе

сированной глубиной, которая определяется струк- модели, предложенной в [1], выявить базовые эле-

турными особенностями технологической системы, менты структурной модели технологического про-

что позволило разработать методику классификации цесса; выделить один основной элемент структуры

технологических структур на основе искусственных технологического процесса в терминах бинарных от-

нейронных сетей. ношений; разработать метод представления процесса

Цель данной статьи заключается в разработке проектирования технологического процесса в виде

информационной модели технологического процесса структурных формул. Рассмотрим последовательно

на основе языка разметки XML и математической по- решение данных задач. Поскольку модель представ-

становки задачи проектирования технологического лена графом деревом, в терминах XML получаем ин-